精品解析：湖南邵阳市第二中学2025-2026学年下学期期末考试高二数学

邵阳市二中2026年上学期期末考试高二数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式求值，即得集合A，再利用并集的定义求解. 【详解】因为，， ，即集合，且集合， 所以. 2. 已知平面向量与不共线，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由平面向量基本定理，不共线时，等式两边对应系数相等， 所以，得方程组，解得. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，再根据，两边平方化简即可求解. 【详解】由题可得， 因为，所以 即， 即， 即，得到. 4. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 5. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. 6. 已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 7. 已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）. A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出， 令，即可得到满足不等式的最小整数. 【详解】解：由题意可知：， 即， 即， 又， ， 即数列是以首项为9，公比为的等比数列， ， 即， ， ， 则， 即， 又， 满足不等式的最小整数， 即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式. 8. 甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析单次操作中不同事件的概率，结合条件概率、全概率公式推导各选项可得A、B、C；对于递推型概率，构造等比数列求解通项公式，可得D. 【详解】初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红. 选项A：一次操作后，甲盒恰有1黑球（事件）的情况： 从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑. 甲取红的概率为，乙取红的概率为；甲取黑的概率为，乙取黑的概率为. 故，A正确； 选项B：表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下， 第一次操作后甲盒有0黑球”的概率. 第一次操作后甲盒有0黑球（）：甲取黑、乙取红，概率. 第二次操作后甲盒有1黑球（）的情况：若发生，甲盒0黑3红，乙盒2黑1红， 此时从甲取红、乙取黑的概率为，故. 若发生，甲盒1黑2红，乙盒1黑2红，此时（同）. 若发生，甲盒2黑1红，乙盒0黑3红，此时（甲取黑、乙取红的概率为）， 由全概率公式：， 由条件概率公式：，B错误； 选项C：表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率， 由概率的加法公式：， 其中， 代入得：，C正确； 选项D：递推关系：， 整理为：，初始值， 故，因此， 即，D正确. 二、多选题 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以 ，故D正确. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【解析】 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确. 11. 已知是定义在R上的奇函数，，，若为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由为偶函数、为奇函数推得的对称轴与对称中心，进而确定周期为4，再赋值求、、，最后利用周期化简求和、判断选项正误. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，所以，所以. 又为奇函数，所以，所以， 将替换为， 得，所以， 所以的周期为4，且. 对于选项A：在中，令，得. 又，所以，A错误； 对于选项B：，B正确； 对于选项C：，C正确； 对于D：当时，， ， ， ， 所以， 所以，D正确. 三、填空题 12. 椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【详解】椭圆标准方程为， 表示焦点在轴的椭圆，且，，所以， 所以椭圆的离心率为. 13. 展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，设是展开式的第3项，若在上恒成立，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式系数最大得，从而可知解析式，分离参数得， 构造函数，即在上，从而可求得取值范围. 【详解】在的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大， 则的展开式共6项，则，展开式的第3项为， 在上恒成立，所以， 在，，即， 令，即，， ，当 ，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以实数的取值范围是. 14. 关于函数. ①的一个周期为 ②的图像关于中心对称 ③的最大值为2 ④在上的所有零点之和为 以上说法正确的有______. 【答案】①② 【解析】 【分析】根据周期性和对称性的定义，即可判断①②；再根据正弦函数的最值，即可判断③；利用三角函数恒等变换化简函数，再求函数的零点，即可判断④． 【详解】，所以①正确； ，所以②正确； 若最大值为2，则，， 当，，此时，，，故③不正确； ， 令得，所以或， 又，，所以或或 解得或或， 即在上所有零点之和为，故④不正确. 四、解答题 15. 记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． （1）求角 ； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解； （2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积. 【小问1详解】 已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 已知，，， 由余弦定理，代入得， 所以， 则面积为：. 16. 在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且 ， ． （1）求证：． （2）平面与平面夹角的余弦值． （3）直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图： 可得 , 所以，， 所以， 因此， 即. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)以为原点，建立空间直角坐标系，求出和的坐标，通过计算两个向量的数量积即可判断垂直关系； (2)分别求出平面和平面的法向量，所以利用向量夹角公式计算法向量夹角的余弦值即可； (3)求出直线的方向向量和平面的法向量，再由线面角的向量公式代入计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知， 设 为平面的一个法向量， 则  ，令，得， 即, 又易知，则 ，， 设平面的法向量， 可得 ，令，得， 即， 设平面和平面的夹角为，， 可得， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 易知，则，， 设直线和平面的夹角， 因此, 即直线与平面夹角的正弦值为. 17. 已知等差数列的前项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项和公差，从而列方程组求出首项和公差，进而得到数列的通项公式； （2）对求导后，可知是等差乘等比结构的求和问题，用错位相减法即可计算出结果． 【小问1详解】 由数列为等差数列，设首项为，公差为， 又对恒成立，所以有， 联立， 即， 解得 所以 ， 故数列的通项公式为． 【小问2详解】 由， 则， 所以， ， 两式相减得： ， 所以． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程； （3）由题意可知，设点，将直线、的方程联立，可求出点的纵坐标，结合韦达定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意可得，该椭圆的离心率为，可得， 所以， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 若直线与轴重合时，则轴经过，，不符合题意； 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 故直线的方程为或， 即或. 【小问3详解】 由题意可知，设点， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得，即， 解得， 由（2）可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 故的面积为， 即面积的最大值为. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，对恒有，求实数的取值范围． （3）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，按分情况讨论，利用导数分析函数单调性； （2）根据的单调性，结合已知条件转化不等式为，进而求出实数的取值范围； （3）转化不等式为，分离参数得，构造函数，把问题转化为求最小值的问题，进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 函数定义域为，求导得， 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 已知，由（1）知，在上单调递增， 不妨设，则等价于， 整理得， 则在单调递减，即在上恒成立； 求导得，即对任意恒成立， 在上单调递减，最大值为1， ，解得， 综上，． 【小问3详解】 不等式整理得， 分离参数得：， 令，则， 令，求导得，令，解得， 当且仅当时等号成立，故在上单调递增， 则，即，则， 移项得， ，当且仅当时等号成立， 令，求导得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 是极小值，也是最小值，最小值为， 当时，，故，结合在上单调递减， ，由零点存在定理，内有一个零点， 故， 综上可知，，故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市二中2026年上学期期末考试高二数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量与不共线，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）. A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 8. 甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（    ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 11. 已知是定义在R上的奇函数，，，若为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 椭圆的离心率为________． 13. 展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，设是展开式的第3项，若在上恒成立，则实数的取值范围是_____________． 14. 关于函数. ①的一个周期为 ②的图像关于中心对称 ③的最大值为2 ④在上的所有零点之和为 以上说法正确的有______. 四、解答题 15. 记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． （1）求角 ； （2）若，，求的面积． 16. 在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且 ， ． （1）求证：． （2）平面与平面夹角的余弦值． （3）直线与平面夹角的正弦值． 17. 已知等差数列的前项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，对恒有，求实数的取值范围． （3）若，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $