第01讲 集合的概念（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第01讲 集合的概念 预习目标 知识回顾 1．理解集合、元素的概念，掌握集合元素的确定性、互异性、无序性三大基本特征。 2．掌握元素与集合的属于（）、不属于（）关系，熟记等常用数集符号并规范使用。 3．学会用列举法、描述法表示集合，能根据实际情况选用合适的表示方法。 4．感受集合语言的作用，初步学会运用集合思想描述、分析并解决数学问题。 初中数学里有三类高频集合类型： 一是数集，涵盖自然数集、整数集、有理数集、实数集，对应专用符号； 二是点集，即平面直角坐标系内点的全体，一次函数、圆等几何图形上的点，都归属于点集； 三是解集，由方程或不等式的全部解构成，一元一次方程、一元一次不等式的解，都是典型的解集。 新知导图 预习精讲 想一想 各位同学注意啦，下周学校就要举办运动会了！本次咱们班要负责统计全体参赛同学以及对应的比赛项目。之前我们使用的报名表排版杂乱，登记信息时很容易出现重复填报、人员或项目漏登等问题。面对这个问题，大家一起来想想办法，看看如何优化改进吧。 知识点01 元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 【即学即练】 1．下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 2．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 【即学即练】 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则_____ 知识点03 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 【即学即练】 5．下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．用符号“”或“”填空： （1）______；（2）5______；（3）______；（4）______． 知识点04 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意 （1）写清楚集合中元素的符号，如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 【即学即练】 7．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 8．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 题型速练 题型01 集合中元素的确定性 【例1】下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．跑得快的运动员 B．所有的正三角形 C．接近0的实数 D．著名的科学家 【例2】下列每组对象能构成一个集合是________(填序号). （1）某校2019年在校的所有高个子同学； （2）不超过20的非负数； （3）帅哥； （4）平面直角坐标系内第一象限的一些点； （5）的近似值的全体. 必记结论 1．构成集合的对象必须标准明确、界限清晰，对任意一个对象，能唯一判断它是否属于该集合。 2．描述中带有模糊、主观、不确定词汇（如“最大”“最小”“接近”“好看”“较高”等）的对象，无法构成集合。 3．有明确判定标准、可量化、有固定结果的全体对象，可以构成集合。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【变式1-2】（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【变式1-3】由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号). ①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题； ③中国的大城市； ④平方后等于自身的数； ⑤某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生. 题型02 用列举法表示集合 【例3】下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【例4】集合用列举法表示为________． 必记结论 1．格式规范：全体元素一一列出，整体用大括号包裹，元素之间用逗号分隔。 2．遵循三大性质：元素确定、互不重复、无先后顺序。 3．元素个数有限、数量较少时，优先使用列举法；元素过多或无限个，不适合用列举法。 【小试牛刀】 【变式2-1】若，，则B集合中所有元素之和为______． 【变式2-2】小于的正整数的集合用列举法表示为__________． 【变式2-3】写出下列方程（方程组）的解集． (1) (2) 题型03 用描述法表示集合 【例5】不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【例6】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 必记结论 1．标准格式{}，竖线左侧写明元素符号与取值范围，右侧写明元素统一特征。 2．必须标注清楚元素类型（数、点、代数式等），不能出现题目中未说明的未知字母。 3．同一个集合可以有多种描述形式，核心特征一致则集合相等。 4．点集、数集书写形式有区别，不可混用描述语言。 【小试牛刀】 【变式3-1】下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】集合（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 题型04 集合中元素的互异性 【例7】由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【例8】已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 必记结论 同一个集合内所有元素互不相等、不能重复，这是集合核心性质。 【小试牛刀】 【变式4-1】若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 【变式4-2】已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【变式4-3】如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．    题型05 元素与集合的关系 【例9】已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【例10】已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 常见错误 1．颠倒元素与集合位置，写出这类错误形式。 2．混淆元素类型，把点集、数集混为一谈，错误判断从属关系。 3．书写符号不规范，混用等于号、不等号替代。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 题型06 常用数集及其应用 【例11】给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例12】用列举法表示集合_________. 常见错误 1．记混各类数集符号，写错字母或上下标。 2．混淆自然数与正整数：误认为自然数从1开始（自然数包含0）。 3．分不清有理数与实数范围，把无限不循环小数归入有理数。 4．做范围判断题时，遗漏0、负整数等特殊数。 【小试牛刀】 【变式6-1】下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（多选）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型07 根据元素与集合的关系求参数 【例13】已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【例14】已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 必记结论 1．已知集合，将元素代入集合对应的等式、不等式，列方程/不等式求解参数。 2．求解参数后必须两步检验：①检验元素互异性；②检验元素确实属于该集合。 3．一个元素对应一组方程，多个元素需分类讨论，做到不重不漏。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知集合，则______. 【变式7-2】已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式7-3】含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 题型08 根据元素中的元素个数求参数 【例15】已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【例16】集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 常见错误 1．只计算方程解的个数，忽略集合互异性，误将重复解算作多个元素。 2．对“集合只有一个元素”理解偏差，未考虑代数式恒等、方程重根情况。 3．求参数范围时，不等号方向、取值边界判断失误。 4．多解情况中，未逐一验证元素是否重复。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8-2】已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【变式8-3】如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 题型09 集合新定义 【例17】定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例18】定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 【小试牛刀】 【变式9-1】定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-2】（多选）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2025个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为． D．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为 【变式9-3】已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 基础过关 一、单选题 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 5．已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 二、多选题 7．方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 8．设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 三、填空题 9．已知集合，，则__________． 10．已知集合，若，则实数的取值范围是____．（结果用集合表示） 四、解答题 11．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 12．已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 能力提升 1．（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 2．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 3．集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 4．设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 5．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 挑战一刻 1．已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 2．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 3．（多选）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 4．（多选）用表示非空集合中元素的个数，定义已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．存在，使得 D．若，则 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念 预习目标 知识回顾 1．理解集合、元素的概念，掌握集合元素的确定性、互异性、无序性三大基本特征。 2．掌握元素与集合的属于（）、不属于（）关系，熟记等常用数集符号并规范使用。 3．学会用列举法、描述法表示集合，能根据实际情况选用合适的表示方法。 4．感受集合语言的作用，初步学会运用集合思想描述、分析并解决数学问题。 初中数学里有三类高频集合类型： 一是数集，涵盖自然数集、整数集、有理数集、实数集，对应专用符号； 二是点集，即平面直角坐标系内点的全体，一次函数、圆等几何图形上的点，都归属于点集； 三是解集，由方程或不等式的全部解构成，一元一次方程、一元一次不等式的解，都是典型的解集。 新知导图 预习精讲 想一想 各位同学注意啦，下周学校就要举办运动会了！本次咱们班要负责统计全体参赛同学以及对应的比赛项目。之前我们使用的报名表排版杂乱，登记信息时很容易出现重复填报、人员或项目漏登等问题。面对这个问题，大家一起来想想办法，看看如何优化改进吧。 知识点01 元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 【即学即练】 1．下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 2．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 知识点02 元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 【即学即练】 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故B正确． 4．已知集合，若，则_____ 【答案】 【详解】由题意可知代入方程的一根，则，解得. 故答案为：. 知识点03 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 【即学即练】 5．下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 6．用符号“”或“”填空： （1）______；（2）5______；（3）______；（4）______． 【答案】 【详解】因为为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 所以；；；. 故答案为：；；；. 知识点04 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意 （1）写清楚集合中元素的符号，如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 【即学即练】 7．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，代入, 可得，解得，所以， 所以方程组的解集为. 8．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 题型速练 题型01 集合中元素的确定性 【例1】下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．跑得快的运动员 B．所有的正三角形 C．接近0的实数 D．著名的科学家 【答案】B 【详解】A.不具有确定性；故错误； B.符合集合元素的特征，所以所有的正三角形能构成集合，故正确； C.不具有确定性，故错误； D.不具有确定性，故错误； 故选：B 【例2】下列每组对象能构成一个集合是________(填序号). （1）某校2019年在校的所有高个子同学； （2）不超过20的非负数； （3）帅哥； （4）平面直角坐标系内第一象限的一些点； （5）的近似值的全体. 【答案】（2） 【解析】根据集合的概念依次判断即可得到答案. 【详解】（1）“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合. （2）任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”， 故“不超过20的非负数”能构成集合； （3）“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合； （4）“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合； （5）“的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合. 故答案为：（2） 【点睛】本题主要考查集合的概念，属于简单题. 必记结论 1．构成集合的对象必须标准明确、界限清晰，对任意一个对象，能唯一判断它是否属于该集合。 2．描述中带有模糊、主观、不确定词汇（如“最大”“最小”“接近”“好看”“较高”等）的对象，无法构成集合。 3．有明确判定标准、可量化、有固定结果的全体对象，可以构成集合。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 【变式1-2】（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 【变式1-3】由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号). ①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题； ③中国的大城市； ④平方后等于自身的数； ⑤某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生. 【答案】①④⑤ 【详解】 解：①不超过的正整数的全体是确定的，能构成集合，选项①正确； ②高一数学课本中的所有难题是不确定的，构不成集合，选项②不正确； ③中国的大城市是不确定的，选项③不正确； ④平方后等于自身的实数是0和1，确定，选项④正确； ⑤高一（2）班中考500分以上的学生的全体是确定的，能构成集合，选项⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了集合中元素的特性，属于基础题． 题型02 用列举法表示集合 【例3】下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，根据集合的定义及表示方法可知A正确 对于B，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故B错误 对于C，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故C错误 对于D，表示集合的符号使用错误，对于有，，共个元素的集合表示为，故D错误． 【例4】集合用列举法表示为________． 【答案】/ 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；，，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 必记结论 1．格式规范：全体元素一一列出，整体用大括号包裹，元素之间用逗号分隔。 2．遵循三大性质：元素确定、互不重复、无先后顺序。 3．元素个数有限、数量较少时，优先使用列举法；元素过多或无限个，不适合用列举法。 【小试牛刀】 【变式2-1】若，，则B集合中所有元素之和为______． 【答案】13 【详解】当，当，故, 因此B集合中所有元素之和为. 【变式2-2】小于的正整数的集合用列举法表示为__________． 【答案】 【详解】因为， 所以小于的正整数只有．故所求集合为 【变式2-3】写出下列方程（方程组）的解集． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解方程 令，则方程变为： ，因式分解得： 解得或， 当 时，，得； 当 时，，得。 因此，方程的解集为：. （2）解方程组 ，由方程(2) 得；，将其代入方程(1)： 解得或， 当 时，； 当 时，. 因此，方程组的解集为：. 题型03 用描述法表示集合 【例5】不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 【例6】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 必记结论 1．标准格式{}，竖线左侧写明元素符号与取值范围，右侧写明元素统一特征。 2．必须标注清楚元素类型（数、点、代数式等），不能出现题目中未说明的未知字母。 3．同一个集合可以有多种描述形式，核心特征一致则集合相等。 4．点集、数集书写形式有区别，不可混用描述语言。 【小试牛刀】 【变式3-1】下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合. 故选：C. 【变式3-2】集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 解得， 所以. 故选：B 【变式3-3】用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 题型04 集合中元素的互异性 【例7】由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 【例8】已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 必记结论 同一个集合内所有元素互不相等、不能重复，这是集合核心性质。 【小试牛刀】 【变式4-1】若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 【答案】C 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 【变式4-2】已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】B 【详解】，， 因为， 当时，为偶数，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，有重复数字，去掉，共有个元素. 综上中元素的个数为个. 故选：B 【变式4-3】如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．    【答案】4 【详解】如图，因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 由集合的互异性，可知3需舍去； 当，可分为： ，解得； ，解得； ，解得； 综上，的值可能为. 故答案为：4    题型05 元素与集合的关系 【例9】已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 【例10】已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 常见错误 1．颠倒元素与集合位置，写出这类错误形式。 2．混淆元素类型，把点集、数集混为一谈，错误判断从属关系。 3．书写符号不规范，混用等于号、不等号替代。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，，所以，故A错误. 对于B，在内无解，所以，故B错误. 对于C，当时，，所以，故C正确. 对于D，由，得，故，故D错误. 【变式5-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 【变式5-3】已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. 题型06 常用数集及其应用 【例11】给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 【例12】用列举法表示集合_________. 【答案】 【详解】因为， 所以或，解得或0或2或3， 即. 故答案为： 常见错误 1．记混各类数集符号，写错字母或上下标。 2．混淆自然数与正整数：误认为自然数从1开始（自然数包含0）。 3．分不清有理数与实数范围，把无限不循环小数归入有理数。 4．做范围判断题时，遗漏0、负整数等特殊数。 【小试牛刀】 【变式6-1】下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，，①正确；，②错误；，③错误；，④错误， 因此正确命题的个数是1. 故选：A 【变式6-2】（多选）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选：AD. 【变式6-3】（多选）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】若，，设，则 ，故A错误，B正确； 若，，设， 则 ，故C正确，D错误. 故选：BC. 题型07 根据元素与集合的关系求参数 【例13】已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【例14】已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 必记结论 1．已知集合，将元素代入集合对应的等式、不等式，列方程/不等式求解参数。 2．求解参数后必须两步检验：①检验元素互异性；②检验元素确实属于该集合。 3．一个元素对应一组方程，多个元素需分类讨论，做到不重不漏。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知集合，则______. 【答案】 【详解】由，所以 当时，，集合A中的元素出现重复，故舍去. 当时，得或（舍去）， 当时，，显然满足，所以. 综上可知，. 故答案为：. 【变式7-2】已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 【变式7-3】含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 题型08 根据元素中的元素个数求参数 【例15】已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 【例16】集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 常见错误 1．只计算方程解的个数，忽略集合互异性，误将重复解算作多个元素。 2．对“集合只有一个元素”理解偏差，未考虑代数式恒等、方程重根情况。 3．求参数范围时，不等号方向、取值边界判断失误。 4．多解情况中，未逐一验证元素是否重复。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 【变式8-2】已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式8-3】如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 题型09 集合新定义 【例17】定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由题意得. 故选：C 【例18】定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 【答案】3 【详解】因为集合，， 根据定义可得， 所以集合中包含3个元素， 故答案为：3 【小试牛刀】 【变式9-1】定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 【变式9-2】（多选）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2025个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为． D．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【详解】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，且与数集中的最大元素相等，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为对任意的，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集A，B有上确界，设，， 由上确界的定义可知，对于任意的，，都有，， 所以，即，故正确； 对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，， 此时， 则，故D错误. 故选：AC 【变式9-3】已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 基础过关 一、单选题 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C 3．已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 4．已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 5．已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C 6．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，集合只有一个元素，则； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 得，解得， 因此或， 所以实数的所有可能值的乘积为3. 故选：C 二、多选题 7．方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】BC 【详解】由可得， 所以根据描述法、列举法可得方程的解集为或， 故选：BC 8．设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 【答案】AC 【详解】，，则的值必为奇数， 又，，故AC正确． 故选：AC 三、填空题 9．已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由可得，解得或， 所以， 故答案为： 10．已知集合，若，则实数的取值范围是____．（结果用集合表示） 【答案】 【详解】由，得，解得. 实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 11．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 12．已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 能力提升 1．（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 2．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 3．集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】B 【详解】由题意有：，又，所以， 所以或或， 所以，所以中的元素个数为3个， 故选：B. 4．设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 【答案】(1) (2)不是，证明见解析 【分析】 【详解】（1）若，则，所以集合． （2）4不是集合A中的元素，理由如下： 若，则有或； 当时，，不满足题意； 当时，解得，不满足题意； 综上所述，4不是集合中的元素． 5．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【分析】 【详解】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 挑战一刻 1．已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 【答案】0或1或2 【详解】由，可得， 当且时，方程的根为，，， 根据题意可得，解得， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 综上所述：实数或1或2. 故答案为：0或1或2. 2．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 3．（多选）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 4．（多选）用表示非空集合中元素的个数，定义已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．存在，使得 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C正确； 对于D，因为，要使得，所以或3，若， 满足，解得； 若，因为方程的两个根，都不是方程的根， 所以需满足，解得. 综上：或， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $