直线与平面所成的角-2025-2026学年高一下学期暑假数学立体几何初步专项作业07

**基本信息** 聚焦直线与平面所成角，构建“定义-求法-步骤”系统方法体系，通过教材典例与分层训练深化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|1模块|定义-范围-求法（等体积法）-步骤（作连算）三步流程|从斜线、射影概念生成到线面角原理推导，形成完整认知链| |回归教材|3例（含证明与计算）|教材母题迁移，强化定义应用与逻辑推理|衔接教材例题与习题，巩固基础方法| |跟踪训练|19题（单选10+填空4+解答5）|正方体、锥体等多情境求解，渗透转化思想|覆盖不同几何体线面角计算，实现从基础到综合的能力提升|

高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业07 测试范围：直线与平面所成的角 知识梳理： 1. 直线与平面所成的角 （1）定义:如图,一条直线与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. （2）范围: （3）求法过平面外一点做上平面，交平面于点；连接 ，则即为直线与平面的夹角. 接下来在中解三角形. 即（其中 即点到面的距离,可以采用等体积法求 ,斜线长即为线段的长度）; （4）步骤： 作：过斜线上一点（非斜足）作平面的垂线，垂足为射影的端点； 连：连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影； 算：斜线与射影的夹角即为线面角，在含该角的直角三角形中，利用三角函数（正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边）求解． 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.2节例4】如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 【答案】 【分析】根据正方体性质作出直线和平面所成角的平面角，即可求得结果. 【详解】设正方体的棱长为a.易知，，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又易知，，平面，可得平面. 因此为斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，，，可得.所以. 即直线和平面所成的角为30°. 【人教A版必修二习题8.6第13题】求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等. 【答案】证明见解析 【分析】写出命题，作出图形，找出线面角，通过全等三角形关系证明线面角相等. 【详解】已知：分别是a，b与所成的角.求证：. 证明：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面的同侧，且，连接AB和， 因为，所以四边形是平行四边形.所以，又， 所以.设分别是平面的垂线的垂足，连接，则， 在和中，因为.所以， 所以. 【点睛】此题考查线面角的辨析，根据定义作出直线与平面所成角，结合全等三角形的性质证明角相等. 【人教A版必修二复习参考题8第13题】如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【详解】（1）证明：因为，所以，又底面ABC，所以，又，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC； （2）如图所示： 作，连接OM，因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，所以平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角，设，则，所以，又，所以，所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 跟踪训练： 一、单选题 1．已知正方体，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的结构特征，结合线面角的定义直接计算作答. 【详解】如图，正方体， 平面，则是直线与平面所成的角，在中，，，因此，所以与平面所成的角为. 2．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，是直角三角形，，在中解出即可得到体积. 【详解】 由已知，是直角三角形，且即为与平面所成的角，即，，则，则.长方体的体积. 3．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为圆锥底面直径,且，则是圆锥底面的圆心.是圆锥的高，即圆锥底面，因此在底面的射影为，所以与圆锥底面所成角为.由题设，且，则是等腰直角三角形，可得，即与圆锥底面所成角为 4．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 5．在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，则所求线面角为，利用勾股定理求得，作比可求得结果. 【详解】取中点，连接 为侧面的中心，平面，与平面所成角即为， 设正方体棱长为，则，，， ，即与平面所成角的余弦值为. 6．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定及线面角的定义求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则， 由分别是的中点，得， 则四边形是平行四边形，，而平面，平面， 因此平面，所以直线与平面所成的角为. 7．在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将该正三棱台补成一个正四面体，进而补成正方体，结合等体积法求解即可. 【详解】由题意可将该正三棱台补成一个正四面体，平面即为平面． 正四面体进一步又可以放到一个正方体内研究， 设正方体棱长为2，， 设点到平面的距离为，则， 所以，则.设与平面所成角为，则． 8．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，，取的中点，连接，是中点，是中点，，底面，故底面，是在底面的射影，是直线与底面所成角，    则，，， 底面，底面，，即是直角三角形， ． 9．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】作于，先证明AP与平面ABCD所成角为，再根据三角形中的关系分别求解再求解正切值即可 【详解】如图，连接，因为在平面ABCD上的投影为，故作于，且平面，连接，则AP与平面ABCD所成角为.因为，故，且，故. 所以AP与平面ABCD所成角的正切值为 10．如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为，因为是的中点，所以，又平面，平面，所以，平面，，所以平面，所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角.设，则，， 由，则，得， 在中，.所以直线与平面所成角的正弦值为. 二、填空题 11．一条与平面α相交的线段,其长度为10 cm,两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm,则这条线段与平面α所成的角是　　　　　.  【答案】30° 【解析】如图,AB是一条与平面α相交的线段,过点A作AC⊥α,垂足为C;过点B作BD⊥α,垂足为D, 则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面α交于CD,且CD与AB相交于点O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,可得∠AOC=∠BOD=30°.即线段AB与平面α所成的角为30°. 12．在正方体中，是的中点，则和底面所成角的正切值为______． 【答案】 【分析】取中点，连接、，即可得到平面，则即为直线和平面的夹角，再由锐角三角函数计算可得； 【详解】如图，取中点，连接、，根据正方体的性质可得平面， 则即为直线和平面的夹角．设正方体边长为，则，，所以， 13．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以，又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 14．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．若正方形的边长为2，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 【答案】 【详解】在正方形中，．又∵侧面底面，平面平面， 平面，∴平面．∵，∴平面，平面故． 又平面，∴．∵侧面是正三角形且是的中点，∴． 平面，平面，，∴平面．∴是直线与平面所成的角．在正中，，∴，， 在中，，∴．∴． 三、解答题 15．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，求直线与对角面所成角的大小。 【答案】 【分析】连接，交于点O，证明直线与平面所成的角是，由得直线与平面所成的角等于，在直角三角形中求得此角大小． 【详解】由E，F分别是的中点得．连接，交于点O， 平面，平面，则，又正方形中，，平面，所以平面，所以直线与平面所成的角是，即直线与平面所成的角等于，平面，，，，直角三角形中， 16．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 求该正三棱台的体积。 【答案】 【分析】设正三棱台的上下底面的中心分别为，证得平面，得到为直线与底面所成的角，求得正三棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为,分别连接，过作的垂线，垂足为，则，因为平面，所以平面，所以为直线与底面所成的角，所以，因为正三棱台的上下底面的面积分别为和，即等边的边长为，等边的边长为，可得，所以，因为，可得，所以， 即正三棱台的高， 所以正三棱台的体积为. 17．在正方体ABCDA1B1C1D1中， （1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值； （2）求直线A1B与平面BDD1B1所成的角. 【答案】（1）（2）30° 【分析】（1）连接CA，由题可得∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，进而可求tan∠A1CA； （2）连接A1C1交B1D1于O，可证明A1C1⊥平面BDD1B1，进而可得∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，计算可得∠A1BO的大小． 【详解】（1）连接CA，∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝，∴tan∠A1CA＝； （2）连接A1C1交B1D1于O， 在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1， ∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O. ∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B， ∴∠A1BO＝30°，即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°. 18．如图，正方体，棱长为，是棱的中点，计算下列直线与平面所成角的大小． (1)直线与平面所成角的大小； (2)直线与平面所成角的大小； (3)直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)45°；(2)；(3) 【分析】（1）（2）（3）根据线面角的定义找出线面角，利用直角三角形求出结果； 【解析】（1）由正方体的性质可知，直线与平面所成的角为，在直角三角形中，，即直线与平面所成角的大小为. （2）连接，由正方体的性质可知，直线与平面所成的角为， 在直角三角形中，；. （3）过点作，交于，则直线与平面所成的角为， 在直角三角形中，；. 19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证:EF⊥平面PAB; (2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值. (1)证明:∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AB. ∵AD⊥AB,PD∩AD=D,∴AB⊥平面PAD,∴PA⊥AB. 取AB的中点G,连接EG,FG,如图所示. ∵E为CD的中点,∴EG⊥AB.再由FG为△BAP的中位线,可得FG∥PA, ∴FG⊥AB.∴AB垂直于平面EFG内的两条相交直线EG,FG, ∴AB⊥平面EFG,∴AB⊥EF. 连接EP,EB.由已知可得,EP==EB=, 故△EPB为等腰三角形,故有EF⊥BP.∵AB∩BP=B,∴EF⊥平面PAB. (2)不妨设BC=1,则AD=PD=1,AB=,PA=,AC=∴△PAB为等腰直角三角形,且PB=2. ∵F是PB的中点,∴BF=1,AF⊥PB.∵AF∩EF=F,∴PB⊥平面AEF. 设BE交AC于点K,过点K作KH∥PB交EF于点H,则KH⊥平面AEF,连接AH, 故∠KAH为AC与平面AEF所成的角. 由△EKC∽△BKA可知,EK=KB,AK=2CK,所以EK=EB,AK=AC= 由△EKH∽△EBF,可知KH=BF=所以sin∠KAH=, 所以AC与平面AEF所成角的正弦值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业07 测试范围：直线与平面所成的角 知识梳理： 1. 直线与平面所成的角 （1）定义:如图,一条直线与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. （2）范围: （3）求法过平面外一点做上平面，交平面于点；连接 ，则即为直线与平面的夹角. 接下来在中解三角形. 即（其中 即点到面的距离,可以采用等体积法求 ,斜线长即为线段的长度）; （4）步骤： 作：过斜线上一点（非斜足）作平面的垂线，垂足为射影的端点； 连：连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影； 算：斜线与射影的夹角即为线面角，在含该角的直角三角形中，利用三角函数（正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边）求解． 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.2节例4】如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 【人教A版必修二习题8.6第13题】求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等. 【人教A版必修二复习参考题8第13题】如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 跟踪训练： 一、单选题 1．已知正方体，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 8．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 9．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 10．如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一条与平面α相交的线段,其长度为10 cm,两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm,则这条线段与平面α所成的角是　　　　　.  12．在正方体中，是的中点，则和底面所成角的正切值为______． 13．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 14．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．若正方形的边长为2，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 三、解答题 15．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，求直线与对角面所成角的大小。 16．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 求该正三棱台的体积。 17．在正方体ABCDA1B1C1D1中， （1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值； （2）求直线A1B与平面BDD1B1所成的角. 18．如图，正方体，棱长为，是棱的中点，计算下列直线与平面所成角的大小． (1)直线与平面所成角的大小； (2)直线与平面所成角的大小； (3)直线与平面所成角的大小． 19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证:EF⊥平面PAB; (2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $