精品解析：湖南省邵阳市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次周末大练习数学试题

2024年邵阳市一中高二年级第二次周末大练习 数学 命题：高二年级备课组 考试时间：2024年6月30日 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解. 【详解】由，有，即，所以； 由令，根据二次函数的性质有， 所以，又因为，所以，； 所以. 故选：D 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先计算时的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 当时， ，即 解得 所以“”是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 复数的虚部是（ ） A. 1012 B. 1011 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可. 【详解】因为， ， 所以，① 因为 ，所以，， 所以化简①可得， 所以虚部为， 故选：D. 4. 若实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 5. 已知展开式中各项系数之和为，则其展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，求出的值，然后根据二项式的通项公式，结合已知进行求解即可. 【详解】由题意知，当时，则有，所以 ， 展开式中项为， 项的系数为. 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了数学运算能力，注意利用二项展开式的通项公式和多项式的乘法来计算.. 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可. 【详解】解：因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和差角公式以及弦切互化公式即可求解. 【详解】， 故， 故， 故选：A 8. 圆锥曲线的发现与研究起源于古希腊，阿波罗尼奥斯（前262-前190）的《圆锥曲线论》全书8篇，共487个命题. 16世纪天文学和物理学揭示了圆锥曲线是自然界物体运动的普遍性形式. 17、18世纪随着射影几何学和解析几何学的创立发展，18世纪40年代瑞士数学家欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述. 现有圆锥顶点为，底面圆心为，母线与底面直径的长度相同. 点在侧面上，点在底面圆周上，为底面直径，二面角为. 已知平面与圆锥侧面的交线是某椭圆的一部分，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，确定椭圆的长轴长和椭圆上一点，求出再求，可得椭圆的离心率. 【详解】 如图： （图一）为空间几何体的直观图，（图二）为平面截空间几何体的剖面图，（图三）为以椭圆长轴所在直线为轴，长轴中垂线为 轴的平面图形. 易得(图二)中线段的长为椭圆长轴长，不妨设圆锥底面半径为2，则由题意可知为正三角形，，， 所以，所以，所以，所以 所以在（图三）中，将代入中解得， 所以，所以. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比．现从袋子中随机摸出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用超几何分布及二项分布的期望公式计算判断A；求出概率判断BCD. 【详解】对于A，分别服从超几何分布和二项分布，而摸到黄球的概率为， 则，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，， ，因此，D正确. 故选：ABD 10. 如图，在正方体中， ，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（ ） A. 存在唯一点，使得 B. 存在唯一点，使得直线 与平面所成的角取到最小值 C. 若，则三棱锥外接球的表面积为 D. 若异面直线 与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分 【答案】BCD 【解析】 【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点位置，判断选项A；几何法找线面角，当角最小时确定点位置，判断选项B；为中点时，求三棱锥外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点的轨迹，判断选项D. 【详解】对于A选项：正方形中，有 ， 正方体中有 平面， 平面，， 又，平面，平面， 只要平面，就有，在线段上，有无数个点，A选项错误； 对于B选项：平面，直线 与平面所成的角为，，取到最小值时，最大， 此时点与点重合，B选项正确； 对于C选项：若，则为中点， 为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥外接球的球心到平面 的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为 ，C选项正确； 对于D选项：以D为原点，的方向为轴， 轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，则有，， 有，化简得 ，是正方形内部(含边界)的一个动点， 所以的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是R上的奇函数 D. 是R上的奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误. 【详解】解：已知为偶函数，可知关于 对称， 所以关于对称， 因为是奇函数，可知关于对称， 所以关于对称， 又因为，则，即， 所以与关于对称， 因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为 ， 所以关于对称，关于直线 对称，是偶函数， 而关于对称，，又， 则，，， 即是周期为4的偶函数，故C选项错误； 由关于直线 对称，，关于对称，， 则，， 所以，即是周期为4的偶函数， 由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数， 同理，由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数， 所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确； 由于关于对称，，，则， 所以，故A选项正确； ，故B选项错误； 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的对称性得到函数的奇偶性及周期性，再利用复合函数的导数可得导函数的性质进而即得. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知12件产品中有4件次品，先后取出3件产品，若取出的后两件产品为正品，则先取出的一件为次品的概率是__________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】设相应事件，求，结合条件概率公式运算求解. 【详解】设“取出的后两件产品为正品”为事件A，“先取出的一件为次品”为事件B， 由题意可知：，， 所以所求概率. 故答案为：. 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令 ，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 14. 已知直线是曲线和的公切线，则实数____________. 【答案】3 【解析】 【分析】因为中不含有参数，所以根据可求得的值，再根据的切线为求得参数，要注意切点既在曲线上也在切线上的隐含条件. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为切点既在曲线上也在切线上，所以. 又，所以，且， 即切线的斜率且. 由解得，所以切线为. 设直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 又切点既在曲线上也在切线上，所以. 由解得. 故答案为：3 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 合计 优秀 良 主播的学历层次 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ （2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势： （3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数 的概率分布和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联 （2），认为事件条件下发生有优势 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）根据所给的公式，结合条件概率公式可得，结合表中数据即可求解； （3）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式求解即可， 【小问1详解】 零假设为：直播带货的评级与主播的学历无关， 由题意得， 所以根据小概率值 的独立性检验， 可推断不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联； 【小问2详解】 因为， 因为， 所以认为事件条件下发生有优势； 【小问3详解】 按照分层抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人，随机变量 的可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以 的分布列为： 1 2 3 所以数学期望. 16. 已知的内角的对边分别为. （1）求 的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦求解出，从而求解出. （2）利用三角形的面积公式求解出 ，结合和余弦定理求解出，从而求解出的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 可得， 即， 因为，可得，所以，即， 所以 【小问2详解】 由（1）知，因为的面积为， 可得，即，解得 ， 又因为，由余弦定理得 ， 整理得，解得， 所以，所以的周长为. 17. 已知函数 ． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数 在 有两个极值点，求实数t的取值范围． 【答案】（1）当时，不具有单调性； 当 时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）分， 和，求定义域，求导，得到函数单调性； （2）求定义域，求导，得到，即 在 有两个变号零点，求导得到 ，分， ，和，讨论函数单调性和最值情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 当时，为常数函数，不具有单调性； 当时， 的定义域为， ， 若 ，令得 ，令得 ， 故 在上单调递增，在上单调递减， 若，令得 ，令得 ， 故 在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，不具有单调性； 当 时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，定义域为， ， 在 有两个极值点， 即 在 有两个变号零点， ， 若，则 ， 故 在上单调递增， 所以 在 有没有两个变号零点，舍去； 若 ，令 得 ， 若 ，则 ，此时 在上单调递增， 所以 在 有没有两个变号零点，舍去； 若，则 ，此时 在上单调递减， 所以 在 有没有两个变号零点，舍去； 若，则令 得 ，令 得 ， 故 在上单调递减，在上单调递增， 令 ，由于，解得 ， 又趋向于0时，趋向于1， ， 故当时，满足 在 有两个变号零点， 故实数t的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 18. 已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为 ，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与 重合），直线与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：点在定直线上. 【答案】（1）； （2） 显然直线不垂直于y轴，设直线 ， 由消去x并整理得 ， ，设， 则，且有， 直线 ，直线 ， 联立消去y得 ，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此 ， 所以点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得解. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，再求出直线与直线的交点横坐标，并结合韦达定理计算即得. 【小问1详解】 依题意，，半焦距 ，则 ， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O． （1）求证：MN∥平面PCD； （2）二面角B－PC－D的平面角为θ，若． ①求PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点N到平面CDP的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）① ②. 【解析】 【分析】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，证明，然后证明 平面PCD； （2）①作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出，，再由条件可证明所求线面角为，利用直角三角形求大小即可； ②由平面PAC转化为求O到平面距离，作出垂线段，利用等积法求解即可. 【小问1详解】 取PD得中点E，连接ME，CE，如图， 为PA的中点，， 为的中点且四边形ABCD为菱形，. ， 四边形MNCE为平行四边形， , 又MN平面PCD, CE平面PCD, MN∥平面PCD. 【小问2详解】 ①连接PO，过作于，连接， 由PB＝PD，是的中点，， 由菱形知，又 ， 平面 ， 平面， 平面平面，且交线为， 直线 在平面上的射影为，即PA与底面ABCD所成角为. 平面 ，，且在平面 上的射影为， ，又PA⊥PC，，是的中点， 是PC的中点， ， 由知， , ， 为二面角B－PC－D的平面角， , 即，解得，, ， ，， 即PA与底面ABCD所成角的大小为. ②连接，过作于， 由，平面 ，平面 ，平面 点N到平面CDP的距离即点到平面CDP的距离， ， 平面， 平面 平面 ,且是交线， ，平面 ， 在 中，，，， 由等积法可得，即， 即点N到平面CDP的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年邵阳市一中高二年级第二次周末大练习 数学 命题：高二年级备课组 考试时间：2024年6月30日 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 复数的虚部是（ ） A. 1012 B. 1011 C. D. 4. 若实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知展开式中各项系数之和为，则其展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥曲线的发现与研究起源于古希腊，阿波罗尼奥斯（前262-前190）的《圆锥曲线论》全书8篇，共487个命题. 16世纪天文学和物理学揭示了圆锥曲线是自然界物体运动的普遍性形式. 17、18世纪随着射影几何学和解析几何学的创立发展，18世纪40年代瑞士数学家欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述. 现有圆锥顶点为，底面圆心为，母线与底面直径的长度相同. 点在侧面上，点在底面圆周上，为底面直径，二面角为. 已知平面与圆锥侧面的交线是某椭圆的一部分，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比．现从袋子中随机摸出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 如图，在正方体中， ，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（ ） A. 存在唯一点，使得 B. 存在唯一点，使得直线 与平面所成的角取到最小值 C. 若，则三棱锥外接球的表面积为 D. 若异面直线 与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分 11. 已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是R上的奇函数 D. 是R上的奇函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知12件产品中有4件次品，先后取出3件产品，若取出的后两件产品为正品，则先取出的一件为次品的概率是__________． 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 14. 已知直线是曲线和的公切线，则实数____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 合计 优秀 良 主播的学历层次 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ （2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势： （3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数 的概率分布和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知的内角的对边分别为. （1）求 的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 17. 已知函数 ． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数 在 有两个极值点，求实数t的取值范围． 18. 已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线 与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：点在定直线上. 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O． （1）求证：MN∥平面PCD； （2）二面角B－PC－D的平面角为θ，若． ①求PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点N到平面CDP的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $