集合的概念与表示讲义-2026年初升高衔接新高一数学必修一

集合的概念与表示 集合的概念 (1)集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．集合中的元素不一定只是数，还可以是任意的具体确定的事物，例如{北京，上海，天津，重庆}。如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． (2)一般情况下，集合用英文大写字母表示．元素用英文小写字母表示； (3)集合的分类：无限集、有限集、空集 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作． (4)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等． (5)集合的元素具有三个特性： ①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．如圆周率属于实数集，但不属于有理数集．而“好人”，“著名科学家”不能构成数学意义上的集合． ②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．即任何集合中元素无重复现象．如方程的解集为{1}． ③无序性：集合中的元素是不排序的．例如集合{a,b}也可写作{b,a}． 元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 注意:符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换． 某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法： 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 或 <教师备案> 常见数集写法的字母意义： 自然数是Natural Number（自然数）的首字母，即全体非负整数构成的集合； 习惯用或表示正整数集，其中的星是非零的意思； 整数集的是德文Zahlen（数字）的首字母． 有理数集的是英语/德语Quotient（商）的首字母，因为有理数都可以写成两整数的商． 实数是Real Number(实数)的首字母． 在后面的学习中，会在均值不等式部分用表示正实数集，在复数中引入表示复数集之外，高中不会接触到其它数集的表示形式． 为什么要用一个德文首字母表示整数集呢？ 使用作为整数集的标记，是因为19世纪德国数论很强很强，所以德国的某些数学家引入的记号后来就通行了，至于这个数学家是谁，说法不一，有人说是朗道，有人说是诺特（此人是迄今为止最牛的女数学家，没有之一）． 数学中的符号使用，就两个原则．一是优先：谁先提出，得到认可，后面就跟着用．二是方便：谁的符号更实用，更方便．就会得到大家认可，从而流行．例如数字，中国、印度、希腊都有自己的系统，但现在只用阿拉伯数字，就是它方便，而且它有0（汉字的零是后来从阿拉伯数字0抄来的）． 集合的表示法 ①列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示， 并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法． 例如：，． 【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为，自然数集可以表示成． 有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程的解集可以写成；直线与直线的交点集合可以写成． ②描述法（又称特征性质描述法）： 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如，称为集合的特征性质， 称为集合的代表元素．为的范围，有时也写为． 例如：大于的所有整数用描述法表示为． 方程的实根用描述法表示为． 【注意】 ①描述法给出了一个客观的标准，用表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点． 如：；； ，说明集合描述的是实数x，这个实数具有大于等于3的特点．若元素范围为，在不发生误解时，也可以省略，直接写成．但对于集合，则一定不能省略． ②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为． 如：，说明集合是点集，点满足，故集合中的点在抛物线上，即此集合表示抛物线上所有的点． ③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即与表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你． ③图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图． 图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．如图所示。 ④ 区间表示法：设，且， 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 一类特殊的区间 实数与都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”， “”读作“负无穷大”． 实数集也可以用表示． 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 例1．给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【解析】①联合国常任理事国有5个国家，满足确定性，可以构成集合； ②坪高全体游泳健将，元素不具有确定性，不能构成集合； ③方程的实数根，具有确定性，能构成集合； ④全国著名的歌手，元素不具有确定性，不能构成集合. 【巩固练习1】.(多选)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【解析】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD 【题型2】 元素与集合的关系判断 例2．下列关系中，正确的个数为（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3.故选：D. 【巩固练习2】下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误.故选：B. 数的表示： ①所有整数集：Z 或 或 等 ②倍数 2的倍数： 偶数 3的倍数： ③除以2余1的数：或 奇数 除以3余1的数：或 除以4余1的数：或 例3．集合，又则（ ） A． B． C． D．任一个 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【解答】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 【巩固练习3】已知集合，，，若，，则必有（   ） A． B． C． D．都不属于 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴ 例4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即.故选:C. 【题型3】确定集合中的元素 例5．英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【解析】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素．故选：A 【巩固练习4】已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【分析】根据，采用列举法表示集合B 即可求解. 【解答】根据题意 ， 所以集合B中共有6个元素 【题型4】用列举法表示集合 例6.已知集合M=且，则M等于（ ） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4} 【答案】D 【解析】因为集合M=且，，所以5-a可能为1，2，3，6， 即a可能为4，3，2，.所以M={，2，3，4}，故选：D. 【巩固练习5】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． 【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） 【题型5】用描述法表示集合 例7.用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】表示平面内第二象限的点构成的集合为且.故选：D. 【巩固练习6】用描述法表示下列集合： （1）不等式的解组成的集合； （2）被除余的正整数的集合； （3）； （4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4） 【解析】（1）因为不等式的解组成的集合为，则集合中的元素是数. 设代表元素为x，则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x，则． 又因为元素为正整数，故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x，则． 但元素是2，4，6，8，10，所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 例8.已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【解析】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1.故选：C 【巩固练习7】已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【解答】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 【题型7】利用集合相等求参数 例9.若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【解题思路】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【解答过程】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 【巩固练习8】已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【解题思路】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解. 【解答过程】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 【题型8】利用集合中元素的个数求参数 例10.已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】且集合A中至少有3个元素，.故选：C. 【巩固练习9】已知集合． （1）若A中没有元素，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时，集合，当时，集合；（3） 【解析】（1）中没有元素，且， ，解得，所以的取值范围为：； （2）①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 【题型9】集合中的新定义问题 例11.定义运算，若集合，则 . 【答案】 【解析】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 【巩固练习10】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【解析】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 课后练习 1.下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【解析】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合. 2.用，填空． ①___；②___；③__；④___；⑤___；⑥___；⑦___R； 答案：；；；；；；． 3.（多选）已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合的定义，设出的形式，计算后再根据集合中代表元素形式判断． 【详解】由题意，设，，下面的均为整数， 则，， ，不是偶数时，， ， 故选：AB． 4.已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D【解析】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形. 5.集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A【解析】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 6. 已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ） ①; ②; ③; ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】①当时，可得，这与矛盾， ② ，可得 ，都是有理数，所以正确， ③， ，可得，都是有理数，所以正确， ④ 而 ， ， 是无理数， 不是集合中的元素， 只有②③是集合的元素.故选：C 7．（多选）若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：，存在或使得其成立，故选项A正确； 对于选项B：，存在，使得其成立，故选项B正确； 对于选项C：由，可得，， 若则可得， ，不成立； 若则可得， ，不成立； 若，可得，此时， ，不成立； 同理交换与，也不成立，所以不存在为整数使得成立，故选项C不正确； 对于选项D：，此时存在或使得其成立，故选项D正确， 故选：ABD. 8.用列举法表示集合=_______． 【答案】 【分析】利用列举法求解即可. 【详解】因为,所以且,即且, 又因为,所以,对应的, 其中,所以只能取, 故 9.已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【解析】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故.故选：B. 10.已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 11.已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【解析】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或．故选：C 12.定义集合运算，设集合，则集合 . 【答案】 【解析】由题意可知，①当时，则； ②当，时，； ③当，时，. 综上所述，. 13．已知集合A={（x，y）|y=2x+1}，B={（x，y）|y=x+3}，若a∈A，a∈B，求a的值 【答案】（2，5）． 14．已知集合A={x|x2﹣2x+a＞0}，且1∉A，求实数a的取值范围 【答案】（﹣∞，1]． 【解析】根据1∉A，∴集合A在实数集当中没有元素1，∴一元二次不等式没有实数1， ∴1-2+a≤0，解得a≤1.故答案（﹣∞，1]． 15.集合中有（ ）个元素． A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．无数 【答案】B 16.已知集合，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.故选：D. 17.(多选)集合用描述法可表示为(       ) A．是不大于9的非负奇数 B．且 C． D． 【答案】AB 【解析】对A,是不大于9的非负奇数表示的集合是,故A正确； 对B,且表示的集合是,故B正确； 对C,表示的集合是,故C错误； 对D,表示的集合是,故D错误. 故选AB. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合的概念与表示 集合的概念 (1)集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．集合中的元素不一定只是数，还可以是任意的具体确定的事物，例如{北京，上海，天津，重庆}。如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． (2)一般情况下，集合用英文大写字母表示．元素用英文小写字母表示； (3)集合的分类：无限集、有限集、空集 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作． (4)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等． (5)集合的元素具有三个特性： ①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．如圆周率属于实数集，但不属于有理数集．而“好人”，“著名科学家”不能构成数学意义上的集合． ②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．即任何集合中元素无重复现象．如方程的解集为{1}． ③无序性：集合中的元素是不排序的．例如集合{a,b}也可写作{b,a}． 元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 注意:符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换． 某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法： 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 或 集合的表示法 ①列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示， 并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法． 例如：，． 【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为，自然数集可以表示成． 有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程的解集可以写成；直线与直线的交点集合可以写成． ②描述法（又称特征性质描述法）： 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如，称为集合的特征性质， 称为集合的代表元素．为的范围，有时也写为． 例如：大于的所有整数用描述法表示为． 方程的实根用描述法表示为． 【注意】 ①描述法给出了一个客观的标准，用表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点． 如：；； ，说明集合描述的是实数x，这个实数具有大于等于3的特点．若元素范围为，在不发生误解时，也可以省略，直接写成．但对于集合，则一定不能省略． ②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为． 如：，说明集合是点集，点满足，故集合中的点在抛物线上，即此集合表示抛物线上所有的点． ③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即与表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你． ③图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图． 图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．如图所示。 ④ 区间表示法：设，且， 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 一类特殊的区间 实数与都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”， “”读作“负无穷大”． 实数集也可以用表示． 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 例1．给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【巩固练习1】.(多选)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【题型2】 元素与集合的关系判断 例2．下列关系中，正确的个数为（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【巩固练习2】下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 数的表示： ①所有整数集：Z 或 或 等 ②倍数 2的倍数： 偶数 3的倍数： ③除以2余1的数：或 奇数 除以3余1的数：或 除以4余1的数：或 例3．集合，又则（ ） A． B． C． D．任一个 【巩固练习3】已知集合，，，若，，则必有（   ） A． B． C． D．都不属于 例4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】确定集合中的元素 例5．英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【巩固练习4】已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【题型4】用列举法表示集合 例6.已知集合M=且，则M等于（ ） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4} 【巩固练习5】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． 【题型5】用描述法表示集合 例7.用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【巩固练习6】用描述法表示下列集合： （1）不等式的解组成的集合； （2）被除余的正整数的集合； （3）； （4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 例8.已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【巩固练习7】已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【题型7】利用集合相等求参数 例9.若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【巩固练习8】已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【题型8】利用集合中元素的个数求参数 例10.已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习9】已知集合． （1）若A中没有元素，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【题型9】集合中的新定义问题 例11.定义运算，若集合，则 . 【巩固练习10】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 课后练习 1.下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 2.用，填空． ①___；②___；③__；④___；⑤___；⑥___；⑦___R； 3.（多选）已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 4.已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 5.集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 6. 已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ） ①; ②; ③; ④ A．4 B．3 C．2 D．1 7．（多选）若集合，则（ ） A． B． C． D． 8.用列举法表示集合=_______． 9.已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 10.已知，若，则实数的值为 ． 11.已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 12.定义集合运算，设集合，则集合 . 13．已知集合A={（x，y）|y=2x+1}，B={（x，y）|y=x+3}，若a∈A，a∈B，求a的值 14．已知集合A={x|x2﹣2x+a＞0}，且1∉A，求实数a的取值范围 15.集合中有（ ）个元素． A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．无数 16.已知集合，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 17.(多选)集合用描述法可表示为(       ) A．是不大于9的非负奇数 B．且 C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $