山东烟台市某校2025-2026学年高三下学期第一次阶段测试数学试题

**基本信息** 覆盖集合、复数、向量、函数、立体几何、概率统计、圆锥曲线等核心知识，解答题融合强基计划面试、棱台表面积计算等情境，注重逻辑推理与空间观念，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|集合运算、复数模、向量投影、充要条件|基础巩固，梯度合理| |多选|3|函数性质、正方体动点轨迹、抛物线综合|能力区分，多维度考查| |填空|4|二项式系数、三角函数最值、数列公共项|细节把控，综合应用| |解答|5|解三角形、导数单调性、概率分布列、椭圆方程、圆的折叠|强基计划面试情境（应用意识）、导数恒成立（逻辑推理）、圆折叠二面角（空间观念）|

第一次调研卷数学试题 一、单选题 1．已知集合或}，，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 3．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（   ） A．18种 B．36种 C．48种 D．54种 6．如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 7．已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 8．已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A． B．函数的零点为 C．曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D．若，且，则 10．在棱长为1的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（   ） A．点的轨迹长度等于 B．平面 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．异面直线与，所成角的余弦值的最小值为 11．已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（   ） A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是 C．的最大值是 D．存在点，使得 三、填空题 12．设．若在的二项展开式中，项的系数为，则__________． 13． 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为______. 14.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，将数列{an}与数列{2n－1}的公共项从小到大依次排列得到数列{bn}，Tn为数列{anbn}的前n项和，则Tn＝________． 四、解答题 15.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且(a＋b)(a－b)＝c(a－c)． (1)求B； (2)若D是边AC上一点，且AD＝2DC，cosC＝，求tan∠CBD的值． 16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 17．某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场． (1)求面试号码为3的学生来自A校的概率； (2)记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望； (3)求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． 18．已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． (1)求C的方程； (2)若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； (3)若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 19．已知圆心在原点，且与直线相切，它与x轴分别相交于A，B，过点的直线l交圆O于M，N. (1)求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程； (2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由； (3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026年3月26日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D D B B B C A AC ACD ACD 5．B【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种． 6．B【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以，所以该棱台的表面积． 7．C【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称，所以，， 所以，令，则，即，所以，令，则，所以的周期为4，又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称，所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， . 8．A【详解】作出图象如下： 由，且，则，即有，，且，则，故，则. 9．AC【详解】已知，，所以，，解得，A选项正确； 因为，所以，，令（），则 ， 化简得：，即，解得：，B选项错误； 对求导得：，其中，由基本不等式可得：， 设切线倾斜角为，则斜率，又因为，所以， 即倾斜角不小于，C选项正确；由可知： 在和上单调递增，但不能直接得出，且时，， 比如：，时，，，此时，D选项错误. 11．ACD【详解】构建空间直角坐标系，分别以所在直线为轴，轴，轴， 则可得，因为点在平面（含边界）一动点，则可设点，设为点到平面的距离.对于A，根据题意可设平面的方程为， 则有，解之可得，令，则可得，所以平面的方程为， 再根据点到平面的距离公式可求出，而，所以可求出， 当时，，当时，，而，即点为一条线段，由点的轨迹长度为，故A正确；对于B，因为，，所以可知平面，所以同理可证，是平面法向量，，根据平面，则有，可求出，而由A可知，有矛盾，故可判断B错误； 对于C，法（一）直线与平面所成角为，则，而为点到平面的距离， 根据两点之间距离公式可求出，，要使最大，则只需最小即可，当时，取最小值为，所以， 10．ACD【详解】如图：过点作于点，设，则，. 对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径，所以圆与直线相切，A正确；对于B，因为圆经过点，所以圆的半径，所以圆的面积的最小值是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以，令，则，当且仅当，即时等号成立， 对于D，，，化简得，得，即，再代入得，所以存在或使得成立，D正确. 12． 13．1 14.答案：(n－1)×2n＋2＋4 15.解：(1)由(a＋b)(a－b)＝c(a－c)，得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理，得cosB＝＝，∵0°<B<180°，∴B＝60°.(2)设∠CBD＝α，∵cosC＝，∴sinC＝， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝，在△ABD中，由正弦定理，得＝， 在△BCD中，由正弦定理，得＝，∵AD＝2DC，∴＝＝，∴(3＋4)sinα＝4sin(60°－α)＝2cosα－2sinα，∴tan∠CBD＝tanα＝. 16．【详解】（1）由题知：若，，在上单调递增     若，令解得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，综上，当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； （2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立， 令 ，则 = ， 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则有，即，即当时，则，当时，则，即在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取最小值，于是得，所以的取值范围为. 17．【详解】（1）面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果， 所以面试号码为3的学生来自A校的概率为. （2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，则，， ，， 所以的分布列为 15 20 25 30 数学期望. （3）依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件， 而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件， 与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥， 而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件； 而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有， 所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为. 18．【详解】（1）由题意可得：，即，由离心率，所以. 故椭圆方程为：. （2）倾斜角为，可得斜率.设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：，满足，即. 则，.设，，则中点横坐标： ，纵坐标：.消去参数得：，所以中点轨迹方程为：. （3）由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，，根据，可得，即，整理得：，即，可得：， 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：. 19．【详解】（1）由题意得圆的半径，则圆O的方程为，当直线l的斜率为0时，此时，当直线l的斜率不为0，设，即，则圆心到直线的距离，又，当且仅当时等号成立，此时直线l的方程为，所以弦长MN的最小值为，直线l的方程为. （2）易知直线l的斜率不为0，设，即，由（1），，， 又，化简得，令，则，所以， 又，故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时， 建立空间直角坐标系，如图，则，，，所以，， 设平面BMN的法向量为，则，即，取，则， 设，其中，则，， 设平面ONQ的法向量为，则，即，取， 易得，所以， 解得，所以，则. （3）法一：设，，，联立， 化简得，，所以，，所以，设，，联立，得，又，代入得，即点T在定直线上，设线段的中点为，则， 因为在圆上，则有 ，联立，化简得， 设，，则，， 所以，同理，S在定直线上，所以与重合. 学科网（北京）股份有限公司 $