山东省聊城第一中学老校区2026届高三下学期3月份调研测试数学试题

老校区2026届3月份调研测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设a,b是实数，集合A={1,b,a2},B={一1,2十b,2a十3}，若A=B,则a十b的值为 () A-4 B.0 C.2 D.4 2.已知a,B为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则下列说法正确的是 () A若ax∥B,mCa,nCB,则m∥n B.若a⊥B,m⊥a,则m∥B C.若a∥B,m⊥a,n⊥B,则m∥n D.若a⊥B,m∥a,则m⊥P 3.已知a,b是不共线的向量，且AB=a十5b,BC=-2a十8b,CD=3(a-b),则 () AA,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 4.下列命题为真命题的是 A若a>b>1,则e>e B若a>l,则品6>品a C.若a<b<0,则a2<ab<b D.若a<b<0,则cosa<tanb 5.如图1，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=22,D是线段AB的中点.将△ACD沿 CD所在直线翻折，得到如图2所示的三棱锥A'-BCD.若∠A'DB=120°，则三棱锥A'-BCD 外接球的表面积为 () 图1 图2 A.20π B.12π C.8π D.6π 6.设a∈(0，)，若1-4sina=3tana,则sin3a的值为 数学试题（共4页）第1页 A-1 B.1 c号 D司 7.设数列{a.}的各项均为正数，共有m项(m≥5且m∈N“).若对任意正整数≤m,均有 a:·a1-=1,则称数列为“归一数列”.记“归一数列{a}的前n项和为S.已知当n≤罗 时，an=7一2n,则Sn的最大值为 () A器 B c罗 D 8. 设a为实数，已知函数)年+的定义城为R,若f)十f(一)=2在R上 有且仅有3个不同的实数解，则a的取值范围为 () A(一√2，√2) B.(-√2,0)U(0,V2) C.(-√2,0) D.(0,√2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 Q.已知复数：满足1之1=1且≠1，复数。为应数单位》，则 () A当z=i时，w=1 B.存在复数之，使ω=0 C.当之∈R时，w是纯虚数 D.|wl的最大值为√2+1 10.甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.先从甲袋中随机取出2个球 放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球.记A,(i=0,1,2)表示“从甲袋中取出的2个球中含 有个红球”，B表示“从乙袋中取出的球是红球”，则下列结论正确的是 () A事件A,A1,A2两两互斥 B.P(B1A2)+P(B|A2)=1 CPBA)=号 D.P(A IB) 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十2)一2为奇函数，f(2x+1)为偶函数，f(1)=0,则 下列结论正确的是 () Af(x)的图象关于点(2,2)对称 B.f(0)=0 C.f(x)是周期函数 数学试题（共4页）第2页 D.f(1)+f(2)+…+f(15)=30 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在无穷等差数列{an)(n∈N")中，若ap=kg,a,=kp,p≠q,则ap+g的值为 13.若△ABC的三个内角A,B,C满足cosA=sinB=2tan号，则sin(A十F)十anA的值为 14.一动点P到定点(0,1)的距离与到定直线y=4的距离之和为5.若点P的轨迹上恰有三对 不同的点关于定点M(0,m)对称，则m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某公司为了解员工的饮食习惯，在公司中开展调查问卷，并从问卷中随机抽取100份进行分 析，得到下表： 喜欢甜品 不喜欢甜品 总计 女性员工 60 20 80 男性员工 10 10 20 总计 70 30 100 (1)根据表中数据判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“女性员工和男性员工 在选用甜品的饮食习惯方面有差异” (2)现从所抽取的女性员工中利用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人赠 送优惠券，求抽取的2人中至少有1人喜欢甜品的概率。 (3)将频率视为概率，从所有参与调查的员工中随机抽取10人赠送纪念品，记其中喜欢甜品 的人数为X,求随机变量X的数学期望和方差。 附： P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 k。 2.706 3.841 6.635 7.879 n(ad-bc)* K-a+bC+ac6+dD,其中n=a+b十c+d, 数学试题（共4页）第3页 16.(15分) 如图，三棱台ABC-A1B1C中，AB⊥BC,AC⊥BB1,平面ABBA1⊥平面ABC,AB=3, BC-2,BB,=1,设AC与A1C相交于点D,AE-2EB,且DE∥平面BCCB. (1)求三棱锥C-A1B,D的体积 (2)已知平面AB1C与平面ABC的夹角为&，CC与平面 ABC所成的角为B,求证：a十B- 17.(15分) 已知数列{an}中，a1=1,a2-2,an+2一1=3an+1一2a.(n∈N*). (1)求证：数列{a+1一a,十1}为等比数列. (2)求数列{an}的通项公式 (3)记工，为数列侣}的前n项和，求证：对任意≥6，工<+7 18.(17分) 在平面直角坐标系x0中，设m为实数，若双曲线r:三-芳-1(a>0,6>0)的右焦点为 F(c,O),离心率为V2,点F到双曲线T的一条渐近线的距离为1，直线L:x=my十c交双 曲线r于A,B两点 (1)求此双曲线的方程. (2)若A,B两点都在双曲线下的右支上. (i)求△OAB面积的最小值. ()在x轴上是否存在一点P,使得PA·PB为定值？若存在，求出点P的坐标；若不 存在，说明理由。 19.(17分) 设a,t为实数，t>0.已知函数f(x)=1一cosx,记函数g(x)=f(x)在区间[a,a+t]上的 最大值为M(a),最小值为m(a). (1)对任意，∈[a,a十t],证明：|g(m)-g()|≤Ma)一m(a),且|g()一g(m)|≤t. (2)若M(a)一n(a)=1. ()求证：不可能取大于π的值； ()求t的取值范围. 数学试题（共4页）第4页 数学试题参考答案 一、 单选题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A 0 C B 二、 多选题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 ACD ABD ACD 三、 填空题（每小题5分，共15分） 题号 1213 14 答案 0 5 4) 四、解答题 15.(1)根据表中数据，计算观测值： K=100×60×10-20×102-100=46 >3.841 80×20×70×30 21 21 对照临界值知，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“女性员工和男性员工在选用甜品 的饮食习惯方面有差异”。 (②由题意得所轴取的8名女性员工中，喜欢甜品的有8×0=6（人，不喜欢甜品的有 80 8×2=2人)。所以抽取的2人中至少有1人喜欢甜品的概率为： 80 C?+cgc_15+12_27 Ca 2828 (③)由2×2列联表可知，抽取到喜欢甜品的员工的频率为0=0.7。将频率视为概率，从所有 100 参与调查的员工中随机抽取1人，恰好抽到喜欢甜品的员工的概率为0.7。由题意，知X~ B(10,0.7),所以E(X)=10×0.7=7,D(X)=10×0.7×0.3=2.1。 16.(1)因为平面ABB1A1⊥平面ABC,且交线为AB,又AB⊥BC,所以BC⊥平面ABB1A1。又 BB1C平面ABB1A1,所以BC⊥BB1。因为AC⊥BB1,BC∩AC=C,所以BB1⊥平面ABC 连接C1B,因为DEI平面BCC1B1,由线面平行性质得DEIC1B。因为AE=2EB,所以 AD=2DG。由相似三角形性质得经=号从而A18:=,B,G=1。于是5aA8,G= AC x×1=是所以V%-4,0=××X1=克 (2)因为AB⊥BC,AB⊥BB1,所以AB⊥平面CBB1C1。又A1B1IAB,新所以A1B1⊥平面CBB1C1。 因为平面ABC∩平面BCC1B1=BC,平面A1B1Cn平面BCC1B1=B1C,所以∠B1CB为平面 A1B1C与平面ABC的夹角，即a=∠B1CB。因为平面A1B1CL平面CBB1C1,所以CC1在平 面A1B1C上的射影在直线CB1上，得B=∠C1CB1。在直角梯形BCC1B1中，BB1=B1C1= 1,BC=2,所以∠C1CB=。因此a+B=∠BCB+∠C1CB1=∠CCB=。 17.(1)由题设an+2-1=3an+1-2an得：an+2-an+1=2(an+1-an)+1 即an+2-an+1+1=2(an+1-an+1)。因为a2-a☑1+1=2≠0，所以数列{an+1-an+1 是首项、公比均为2的等比数列。 (2)由(1)知an+1-an+1=2m,即an+1-an=2”-1。累加得： a.=(2n-1-1)+(2m-2-1)+…+(22-1)+1=2n-n 故通项公式为a=2m-n。 8)当n之5时，a1-2a,=n-1>0,所以点<分去于是： =+<元+非+自++台门 8 <Ts+- .1=T5+27 as 故对任意n之6，T<号+G。 18.()由离心率e=V2得c=V2a,又c2=a2+b2,得a=b。焦点F(c,0)到南近线y=x 的距离为。=1，解得b=1,a=1。所以双曲线方程为x2-y2=1。 (2)0联立直线x=y+V2与双曲线，得：(m2-1)y2+2V2my+1=0 由韦达定理及弦长公式得：以一=2+四 1-m2 (0≤|ml<1) 面积5aoAB=}V2·by-y2l=V2.1+m :。当m=0时，面积取最小值V2。 间设P0,计算数量积：PP厉=+(e2-) 要使其为定值，需2V2t-2=0,解得t=三。此时P·P厉=-故存在点P受，0)满足条 件。 19.(I)由f(x)=1-cosx得g(x)=f(x)=sinx。由最值定义，显然Ig(x1)-g(x2)引≤ M(a)-m(a)。又由三角恒等变换及不等式Isinxl≤lx得：lsinx-sinx2l≤|x-xzl≤t 故lg(x1)-g(x2)l≤t。 (20假设t>π，则在区间(a,a+t)内必存在simx的一个最值点c和一个零点d。取足够小 的e使得[d-e,d+e]c(a,a+t),必存在d1使得|sinc-sind l>1,与M(a)-m(a)=1 矛盾。故t不可能大于π。 ()当t<时，最大值与最小值之差小于1，矛盾。当t∈[，π]时，可以通过选取适当的a使 得值域长度恰好为1（例如t=时取a=一石：te,m]时取a=0)。故t的取值范围为 [匠可。