山东省聊城第一中学老校区2026届高三下学期4月份调研测试数学试题

老校区2026届4月份调研测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若集合M={x|一1<x1},N={x|0≤x<2},则M∩N= () A{x|-1<ax<2} B.{x|0≤x<1} C.{x|0x<1) D.{x|-1<x<0} 2设，为共轭复数，若一=43，兰∈R,则= () A-√3 B.3 C.23 D.4√3 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间（一4,0）上单调递增，则下列关系式 中一定成立的是 () Af(2)-f(-1)>0 B.2f(1)+f(-1)>0 C.f(-3)-f(1)>0 D.f(1)·f(-1)≥0 4已知函数f代)=2十2,8()=1ogx+号红，A()=+2x的零点分别为x1,,西，则 ,x2,x3的大小关系为 () A.>x>x3 B.x>>x C.Is>x1>x D.x>x>x 5,已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为120°.设t为实数，若向量a+2b 与2a十b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为 () A.(13,3图，-13+133 3 E(0,13-133 C.(3-133,2U(2,18+) 3 13+133,+∞) 3 6.设a为不等于1的正实数，若不等式logx>tanx对任意x∈(0，)都成立，则a的取值范 围为 () A(1333,-13+133 3 3 数学试题（共5页）第1页 E(0,13-133 3 c.(3-133,2U2,13+☒) r13+13,+∞ 3 6. 设a为不等于1的正实数，若不等式logx>tanx对任意x∈(0，)都成立，则a的取值范 围为 () A(1,+o∞) B(o,] c(任， D.[, 7. 对任意正实数，少，记m=min,16十9呼人这里，min(a,b表示a,b中较小者).当 m取得最大值时，xy的值为 () A话 B吉 c D青 8. 已知曲线C的方程是x|x一yy川=1.设过点A(1,0)的直线l的倾斜角为a,若直线l与曲 线C恰有3个不同的交点，则tana的取值范围是 () BR(-要，) c(竖， D.(竖，1U1,+) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某网络平台推荐的电影作品共1000部，从中随机抽取n部，统计其评分数据，将所得的评分 数据分为8组：[66,70)，[70,74)，，[94,98]，并整理得到如图所示的频率分布直方 图.已知样本中评分落在[70,74)的电影数为32，则下列说法正确的是 () A.n=200 B.估计有20%的电影评分为90分及以上 C.样本数据的第60百分位数为84 D.在评分落在[74,78)和[94,98]内的电影中，随机抽取两个，则调查对象来自不同分组的 概率为号 数学试题（共5页）第2页 频率/组距 0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0667074788286909498评分 (第9题图) 10.已知各项均为正数的数列(a.)满足a1=l,且a+1一aa+1一a=0(n∈N°).若6n= 1 一，记T,为数列{b.}的前n项和，则下列结论正确的是 （) am十a+ A{a.}是递增数列 B.{ab.}是常数列 C.am≥n D.T.<1 11.如图，已知长方体ABCD-A1BCD中，AB=BC=4,AA1=2.若点P是平面A1BC上一 动点，且DP·PB-O,球O是以BD为直径的球，则下列结论中正确的是 A球0的体积为4y4 B点0到平面A,BC的距离为号 C符合题中条件的所有点P所围成的平面区域面积为： D.PA+PC的最大值为5+√5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 l2.设A,B∈[0，x),若sinA十sinB=sinA·sinB,则cos(A+B)的值是 13.在等边三角形ABC中，点B,D分别位于边AC所在直线的两侧.已知AD=1,CD=2,当 四边形ABCD的面积取到最大值时，等边三角形ABC的边长是 14设a为正实数，若对任意的实数>1，不等式二>20严都成立，则a的取值范围为 ax 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对应边为a,,G已知6=2a,cosB=号 (1)求4的值， 数学试题（共5页）第3页 (2)求snAB+s血的值 16.(15分) 如图，在四棱台ABCD-A1BCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，且B1C=1. (1)求证：AA∥平面BDC. (2)若AA1⊥BD,BC=CC1=2, ()求证：平面BDC⊥平面ABCD; (i)求BB1与平面BDC1所成角的正弦值， 17.(15分) 某篮球比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮2次，记投中次数为m,但如果2次均未投中，m=0. 第二阶段由另一名队员投篮3次，每次投中得1分，没有投中得0分；但如果3次全中，得 5分.记这名队员的得分为n,那么该队的比赛总得分为m·n, 某队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为9，各次投中与 否相互独立. (1)若=0.4，q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求该队的比赛成绩为0分的概率 (2)假设0<p<q,为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 18.(17分) 在平面直角坐标系0中，设B,品分别为椭圆C:营+学=1的下顶点、上顶点。若经 过点A(0,一2W2)的直线l交椭圆于第一、四象限的两点P(x1,Ⅵ)，Q(x2,y2)(异于点 B,B2).记直线PB,的斜率为阳，直线PB2的斜率 为kB kPB,一kPB2 (1)求证：tan∠B,PB,=1+k,·km, (2)若2tan∠BPB2=tan∠B,QB2,求2的值. (3)设R为直线QB1与PB2的交点，求证：点R在一条定 直线上 数学试题（共5页）第4页 19.(17分) 已知数列1a满是a1=号，。+=2+aaeN). antl an (1)求证：am>0. (2)记6=1， an (i)求证：bn+1>bm≥3； (i)求证：对任意实数p>2,存在正整数s使得b,>力. 3设c为正实数，若对任意正整数m≥2，都有)a<c,求c的最小宜 数学试题（共5页）第5页 数学学科参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号12345678 答案BCD 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 题号9 10 答案 BC ABD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1 13.V5+23 14.后，+) 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.①求a/c的值.由余弦定理，得b2=a2+c2-2 accosB..因为b=2ac0sB=号所以3a=c2-2ac×号即 15a+6ac-5c2=0,整理，得15白2+6的-5=0，解得=-3+2或3-2@（舍去.故的值为-3+▣ 15 15 15 (②求si血4：+sm的值.由正弦定理及b=2a得sinB=2sinA因为cosB=>0,得B为镜角，即0<B< 行所以sinB=V1-cosB-言从而sinA=号于是sm:+sin=sim4:+cos4=(sm+c0s宁(c0s号 B 3=v1+mv-m-1+号日=号 16.1)求证：AA1I平面BDC1.如图，连接AC,A1C1,设AC n BD=0,连接C0.在四棱台ABCD-ABC,D中， 延长AA,CC交于一点，即A,A1,C,C四点共面.因为平面ABC,D:I平面ABCD,所以A,C IAC.又由题意， A:C=AC=V2,则A,C:=A0.所以A:C=A0,从而四边形A:A0C为平行四边形，得AA:IC0.又因为 C10c平面BDC1,AA:￠平面BDC1,所以AA1I平面BDC (2)0求证：平面BDC1⊥平面ABCD.因为AA2⊥BD,AA1IC0,所以C01BD.在△C,0B与△C0C中，因为 C10=C0,C,B=CC.0B=0C所以△C,0B兰△C0C,从而∠C,0C=∠C0B=90°.故C,0⊥0C.又因为 C0LBD,BDn0C=0,BD,0Cc平面ABCD,所以C,0L平面ABCD.由C,0c平面BDC,所以平面BDC⊥平 面ABCD (m求BB:与平面BDC,所成角的正弦值.以0为原点，分别以OB,0C,0C为x,y,z轴的正方向建立空间直角 坐标系，平面BDC,的-个法向量m=(010,BV2.0).B,(得，-9V②.则丽=(-县-只.设BB, 7BDC所成的角为0，则sm0=Icos(BB.,m啡cos(BB,m=部温=-故sim 17.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求该队的比赛成绩为0分的概率.甲、乙所在队的比赛成绩 为0分，则甲在第一阶段投中0次；或者甲在第一阶段投中1次或2次，但乙在第二阶段投中0次.所以比赛 成绩为0分的概率为P=(1-0.42+[1-(1-0.42](1-0.5)3=0.44 (2)假设0<p<q为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？若甲先参加第一阶 段比赛，则比赛成绩X的数学期望为E(X)=2pq(2q+3).若乙先参加第一阶段比赛，则比赛成绩Y的数学 期望为E(Y)=2qP(2p2+3).于是E(X)-E(Y)=4pq(q+p)(q-p).因为0<p<q得q-p>0.所以 E(X闪-E(Y)>0.故应该由甲参加第一阶段的比赛. 18()求证：taLB,PB2=ee-ke2设直线PB,的倾斜角为日，直线PB2的倾斜角为日，那么tan9,= 1+kpB:KPB2 kpB,tan0,=kpB2,且∠BPB2=8,+(T-8,),所以tan∠BPB2=tan[9,+(T-日)]= tan8,二tan日2=kpB-kp2 1+tan 8 tam 02 1+kpB:kpB2" (2)若2tan∠B,PB,=tn∠B,QB,求的值.由点P(x).Q(x2y)在椭圆C上，知y匠-4=-x好y月- 4=-若.于是tam∠BPB:=是同理可得tam∠B,QB,=号由2am∠B,PB,=tm∠B,QB,得2×号=号即 ×=2x,故号= (3)设R为直线QB与PB2的交点，求证：点R在一条定直线上.设直线1的方程为y=-2V2,联立椭圆方 程得(1+2k2)x2-8V2kx+8=0.直线PB2的方程为y=二x+2,直线QB,的方程为y=2+x-2.联立 Ka 两条直线方程，代人=-2V2(i=1,2)并整理，得y=-V2.因此R在定直线y=-V2上. 190求证>0由题意.得点=品+2=记-+号分>0所以对任意m≥2都有>0又 a>0,故对任意n,都有an>0. 20求证：ba+:>bn23.由题意，得b+1-ba=(b-2)220,所以ba+12b.又b:=3,故b23.于是由 bn+1+bn=2+得bh+1+bn>2bn,从而b+1>bn.故对任意n都有b+1>bn≥b:=3. (仙)求证：对任意实数p>2,存在正整数s使得b,>p.由（句知b+:-b=(bn-2)2≥所以bn-b≥ m-1),即b≥+因此.对任意实数p>2,令牛>p,解得n>2p-5.故取s=[2印-+2，必有b。> p. 设c为正实数若对伍意正整数m≥2都有爱ak<c求c的最小值由间知一=二志则 爱=发片=六二。=1-之由b,≥3得2爱k<1所以符合题意的c的最小值≤1假设 c<1由2=1-b二<c得b如<2+品。而由2知对于2+去一定存在正整数g使b,>2+ 1 二。矛盾.故c的最小值为1.