空间几何体的截面问题12——2025-2026学年高一下学期数学必修二立体几何初步暑假专项作业

**基本信息** 以“原理-方法-题型-流程”为逻辑主线，系统构建空间几何体截面问题的解题体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心原理|2个基本事实|两点共面连线、延长找交点、平行作平行线|基于平面基本事实构建作截面底层逻辑| |作截面方法|3种通用方法|交点延长法（最常用）、平行线法、中点辅助法|从通用方法到特殊技巧，覆盖不同情境需求| |高频题型|4类题型|形状判断（三角形/平行四边形等）、周长面积计算、平行垂直证明、体积比值|按“定性判断-定量计算-逻辑证明”递进设计| |解题流程与技巧|5步流程+4个技巧|定范围→找共点→连边线→判图形→定量计算|形成“操作步骤-快速技巧”双轨解题路径|

高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业12 测试范围：空间几何体的截面问题 知识梳理： 一、核心原理：作截面两大依据 基本事实 1：两平面相交，交线是一条直线；找截面本质找平面与几何体各面的交线。 基本事实 2：三点共面、两直线平行/延长相交得公共点。 核心口诀：找点→连线，延长找交点，平行作平行线 二、三种作截面通用方法 方法 1：交点延长法（最常用） 步骤： 1. 标出已知截面与棱的交点； 2. 同一侧面两点相连； 3. 线段延长，找到与其他棱延长线的公共交点； 4. 连接交点与剩余顶点，补齐全部交线，闭合多边形。 方法 2：平行线法 若截面一条边平行几何体某棱/面内直线，利用面面平行→交线平行，直接作平行线确定截面顶点。 方法 3：中点等分点辅助法 遇到棱中点、三等分点，利用中位线平行快速画平行截面。 三、高频题型分类 题型 1：已知棱上三点，画出截面并判断形状 解题步骤： 1. 两点同面直接连线； 2. 不共面线段延长找公共交点； 3. 依次连接所有交点，闭合图形； 4. 根据边长、平行、垂直判断：三角形/平行四边形/菱形/正六边形。 题型 2：截面周长、面积计算 1、三角形截面：勾股定理求边长，海伦公式/底乘高算面积； 2、平行四边形/矩形：求邻边与夹角，； 3、六边形（正方体正中截面）：六条相等线段，正六边形，拆成 6 个正三角形计算。 题型 3：截面平行/垂直证明 1、截面平行底面：截面各边对应底面边平行； 2、截面垂直某棱/某面：证明截面内一条直线垂直该平面。 题型 4：截面分几何体体积比值 截成两部分，分别求棱锥、棱柱体积，再算比例。 四、万能解题流程 1. 定范围：确定平面穿过哪几条棱，标记交点； 1. 找共点：同一平面两点连线，延长异面线段找跨面公共点； 1. 连边线：顺次连接所有交点，得到封闭截面多边形； 1. 判图形：利用平行、等长、垂直判断形状； 1. 定量计算：边长、周长、面积、体积。 五、快速做题技巧 1. 两点在同一个面上→直接连；两点不在同一面→延长找交点再连； 1. 正方体取各棱中点截面：正六边形，对边平行且相等； 1. 截面有两组对边平行 → 平行四边形；四边相等 + 邻边垂直→正方形；四边相等无直角→菱形； 1. 求截面最大面积：正方体过体对角线的矩形截面面积最大。 回归教材： 【人教A版必修二习题8.5第12题】一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，应该怎样画线？ 【答案】画线见解析． 【分析】试题分析：利用线面平行的判定定理去确定． 【解析】过平面内一点作直线，交于，交于；过平面内一点作直线，交于，则，所确定的截面为所求． 考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用． 【人教A版必修二第8.5.2节例3】如图所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 【答案】（1）见解析（2）直线与平面平行直线与平面相交. 【分析】（1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，实际上是经过及外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.根据直线与平面平行的性质定理和平行公理，画出所需要的线段. （2）根据（1）的分析，结合线面平行的判定定理可知，所画直线与平面平行.显然所画直线与平面相交. 【详解】（1）如图所示，在平面内，过点P作直线，使，并分别交棱，于点连接，则就是应画的线.理由是:由于平面，平面,平面平面，所以.由于，所以，所以四点共面. （2）由（1）知，，而在平面内，在平面外，所以平面.显然，都与平面相交. 【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理和判定定理，考查平行公理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 【人教B版必修四03复习题A组第6题】过正四棱台各侧棱中点的截面称为正四棱台的中截面，若正四棱台的两底面边长分别为3和5，求它的中截面的面积． 【答案】16 【详解】正四棱台中截面边长为，且为正方形，所以面积为16． 【人教B版必修四03复习题A组第8题】已知圆锥的轴截面是正三角形，求证：它的侧面积是底面积的2倍. 【分析】设出圆锥的底面半径和母线，根据轴截面是正三角形，明确与的关系，再代入圆锥的侧面积公式可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形，所以母线，所以. 【人教B版必修四03复习题B组第11题】已知球O的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且A、B都是圆上的点，，，求△OAB的面积． 【答案】 【分析】根据题意，由勾股定理可得的长度，然后再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图，，又，，又， 则的面积为. 【人教B版必修四03复习题C组第3题】一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线；三种情况得到答案. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得（3）；当截面过正方体的体对角线时得（2）； 当截面既不平行于任何侧面也不过体对角线时得（1）；但无论如何都不能截出（4）. 【点睛】本题考查了截面图形，漏解是容易发生的错误. 【人教B版必修四03复习题C组第7题】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，求球心到截面的距离． 【答案】 【详解】试题分析：三棱锥中两两互相垂直，所以三棱锥外接球与以为临边的正方体外接球是相同的，由半径为可得,由得P到平面的距离为，所以球心到截面的距离为 点评：本题根据三棱锥的特点将其转化到正方体上，使其容易确定球心位置 跟踪训练： 一、单选题 1．正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH，因为M是的中点，所以直线DH经过点M，连接MN，则，则等腰梯形，即为过、M、N三点的正方体的截面，故选：C. 2．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求. 【详解】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则.在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，，∴，故截面为平行四边形，∴在木块表面画线的总长度为.故选：B. 3.已知正方体,点E是上底面上任意一点,过A,C,E三点作平面截正方体,则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【解析】如下图,当在上,截面形状为矩形,当与重合,截面形状为等边三角形,当在除上述两种情况外的其它位置,截面形状为等腰梯形.故选C. 4.如图,正方体的棱长为3,分别在上,且,,过三点的平面截该正方体,则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图,延长交于点,则,即为的一个三等分点,连接,取的中点为,连接,则,所以四点共面,故梯形即为截面图形,显然为最长边,长度为．故选B. 5.在正四棱柱中,,分别是的中点,则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线分别与相交于点,连接,分别与交于点, 连接,故五边形即为平面截该四棱柱所得截面,其中分别是的中点,故,,故,由勾股定理得, ,同理可得,又,故, 故平面截该四棱柱所得截面的周长为.故选A. 6．已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球被平面所截得的截面面积为，可得截面圆的半径为，正方形的边长为， 设球的半径为，则到平面的距离为，，解得， 所以四棱锥的体积为. 7．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图，因为正方体中，分别是棱的中点，所以，所以四点共面.由正方体的棱长为2，可得，，所得截面周长为，故选：B. 8．在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一,根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值; 方法二, 根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值. 【详解】方法一：因为，所以点在的外接圆上，所以三棱锥的四个顶点均在球上，即球为四棱锥的外接球，故球心在正方形的中心，则球的半径为．过作球的截面，当所得截面圆面积最小时，则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点），所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上，所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球，故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点），所以截面圆半径为1，所以面积最小值为．故选：B. 9．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为， 则底面直径为，则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为，则，所以，则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为，此时面积，可知当时，即时，面积最大，此时面积. 二、多选题 10．用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】ABC 【分析】举出符合题意的截面图形的例子即可得. 【详解】对A：如下图：截面与三条侧棱相交，其中，为线段上任意一点（不与端点重合），此时有，即截面是等腰三角形； 对B：如下图：截面中，、，且与不平行，此时，且与不平行，即截面四边形是等腰梯形； 对C：如下图：截面中，，此时、，截面四边形是平行四边形； 对D：由正三棱锥只有四个面，不可能交出五边形.故A、B、C正确，D错误. 11．如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的动点，F是棱AB上的动点，过点，C，F作正方体的截面α，则（   ） A．存在点E，使得平面 B．三棱锥的体积是定值 C．截面α的形状为梯形 D．当截面α的面积取得最小值时，F为AB的中点 【答案】BD 【分析】由线面垂直的性质判断A，由体积公式判断B，由截面的真正形状判断C，由正方体的对称性或求出截面面积的最小值判断D. 【详解】对A，矩形中，与不垂直，因此平面不可能成立，A错； 对B，平面，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值；B正确；对C，当与重合时，截面即为矩形，它不是梯形，C错；（实际上可证明截面是平行四边形）对D，由对称性可知，截面与棱相交，记交点为，由面面平行的性质定理知，所以截面是平行四边形，由对称性可知当为中点时，截面是菱形，面积最小，证明如下：设，则，，又，则，，，所以，即为中点时，截面面积最小，D正确.故选：BD. 三、填空题 12．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为 边形． 【答案】五 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点，连接，交于，连接，交于，连接，.则五边形即为过与该正方体的截面. 13．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【答案】 【分析】取的中点的中点的中点，连接，由面面平行的性质定理，即得截面多边形，分析可得多边形为正六边形，求出边长后计算面积即可. 【详解】 取的中点的中点的中点，连接，则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为，所以截面的面积为：. 14．已知正方体的棱长为2，则以为球心，2为半径的球面与正方体的截面的交线长为___________ 【答案】 【分析】平面与球面相交所形成的交线形状应为圆，由对称性可知本题的交线形状应为半圆，再求结论. 【详解】      由对称性可知，以为球心，2为半径的球面与棱长为2的正方体的截面的交线为以为直径的半圆，该半圆的半径,因此交线长. 15.如图,在棱长为4的正方体中,点E,F分别为棱,的中点,过点F作与DE垂直的平面,则截正方体所得截面的周长为__________． 【答案】 【解析】如图,取的中点G,连接EG,GD,过点F作GD的垂线,与相交于点M, 即,,且,平面EGD,则平面EGD,又平面EGD,所以,且,所以．连接,过点M作的垂线,交CD于点H,因为,,且,平面,则平面,又平面EGD,所以, 又,平面,所以平面,所以平面就是平面,且, 所以,,即所得截面的周长为． 四、解答题 16．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求该球的表面积． 【答案】 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可. 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知， 且，为两截面圆的圆心，则，．设球的半径为，，． ，．设，则． 在中，，记为①式，在中，，记为②式， 联立①②可得，．，故球的表面积为． 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心， 则，．设球的半径为，，． ，．设，则． 在中，．在中，． ，解得，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为． 17．已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，求截面面积的最小值. 【答案】 【分析】因为已知正三棱柱各棱长，所以可先确定底面正三角形外接圆的圆心，结合正三棱柱的高确定外接球的球心位置，再计算球心到的距离. 因为截面面积最小的情况是截面与球心和截面圆的圆心的连线垂直，此时截面圆的半径最小，所以求出球心到的距离，利用勾股定理计算最小截面圆的半径,即可求得答案. 【详解】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接， 设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为 则下底面外接圆的半径为，在中，，则， 在中，，，，作于，由于，则F为的中点， 则过的平面垂直时截面圆的面积最小，则， 截面圆的半径为，所以截面圆的面积最小值为. 18．如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【详解】（1）因为，所以M为的中点，作，交于G，则G为的中点，连接，则，由题意知四边形为平行四边形，则，故， 即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面，连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面，故，则， 由题意知四边形为正方形，故，则，即假设成立，故在线段上存在一点N，使直线平面，此时；由于，，故，故， 中，，则， 即，而，，故，则. 19．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)作图见解析；(2)小几何体与大几何体的比值为； (3)存在，理由见解析，长度的取值范围为. 【分析】（1）在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. （2）先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. （3）分别取的中点，求证四点共面，接着通过求证平面平面得证点时平面，再依据条件求出等腰梯形的高和、的长即可得解. 【详解】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面，且平面平面，平面平面，平面平面，则为截面与各木块表面的交线. （2） 由于点在平面内且为的重心，，所以，又因为， 故，故几何体为棱柱，设棱台的高为，的面积为，故， 又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. （3）分别取的中点，则当点时有平面， 证明如下：由分别为的中点得， 又由于在正三棱台中，，所以，四点共面，又因为，点O为重心， 所以，又由正三棱台性质， 故四边形为平行四边形，故， 因为平面、平面，所以平面，同理平面， 因为，平面，所以平面平面， 所以当点时，平面，于是平面， 在梯形中，由已知条件和前面的分析知：， 即四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形， 所以该由等腰梯形性质得该等腰梯形的高为， 所以，所以长度的取值范围为. 【点睛】求解长度的取值范围关键点1是通过作出过点O且与平面相交的平面、又与平面平行的平面并证明；关键点2是由已知得出四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形，从而通过等腰梯形性质求出等腰梯形的高和、的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业12 测试范围：空间几何体的截面问题 知识梳理： 一、核心原理：作截面两大依据 基本事实 1：两平面相交，交线是一条直线；找截面本质找平面与几何体各面的交线。 基本事实 2：三点共面、两直线平行/延长相交得公共点。 核心口诀：找点→连线，延长找交点，平行作平行线 二、三种作截面通用方法 方法 1：交点延长法（最常用） 步骤： 1. 标出已知截面与棱的交点； 2. 同一侧面两点相连； 3. 线段延长，找到与其他棱延长线的公共交点； 4. 连接交点与剩余顶点，补齐全部交线，闭合多边形。 方法 2：平行线法 若截面一条边平行几何体某棱/面内直线，利用面面平行→交线平行，直接作平行线确定截面顶点。 方法 3：中点等分点辅助法 遇到棱中点、三等分点，利用中位线平行快速画平行截面。 三、高频题型分类 题型 1：已知棱上三点，画出截面并判断形状 解题步骤： 1. 两点同面直接连线； 2. 不共面线段延长找公共交点； 3. 依次连接所有交点，闭合图形； 4. 根据边长、平行、垂直判断：三角形/平行四边形/菱形/正六边形。 题型 2：截面周长、面积计算 1、三角形截面：勾股定理求边长，海伦公式/底乘高算面积； 2、平行四边形/矩形：求邻边与夹角，； 3、六边形（正方体正中截面）：六条相等线段，正六边形，拆成 6 个正三角形计算。 题型 3：截面平行/垂直证明 1、截面平行底面：截面各边对应底面边平行； 2、截面垂直某棱/某面：证明截面内一条直线垂直该平面。 题型 4：截面分几何体体积比值 截成两部分，分别求棱锥、棱柱体积，再算比例。 四、万能解题流程 1. 定范围：确定平面穿过哪几条棱，标记交点； 1. 找共点：同一平面两点连线，延长异面线段找跨面公共点； 1. 连边线：顺次连接所有交点，得到封闭截面多边形； 1. 判图形：利用平行、等长、垂直判断形状； 1. 定量计算：边长、周长、面积、体积。 五、快速做题技巧 1. 两点在同一个面上→直接连；两点不在同一面→延长找交点再连； 1. 正方体取各棱中点截面：正六边形，对边平行且相等； 1. 截面有两组对边平行 → 平行四边形；四边相等 + 邻边垂直→正方形；四边相等无直角→菱形； 1. 求截面最大面积：正方体过体对角线的矩形截面面积最大。 回归教材： 【人教A版必修二习题8.5第12题】一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，应该怎样画线？ 【人教A版必修二第8.5.2节例3】如图所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 【人教B版必修四03复习题A组第6题】过正四棱台各侧棱中点的截面称为正四棱台的中截面，若正四棱台的两底面边长分别为3和5，求它的中截面的面积． 【人教B版必修四03复习题A组第8题】已知圆锥的轴截面是正三角形，求证：它的侧面积是底面积的2倍. 【人教B版必修四03复习题B组第11题】已知球O的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且A、B都是圆上的点，，，求△OAB的面积． 【人教B版必修四03复习题C组第3题】一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______. 【人教B版必修四03复习题C组第7题】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，求球心到截面的距离． 跟踪训练： 一、单选题 1．正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 2．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 3.已知正方体,点E是上底面上任意一点,过A,C,E三点作平面截正方体,则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 4.如图,正方体的棱长为3,分别在上,且,,过三点的平面截该正方体,则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 5.在正四棱柱中,,分别是的中点,则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 6．已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 8．在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 11．如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的动点，F是棱AB上的动点，过点，C，F作正方体的截面α，则（   ） A．存在点E，使得平面 B．三棱锥的体积是定值 C．截面α的形状为梯形 D．当截面α的面积取得最小值时，F为AB的中点 三、填空题 12．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为 边形． 13．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 14．已知正方体的棱长为2，则以为球心，2为半径的球面与正方体的截面的交线长为___________ 15.如图,在棱长为4的正方体中,点E,F分别为棱,的中点,过点F作与DE垂直的平面,则截正方体所得截面的周长为__________． 四、解答题 16．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求该球的表面积． 17．已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，求截面面积的最小值. 18．如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 19．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $