寒假复习试卷 直线和圆的方程-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026学年人教A高二寒假复习《直线和圆的方程》 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线的倾斜角为，则实数值为(    ) A. B. C. D. 2.若直线始终平分圆的周长，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知圆和圆都和轴正半轴相切，且圆心都在直线上，半径之差为，则(    ) A. B. C. D. 4.圆与圆的公切线条数是(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是(    ) A. B. C. D. 6.已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知圆：，圆：，圆上存在点，过作圆的两条切线，，若，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.已知直线过定点，圆的方程为，若是直线与圆的一个交点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.记直线，，则(    ) A. 过定点 B. 的倾斜角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 10.已知圆与圆，则(    ) A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 11.已知点在圆上，点，，则(    ) A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.直线：与直线：平行，则直线与的距离为          ． 13.已知点在圆外其中为常数，则实数的取值范围为           ． 14.在平面直角坐标系中，直线过点且与曲线相切于点，则直线的方程是          ，设是线段中点，长度为的线段在的上方在直线上滑动，则的最小值是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，． 求点的坐标，满足，． 若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 16.本小题分 已知圆圆心在轴上，且过点，两点． 求圆的方程 设点，以线段为直径的圆与圆交于，两点，求线段长度的最小值． 17.本小题分 如图，某海面上有三个小岛面积大小忽略不计，岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆经过三点． 求圆的一般方程 在圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 18.本小题分 已知圆：，直线：，． 求证：对，直线与圆总有两个不同的交点、； 求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； 是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由． 19.本小题分 在平面直角坐标系中，对于直线，不同时为和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数． 已知直线，点，圆． 当时，求和的值． 若点是圆的动点，当时，求的最小值． 设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围． 2025-2026学年人教A高二寒假复习《直线和圆的方程》答案和解析 1.【答案】 解：由题知，，解得． 2.【答案】 【解析】解：圆化为标准方程： ， 因此，圆心为，直线平分圆的周长，说明直线必过圆心， 则，化简得 ． 3.【答案】 【解析】解：根据题意，圆和圆都和轴正半轴相切，且圆心都在直线上， 设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又由半径之差为，即，则． 4.【答案】 【解析】解：由题意可知：圆，即， 可知其圆心为，半径； 圆，即， 可知其圆心为，半径； 因为，即， 所以两圆相交，公切线有条． 5.【答案】  解：如图，可求出直线的方程为， 设点关于直线的对称点为，则解得即，点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程的长为． 6.【答案】  解：如图圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为， 圆的圆心坐标，半径为， 由图象可知当，，，三点共线时，取得最小值， 的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， 即：， ． 故选：． 7.【答案】  【解答】解：圆：的圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为． 若过点作圆的两条切线，切点为，， ，，又， 则四边形为正方形，则， 则的轨迹是以为圆心，半径的圆，其方程为． 若圆上存在这样的点，则圆与有公共点， 则有， 解得． 故选：． 8.【答案】  解：直线可变形为， 令，解得，所以直线过定点． 因为圆的方程为，， 所以点在圆内部，即直线与圆相交，点是圆上的任意一点， 因为，设， 所以 ， 其中，则当时， 取得最大值，且最大值为． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：选项A分析：将的方程化为， 令，解得，故过定点，A正确；  选项B分析：的方程为， 当时，为，倾斜角为非钝角， 当时，斜率，倾斜角为钝角，B错误； 选项C分析：当时，，， 两直线斜率均为且截距不相等，故，C正确； 选项D分析：的条件为，即， 因为的判别式， 故仅当时成立，D正确． 故选： 10.【答案】  【解答】解：圆化为标准方程得，即圆的圆心，半径， 圆化为标准方程得 ，即圆的圆心，半径， 则两圆的圆心距为，故A正确 因为，所以两圆相交，公切线有两条，故B错误 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，故C正确 点到直线的距离 ，则公共弦的长度为，故D错误． 11.【答案】  解：，，过点、的直线方程为，即， 圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离， 点到直线的距离的范围为， ，，， 点到直线的距离小于，但不一定大于，故A正确，B错误； 如图，当过点的直线与圆相切时，满足最小或最大 点位于时最小，位于时最大， 此时， ，故CD正确． 12.【答案】  【解析】解：因为直线：与：平行， 所以，解得，所以直线：，即， 结合：，可得与间的距离． 13.【答案】  解：点在圆外其中为常数， ，解得或． 实数的取值范围是 14.【答案】  解：显然直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为：，即， 直线与曲线相切，， 解得：，因为，根据图象分析，所以， 直线的方程为：． 由可知，直线的方程为：， 如图所示，由勾股定理得，， 所以， 设，则， 即点到和距离的和， 点显然在轴上，关于轴对称点是， 取最小值为． 故答案为：；． 15.【答案】解：设， 由已知得，又，可得 即， 由已知得，又，可得，即， 联立求解得，， ． 设， ， 又，，   解得， ，又， 轴， 故直线的倾斜角为．  16.【答案】解：依题意，设圆的方程为， 将点，代入圆方程得： ，解得： 即圆的方程为：； ，， 以为直径的圆的方程为：， 整理得：， 由知圆的方程为：，即， 得直线的方程为：， 点到直线的距离为，， ，， ，，，， 当时，， 即线段长度的最小值为．  17.【答案】解：依题意，， 设过、、三点的圆的方程为， 则有，解得， 所以圆的方程为； 由知，圆的圆心，半径， 依题意，该船初始位置为点，且该船航线所在直线的斜率为， 则该船航线所在直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离， 所以该船没有触礁的危险． 18.【答案】证明：圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线：的距离． 所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的交点； 解：设弦的中点为， 因为直线：恒过定点， 可知直线的斜率存在， 所以， 化简得：， 它是一个以为圆心，以为半径的圆，且不含点； 解：假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为， 由于圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 化简得，解得或．  19.【答案】解：对于点，直线， 对于点，； 设点，当时，     ， 其中当时，取得最小值，  ； 设点， ， 得， 依题意有，， 由，所以任意实数方程都有解，即的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $