1.1 集合的概念 讲义-2026年初高中衔接数学人教A版必修第一册

1.1集合的概念 【知识归纳】 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． [例1]．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 [例2]．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【疑难解惑】 集合中元素的特征： （1） 确定性：给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了 （2） 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的 （3） 无序性：集合中的元素是互不相同的。 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. [例3]．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 [例4].已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． [例5]．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R [例6]．用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． [例7].用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【即时训练】 一、单选题 1．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 2．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 5．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 7．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 二、填空题 8．给出关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式有_________．（填序号）． 三、解答题 9．已知集合 (1)用列举法表示该集合； (2)验证该集合所有元素和为. 10．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．(4)使函数有意义的实数组成的集合． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1集合的概念 【知识归纳】 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． [例1]．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. [例2]．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 【疑难解惑】 集合中元素的特征： （1） 确定性：给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了 （2） 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的 （3） 无序性：集合中的元素是互不相同的。 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. [例3]．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. [例4].已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. [例5]．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R [例6]．用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数， ； 是无理数，不属于有理数集， ； -5是整数， ； 是实数， ； 3.14不是正整数， . 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． [例7].用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 【即时训练】 一、单选题 1．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 2．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 5．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 7．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．给出关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式有_________．（填序号）． 三、解答题 10．已知集合 (1)用列举法表示该集合； (2)验证该集合所有元素和为. 11．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《即时训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C C C A B B 1．D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 2．C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 3．C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 4．C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 5．A 【分析】根据集合的定义，逐一分析集合中的元素是否满足条件. 【详解】集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 所以. 故选：A. 6．B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 7．B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 8．③     【分析】根据空集的定义可判断①②，根据集合的无序性可判断③，根据集合中代表的元素可判断④. 【详解】是没有任何元素的集合，所以①②错误； 集合中的元素满足无序性，所以，③正确； 和所表示的元素不同，④错误. 故答案为：③ 9．(1) (2)由集合知元素之和为：， 所以集合元素和为. 【分析】（1）解方程即可得出集合； （2）计算元素之和即可验证. 【详解】（1）因为，解得：， 所以. （2）略 10．(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． $