精品解析：山东烟台市某校2025-2026学年高三下学期第一次阶段测试数学试题

第一次调研卷数学试题 一、单选题 1. 已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 2. 已知复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由， 则. 3. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将与化简，分别可得与，再利用充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】由，，若，则，故； 若，则，故； 取，，此时有，但，不能得到， 故“”不是“”的充分条件； 若，则，即， 故“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的必要不充分条件. 5. 在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种． 6. 如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（ ） A. 18 B. C. D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可. 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积. 故选：B 7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件，可求得函数关于轴对称，关于中心对称，周期为4，再根据函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 . 8. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图象后可得、、的关系，再求出的范围后可用表示出，即可得的取值范围. 【详解】作出图象如下： 由，且，则， 即有，，且，则， 故， 则. 二、多选题 9. 已知函数，则（    ） A. B. 函数的零点为 C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据求出的值，再令求函数零点，对求导分析曲线上切线倾斜角的范围，根据导数判断函数单调性，进而判断各选项的正误. 【详解】已知，所以，解得，A正确； 所以，令（），则， 化简得，即，解得，B错误； 对求导得，其中， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 设切线倾斜角为，则斜率，又， 所以，故倾斜角不小于，C正确； 由知：在和上单调递增， 但不能直接得出，且时，， 如，时，，D错误. 10. 在棱长为1的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（ ） A. 点的轨迹长度等于 B. 平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 异面直线与，所成角的余弦值的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】构建空间直角坐标系，分别以所在直线为轴，轴，轴， 则可得， 因为点在平面（含边界）一动点，则可设点，设为点到平面的距离. 对于A，根据题意可设平面的方程为， 则有，解之可得，令，则可得， 所以平面的方程为， 再根据点到平面的距离公式可求出， 而，所以可求出， 当时，，当时，，而，即点为一条线段， 由点的轨迹长度为，故A正确； 对于B，因为，，所以可知平面，所以 同理可证，是平面法向量，， 根据平面，则有，可求出， 而由A可知，有矛盾，故可判断B错误； 对于C，法（一）直线与平面所成角为，则， 而为点到平面的距离， 根据两点之间距离公式可求出， ，要使最大，则只需最小即可， 当时，取最小值为，所以， 法（二）点为中点，点为中点，根据图形可知当点位于线段中点时， 线段最短，， 此时直线与平面所成角最大，故所成角的正弦的最大值为，故C正确； 对于D，法（一）设直线与所成角度为，而 根据异面直线所成角的余弦公式可知， 由C选项可知， 所以， 令，化简后可得， 令，， 则， 所以在上大于，所以为单调递增， 则，则， 所以最小值为， 法（二）平移到根据图形可知当点位于点时， 异面直线与所成角最大，其余弦值最小，最小值为，故D正确. 11. 已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（ ） A. 圆与直线相切 B. 圆的面积的最小值是 C. 的最大值是 D. 存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】对AB直接用抛物线的定义判断可得，对CD用抛物线的定义及距离公式即可得. 【详解】如图：过点作于点，设，则，. 对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径， 所以圆与直线相切，A正确； 对于B，因为圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的面积的最小值是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以， 令，则， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 对于D，，， 化简得，得，即，再代入 得，所以存在或使得成立，D正确. 三、填空题 12. 设．若在的二项展开式中，项的系数为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，得到，所以，解得. 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【详解】因为与角的终边关于轴对称，所以， 又因为，所以， 令，则. 所以， 所以当时，单调递减， 所以当时，取得最大值1. 14. 已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出数列以及数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，最后利用错位相减法即可求解. 【详解】已知数列的前项和， 当时，； 当时，，当时也满足， 因此数列的通项公式为， 则数列是偶数数列：，数列为， 因此数列和数列的公共项为，即数列的通项公式为， 则数列的通项公式为， 则，， 两式相减得， 故. 四、解答题 15. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若D是边AC上一点，且，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，从而即可求解. （2）利用三角恒等变换求得，利用正弦定理列方程即可求解. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理，得，又，所以. 【小问2详解】 设，因为，，所以， 所以， 在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得，因为， 所以，所以， 所以. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）先求得函数的导函数，然后根据，两种情况，讨论的单调性; （2）由题可知，在时恒成立，则令，结合（1）判断函数的单调性求其最小值，求得的取值范围. 【小问1详解】 由题知： 若，，在上单调递增 若，令解得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上， 当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； 【小问2详解】 依题意，时，恒成立，即在上恒成立， 令 ，则 = ， 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则有，即， 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为. 17. 某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场． （1）求面试号码为3的学生来自A校的概率； （2）记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望； （3）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． 【答案】（1）； （2） 15 20 25 30 ； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出面试号码为3的样本空间中样本点个数，再求出面试号码为3的学生来自A校的事件所含样本点个数即可. （2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. （3）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求出概率. 【小问1详解】 面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果， 所以面试号码为3的学生来自A校的概率为. 【小问2详解】 令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则， 可得的所有可能取值为，的所有可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为 15 20 25 30 数学期望. 【小问3详解】 依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件， 而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件， 与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥， 而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件； 而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有， 所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为. 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率，即可求出椭圆方程. （2）设直线，与椭圆联立方程，结合韦达定理得到的中点坐标，利用消参法求轨迹方程. （3）直线与椭圆方程联立，表达出斜率，根据等量关系，即可求出. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：， 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数得：， 所以中点轨迹方程为：. 【小问3详解】 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：，即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：. 19. 已知圆心在原点，且与直线相切，它与x轴分别相交于A，B，过点的直线l交圆O于M，N. （1）求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程； （2）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由； （3）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明. 【答案】（1）最小值为， （2）存在， （3）重合，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由与直线相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离求出圆的半径，从而得到圆O的方程，分别按照直线l的斜率为0和斜率不为分别求解，当斜率不为时，设，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则代入数值及的范围得解； （2）易知直线l的斜率不为0，设，即，由（1）知，，求出，利用对勾函数的单调性可以得到，建立空间直角坐标系，如图，求出平面BMN的法向量和平面ONQ的法向量为，利用向量的数量积求出，得到的坐标，从而得到的值. （3）法一：设，，，通过联立和，消去得到的一元二次方程，求出，利用韦达定理得到，，计算得到，设出直线的方程，这两个方程通过联立方程组解得的值，结合，得到的值，从而得到点T在定直线上，求出的方程，代入，得到的一元二次方程，设，，利用根与系数的关系求出，，计算得到，从而得到S在定直线上，从而得到与重合.法二：写出直线的方程，过定点，从而得到，，，通过联立方程组得到；写出直线的方程，过定点，从而得到，，，通过联立方程组得到，从而得到与重合. 【小问1详解】 由题意得圆的半径，则圆O的方程为， 当直线l的斜率为0时，此时， 当直线l的斜率不为0，设，即， 则圆心到直线的距离， 又，当且仅当时等号成立， 此时直线l的方程为， 所以弦长MN的最小值为，直线l的方程为. 【小问2详解】 易知直线l的斜率不为0，设，即， 由（1），，， 又，化简得， 令，则，所以， 又，故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时， 建立空间直角坐标系，如图，则，，， 所以，， 设平面BMN的法向量为， 则，即，取，则， 设，其中， 则，， 设平面ONQ的法向量为， 则，即，取， 易得， 所以， 解得，所以，则. 【小问3详解】 法一：设，，，联立， 化简得， ，所以，， 所以， 设，，联立， 得， 又，代入得， 即点T在定直线上， 设线段的中点为，则， 因为在圆上，则有 ， 联立，化简得， 设，，则，， 所以，同理，S在定直线上，所以与重合. 法二： ，过定点， 所以，，，联立得：； ，过定点， 所以，，，联立得：； 所以与重合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次调研卷数学试题 一、单选题 1. 已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 54种 6. 如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（ ） A. 18 B. C. D. 34 7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 8. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（    ） A. B. 函数的零点为 C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D. 若，且，则 10. 在棱长为1的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（ ） A. 点的轨迹长度等于 B. 平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 异面直线与，所成角的余弦值的最小值为 11. 已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（ ） A. 圆与直线相切 B. 圆的面积的最小值是 C. 的最大值是 D. 存在点，使得 三、填空题 12. 设．若在的二项展开式中，项的系数为，则__________． 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为______. 14. 已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 四、解答题 15. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若D是边AC上一点，且，，求的值． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 17. 某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场． （1）求面试号码为3的学生来自A校的概率； （2）记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望； （3）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 19. 已知圆心在原点，且与直线相切，它与x轴分别相交于A，B，过点的直线l交圆O于M，N. （1）求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程； （2）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由； （3）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $