第06讲 万有引力与宇宙航行模型（模型和方法）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦万有引力与宇宙航行专题，涵盖天体质量与密度、卫星圆周运动、变轨、追及相遇、双星多星五大核心模型，按模型建构逻辑系统梳理知识内在联系，通过模型剖析、关键提醒、高考真题典例精讲及分层变式训练，帮助学生建立解题框架，突破重点难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如卫星变轨模型通过“加速离心、减速近心”原理分析速度与机械能变化，双星模型结合受力分析推导周期公式。设计高考真题情境化教学，配合基础巩固与能力提升分层练习，培养学生科学推理能力，高效提升应考技巧，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第06讲 万有引力与宇宙航行模型 —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 天体质量与密度模型 模型二 模型三 卫星变轨模型 模型四 卫星追及相遇模型 模型五 双星多星模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 天体质量与密度模型 ▶模型剖析 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg，得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr，得M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 关键提醒 只能求中心天体质量，环绕天体质量会约去，无法求解。 ▶模型特训 【典例1】（2026·四川·高考真题）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【推理演示】根据题意，由万有引力提供向心力有 可得 则有 故选B。 【变式1-1】（2026·天津和平·三模）随着中国航天科技的飞跃发展，天问一号之后，中国将向火星发射更多的探测器。某质量为的火星探测器开始绕火星做匀速圆周运动，距离火星表面的距离为，火星的半径为。当探测器登陆火星后检测到一个小球在火星表面附近做自由落体运动，从高为的地方静止释放，经过时间落地，已知万有引力常量，则下列说法正确的是（     ） A．火星的第一宇宙速度为 B．火星质量为 C．探测器圆周运动的向心加速度为 D．探测器在圆轨道上受到的重力为 【答案】A 【详解】A．由小球自由落体运动规律 解得火星表面重力加速度 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，满足 可得，故A正确； B．火星表面万有引力等于重力，即 解得，故B错误； C．探测器轨道半径 万有引力提供向心加速度 联立，解得，故C错误； D．探测器在圆轨道上的重力等于万有引力，故D错误。 故选A。 【变式1-2】（2026·湖南·高考真题）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设恒星半径为R，由题意得行星轨道半径r = nR 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得恒星质量 恒星为均匀球体，体积，平均密度，将r = nR代入得 故选C。 【变式1-3】（2026·天津河西·三模）2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射并成功与天宫空间站对接，这是中国载人航天工程第一次应急发射任务。已知空间站的轨道高度为（小于地球同步卫星的轨道高度），空间站环绕地球做匀速圆周运动的周期为，地球半径为，万有引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．空间站运行的线速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．空间站运行的周期大于地球的自转周期 C．地球的质量为 D．空间站做圆周运动的加速度大小为 【答案】D 【详解】A．第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的最大速度，所以空间站运行的线速度大小小于第一宇宙速度，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得 可知空间站的周期小于地球同步卫星的周期（地球的自转周期），故B错误； C．根据万有引力提供向心力 可得地球的质量为，故C错误； D．空间站做圆周运动的加速度大小为，故D正确。 故选D。 【变式1-4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）在某行星 的水平地面上，竖直固定一轻弹簧，将物块 轻放在弹簧上端并由静止释放，在物块运动的最初一段时间内，其加速度 a 与轻弹簧形变量 x 的关系如题图中①所示。在另一行星 上，用物块 和相同弹簧完成同样的操作，得到图线②。弹簧均未超过弹性限度，行星质量分布均匀且行星 的半径是行星 的2倍，则（　 　） A．M 与 N 的质量之比为 B． 与 的密度之比为 C． 与 下落过程中的最大动能之比为 D． 与 下落过程中减少的重力势能最大值之比为 【答案】BC 【详解】根据牛顿第二定律，物块放在竖直弹簧上向下运动的过程中，满足，即 当时，加速度，纵轴截距表示行星表面的重力加速度。因此，行星A和行星B表面的重力加速度分别为， 因此 当时，物块处于平衡位置，横轴截距表示平衡位置时的形变量 对于物块M和N，分别有， A．在平衡位置有，即 所以物块M和N的质量之比为，故A错误； B．，行星的质量 联立解得行星的密度 已知行星B的半径是行星A的2倍，即，则A与B的密度之比为，故B正确； C．物块下落到平衡位置时，加速度为零，速度最大，此时动能最大。根据能量守恒或受力做功可知，最大动能等于重力势能的减少量与弹性势能增加量之差，即 代入可得 所以物块M与N的最大动能之比为，故C正确； D．物块由静止释放下落，到达最低点时速度为零，由简谐运动的对称性可知，最大下落高度为平衡位置形变量的2倍，即 下落过程中减少的重力势能最大值 M与N减少的重力势能最大值之比为，故D错误。 故选BC。 ✡模型二 卫星的圆周运动模型 ▶模型剖析 1.基本公式 (1)线速度大小：由G=m得v=。 (2)角速度：由G=mω2r得ω=。 (3)周期：由G=m()2r得T=2π。 (4)向心加速度：由G=ma得a=。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、a越小，T越大，即越高越慢。（高轨低速大周期） 2.“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg=G，整理可得GM=gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 3.人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)同步卫星 ①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。 ②周期与地球自转周期相等，T=24 h。  ③高度固定不变，h=3.6×107 m。 ④运行速率约为v=3.1 km/s。 (3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T=85 min(人造地球卫星的最小周期)。 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。 4.同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1=r3 角速度 ω1>ω2=ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 5.三个宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度) v1=7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度 第二宇宙速度 v2=11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3=16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 ▶模型特训 【典例1】（2026·天津·一模）2025年2月，我国成功为濒临退役的北斗G7卫星注入142kg推进剂，使其寿命延长8年，完成了人类航天史上首次“太空加油”。已知北斗G7卫星处于地球同步静止轨道，绕地球做匀速圆周运动，则G7卫星的（    ） A．运行速度小于地球的第一宇宙速度 B．角速度小于地球自转的角速度 C．运行速度小于地球赤道上物体随地球自转的线速度 D．G7卫星可能经过天津正上空 【推理演示】A．万有引力提供卫星运动所需的向心力，所以 由此解出 地球的第一宇宙速度为r=R时的线速度，因为北斗G7卫星轨道半径更大，则运行速度小于地球的第一宇宙速度，故A正确； B．北斗G7卫星处于地球同步静止轨道，其相对地面静止，周期与地球自转周期相同，则角速度等于地球自转的角速度，故B错误； C．因G7卫星角速度等于地球自转的角速度，则由v=rω可得，G7卫星运行速度大于地球赤道上物体随地球自转的线速度，故C错误； D．地球同步静止轨道在赤道平面上方，G7卫星不可能经过天津正上空，故D错误。 故选A。 【变式1-1】（2026·四川成都·三模）如图所示，a为地球赤道上随地球自转的物体，b为赤道上空的静止轨道卫星，c为赤道上空的椭圆轨道卫星，P为b、c卫星轨道交点。已知b卫星轨道的半径与c卫星轨道的半长轴相等。下列说法中正确的是（　　） A．a物体与c卫星的周期相等 B．b卫星与c卫星在P点的万有引力相等 C．a物体的线速度大于b卫星的线速度 D．b卫星的线速度小于c卫星在远地点的线速度 【答案】A 【详解】A．b卫星轨道的半径与c卫星轨道的半长轴相等，根据开普勒第三定律可知，a物体与c卫星的周期相等，A正确； B．b卫星与c卫星的质量关系不确定，则不能比较两卫星在P点的万有引力大小，B错误； C．a物体和b卫星的角速度相同，根据可知，a物体的线速度小于b卫星的线速度，C错误； D．若过椭圆轨道的远地点做圆轨道（设为d卫星），则c卫星在椭圆轨道远地点加速才能进入d卫星的圆轨道，可知d卫星的速度大于c卫星在椭圆轨道远地点的速度，根据可得 则d卫星的速度小于b卫星速度，可知b卫星的线速度大于c卫星在远地点的线速度，D错误。 故选A。 【变式1-2】（2026·湖南长沙·三模）（多选）已知地球质量为，半径为，自转周期为，地球同步卫星质量为，引力常量为有关同步卫星，下列表述正确的是（　　） A．卫星距地面的高度为 B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星可以定点在北京正上方 D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 【答案】BD 【详解】A．同步卫星的周期等于地球自转周期。设轨道半径为，由万有引力提供向心力， 联立得 距地面的高度，故A错误； B．由，可得卫星运行速度；第一宇宙速度 由可得，，故B正确； C．同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，才能保持与地球同步。北京不在赤道上，因此卫星无法定点在北京正上方，故C错误； D．由，可得卫星向心加速度；地球表面有 由可得，，故D正确。 故选BD。 ✡模型三 卫星变轨模型 ▶模型剖析 核心原理：加速离心、减速近心 1.低轨→高轨：在轨道切点向后喷气加速，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆转移轨道；在椭圆远地点再次点火加速，切入更高圆轨道。 2.高轨→低轨：在切点向前喷气减速，万有引力大于所需向心力，卫星近心运动，椭圆近地点再次减速切入低圆轨道。 必记结论 （1）同一椭圆轨道：近地点速度＞远地点速度，机械能守恒； （2）同一切点位置：轨道半径相同，万有引力、向心加速度大小相等； （3）速度大小：圆轨道低轨速度 > 椭圆同切点速度 > 高轨圆轨道速度； （4）每次点火加速，卫星机械能增加，减速则机械能减少。 ▶模型特训 【典例1】（2026·辽宁锦州·二模）2025年10月6日，国家航天局和国家原子能机构联合发布“嫦娥六号”最新成果。如图为探测器登月部分过程：探测器先在周期为的椭圆轨道1运行，经远月点点火变轨进入周期为的椭圆轨道2，月球位于椭圆公共焦点上。已知变轨后轨道2的半长轴是轨道1的倍。结合开普勒定律，下列说法正确的是（　　） A．点火操作应为“加速” B．变轨后探测器的机械能减小 C．变轨后探测器的机械能增大 D．两轨道周期之比 【推理演示】ABC．探测器从高轨道1变到低轨道2，需要减速，让万有引力大于所需的向心力，做近心运动。点火减速时，发动机做负功，探测器的机械能减小，故AC错误，B正确； D．根据开普勒第三定律 两轨道周期之比，故D错误。 故选B。 【变式1-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，初步方案是：采用长征十号火箭先后将揽月着陆器和梦舟载人飞船送入地月转移轨道，经组合变轨，两个飞行器在环月轨道图中未画出交会对接，航天员进入揽月着陆器，之后揽月着陆器被月球捕获下降并将航天员送上月面。下列说法正确的是（　　） A．载人飞船在地月转移轨道上的运行速度大于 B．飞船与着陆器对接时，可以在同一轨道上向后喷气追上着陆器 C．飞船在轨道Ⅱ上P点的加速度大小大于在轨道Ⅰ上P点的加速度大小 D．飞船从捕获轨道转移到冻结轨道时需要在A点减速 【答案】D 【详解】A．地月转移轨道仍受地球引力主导（未脱离地球束缚），所以载人飞船的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，则载人飞船在地月转移轨道上的运行速度小于，故A错误； B．飞船与着陆器对接时，若飞船与着陆器在同一轨道上，飞船向后喷气会加速，做离心运动进入更高轨道，无法追上同一轨道的着陆器，故B错误； C．由牛顿第二定律可得 解得 由于、、都相同，所以飞船在轨道Ⅱ上P点的加速度大小等于在轨道Ⅰ上P点的加速度大小，故 C错误； D．卫星从高轨道变轨到低轨道需要在变轨处点火减速，所以飞船从捕获轨道转移到冻结轨道时需要在A点减速，故 D正确。 故选D。 【变式1-2】（2026·山东日照·二模）“嫦娥六号”月球探测器于2024年6月采样返回。如图所示，探测器返回过程中，从圆轨道Ⅰ上P点变轨后进入椭圆轨道Ⅱ，Q为远月点。则探测器（    ） A．在轨道Ⅰ上的周期小于轨道Ⅱ上的周期 B．在轨道Ⅰ上P点的速度等于轨道Ⅱ上P点的速度 C．在轨道Ⅱ上从P点向Q点运动过程中加速度逐渐增大 D．在轨道Ⅱ上从P点向Q点运动过程中机械能逐渐增大 【答案】A 【详解】A．根据开普勒第三定律，可知探测器在轨道Ⅱ上周期大于探测器在轨道Ⅰ上周期，故A正确； B．探测器在 P点变轨时，需要加速才能从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，在轨道Ⅰ上P点的速度小于轨道Ⅱ上P点的速度，故B错误； C．根据可知，探测器在轨道Ⅱ上从P点向Q点过程中，远离月球，受到的引力逐渐变小，故加速度逐渐变小，故C错误； D．探测器在轨道Ⅱ上从P点向Q点运动过程中只有万有引力做功，探测器机械能不变，故D错误。 故选A。 【变式1-3】（2026·湖南怀化·三模）如图所示，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星中心的连线单位时间扫过的面积。下列说法正确的是（     ） A．图中两阴影部分的面积相等 B．探测器在点的加速度小于在点的加速度 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的机械能变大 D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，在点需减速才能实现变轨 【答案】D 【详解】A．因为探测器在“调相轨道”与“停泊轨道”两个不同的轨道上运动，根据开普勒第二定律可知，图中两阴影部分的面积不相等，A错误； B．根据 可得 则探测器在点的加速度大于在点的加速度，B错误； CD．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器要在P点点火减速，做近心运动，则机械能变小，C错误，D正确。 故选D。 【变式1-4】（2026·湖南·一模）我国“嫦娥”探测器到达月球引力范围后先进入环月圆轨道Ⅰ，在点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，探测器在轨道Ⅰ上点运动的线速度大小为、加速度大小为、机械能为、运行周期为；在轨道Ⅱ上点运动的线速度大小为、加速度大小为、机械能为、运行周期为；则下列选项中关系均正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A．在点，探测器到月球中心的距离相等，根据万有引力提供加速度 解得 可知 探测器从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要减速做近心运动，所以，故A错误； B．由上分析知，根据开普勒第三定律 轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，所以，故B错误； CD．由上分析知、；轨道Ⅰ的半长轴大于轨道的半长轴，轨道越高，机械能越大，可知，故C正确，D错误。 故选C。 ✡模型四 卫星追及相遇模型 ▶模型剖析 两类典型场景 1.同一圆轨道平面内两颗卫星 内层卫星轨道半径小、角速度大，内层卫星不断追赶外层卫星。 相遇条件：转过的角度差 结合 列时间方程求解追及时间。 2.相距最远 / 最近 （1）最近：两卫星与中心天体三点共线，同侧排布，角度差； （2）最远：两卫星分居中心天体两侧，三点共线，角度差。 3.易错点 不能直接用线速度路程差计算圆周追及，必须用角速度、圆心角分析。 ▶模型特训 【典例1】（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 【推理演示】设卫星转动的周期为T′，根据题意可得 可得 根据万有引力提供向心力 可得 代入 可得 故选A。 【变式1-1】（2026·湖北黄冈·模拟预测）（多选）三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球的自转周期为，B的运行周期为，则下列说法正确的是（　　） A．C加速可追上同一轨道上的A B．经过时间，A、B相距最远 C．A、C的向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度 D．在相同时间内，A与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积 【答案】BD 【详解】A．卫星加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的，故A错误； B．卫星、由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为，所以可得 其中，解得经历的时间，故B正确； C．根据万有引力提供向心力，可得向心加速度 可知A、C的向心加速度大小相等，且小于的向心加速度，故C错误； D．绕地球运动的卫星与地心的连线在相同时间内扫过的面积 由万有引力提供向心力，可知 联立解得 可知，在相同时间内，A与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积，故D正确。 故选BD。 【变式1-2】（2026·河北保定·一模）千帆星座（别称G60星链）是中国首个进入正式组网阶段的巨型低轨商业卫星互联网星座，计划于2030年前部署超1.5万颗卫星。如图所示，两颗已发射的卫星A、B在同一轨道平面内绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动（只考虑地球对它们的引力作用），某时刻两者与地心连线夹角为，轨道半径分别为、。已知引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是（　　） A．两卫星的线速度之比为 B．两卫星的加速度之比为 C．再经过时间，两卫星相距最近 D．两卫星经过相同的时间，卫星B与地心连线扫过的面积更大 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 可得 可知两卫星的线速度之比为，故A错误； B．根据牛顿第二定律有 可得 可知两卫星的加速度之比为，故B错误； C．根据万有引力提供向心力可得 可得 设经过时间两卫星相距最近，根据 当时，解得，故C正确； D．卫星与地心连线时间内扫过的面积 代入可得 由于，则两卫星经过相同的时间，卫星A与地心连线扫过的面积更大，故D错误。 故选C。 【变式1-3】（2025·广东湛江·模拟预测）北京时间2024年12月3日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征三号”乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十三号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设通信技术试验卫星十三号、同步卫星围绕地球均做匀速圆周运动，通信技术试验卫星十三号运行的周期为T1、轨道半径为r1，同步卫星运行的周期为T2，且T1＜T2，地球半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．它们的运行速度均大于7.9km/s B．同步卫星的轨道半径为 C．由题目条件可知地球的平均密度为 D．某时刻通信技术试验卫星十三号、同步卫星在轨道上相距最远，再经过时间，它们再次相距最远 【答案】C 【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得 解得 第一宇宙速度7.9km/s是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，所以它们的运行速度均小于7.9km/s，故A错误； B．由开普勒第三定律可得 可得同步卫星的轨道半径为 故B错误； C．对通信技术试验卫星十三号有 则地球的平均密度为 故C正确； D．某时刻通信技术试验卫星十三号、同步卫星在轨道上相距最远，到它们再次相距最远，则有 解得 故D错误。 故选C。 ✡模型五 双星多星模型 ▶模型剖析 1.双星模型 (1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。 ②两星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。 ③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1+r2=L。 2.多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律： 常见的 三星模型 ①+=ma向 ②×cos 30°×2=ma向 常见的 四星模型 ①×cos 45°×2+=ma向 ②×cos 30°×2+=ma向 ▶模型特训 【典例1】（2026·云南昭通·一模）如图所示，某理想化平面四星系统由四颗质量相等的星体组成，四颗星体对称分布在正方形的四个顶点上，绕正方形外接圆圆心做角速度相等的匀速圆周运动，系统稳定且无相对运动，忽略其他天体的引力作用。已知星体质量均为，正方形边长为，引力常量为。下列关于各星体做匀速圆周运动的物理量表述正确的是（　　） A．轨道半径为 B．向心力大小为 C．线速度大小为 D．周期为 【推理演示】A．由几何知识可得 解得星体的轨道半径，故A错误； B．每个星体均受到其他三个星体引力的作用，则向心力，故B错误； C．根据 结合上述结论 解得，故C错误； D．根据 结合上述结论， 解得星体做匀速圆周运动的周期，故D正确。 故选D。 【变式1-1】（2026·山东聊城·二模）“食双星”是一种双星系统，两颗恒星在引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但两颗恒星的彼此“掩食”会使观测到的亮度发生周期性变化。如图所示，两颗恒星相邻两次“掩食”的时刻分别为、。时刻，较亮的恒星遮挡较暗的恒星，观测到亮度L稍微减弱；时刻，较暗的恒星遮挡较亮的恒星，观测到亮度L减弱比较明显。若双星间的距离始终为d，引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．根据已知条件，可求得两恒星质量之比 B．双星系统的角速度为 C．双星系统的总质量为 D．双星做圆周运动的速率之和为 【答案】C 【详解】A．由万有引力提供向心力得 化简可得 根据已知条件无法求得半径的比值，因此无法得到质量比，故A错误； B．根据题意可得双星系统周期为 双星系统的角速度为，故B错误； C．因为 得 根据 得 两式相加可得 双星系统的总质量为，故C正确； D．双星做圆周运动的速率之和为，故D错误。 故选C。 【变式1-2】（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 【答案】A 【详解】D．a、b、c三个天体角速度相同，由于m << M，则对a天体有 解得 故D错误； A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有 解得α = 30° 则c的轨道半径为 由v = ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确； B．由a = ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误； C．c在一个周期内运动的路程为 故C错误。 故选A。 【变式1-3】（2026·江苏南京·二模）如图所示，地球和月球可视作一个双星系统，它们均绕连线上的A点（图中未画出）转动，它们的转动平面内存在一B点，B点处的监测卫星（质量很小）与地心、月心的连线恰好构成等边三角形，三星同步绕A点转动，监测卫星与月球相比较（　　） A．向心力均由地球引力提供 B．角速度较小 C．加速度大小相等 D．线速度较大 【答案】D 【详解】A．监测卫星质量很小，可知其与月球之间的引力可忽略，可知月球向心力主要由地球的吸引力提供，监测卫星向心力由地球和月球的引力提供，故A错误； BD．地球、月球以及在任一拉格朗日点上的卫星都具有相同的运行周期和角速度（这样才能保持不变的相对位置），双星系统实际绕其质心转动，监测卫星到A点的距离大于月球到A点的距离，根据可知，监测卫星速度大于月球速度，故B错误，D正确； C．根据可得监测卫星加速度大于月球加速度，故C错误。 故选D。 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 万有引力与宇宙航行模型 —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 天体质量与密度模型 模型二 模型三 卫星变轨模型 模型四 卫星追及相遇模型 模型五 双星多星模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 天体质量与密度模型 ▶模型剖析 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg，得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr，得M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 关键提醒 只能求中心天体质量，环绕天体质量会约去，无法求解。 ▶模型特训 【典例1】（2026·四川·高考真题）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【变式1-1】（2026·天津和平·三模）随着中国航天科技的飞跃发展，天问一号之后，中国将向火星发射更多的探测器。某质量为的火星探测器开始绕火星做匀速圆周运动，距离火星表面的距离为，火星的半径为。当探测器登陆火星后检测到一个小球在火星表面附近做自由落体运动，从高为的地方静止释放，经过时间落地，已知万有引力常量，则下列说法正确的是（     ） A．火星的第一宇宙速度为 B．火星质量为 C．探测器圆周运动的向心加速度为 D．探测器在圆轨道上受到的重力为 【变式1-2】（2026·湖南·高考真题）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·天津河西·三模）2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射并成功与天宫空间站对接，这是中国载人航天工程第一次应急发射任务。已知空间站的轨道高度为（小于地球同步卫星的轨道高度），空间站环绕地球做匀速圆周运动的周期为，地球半径为，万有引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．空间站运行的线速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．空间站运行的周期大于地球的自转周期 C．地球的质量为 D．空间站做圆周运动的加速度大小为 【变式1-4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）在某行星 的水平地面上，竖直固定一轻弹簧，将物块 轻放在弹簧上端并由静止释放，在物块运动的最初一段时间内，其加速度 a 与轻弹簧形变量 x 的关系如题图中①所示。在另一行星 上，用物块 和相同弹簧完成同样的操作，得到图线②。弹簧均未超过弹性限度，行星质量分布均匀且行星 的半径是行星 的2倍，则（　 　） A．M 与 N 的质量之比为 B． 与 的密度之比为 C． 与 下落过程中的最大动能之比为 D． 与 下落过程中减少的重力势能最大值之比为 ✡模型二 卫星的圆周运动模型 ▶模型剖析 1.基本公式 (1)线速度大小：由G=m得v=。 (2)角速度：由G=mω2r得ω=。 (3)周期：由G=m()2r得T=2π。 (4)向心加速度：由G=ma得a=。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、a越小，T越大，即越高越慢。（高轨低速大周期） 2.“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg=G，整理可得GM=gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 3.人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)同步卫星 ①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。 ②周期与地球自转周期相等，T=24 h。  ③高度固定不变，h=3.6×107 m。 ④运行速率约为v=3.1 km/s。 (3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T=85 min(人造地球卫星的最小周期)。 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。 4.同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1=r3 角速度 ω1>ω2=ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 5.三个宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度) v1=7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度 第二宇宙速度 v2=11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3=16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 ▶模型特训 【典例1】（2026·天津·一模）2025年2月，我国成功为濒临退役的北斗G7卫星注入142kg推进剂，使其寿命延长8年，完成了人类航天史上首次“太空加油”。已知北斗G7卫星处于地球同步静止轨道，绕地球做匀速圆周运动，则G7卫星的（    ） A．运行速度小于地球的第一宇宙速度 B．角速度小于地球自转的角速度 C．运行速度小于地球赤道上物体随地球自转的线速度 D．G7卫星可能经过天津正上空 【变式1-1】（2026·四川成都·三模）如图所示，a为地球赤道上随地球自转的物体，b为赤道上空的静止轨道卫星，c为赤道上空的椭圆轨道卫星，P为b、c卫星轨道交点。已知b卫星轨道的半径与c卫星轨道的半长轴相等。下列说法中正确的是（　　） A．a物体与c卫星的周期相等 B．b卫星与c卫星在P点的万有引力相等 C．a物体的线速度大于b卫星的线速度 D．b卫星的线速度小于c卫星在远地点的线速度 【变式1-2】（2026·湖南长沙·三模）（多选）已知地球质量为，半径为，自转周期为，地球同步卫星质量为，引力常量为有关同步卫星，下列表述正确的是（　　） A．卫星距地面的高度为 B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星可以定点在北京正上方 D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 ✡模型三 卫星变轨模型 ▶模型剖析 核心原理：加速离心、减速近心 1.低轨→高轨：在轨道切点向后喷气加速，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆转移轨道；在椭圆远地点再次点火加速，切入更高圆轨道。 2.高轨→低轨：在切点向前喷气减速，万有引力大于所需向心力，卫星近心运动，椭圆近地点再次减速切入低圆轨道。 必记结论 （1）同一椭圆轨道：近地点速度＞远地点速度，机械能守恒； （2）同一切点位置：轨道半径相同，万有引力、向心加速度大小相等； （3）速度大小：圆轨道低轨速度 > 椭圆同切点速度 > 高轨圆轨道速度； （4）每次点火加速，卫星机械能增加，减速则机械能减少。 ▶模型特训 【典例1】（2026·辽宁锦州·二模）2025年10月6日，国家航天局和国家原子能机构联合发布“嫦娥六号”最新成果。如图为探测器登月部分过程：探测器先在周期为的椭圆轨道1运行，经远月点点火变轨进入周期为的椭圆轨道2，月球位于椭圆公共焦点上。已知变轨后轨道2的半长轴是轨道1的倍。结合开普勒定律，下列说法正确的是（　　） A．点火操作应为“加速” B．变轨后探测器的机械能减小 C．变轨后探测器的机械能增大 D．两轨道周期之比 【变式1-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，初步方案是：采用长征十号火箭先后将揽月着陆器和梦舟载人飞船送入地月转移轨道，经组合变轨，两个飞行器在环月轨道图中未画出交会对接，航天员进入揽月着陆器，之后揽月着陆器被月球捕获下降并将航天员送上月面。下列说法正确的是（　　） A．载人飞船在地月转移轨道上的运行速度大于 B．飞船与着陆器对接时，可以在同一轨道上向后喷气追上着陆器 C．飞船在轨道Ⅱ上P点的加速度大小大于在轨道Ⅰ上P点的加速度大小 D．飞船从捕获轨道转移到冻结轨道时需要在A点减速 【变式1-2】（2026·山东日照·二模）“嫦娥六号”月球探测器于2024年6月采样返回。如图所示，探测器返回过程中，从圆轨道Ⅰ上P点变轨后进入椭圆轨道Ⅱ，Q为远月点。则探测器（    ） A．在轨道Ⅰ上的周期小于轨道Ⅱ上的周期 B．在轨道Ⅰ上P点的速度等于轨道Ⅱ上P点的速度 C．在轨道Ⅱ上从P点向Q点运动过程中加速度逐渐增大 D．在轨道Ⅱ上从P点向Q点运动过程中机械能逐渐增大 【变式1-3】（2026·湖南怀化·三模）如图所示，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星中心的连线单位时间扫过的面积。下列说法正确的是（     ） A．图中两阴影部分的面积相等 B．探测器在点的加速度小于在点的加速度 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的机械能变大 D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，在点需减速才能实现变轨 【变式1-4】（2026·湖南·一模）我国“嫦娥”探测器到达月球引力范围后先进入环月圆轨道Ⅰ，在点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，探测器在轨道Ⅰ上点运动的线速度大小为、加速度大小为、机械能为、运行周期为；在轨道Ⅱ上点运动的线速度大小为、加速度大小为、机械能为、运行周期为；则下列选项中关系均正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， ✡模型四 卫星追及相遇模型 ▶模型剖析 两类典型场景 1.同一圆轨道平面内两颗卫星 内层卫星轨道半径小、角速度大，内层卫星不断追赶外层卫星。 相遇条件：转过的角度差 结合 列时间方程求解追及时间。 2.相距最远 / 最近 （1）最近：两卫星与中心天体三点共线，同侧排布，角度差； （2）最远：两卫星分居中心天体两侧，三点共线，角度差。 3.易错点 不能直接用线速度路程差计算圆周追及，必须用角速度、圆心角分析。 ▶模型特训 【典例1】（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·湖北黄冈·模拟预测）（多选）三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球的自转周期为，B的运行周期为，则下列说法正确的是（　　） A．C加速可追上同一轨道上的A B．经过时间，A、B相距最远 C．A、C的向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度 D．在相同时间内，A与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积 【变式1-2】（2026·河北保定·一模）千帆星座（别称G60星链）是中国首个进入正式组网阶段的巨型低轨商业卫星互联网星座，计划于2030年前部署超1.5万颗卫星。如图所示，两颗已发射的卫星A、B在同一轨道平面内绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动（只考虑地球对它们的引力作用），某时刻两者与地心连线夹角为，轨道半径分别为、。已知引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是（　　） A．两卫星的线速度之比为 B．两卫星的加速度之比为 C．再经过时间，两卫星相距最近 D．两卫星经过相同的时间，卫星B与地心连线扫过的面积更大 【变式1-3】（2025·广东湛江·模拟预测）北京时间2024年12月3日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征三号”乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十三号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设通信技术试验卫星十三号、同步卫星围绕地球均做匀速圆周运动，通信技术试验卫星十三号运行的周期为T1、轨道半径为r1，同步卫星运行的周期为T2，且T1＜T2，地球半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．它们的运行速度均大于7.9km/s B．同步卫星的轨道半径为 C．由题目条件可知地球的平均密度为 D．某时刻通信技术试验卫星十三号、同步卫星在轨道上相距最远，再经过时间，它们再次相距最远 ✡模型五 双星多星模型 ▶模型剖析 1.双星模型 (1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。 ②两星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。 ③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1+r2=L。 2.多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律： 常见的 三星模型 ①+=ma向 ②×cos 30°×2=ma向 常见的 四星模型 ①×cos 45°×2+=ma向 ②×cos 30°×2+=ma向 ▶模型特训 【典例1】（2026·云南昭通·一模）如图所示，某理想化平面四星系统由四颗质量相等的星体组成，四颗星体对称分布在正方形的四个顶点上，绕正方形外接圆圆心做角速度相等的匀速圆周运动，系统稳定且无相对运动，忽略其他天体的引力作用。已知星体质量均为，正方形边长为，引力常量为。下列关于各星体做匀速圆周运动的物理量表述正确的是（　　） A．轨道半径为 B．向心力大小为 C．线速度大小为 D．周期为 【变式1-1】（2026·山东聊城·二模）“食双星”是一种双星系统，两颗恒星在引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但两颗恒星的彼此“掩食”会使观测到的亮度发生周期性变化。如图所示，两颗恒星相邻两次“掩食”的时刻分别为、。时刻，较亮的恒星遮挡较暗的恒星，观测到亮度L稍微减弱；时刻，较暗的恒星遮挡较亮的恒星，观测到亮度L减弱比较明显。若双星间的距离始终为d，引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．根据已知条件，可求得两恒星质量之比 B．双星系统的角速度为 C．双星系统的总质量为 D．双星做圆周运动的速率之和为 【变式1-2】（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 【变式1-3】（2026·江苏南京·二模）如图所示，地球和月球可视作一个双星系统，它们均绕连线上的A点（图中未画出）转动，它们的转动平面内存在一B点，B点处的监测卫星（质量很小）与地心、月心的连线恰好构成等边三角形，三星同步绕A点转动，监测卫星与月球相比较（　　） A．向心力均由地球引力提供 B．角速度较小 C．加速度大小相等 D．线速度较大 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 万有引力与宇宙航行模型 ✡模型一 天体质量与密度模型 【典例1】【答案】B 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】D 【变式1-4】【答案】BC ✡模型二 卫星的圆周运动模型 【典例1】【答案】A 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】BD ✡模型三 卫星变轨模型 【典例1】【答案】B 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】D 【变式1-4】【答案】C ✡模型四 卫星追及相遇模型 【典例1】【答案】A 【变式1-1】【答案】BD 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】C ✡模型五 双星多星模型 【典例1】【答案】D 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】D 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $