2.5.1 直线与圆的位置关系 学历案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

枣庄三中新城校区高二年级上学期数学学历案（第31期） 主备人：马艳萍 审查人：于传伟 使用日期： 2.5.1直线与圆的位置关系 自主学习【学】 【学习目标】 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，培养数学抽象的核心素养； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 重点：判断直线与圆的位置关系 难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 【自学评价】 1.圆的标准方程： 圆的一般方程： 2.直线与圆的位置关系： 切线方程的求法： 弦长公式： · 师生研学【研】 （一）新知导入 “海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采. 这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离. 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。 （二）直线与圆的位置关系 【思考1】　怎样用几何法即用圆心到直线的距离d同圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系？ 【思考2】直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？　 ◆直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点 两个 一个 零个 判定 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 方法 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【做一做】1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为________ (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________ (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为________ 2.直线与圆相切，则实数等于（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 3.若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是( 　 ) （四）典型例题 1.直线与圆的位置关系的判断 例1.已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 【类题通法】求直线与圆相交时弦长的两种方法： 图1　　　　　　图2 (1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2.即|AB|＝2 .一般地出现直线与圆相交的弦长问题常用几何法． (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|，其中k为直线l的斜率．此代数法运算较麻烦． 2.直线与圆相切问题 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. 例3 过圆 上一点M(2，-3)作圆的切线，求切线方程. 4. 与圆有关的最值问题 例4. 由直线y=x+1上任一点向圆(x－3)2+y2=1引切线，则该切线长的最小值为( ) A.1 B. C. D.3 变式：已知P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB 是圆(x－1)2+(y－1)2=1的两条切线，A、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB面积的最小值是( ) A. B.2 C. D.4 训练提升【练】 巩固练习1.已知直线l: y=x+1 和圆O: x2+y2=4 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值. 巩固练习2.已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为8，求直线l的方程. 巩固练习3. 巩固练习4.已知点在圆的外部，则直线与的位置关系是( ). A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 巩固练习5.过点P(3,－1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为_________________. 巩固练习6.过点P(1, 3)与圆C: (x－4)2＋(y－2)2＝10相切的切线方程为____________. 巩固练习7.已知圆C: x2＋y2＝4. (1) 过点 与圆C相切的切线方程为______________________； (2) 过点(2,3)与圆C相切的切线方程为________________________. 师生总结【结】 1. 通过这节课，你学到了什么知识？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $