第03讲 两条直线的平行与垂直（2大知识点+7大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第03讲 两条直线的平行与垂直 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：两条直线相交、平行与重合 3 知识点二：两条直线的垂直 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：利用斜率判定两直线平行 5 题型二：两直线位置关系（相交、平行、重合）判定 6 题型三：两直线垂直关系判定 7 题型四：直线平行与垂直综合应用 8 题型五：两直线夹角计算 9 题型六：由直线平行求解参数 10 题型七：由直线垂直求解参数 10 04 过关测试 12 知识点一：两条直线相交、平行与重合 1、代数方法判断 两条直线的位置关系，可以用方程组 的解进行判断（如下表所示） 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 而或 或 有唯一解 相交 有一个交点 或 有无数个解 重合 无数个交点 或 2、几何方法判断 （1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行． （2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 知识点二：两条直线的垂直 1、两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、两条直线垂直的代数方法判断 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 题型一：利用斜率判定两直线平行 【例1】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【变式1-1】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【变式1-2】已知经过，经过，，求证：． 【变式1-3】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 题型二：两直线位置关系（相交、平行、重合）判定 【例2】已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 【变式2-1】已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合． 【变式2-2】（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【变式2-3】已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 题型三：两直线垂直关系判定 【例3】判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【变式3-1】判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式3-2】判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【变式3-3】判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 题型四：直线平行与垂直综合应用 【例4】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【变式4-1】已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 【变式4-2】（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【变式4-3】（23-24高二上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，. (1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形； (2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程. 题型五：两直线夹角计算 【例5】已知两条直线的方程分别是；，；，则两条直线的夹角______． 【变式5-1】（23-24高三上·浙江·阶段检测）直线与直线所成夹角大小为__________． 【变式5-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为_______． 【变式5-3】（23-24高二上·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是______． 题型六：由直线平行求解参数 【例6】（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【变式6-1】（25-26高二下·江西赣州·期中）已知直线与直线，若，则（   ） A．1或 B．或5 C．1 D． 【变式6-2】（2026·山西临汾·一模）已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 【变式6-3】（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 题型七：由直线垂直求解参数 【例7】（25-26高二下·河北保定·开学考试）若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 【变式7-1】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．-2 【变式7-2】（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线和直线，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式7-3】（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知直线与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东·期末）过点且与垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北十堰·期末）若关于，的方程组无解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 7．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）“直线与直线互相垂直”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定的 9．（多选题）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 10．（多选题）（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 11．（多选题）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 12．（25-26高二下·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 13．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知直线，若，则a的值为________． 14．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 15．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 16．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 17．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 18．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知直线． (1)当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; (2)求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; (3)若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $第03讲两条直线的平行与垂直 目录 01思维导图与题型归纳.2 02基础知识梳理3 知识点一：两条直线相交、平行与重合3 知识点二：两条直线的垂直 4 03题型精讲举一反三. ..5 题型一：利用斜率判定两直线平行5 题型二：两直线位置关系（相交、平行、重合）判定6 题型三：两直线垂直关系判定8 题型四：直线平行与垂直综合应用10 题型五：两直线夹角计算12 题型六：由直线平行求解参数13 题型七：由直线垂直求解参数15 04过关测试......… ..16 1/23 01 思维导图与题型归纳 6666666668 几何方法判断 两条直线相交、平行与重合 代数方法判断 两条直线的平行与垂直 几何方法判断 两条直线的垂直 代数方法判断 题型一：利用斜率判定两直线平行 题型五：两直线夹角计算 题型二：两直线位置关系（相交、平行、重合）判定 题型六：由直线平行求解参数 题型归纳 题型三：两直线垂直关系判定 题型七：由直线垂直求解参数 题型四：直线平行与垂直综合应用 2/23 02 基础知识梳理 知识点一：两条直线相交、平行与重合 1、代数方法判断 两条直线l:Ax+By+C,=0,2:A2x+B2y+C2=0的位置关系，可以用方程组 Ax+By+C=0 的解进行判断（如下表所示） Ax+B2y+C,=0 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 4 B2 -AB=0 而 B,C2-CB2≠0 或 无解 平行 无交点 AC1-A,C2≠0 或4-8+9(4，B,C,+0) A2 B2 C2 有唯一解 相交 有一个交点 AB,-4B+0或+8(4，B,≠0) A,B, A=入A2,B1=元B2,C1=1C2(2≠0) 有无数个解 重合 无数个交点 或4-8=S(4BC,≠0) A2 B2 C2 2、几何方法判断 (1)若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行. (2)若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如 下： :y=kx+b,12:y=k2x+b2, (1)1与l2相交台k≠k2; (2)41/l2台k1=k2且b≠b2; (3)4与l2重合台k=k2且b=b2. 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 01=0a2≠90 a1=a2=90 对应关系 111l2台k=k2 4/儿2台两直线斜率都不存在 3/23 y 图示 知识点二：两条直线的垂直 1、两条直线垂直的几何方法判断 与2的斜率都存在，分别为k,k2, 4与12中的一条斜率不存在，另一条 对应关系 则4112台k·k2=-1 斜率为零，则4与1，的位置关系是4⊥ y 图示 2、两条直线垂直的代数方法判断 已知直线1，l,的方程分别是1：Ax+By+C1=0(A,B不同时为0)，l2:A2x+B2y+C2=0(A,B2不同 时为0) (1)若AA,+B,B2=0÷1⊥12 (2)若48-48=0 AC2-A,C≠0 台111l 4/23 03题型精讲举一反三 C 题型一：利用斜率判定两直线平行 【例1】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1:y=2x+3,2:2x-y+5=0; (2)l:y=2x+1,12:x-2y=0; (3)1:x=3,12:x=10: (4)4:y=2x+1,l2:2x-y+1=0. 【解析】(1)设两直线4,2的斜率分别为k,飞，在y轴上的截距分别为b,b2. 因为k=k,=2,b=3,b2=5,b≠b2,所以lWl2. (2)因为6=2，飞=分名6 所以4与不平行. (3)由两直线的方程可知，1//y轴，4/y轴，且两直线在x轴上的截距不相等，所以1儿2， (4)12:y=2x+1,因为k1=k2=2,b=b=1, 所以4与重合， 【变式1-1】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. (1)4经过点A(2,1,B-3,5,2经过点C(3,-3,D(8,-7): (2)1的倾斜角为60°，马经过点M(3,2V5),N(-2,-35. 【解析】(1)设两直线4,2的斜率分别为k,飞. 由题意知长=品手无=号 _-7+3_4 -5 因为k=k,又ke=3-2 -3-1 -4, 所以k≠k4C,所以A,B,C三点不共线，所以A,B,C,D四点不共线， 所以4112： (2)设两直线1，Z的斜率分别为k1,飞2 由题意知k=1an60=5,k,=-35-25-5. -2-3 所以k=k2,所以4/1儿2或与Z重合. 【变式121已知经过3(80，经过个小N}-,求证： 5/23 6-33 【解析】证明：由题意得直线的斜率为太8-)5' 6-(-3)3 直线2的斜率为6=219=-5， 22 5. 6-323 -3-34,3 又kw=2 -(-3) 2 即A,B,M,N不共线，即1，I,不重合， 因为k1=k21Wl2 【变式1-3】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. (1)4经过点A2,3),B(-4,0),Z经过点M(-3,1,N(-2,2)； 2的斜率为？飞经过点442，B叫2,3： (3)1平行于y轴，Z经过点P(0,-2),Q(0,5); (4)4经过点E(0,1,F(-2,-1,Z经过点G(3,4),H(2,3). 【解析】(1)kB=号=气，k=2，B≠ww,所以与马不平行，■ -2+3 2》的斜丰气=分的剂丰名号方=，所以与6平行碳重合 (3)由题意，知1的斜率不存在，且不与y轴重合，2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以川2 （4)由题意，知k=1- 2=1,kGHF3-2 4-3 =1, -2-0 kF=kH,所以I与马平行或重合 需进一步研究E,F,G,H四点是否共线，k三-4 所以E,F,G,H四点共线，所以☑与Z重合. 题型二：两直线位置关系（相交、平行、重合）判定 【例2】已知4：x+m2y+6=0,2:（(m-2)x+3my+2m=0,求当m为何值时，Z与Z相交、平行或重合. 【解析】若直线1与Z相交，则3m≠m2(m-2),即mm2-2m-3≠0，解得m≠-1且m≠0且； 若直线与Z平行或重合，则3m=m2(m-2),解得m=0或m=-1或m=3. 当m=0时，4：x+6=0,☑：x=0，满足1与☑平行： 当m=-1时，4：x+y+6=0,2:x+y+号0，满足乙与2平行？ 6/23 当m=3时，☑：x+9y+6=0，☑：x+9y+6=0,满足☑与☑重合； 综上，当m≠-1且m≠0且时，（与2相交；当m=0或m=-1时，4与平行；当m=3时，1与重合 【变式2-1】已知直线：mx+3y+m+3=0,直线l:x+(m-2y+2=0,求：当m为何值时，直线与马分 别有如下位置关系：相交、平行、重合 【解析】当m=2时，1：2x+3y+5=0,1,:x+2=0,1与12相交： 1 2 当m≠2时，两直线的斜截式方程为：马：y=一3x一3一，少三一 m-2-m-2 m一2时，即m3,m1且m≠2时，两直线相交， ①当-m-1 3 3m-2且-m+32 ②当-”=-1 3m一2，即m=1时，两直线平行. ③当-m。。1 综上：当m≠3，m≠-1时，两直线相交； 当m=-1时两直线平行； 当m=3时两直线重合. 【变式2-2】(23-24高二下.上海期中)已知直线l:x+my+6=0,12:(m-2)x+3y+2m=0,根据下列条件 分别求实数m的取值范围. (1)4与2相交： (2)1与Z重合， 【解析】(1)当m=0时，Z的斜率不存在，此时l:x+6=0与l2:-2x+3y=0相交，符合题意： 当m≠0时，的斜率为，需满足-上+-m2, 1 m m 3 解得m≠-1且； 所以当m≠-1且时，与相交； (2)若4与马重合，需满足m≠0，且m,2=3-2m. 1m6 解得m=3, 即m=3时，4与4重合。 【变式2-3】已知A2,-3),B(3,7)两点. (1)是否存在整数a,使直线ax+y+1=0与直线AB相交？ (2)是否存在整数a,使直线ax+y+1=0与线段AB相交？ (3)是否存在正整数a,使点A,B分别位于直线ax+y+1=0的两侧？ 直线a++H0的=一口，直线B的斜率太 7/23 因为两条直线相交，则k≠k2,即a≠-10，故a可以取-10外的所有整数. (2)位于直线ax+y+1=0上的点，其坐标代入ax+y+1后，其值必为0， 位于直线ax+y+1=0同侧的点，其坐标代入ax+y+1后，其值必同号. 而位于直线ax+y+1=0两侧的点，其坐标代入ax+y+1后，其值必异号. 直线ax+y+1=0与线段AB相交，则点A和B或位于该直线的两侧，或其中一点在该直线上， 于是将点A、B的坐标代入ax+y+1后，其值的乘积必小于或等于0， 即2a-3+川3a+7+小s0,解得-骨≤a≤1，因此符合条件的整数a可以是-2,0或1. (3)由问题(2)的分析知，当A、B位于直线ax+y+1=0的两侧，将点A、B的坐标分别代入ax+y+1后， 其值必异号， 0,即2a-3+3a+7+<0,解得-<a<,因此符合条件的证 题型三：两直线垂直关系判定 【例3】判断下列直线4与是否垂直： 的额斜角为子，经过M(4-,N(52可)两点： 2四的斜率为弓6经过P叫3，-2引，Q-6,4两点 3 )的斜幸为子4的倾斜角为a,a为锐0，且an2a=-} (4)4经过点A3,a和B(a-2,3,Z经过点C(2,3)和D(-1,a-2). 2r=-5, 【解析】(1)由题意知，直线l的斜率为k=tan 直线的斜率为k,= 23-(-5)5 5-（-4) 3 因为kk,=-V5x 3 =-1,所以1142 (2)由题意知，直线☑的斜率为k2= 6号子直按率为人=子 2 ≠-1，所以4与不垂直. ，所以 (3)记马的斜率为k,=tana,因为an2a=-3, 2k23 -k34 解得k2=3或k,=3' 1 8/23 又因为a为锐角，所以k2=3. 因为的斜率为=号且=3（写》 =-1,所以1⊥2 (4)由题意，直线2的斜率k2一定存在，直线4的斜率可能存在或不存在. ①当直线1的斜率k不存在时，3=a-2,即a=5,此时k2=0,满足1⊥1. ②当直线4的斜率k,5,由斜军松式，得火，÷，号方23- -1-2-3 若414，则kk=-1,即3-aa-5 =-1,解得a=0. a-5-3 综上所述，当a=0或a=5时，直线l⊥2，当a≠0且a≠5时，Z与☑不垂直. 【变式3-1】判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)l:y=-x+2,12:y=x+5; (2)l:2x+3y=10,12:3x-2y=5; (3)l:y=2023,l2:x=2024. 【解析】(1)两直线的斜率k=-1,k2=1,由kk2=-1,则4⊥1. 2)两直线的器率k-?,专3 2由k=-1,则41 (3)1的斜率为0,2的斜率不存在，.1上112· 【变式32】判断下列两条直线是否垂直. (1)直线1的斜率为-10，直线2经过点A(10,2),B(20,3); (2)直线1经过点A3,4),B(3,7,直线2经过点P(-2,4),Q(2,4)； (3)直线1的法向量为1,2)，直线的法向量为(2，-1. 戳飞的斜率太0，直线的斜率数-2。=。因为k名=-10×A, 10 直 (2)直线1的斜率不存在，故4与x轴垂直，直线的斜率为0，故直线马与x轴平行，所以☑与马垂直. (3)因为1×2-1×2=0，所以4与2的法向量垂直，所以☑与☑垂直. 【变式33】判断下列各组中的直线4与2是否平行或垂直： (1)1:3x-4y-2=0,l2:6x-8y+1=0: (2）1:3x+2y-1=0,l2:6x+4y-2=0: (3)的斜率为-10，Z2经过点A(10,2),B(20,3); (4)1经过点A(3,4),B(3,100),Z经过点M-10,40),N10,40). 【解析】(1)因为3×-8)-(-4)×6=0，而3×1--2)×6≠0，所以1,1W2 9/23 (2)因为3×4-2×6=0，而3×(-2)-(-1)×6=0，所以1，l2重合. (3)直线1的斜率k=-10,直线马的斜率k2 20-1010,k6=-1,故416 3-21 40-40 (4)的倾斜角为90，则1上x轴.直线的斜率人，10--0=0，则1x轴，故1 题型四：直线平行与垂直综合应用 【例4】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为 0(0,0),P(1,,Q1-2t,2+t,R(-2t,2),其中1>0.试判断四边形OPQR是否为矩形 【架指1车公式尚行8：02-子 = 2+t-t2_1 -2t-0t'1 kpe=1-21-12it 所以kOP=kRO,kR=kPQ, 从而OPlRO,ORIIPO. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kop·koR=-1,所以OP⊥OR, 故四边形OPOR为矩形. 【变式4-1】己知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(5,-1,B(1,1,C(2,3),D(4,2). 试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. 【解析】由已知可判断四边形ABCD是直角梯形， 证明如下：因为A(5,-1),B(1,1),C(2,3),D(4,2). 10/23 2-31 由斜率公式得k422ks 10-.kc=2 1-52 _3-1=2,k0=1 2-(-0=3, 4-5 所以kcD=kAB,kBC≠kAD,即AB∥CD且BC不平行AD, 所以四边形ABCD是梯形， 又因为kc·kcD=-1,所以BC⊥CD, 综上，四边形ABCD是直角梯形； 【变式4-2】(24-25高二上广西南宁.阶段检测)已知点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0), (1)试判断直线AB和直线CD的位置关系： (2)试判定四边形ABCD的形状. 5-31 解斯】)由题意可得。马+千0-3 -3-63' 则4B:y-3x+4到→x-3y+13=0,CDy=x+3到-3y+3=0. 3 所以两条直线平行，即AB/1CD, (2)因为kD= 0-3=-3,kc 3-51 -3+4 6-2-21 所以k4D≠Kac,即AD与BC不平行， 又k4BkAD=-1,所以AB⊥AD, 所以四边形ABCD为直角梯形， 【变式4-3】(23-24高二上广东广州期中)在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标： A0,0),B3,V3,C(4,0). (1)求点D的坐标，并证明平行四边形ABCD为矩形： (2)求CD边所在的直线方程及∠ABC的内角平分线所在的直线方程. 【解析】(1)如图所示， B 1 E -1A -2 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC, x=1 设D(x川，则，)=(4--，解得=-5所以D.-, 11/23 又因为。-5o=-5所以rxo=-,所以1D. 所以四边形ABCD是矩形； ①kS所以直线C0:y-0=日 3(x-4, 即x-V5y-4=0; 设∠ABC的角平分线与x轴交于点E,求得AB=2√5，BC=2,AC=4, 所以∠BAC=30°，∠ABC=90°，又BE为角平分线，所以∠ABE=45°， 所以倾斜角∠BEC=∠ABE+∠BAC=75°， 所以斜率k=tan75°=tan(30°+45)=2+√3， 所以直线BE:y-V3=2+V5)(x-3),即2+V5)x-y-6-25=0, 题型五：两直线夹角计算 【例5】已知两条直线的方程分别是4；3x+y+2=0,2;2x-y-3=0,则两条直线的夹角Q= 【答案】元/45 41 【解析】4；3x+y+2=0的方向向量为a=(-1,3), Z:2x-y-3=0的方向向量为b=(1,2), -1+6√2 则cos(a,b)= :10x5=2 因为0≤a≤号，所以a=4 π 2 放答案为：号 【变式5-1】(23-24高三上·浙江阶段检测)直线y=√2x+1与直线y=(3-2√2)x+2所成夹角大小为 【答案】45 【解析】设直线y=√2x+1的倾斜角为α，直线y=(3-2√2)x+2的倾斜角为B，两条直线夹角为O, 则tana=√2，tanB=3-2√2， 则tan0=ltan(a-0- 2-3-22 1+√23-22 =1,0≤0≤90°， 所以0=45. 12/23 故答案为：45 【变式5-2】(23-24高二上江苏南京期中)在平面直角坐标系x0y中，已知点M(2,V3)和N(4,0),点0在 x维上.若直线M0与直线MN的夹角为？，则点Q的坐标为 【答案】 .0 (0.5,0) 【解析】设0横坐标为a,且由题意得k0= 2-a ，kw= 2 M0与MN相互垂直，RuoK解得a)放O份 故答案为： 50 【变式53】(23-24高二上·上海奉贤期中)直线y=ax-2与直线y=√5x的夹角0∈0，元 则a的取值范 6 围是 /3 【答案】 3 【解析】由题知直线y=ax-2的斜率为k=a,直线y=√5x的斜率为k2=√5， 因为直线y=ax-2与直线y=√5x的夹角0∈ 所以tan0 1++3a03 即3(a-V3)2<1+3a)2, 解得a> 3 故答案为： 题型六：由直线平行求解参数 【例6】(2026宁夏吴忠.二模)直线4：x+ay+3=0和直线：(a-2)x+3y+a=0互相平行，则a的值为 () A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3或1 【答案】A 【解析】因为直线4：x+ay+3=0和直线☑：（a-2)x+3y+a=0互相平行， 13/23 1x3=a×a-2） 所以 1xa≠3xa-2:解得a=-. 【变式6-1】(25-26高二下.江西赣州·期中)已知直线1：mx-y-1=0与直线l2:5x-(m+4)y-5=0,若42 ,则m=() A.1或-5 B.-1或5 C.1 D.-5 【答案】D 【解析】因为2， 所以-mm+4-5×-1)=0,解得m=1或m=-5, 当m=1时，(：x-y-1=0,12:x-y-1=0,此时两直线重合，不符题意； 当m=-5时，1：5x+y+1=0,12:5x+y-5=0,两直线平行， 所以m=-5, 【变式6-2】(2026山西临汾.一模)已知直线2x+ay+6=0与直线(a-1)x+y+a2-1=0平行，则a=() A.2 B.-1或2 C.-1 D.-2或1 【答案】c 【解析】因为直线2x+ay+6=0与直线(a-1)x+y+a2-1=0平行， 根据两直线平行的充要条件可得2-a(a-1)=0,解得a=-1或a=2, 当a=-1时，代入可得2x-y+6=0与-2x+y=0,两条直线平行且不重合，符合题意： 当a=2时，代入可得2x+2y+6=0与x+y+3=0,两条直线重合，不符合题意. 所以a=-1 【变式6-3】(25-26高二上江苏常州期末)若直线l:ax+2y+a+2=0,l2:x+(a-1y+2=0平行，则实数a 的值为() A.-1或2 B.2 C.1或-2 D.-1 【答案】D 【解析】：平面内两条直线4：ax+2y+a+2=0,2:x+(a-1)y+2=0平行， aa-1-2=0,解得a=-1或2. a=2时的方程为2x+2y+4=0,2的方程为r+y+2=0,两条直线重合， a=-1时的方程为-x+2y+1=0,的方程为x-2y+2=0,两条直线平行. 因此a=-1. 题型七：由直线垂直求解参数 【例7K25-26高二下河北保定·开学考试)若直线2x+(m-1)y-3=0与mx+3y+3=0互相垂直，则m=() 14/23 A.-2 B.3 C.-2或3 D 【答案】D 【解析】因为直线2x+(m-1)y-3=0与mx+3y+3=0互相垂直， 3 所以2m+3(m-1)=0,解得m= 5 【变式7-1】(25-26高二下辽宁沈阳，开学考试)已知直线l:x+(1+ay-2+a=0与l2:ax+2y+8=0垂直， 则实数a的值为() A司 B.- C.1 D.-2 【答案】B 【解析】因为直线：x+(1+a)y-2+a=0与l:ax+2y+8=0垂直， 所以1xa+(1+ax2=0,即30+2=0，解得a=- 1 【变式7-2】(25-26高二上湖南永州期末)己知直线：x+y-2=0和直线2：mx+2y+4=0,若4⊥12， 则m=() A.-2 B.1 C.2 D.4 【答案】A 【解析】因为直线x+y-2=0和直线l2:mx+2y+4=0相互垂直， 所以1m+1x2=0,解得m=-2, 故选：A 【变式7-3】(25-26高二上山东潍坊期末)已知直线(m-1x-2y-5=0与3x-4y+2=0垂直，则m的值为 () c 5 【答案】A 【解析】由题意得：国-x3+-21-4到=0，解得m= 故选：A 15/23 o4过关测试 1.(25-26高二下安微芜潮阶段检剥)己知直线：x++1=0与4：a+x+y+2=0,则a=-2是 "1亿2"的() A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】若4，则1x1-×a+=0,解得a=-2或a=1, 当a=1时，4：x+y+1=0,12:2x+y+2=0,两直线重合，不符： 当a=-2时，：x-y+1=0,l2:-x+y+2=0,符合题意； 所以a=-2,即“a=-2"是“l/ll2”的充要条件. 2.(2026河北沧州二模)已知直线1：x+(a+1)y-1-a=0,直线：（a+1)x-(2a-1)y+a-1=0,则 “a=-4"是"1∥l2"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】c 【解析】直线l:x+(a+)y-1-a=0,直线☑：(a+1)x-（2a-1y+a-1=0, 2 当a=-1时，代入可得(：x=0，直线么：y=了，两条直线不平行， 当a=)时，代入可得名：2红+3y-3=0,直线：x=写”两条直线不平行， 设直线方程为Ax+By+C,=0,直线☑方程为A,x+B2y+C2=0, 若川2，则A,B2-A,B,=0,即1×(1-2a-(a+12=0, 化简可得a2+4a=0,即aa+4)=0,解得a=0,a=-4, 当a=0时，代入可得：x+y-1=0,2:x+y-1=0, 两直线重合，所以a=0舍去， 当a=-4时，代入可得l:x-3y+3=0,Z:3x-9y+5=0, 1 和的斜率都为3所以4， 因此a=-4是l亿，的充要条件. 3.(25-26高二上江苏南通阶段检测)己知直线l:ax+y=0与l2:(a+1)x+ay-3=0,则“a=-2”是 16/23 “1⊥2”的() A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】由两条直线垂直的充要条件得a(a+1+1×a=0,解得a=0或a=-2, 所以“a=-2"是“1⊥l,"的充分不必要条件。 4.(25-26高二上：陕西商洛：期未)已知直线1过点(-2,1且与直线y=-2x+1垂直，则直线1方程为(） A.2x-y+5=0 B.2x-y-3=0 C.2x+y+3=0 D.2x+y-5=0 【答案】A 【解析】直线)=分+1的斜丰为了：则与它垂直的直线1的斜车为2 又直线1过点(-2,1，y-1=2(x+2),即2x-y+5=0. 故选：A 5.(25-26高二上广东期末)过点(2,3且与x+2y-2=0垂直的直线方程是() A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0 【答案】C 【解析】设与x+2y-2=0垂直的直线方程为2x-y+c=0, 把点(2,3)代入得2x2-3+c=0,解得c=-1, 故所求直线方程为2x-y-1=0. 故选：C 6.(25-26高二上湖北十堰期末)若关于x,y的方程组 (m-刂+2y+1=0m,neR无解，则m+n'的 nx-y-3=0 最小值为() A.5 1 B. C.1 D.I 5 5 【答案】B 【解析】因为关于x,y的方程组 (m-1)x+2y+1=0(m,neR)无解， x-y-3=0 所以直线(m-1x+2y+1=0与直线x-y-3=0平行， 17/23 所以a=02,即m+2a=1 所以m+三12+r三5亦-4n+1E5。+;即+的最小值为 故选：B 7.(25-26高二上山东潍坊阶段检测)直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”是“a=-1”的() 条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】B 【解析】因为直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直， 所以a21+(-l(-a=0,整理得a2+a=0,解得a=0或a=-1 所以由a=-1可得到直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直， 反之，两直线垂直有可能是a=0, 所以“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直"是“a=-1”的必要不充分条件. 故选：B 8.(25-26高二上辽宁抚顺，期末)已知点A(m,1)关于直线1：x+y-n=0对称的点B恰好在y轴上，则的 值是() A.-1 B.0 C.1 D.无法确定的 【答案】Cc 【解析】因为点B在y轴上，故设B(0,)(t为实数)， 因为直线1：x+y-n=0的斜率为-1，直线AB与直线1垂直，故两直线的斜率乘积为-1. 则直线AB的斜率为1，即-'=1. m 因为点A与点8的中点为m+0,1+ 2,2 该点在直线1上， 所以代入可得：罗1 -n=0. (1-t=1 所以 m m+t=1 ，化简可得 m,1+t -n=0 m+t-2n+1=0'解得n=1. 22 故选：C 9.(多选题)(25-26高二上浙江杭州期中)己知直线(：mx-y-3=0,直线l2:2x-y+3=0,则下列结论 正确的是() A.直线Z恒过点(0，-3) B.存在m使得直线的倾斜角为90° 18/23 C.若l2,则m=2 D.不存在实数m使得l⊥2 【答案】AC 【解析】令x=0,则-y-3=0,得y=-3,则直线1恒过点(0，-3)，故A正确： (:y=mx-3,则斜率为m,故不存在m使得直线Z的倾斜角为90°，故B错误： 若l2,则m×(-1=-1x2,得m=2, 若m=2,则1：2x-y-3=0,此时两直线平行，故m=2,故C正确； 若16，则2m+-小x-=0,则m=弓，故存在实数m使得16，放D错误。 10.(多选题)(25-26高二上·河北秦皇岛期末)已知三条直线1：2x+y-3=0,12:x-2y-4=0与 13:x+ay-1=0共有两个不同的交点，则a的值可能是() A.-2 C.7 D.2 【答案】AC 【解析】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行. 因为直线4与4不平行，所以1川或2% 当4仙，时，2a-1=0,解得a=2 当2八时，a+2=0,解得a=-2. 综上，的值可能是)或-2。 11.(多选题)(25-26高二上安微宿州期末)已知直线l:x+ay-a=0和直线l2:ar-(2a-3)y-1=0,下列说 法正确的是() A.2始终过定点33 21 B.若l/1儿2，则a=-3 C.若l⊥l2,则a=2 D.当a>0时，I始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】对于A,直线Z:a(x-2y)+3y-1=0, 声利号行编路定 2 21) 33 故A正确； 对于B,若111儿2，则有 -(2a-3)-a2=0 1x(-1-(-a×a≠0解得a=-3,故B正确： 对于C,4⊥l2,则a-a(2a-3)=0,解得a=0或a=2,故C错误； 对于D,当a>0时，4：y=-1x+1始终过0,1， 19/23 因为a>0,所以直线斜率-】<0，不会过第三象限，故D正确。 故选：ABD 12.(25-26高二下.上海阶段检测)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直 线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.己知ABC的 顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则BC中垂线所在直线的方程为 【答案】2x+4y-3=0 y 【解析】 已知B(-1,0,C(0,2),设BC中点为D,则D 2-0 由斜率公式可得kc0-(-可 2 设BC中垂线所在直线斜率为k,则kkc=2k=-1,解得k=-】 故BC中垂线所在直线的方程为y-1=一 般式为2x+4y-3=0. 13.(25-26高二上四川宜宾期末)已知直线l:ax-y+1=0,12:3x-(a-2)y+2a-1=0若l∥l2,则a的 值为 【答案】3 【解析】由题意直线：ax-y+1=0,2:3x-(a-2)y+2a-1=0,4∥12， 得a-(a-2)]-(-1×3=0且a2a-1)-1x3≠0， 即a2-2a-3=0且2a2-a-3≠0 解得a=3 14.(25-26高二上辽宁大连期中)在直线1：2x-y+1=0上有一点P,点A(-3,0),B(1,4),求PA+PB的 最小值是 【答案】6 【解析】设A关于直线2x-y+1=0的对称点为A,(m,n),连接PA, 则|PA+PB|=|PA1+PB|≥A1B引，当且仅当4，P,B三点共线时等号成立. 20/23 B/y=2x+1 n 1 而m+32 2×m3_”+1=0 22 m=1 解得川=-2故4，-2，故直线4Bx=1,所以48到=4--2)=6 故PA+PB的最小值为6. 15.(25-26高二下.上海浦东新·期中)已知ABC中，A(-2,1),B(4,3). (1)若C(3,-2),求BC边上的高AD所在直线的一般式方程； (2)若点M(3,1)为边AC的中点，求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【解析】(1)因为B(4,3),C(3,-2, 所以kc=2-3 =5, 3-4 因为AD是BC边上的高， 所以knc=sko=-写 所以高4D所在直线的方程为y-1=号x+2列→x+5y-3=0: (2)因为点M(3,1)为边AC的中点， 3=2+C 2 所以 →C(8,), _1+C 1=- 2 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=c或”+y=1, aa 园为直线过点C,以1=8张或+，所以k=8或a=9 aa 所以过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=二x或x+y-9=0. 8 16.(25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔期中)根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点(2,1)的直线方程； 21/23 (2)原点O(0,0)与点A(-4,2)关于直线1对称，求直线1的方程； (3)求经过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【解析】(1)直线斜率是3，且经过点(2,1，则直线方程为y-1=3(x-2), 化为一般式方程为3x-y-5=0; (2)已知O(0,0)关于直线1的对称点为A(-4,2), 故直线1为线段OA的中垂线，求得OA的中点为(-2，)， 且04的斜幸为子0。=号，故直线1的斜率为2， 故直线1的方程为y-1=2(x+2),化简可得：2x-y+5=0. (3)设该直线在两轴上截距为a,那么， ①当a=0时，直线过原点，设直线方程为y=x,代入点(2,3)， 可斜侧方程为=，即3x-2=0: ②当a≠0时直线方程为+上=1，把(2,3)代入求得a=5. aa 则直线方程为x+y-5=0, 由①②知所求直线方程是3x-2y=0或x+y-5=0. 17.（25-26高二上湖南永州期中)己知点P(2,-1),Q-1,m+1.求： (1)过点P且在y轴上截距-3的直线1的方程； (2)已知直线(：2x+my-3=0,直线Z经过P,Q两点，若l,1l2,求实数m的值. 【解析】(1)因为直线1在y轴上截距-3，设该直线1的方程为y=c-3, 将点P(2,-代入直线方程，可得-1=2k-3,解得k=1, 所以1的方程为y=x-3. (2)易知k存在，由少号=2，可得m+2x+3y-2m-1=0. m+2-3 又由直线L:2x+my-3=0,且11∥l2,可得2×3=m(m+2), 即m2+2m-6=0,解得m=±√7-1， 所以实数m的值为√万-1或-√万-1· 18.(25-26高二上四川资阳·期末)己知直线1：kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)当k变化时，求直线1经过定点P的坐标； (2)求点Q(1,2)到直线1距离的最大值，并求此时直线1的方程； (3)若直线1交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点，求A0B的面积S的最小值，并求此时直 线的方程 22/23 【解析】(1)由题1：kx-y+1+2k=k(x+2)-y+1=0, 因为当k变化时，直线过定点，则有 x+2=0 -y+1=0 x=-2 解得 y=1，即定点P(-2, (2)由题知当线段P011时，距离最大，此时最大距离为PQ=V1-(-2)]'+(2-1)2=0,又可得 2-11 k=k,kp0F1--23 则k加=写-1解=-3，则直线1：3江+45=0 9)由题可>0测42-08026+，则01=2+208=2+1， 所以5m号0108-02+2+=2+2+ ≥2+22k =4,当且仅当2k=时，等号成立，此时k=号，最小值为4， 2k 2k 此时的直线：x-2y+4=0. 23/23