微专题拓展11 利用导数解决恒（能）成立问题（13大题型）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦导数解决恒（能）成立问题核心考点，按解题方法（完全参数分离、同构法等）和13类重难点题型（指对同构、端点效应等）系统架构知识，通过方法总结、题型梳理、真题讲解、分层练习环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以题型精细分类和方法针对性指导为特色，如通过指对同构法训练培养数学思维，结合端点效应真题案例提升数学语言表达能力。设置基础到综合的分层精练，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

微专题拓展11 利用导数解决恒（能）成立问题 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 4 题型一：指对同构法 4 题型二：直接法 7 题型三：分离参数法 13 题型四：换元后参数分离 19 题型五：主元变换法 26 题型六：端点效应 26 题型七：必要性探路 34 题型八：朗博同构 36 题型九：整数问题 42 题型十：共零点问题 49 题型十一：双参数模型 49 题型十二：双重最值问题 55 题型十三：求具体取值集合 55 03 课后拓展精练 67 在处理不等式恒成立或能成立问题时，以下是一些常用的解题策略： 1、完全参数分离法 方法描述：首先，将原不等式中的参数与变量进行完全分离，使得不等式转化为形如（或 ）的形式。 应用条件：当分离后的函数结构相对简单，且易于求取其最值时，此方法尤为有效。 解题步骤： （1）对原不等式进行变形，将参数与变量完全分离。 （2）求解函数 的最值。 （3）根据最值确定参数的取值范围。 2、 部分参数分离法 方法描述：将原不等式转化为形如（或 ）的形式，其中 是一个既包含参数 a 又包含变量 x 的函数。 应用条件：当完全参数分离法难以实施或结果复杂时，可考虑此方法。 解题步骤： （1）对原不等式进行变形，实现部分参数分离。 （2）通过绘制函数图像或分析临界状态（如切线、端点等），确定参数 a 的取值范围。 3、不分离参数法（隐零点、端点效应） 方法描述：在某些情况下，不直接分离参数，而是利用函数的隐零点或端点效应来求解不等式。 应用条件：当参数与变量之间的关系复杂，难以直接分离时，此方法可能更为适用。 解题步骤： （1）分析函数的性质，如单调性、极值点等。 （2）利用隐零点或端点效应，结合不等式的条件，确定参数的取值范围。 4、 特殊方法（如同构法） 方法描述：针对某些具有特殊结构的不等式，可以采用同构等特殊方法进行求解。 应用条件：当不等式具有某种特定的结构或形式时，可考虑使用此方法。 解题步骤： （1）识别不等式的特殊结构或形式。 （2）应用同构等特殊方法，将不等式转化为更易求解的形式。 （3）求解转化后的不等式，确定参数的取值范围。 综上所述，解决不等式恒成立或能成立问题时，应根据不等式的具体形式和特点，选择合适的解题策略。 题型一：指对同构法 例1．已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，符合题意； 对于，则， 当时，，则在上单调递增，且时， 故，当时， 所以，若时，取，此时，不符合， 同理，当时，若时，取，此时，不符合， 综上，的值为0． （2）不等式等价于， 令函数，则原不等式等价于， 而，则函数在上单调递增， 因此，即恒成立，由，解得， 所以的取值范围为. 例2．（2026·高三·上海虹口·阶段检测）记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，. 因此， 等价转化为，即，解得. 故原不等式的解集为. （2）将代入得. 故，其中. 令，则在上是严格增函数， 故不等式转化为. 从而，即对于恒成立. 令，故，. + 0 - 严格增 极大值 严格减 所以在上为严格增函数，在上为严格减函数. 因此，在上的极大值也是最大值为. 故的取值范围是. 例3．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因对任意恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则有 ，由，可知函数在上单调递增， 故得，即在上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值为， 故得，即实数a的最小值为. 变式1．已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为，所以切点为， 又斜率， 故切线方程为：， 即； （2），的定义域为， 当时，，，所以在上单调递增， 当时， 时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增； （3）由题可知在上恒成立， 即在上恒成立， 则有在上恒成立， 令，由可得在上单调递增， 故可化为， 所以在上恒成立, 即，解得， 故的取值范围为． 题型二：直接法 例4．（2026·陕西渭南·三模）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【解析】（1）当时，，. 由解得，. 由， 所以，解得：. （2）由，所以. 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由，可得，即. 设，，则，. 设，，则恒成立，所以在上单调递增. 又，， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以. 由，可得：. 设，，则. 由解得；由解得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，. 所以存在，使得. 所以不等式的解集为. 所以实数的最小值为1. 例5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，． 由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，不满足题意． 所以，此时 ，显然是上的增函数， 且时，时， 所以存在唯一正实数使得，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增． 由题意 ． 将 代入上式整理得：，解得：． 此时，代入后． 化简得： ，解得：． 令 ，其中．则， 所以是区间上的增函数． 所以 ，代入得到a的取值范围是． 例6．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对定义域内任意的x都有恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以极小值为，无极大值. （2）， 令， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 因为对定义域内任意的x都有恒成立， 所以， 又，所以. 变式2．已知函数. (1)若关于的方程有且只有一个根，求的值； (2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）关于x的方程有且只有一个根，即有且只有一个根， 所以有且只有一个根． 令，则，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 所以． （2）恒成立，即恒成立， 令（）， 则，令，则． ①若，则，在上单调递减， 所以，即，则在上单调递减， 所以，故满足条件． ②若，令，得． （ⅰ）当，即时，在上单调递减， 所以，即，则在上单调递减， 所以，故满足条件． （ⅱ）当，即时，在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，故不满足条件． 综上所述，a的取值范围为． 变式3．已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，对其求导得，， 当时，恒成立，因此恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述，若，在上单调递增， 若，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，因此在上也单调递增， 此时对任意，有， 满足恒成立， 当，在处取得极小值， 根据极小值点与区间的位置关系， 当，即时，在上单调递增， 因此在上的最小值大于， 满足恒成立， 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 因此区间内的最小值为， 要使恒成立，需最小值非负，即，则 令（），求导得， 当时，，故在上单调递增。 又，因此的解为， 结合前提，得， 综上的取值范围为. 变式4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 【解析】（1）（i）当时，，定义域为， 则， 令，解得， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； （ii）令， 则， 当时，，所以为减函数， 所以， 从而当时，，即． （2）令， 则． 因为，所以， 从而当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为 因为，所以，即，从而， 故的取值范围为． 题型三：分离参数法 例7．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，且，求的取值范围. 【解析】（1）由题设且，则，， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 综上，在上单调递减，在上单调递增； （2）由，结合（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 由，则恒成立， 令且，则 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，故，则的取值范围. 例8．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 例9．已知函数，． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）由题意可得， 当时，，函数在R上单调递减． 当时，令，得， 因在R上单调递增， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述：当时，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是，单调递增区间是； （2）法1：当时，由（1）知在R上单调递减， ，与恒成立矛盾． 当时，恒成立． 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为， 令，得． 综上，实数a的取值范围是． 法2：由恒成立，得． 当时，恒成立． 当时，由恒成立，可得恒成立； 当时，由恒成立，可得恒成立； 设，则， 令得，故当时，，在上单调递减， 故当或时，，在，上单调递增， 所以当时，的最小值为，此时． 当时，，且当时，，此时 综上，a的取值范围是． 变式5．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为 当时，因为，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即 所以三角形的面积是： （2）解法一：（i）当时，在单调递增，此时存在，不符合题意，舍去； （ii）当时，显然成立； （iii）当时，令，得，令，得；所以在单调递减，在单调递增． 所以， 解得．综上所述，a的取值范围为． 解法二：由已知，得． （i）当时，可得．因为，所以，又因为时，，所以； （ii）当时，恒成立，所以； （iii）当时，可得．令， 当时，单调递减；当时，单调递增； 所以，所以． 综上所述，a的取值范围为 变式6．已知函数在处取得极小值． (1)求； (2)若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为，则， 由函数在处取得极小值，得，解得，， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极大值点，不符合题意， 综上，； （2）由（1）得，， 不等式在恒成立， 即不等式在恒成立， 令，， 由，得，则，故， 所以时，取最大值， 所以，即的取值范围是． 变式7．设函数在处取得极值. (1)求a的值，并求的单调区间； (2)若，有，求b的取值范围. 【解析】（1）因为在处取得极值，且， 则，所以，则， 又的定义域为， 所以时，，时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）因为，有，则， 即恒成立，令，则 求导，， 当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即b的取值范围为. 变式8．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数的取值范围； 【解析】（1）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由可得，由可得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由. 因为时，恒成立，所以，. 设，，则. 再设，，则. 因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 又∵，， ∴唯一存在，使得，即. 且当时，，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又由， 设函数，，则在上恒成立， 且，，所以. 所以. 所以. 题型四：换元后参数分离 例10．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：； (3)已知，，恒有，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得，函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得，单调递增， 令，解得，单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）解法一：当时，，由（1）知在处取得最大值， 设，则， 当时，，所以在为增函数， 所以当时，，∴． 解法二：当时，，， 即证明当时，， 设，则，令， 由得在时为增函数， 又因为，， 则存在，使得，即，也即，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，有最小值，即， （因为，所以基本不等式等号不成立） 所以当时，．∴． （3）由已知， 因为，所以．即， 设，可得，也即， 设，由，所以在上为增函数， 又因为，所以， 即，也即在恒成立， 令，，令得， 列表 单调递增 单调递减 所以，因此的取值范围． 例11．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，则. 即，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i）当时，， 令， 则. 令，得或. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增， 且时，，时，， 则存在唯一，使得， 所以，当且仅当时等号成立， 则，又，则实数的取值范围为. 例12．已知函数． (1)讨论函数的极值点的个数； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）已知函数且定义域为 R，求导得， 当时，，所以恒成立， 函数在R上单调递增，无极值点，即极值点个数为， 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以在处取得极小值，极值点个数为， 综上所述： 当时，极值点个数为， 当时，极值点个数为； （2）由，得， 化简得，即， 令，，且函数求导得， 所以在上单调递增，其值域为，即， 注意到， 等价于：对任意，都有恒成立， 当时，即，此时为任意实数均成立， 当时，，不等式等价于， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值（也是最小值），即， 要使恒成立，需满足， 当时，，不等式等价于， 设，则， 所以在上单调递减， 当时，；当时，， 因此的值域为， 要使恒成立，需满足， 综上，实数的取值范围是. 变式9．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由， 所以函数在处的切点为：， 又， 所以， 所以函数在点处的切线方程为：， 将点代入切线方程中得：，解得：. （2）由（1）得：， 所以对恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，所以，且， 将代入中化简得： 在上恒成立， 令， 由， 令， 则，因为，所以， 即在上单调递减， 所以， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，满足题意， 当时，存在使得，且时，， 此时在上单调递增，所以，不满足题意. 综上实数的取值范围为 变式10．已知函数（）. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由函数，且， 所以函数的定义域为，且， 令，则. 令，解得或，且函数与都在上单调递增. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增，且时， ，时，， 所以存在唯一，使得，即. 所以，当且仅当时等号成立， 因此，又因为，则实数的取值范围为. 题型五：主元变换法 例13．函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在唯一的极值点，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 可得，， 切线方程为，化简得. （2）由得， 令，则， 当时，解得， 可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，在处取得最大值，， 当时，且，则函数图形如下图： 存在唯一的极值点，即有唯一解，即有唯一解， 由可知，或，即或， 当时，在R上，无极值点， 当时，存在一点，使， 则函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值. 所以存在唯一的极值点，实数a的取值范围是 （3）存在，使得对任意成立， 则在R上恒成立，即，即， 由（2）可知，当时，存在，使在上单调递增，在上单调递减， 在处，取得最大值 则，即， 因为，解得，代入得， 令，则， 可知在上，，在上单调递减，在上，，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 所以，实数b的取值范围是. 例14．已知函数（），若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围 ． 【答案】 【解析】由条件，可知，从而恒成立． 当时，；当时，． 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者． 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当， 即， 在上恒成立，所以，因此满足条件的的取值范围是． 故答案为: 例15．已知不等式 对任意的 恒成立,求 的取值范围. 【解析】令 , 由于 ,所以函数 在 上单调递增, 所以 . 即 , 令 , 则 , 当 时, ,当 时, , 所以 在(0,2)上单调递减,在 上单调递增, 所以 , 所以 的取值范围为 . 题型六：端点效应 例16．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【解析】（1） 当时，恒成立，故函数在单调递增； 当时，令得． 令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）令，，， ，，． 令，，而在恒成立，即在单调递增， 又因为 故当时，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，，所以，存在，使得时， ，时，， 所以在单调递减，在上单调递增，故由可知，时，与在恒成立矛盾； 综上，实数k的取值范围是． 例17．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中，为的导函数． (1)若，证明：； (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）证明：当时，，所以，所以， 即，令， 所以，令，所以， 所以在上单调递增，又，所以当时，，即， 当时，，即，所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，即； （2）由有：，所以， 令，即， 所以，且， 令，则， 由（1）的证明过程有在单调递增， 当时，，又在单调递增， 所以， 所以在单调递增，且，满足题意， 当时，时，又在单调递增， 所以存在，使得， 当时，，所以在单调递减， 所以，不满足题意， 所以，即. 例18．（2026·广西贵港·三模）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 则，又， 故函数在处的切线方程为，即； （2），， 若，，则在上单调递增， 故，符合题意； 若，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则， 由单调递减，则， 故在上单调递减，故， 即，不符合题意； 综上可得：. 变式11．（2026·云南保山·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则． 令，即，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 单调递减区间为，单调递增区间为． （2）． 设， 则在恒成立等价于在恒成立． ， 又，，，当且仅当时等号成立， 当时，． ①当，即时，， 在上单调递增，又， ，满足在上恒成立． ②当，即时， 令，则． ，，， 则，在上单调递增. 又，当时，， 存在，使得，即， 当时，，单调递减，则， 不满足在上恒成立． 综上，a的取值范围为． 变式12．已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）（1）当时，， 当时，， 则函数在单调递减，即． （2）， ①当时，在上单调递减， 即，故原不等式不成立． ②当时，因为，所以， 即，显然原不等式成立． ③当时，存在，使得， 当在单调递增， 当在单调递减， 即， 由题意，可知，解得， 综上所述：． 变式13．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【解析】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 变式14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，都有，求的取值范围； 【解析】（1）对函数求导可得 ， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得．当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，递减区间为，递增区间为. （2）任意，都有即， 即对任意均成立， 设，则． ，设， 那么，所以在上单调递增， 当，即时，， 所以在上单调递增，，满足条件； 当时，， 所以存在，使得； 当时，单调递减，，不满足条件； 综上所述，的取值范围是． 题型七：必要性探路 例19．已知函数，其中. (1)若函数在处取得极大值0，求的值； (2)函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1）函数，求导得， 由函数在处取得极大值0，得，解得， 此时，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在单调递减，在处取得极大值， 所以. （2）（i）函数，求导得， 设点和点，不妨令， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为， 假设与重合，则， 化简得，则， 即，令， 求导得，函数在上单调递增， 因此，即无解，即与不重合， 所以对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ⅱ）当时，不等式 ，令， 依题意，不等式在上恒成立，必有，解得， 当时，， 令函数，求导得， 当时，由，则， 函数在上单调递增，因此； 当时，令函数，求导得， 函数在上单调递增，，函数在上单调递减，， 因此对，，则当时，恒成立， 所以实数的取值范围为. 例20．已知函数．当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； 【解析】因为当时，不等式恒成立，注意到， 由可知，记， ，，即． 再验证充分性：由，可得， 切线不等式易知， 所以在单调递增，即． 综上，实数的取值范围为． 例21．已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】由题意可得， ，此时； 令，则 ，此时； 要想对任意时，恒成立，则必有，即得. 即是在恒成立的一个必要条件. 下面证明充分性，即证当时，对任意，恒成立. ， 令，则， 即得在上单调递增，所以； 即得，恒成立； 充分性得证. 综上所述 实数的取值范围为. 题型八：朗博同构 例22．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，对恒有，求实数的取值范围． (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数定义域为，求导得， 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）已知，由（1）知，在上单调递增， 不妨设，则等价于， 整理得， 则在单调递减，即在上恒成立； 求导得，即对任意恒成立， 在上单调递减，最大值为1， ，解得， 综上，． （3）不等式整理得， 分离参数得：， 令，则， 令，求导得，令，解得， 当且仅当时等号成立，故在上单调递增， 则，即，则， 移项得， ，当且仅当时等号成立， 令，求导得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 是极小值，也是最小值，最小值为， 当时，，故，结合在上单调递减， ，由零点存在定理，内有一个零点， 故， 综上可知，，故实数的取值范围为． 例23．已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得，且，解得. 当时, 函数在左右导数符号异号，极值点成立. 综上. （2）由上知， ①当时， 对任意，都有，因此恒成立， 此时，在上单调递增， ②当时， 令，解得，因为，所以， 当时，，此时，单调递增， 当时，，此时，单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由题意得， 由上知若，单调递增至，无最大值，不符合题意，因此必须有， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 设，则，令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即恒成立， 即恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则有，其中， 所以有，整理得， 因为，所以有， 当且仅当时等号成立, 因为在上严格单调递增，且当时, 当时，且， 故必然存在唯一的使得,即等号可以取得， 即恒成立，即， 则，解得. 综上， 实数的取值范围是. 例24．（2025·广东·模拟预测）已知函数． （1）求的极值； （2）当时，，求实数的取值范围． 【解析】（1）求导得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． （2）方法一：由题知不等式在上恒成立， 则原问题等价于不等式在上恒成立， 记， 则， 记，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以存在，使得， 即当时，，此时；当时，，此时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 即， 所以， ①当时， 因为，所以不等式恒成立， 所以； ②当时， 因为存在，使得，而， 此时不满足， 所以无解． 综上所述，． 方法二：由题知不等式在上恒成立， 原问题等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立． 记，则，当单调递减，单调递增， 因为即， ①当时， 因为，所以不等式恒成立，所以； ②当时，令，显然单调递增，且， 故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解． 综上所述，． 变式15．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，． （1）若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）设切点，由，求导得， 根据导数的几何意义，得， 化简可得，，依题意方程仅只一个实根， 于是，解得或， 所以当或时，过点P作曲线的切线有且仅有一条． （2）设，，则恒成立， 于是在上单调递增，则，即， 因此当时，恒有成立， 则有， 当且仅当时等号成立， 令，，则恒成立， 即在上单调递增，又，， 根据零点存在定理可得，，使得， 于是在上恒成立， 所以当时，，即成立； 当时，存在满足，即， 此时，，不合题意， 综上，a的取值范围是． 题型九：整数问题 例25．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 【解析】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 例26．已知函数，其中． (1)当时，求在上的最小值； (2)若，求证：； (3)当时，不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 【解析】（1）当时，，求导得， 当时，恒成立，所以在单调递增，则 （2）法一；由已知， 因为函数在都是增函数，所以在上单调递增， 又， 所以存在，有， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 令，则 所以在上单调递增，即， 综上：当时，， 法二：令， 当，即时，（恒成立）． 当，即时，在时单调递增， ，令， 因为在上都为增函数，且， 所以当，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，所以， 当，即时，在时单调递减， 所以， 令，则， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增，所以， 综上：当时， （3）当时，不等式， 令，依题意，不等式对任意的恒成立， 当时，，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即当时，恒成立； 当时，显然，而， 因此，即当时，不恒成立， 由（1）知当时，，若，则， ， 只需对任意的恒成立，即， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，， 则当时，对任意的恒成立， 所以的最大整数值为1． 例27．已知函数 ，． (1)当时，求的极值； (2)设，证明：与的图象恰有一个公共点； (3)当时， ，求整数的最大值． 【解析】（1）当时，，定义域为. ， 令，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此，在处取得极小值， 极小值为，无极大值. （2）证明：当时，，定义域为. 要证与的图象恰有一个公共点，即方程有唯一解， 即 有唯一解. 设，， ， 令 ，，，所以， 令 ， ， 所以在上单调递增，， 因此在时恒成立，在单调递增． 又 ， ， 故存在唯一使得， 因此与的图象恰有一个公共点． （3）当时， 即 ， 整理得： ， 因，，故，设，， ， 设 ，，则 ， 故在单调递增. 又 ， ， 故存在唯一 使得 ，即 . 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为： ， 因 ，故 ，因此整数的最大值为. 变式16．已知函数 ， (1)求曲线在点处的切线方程 (2)当 时，列出极值表，求的极值； (3)当时， ，求整数 的最大值． 【解析】（1）已知，， 求导得， 则．由点斜式得切线方程 ，整理得 ． （2）当 时， ，定义域为． ， 令 ，解得． 0 + 单调递减 极小值 单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此，在处取得极小值， 极小值为，无极大值． （3）当时， 即 ， 整理得， 因 ， ，故，设， ， ， 设 ， ，则 ， 故在单调递增． 又 ， ， 故存在唯一使得 ，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为， 因，故，因此整数的最大值为4． 变式17．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：； (3)若对任意的，都有，求最大的整数. 【解析】（1）因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，在上恒成立，即， 因为在上单调递减，所以， 此时函数在上也有意义，所以； （2）当时，，所以， 因为在上单调递增，且， 由零点存在性定理可得在上有唯一零点， 且，，则， 当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以，故，得证； （3）当时，对任意，有， 因为对数函数单调递增，所以， 可得， 因此， 由（2）可得恒成立， 当时，恒成立， 当时，存在，与对任意的，都有矛盾， 综上，最大的整数为2. 题型十：共零点问题 例28．若恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，， 即恒成立， 设，由条件恒成立， 得恒成立，即恒成立，设， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以时，取得最大值， 则. 例29．（2026·高三·云南曲靖·阶段检测）已知，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【解析】恒成立， ，当时， 要使恒成立，需恒成立， 显然不对（因为）， 故，要使恒成立， 只需零点相同， 即，此时， 令， 由时，，时，， 知在上单调递减､单调递增， 故，即. 故选：B. 例30．已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且函数和都是上的增函数， 所以要想恒成立，则需函数和的零点相同， 令， 令， 所以，则， 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 故，所以最大值为. 变式18．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为，原不等式等价于， 设，则，当时，单调递减， 当时，单调递增， 在上的最小值即为极小值； 设，则，当时，单调递增， 当时，单调递减， 在上的最大值即为极大值， 因为，所以在上恒成立， 所以等价于， 结合最值信息即有. 变式19．已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】函数的定义域为. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又， 所以当时，；当时，. 令， 则，在上单调递减. 若，则恒成立，是增函数； 又， 所以当时，；当时，. 此时当时，；当时，. 因此要使对于任意的，恒成立，须和有相同的零点，即. 若，恒成立. 当时，，所以， 因此存在，使成立， 即存在，使成立，不合题意. 综上所述，. 题型十一：双参数模型 例31．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数 对任意 成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】函数，求导得，依题意，， 当时，恒有，函数单调递增，当时，， 而函数在上单调递增，函数值集合为， 因此存在，当时，，不符合题意，则有， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 即有，于是， 则，令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，因此， 所以的最小值为2. 故选：D 例32．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．e 【答案】B 【解析】函数的定义域为R，求导得， 则，解得，于是， 又，则，， 不等式， 令，依题意，恒成立， 当时，，函数在R上单调递增， 而时，，不恒成立； 当时，恒成立，则，； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此的最大值是，此时， 而，故的最大值是. 例33．已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】恒成立，则说明始终在上方或相切. 设曲线与直线切于点，因为， 则该点处切线斜率， ，且. . 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以. 变式20．已知函数的最小值为0，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，可得其定义域为，且， 要使得函数在上的最小值为， 则函数必不是单调函数，所以函数在定义域上为先减后增， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，且， 令，可得， 构造函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以，所以， 因为，所以. 故选：D. 变式21．（2026·山东日照·三模）设． (1)设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值； (2)若正实数a，b满足：对于，都有，求的最大值． 【解析】（1）依题意，将直线往靠近曲线的方向平移， 当平移到直线与曲线相切时，切点P与直线间的距离最近， 设切线方程为，切线与曲线的切点为，而， 则，即，解得，，点到直线的距离， 因此，当且仅当点坐标为，且垂直于直线时取等号， 所以的最小值为. （2）对于任意，不等式恒成立，， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，即，由，得， 解得，则，令函数， 求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，因此，所以的最大值为． 题型十二：双重最值问题 例34．已知函数，． （1）求函数在上的单调区间； （2）用表示，中的最大值，为的导函数，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 令得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）知， 当时，恒成立，故恒成立； 当时，． 因为恒成立， 所以在上恒成立， 所以， 即在上恒成立． 令，则， ． 令，解得，易得在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即． 综上可知，实数的取值范围是． 例35．（2026·福建南平·二模）已知函数，，其中． （1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集； （2）若，证明：当时，； （3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）， 当时，，，∴， 当时，，，∴， 当时，， 所以当时，，即在上是增函数； 又，所以的解集为． （2）． 由，得，， 则，即在上为增函数． 故，即． （3）由（1）知， 当时，恒成立，故恒成立； 当时，，因为，要使得恒成立， 只要在上恒成立即可． 由，得． 设函数，， 则． 令，得． 随着变化，与的变化情况如下表所示： + 0 - 极大值 所以在上单调递增，在上单调递减． 在上唯一的一个极大值，即极大值，故 综上所述，所求实数的取值范围为． 例36．已知函数，，其中． (1)求函数的零点； (2)当时，求证：，； (3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）函数的定义域为，且， 当时，，则；当时，，则， 所以函数在上为增函数， 又因为，故函数有且只有一个零点. （2）证明：构造函数， ∵，设， 则，设， 则， ∴单调递增，∴， ∴单调递增， ∴，∴单调递增， ，∴成立，故原不等式成立. （3）函数的定义域为，由（1）知，当时，， 又，所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，恒成立， 1°若，由知，对任意，，在单调递减，此时，符合题意. 2°若，由知，对任意，，在单调递增，此时，不合题意，舍去； 3°若，当时，递增，由知，存在，使得，故当，，递增，此时，不合题意，舍去 所以使当时，恒成立实数的取值范围是； 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是. 变式22．（2026·河南·二模）已知函数，，其中． (1)求函数的零点； (2)． （ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：； （ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）函数的定义域为R， 则， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数在上为减函数． 又因为，故函数有且只有一个零点0. （2）（ⅰ） （ⅰ）函数的定义域为， 当时，， 当时，， 所以. （ⅱ）存在，． （ⅱ）由（1）知，当时，， 又， 所以当时，恒成立， 因为当时，恒成立， 所以等价于当时，恒成立， 又， 若，当时，由， 所以在上递增，所以此时恒成立. 若，当时，由，解得为， 在上递减，此时，不符合题意． 综上可知，存在实数a满足题意，a的取值范围是. 题型十三：求具体取值集合 例37．（2026·湖南·模拟预测）已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 【解析】（1）的定义域为，．令，得， 则在上单调递增，令，得，则在上单调递减， 所以．故． （2）由，得 ． 当时，，在上单调递减． 当时，令，得，则在上单调递减， 令，得，则在上单调递增． （3）当时，在上单调递减，当时，，不符合题意． 当时， ． 由（1）可知 ，当且仅当时，等号成立． 因为， ，所以 ， 所以，得．故的取值集合为． 例38．（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）已知函数. (1)试判断在区间内零点的个数，并说明理由； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值集合. 【解析】（1）， ， 又，，， ，所以函数在内单调递增， 又， 由函数零点存在性定理知函数在内恰有一个零点. （2）设，不等式对任意的，即恒成立， 则，.   设， 则， 当时，此时，则， 当时，单调递增，单调递增，所以单调递增， 所以，则， 显然对成立，在内单调递增，   若，则，   必存在使得时，， 则此时在内单调递增，从而有，与已知矛盾. 若，则， 必存在使得时，， 此时在内单调递减，从而有，与已知矛盾. 当时，， 显然当，，， 则，即在内单调递减，   当时，， 则恒成立（不恒为零）， 则即在上单调递增，且， 则在上恒成立， 在内单调递增， ，即，亦即对任意恒成立 综上所述，实数的取值集合为. 例39．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，. (1)若存在正数，使得，求实数的取值范围； (2)设在处的切线方程为. ①求的解析式； ②当时，恒成立，求的取值集合. 【解析】（1），，解得， 故的定义域为， ， 当时，即时且时， 恒成立，则在上为增函数. 对一切正数，恒成立，舍去. 当时，即时且时， ，则在上为减函数. 对一切正数，，符合题意. 综上所述，的取值范围为. （2）①，， ， ， 则在处的切线的斜率为， 切点为， 则在处的切线方程为； ②设，， ， ， 由题意，当时，恒成立 则，解得， 当时，即时，当时，， 在上是单调递增函数，则， 此时，，矛盾. 当时，即时，当时，， 在上是单调递增函数，则， 此时，，矛盾. 当时，即时，， 在上是单调递减函数， 则当时，，恒成立， 当时，，恒成立，故满足题意； 当时，又，即时， 当时，， 在上是单调递增函数，则， 此时，，矛盾. 综上可得，的取值集合为. 变式23．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)讨论的零点个数； (2)当时，证明：； (3)若，求的取值集合． 【解析】（1）由，得， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，无零点；当时，有一个零点； （2）当时，，则， 易知在上单调递增， 因为， 所以存在唯一，使得． 当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 由，得，即， 所以， 又，所以， 所以． （3）由，得， 设， 则，令， 则， ①当时， 当时，，所以， 当时，． 则在上单调递增，所以， 所以为在上的唯一极小值点， 则，所以时，恒成立； ②当时， 当时，，有， 当时，，有. 又，所以， 即在上单调递增． 注意到， 又，所以存在，使得， 当时，，在上单调递减，所以，不符合题意； ③当时，同②有为增函数， 当时，．则， 又因为，所以存在，使得， 当时，，在上单调递增，所以，不符合题意； ④当时， 当时，，有， 当时，，有， 又，所以，在上单调递增， 又因为，所以当时，，不符合题意． 综上所述，的取值集合为． 变式24．（2026·湖北襄阳·一模）已知函数． (1)若恒成立，求a的取值集合； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【解析】（1）的定义域为． ①若，因为，所以不满足题意； ②若，由知，当时，； 当时，，所以在单调递减，在单调递增， 故在时取得最小值，所以， 令，则 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又，故，当且仅当时取到等号， 所以的解为，故． （2），且时，则故. 要证明即证， 而， 令，下证即可． ，再令，则， 由于函数在上递增，故在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，得证． 1．（2026·湖北·二模）已知函数，且对恒成立，则的最大值为__________. 【答案】/ 【解析】由函数，可得， 令，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值， 若，可得恒成立，所以在上单调递增， 当时，，可得， 不满足恒成立，不符合题意； 当时，因为在上单调递减，在单调递增， 且当时，；当时，，如图所示， 所以存在唯一的使得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以时，函数取得最小值， 将代入可得，整理得， 再将和代入， 可得， 令，可得， 令，即，解得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，且， 所以的最大值为. 2．已知，，且恒成立，则的最大值为________. 【答案】 【解析】令，因为恒成立， 所以恒成立， 对求导得：， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，，不满足； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以， 即； 则， 令， 则， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 即的最大值为. 故答案为： 3．（2026·高三·湖南长沙·期中）已知函数 ，设 表示 的最大值，记 . (1)讨论 在 上的单调性； (2)当 时， ，求 的取值范围. 【解析】（1） ， ， 令 ，则 ; 令 ，则 或 ， 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）由 (1) 知， 当 时， 当 时， ; 当 时， ， 故时，, 等价于 在 上恒成立. . 令 当 时， ， 在 上单调递增， . 所以 的取值范围是 . 4．（2026·高三·云南·阶段检测）已知函数，，其中. (1)证明：当时，；当时，； (2)用表示中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，请说明理由. 【解析】（1），. 当时，，则；当时，，则， 当时，， 所以当时，，在上是增函数， 又， 所以当时，； 当时，. （2）函数的定义域为， 由（1）知，当时，， 又， 所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，. . ①若，当时，， 故，递增，此时，不合题意； ②若，当时，由知， 存在，使得，根据余弦函数的单调性可知， 在上递增，故当，，递增，此时，不合题意； ③若，当时，由知，对任意，，递减， 此时，符合题意. 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是. 5．函数. (1)求的单调区间； (2)若只有一个解，求的值； (3)在（2）的条件下，当时，求使成立的最大整数. 【解析】（1）函数，定义域为，则 因为，设 ， 则令得，， 当时，单调递增， 当时,单调递减， 当时，单调递增， 综上所述的单调递增区间为， 单调递减区间为； （2）若即只有一个解， 因为使方程成立，所以只有0是的解， 故当时，无非零解， 设 ，则， 当单调递减，当单调递增， 所以最小值为 ， 当时，，当时，， 故必有零点，又因为无非零解，故的零点是0， 所以 ，所以； （3）由（2）知，， 由可得 ， 所以，得， 设 ，则， 令，则，因为时，，所以， 则在单调递增，又 所以使得，所以，且 ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以最小值，且， 得， 又因为，所以，因为， 所以，故整数的最大值为2. 6．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值集合； (3)若，证明：当时，. 【解析】（1）因为， 所以． 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由题可知， 由（1）可知，当时，函数有最小值， ∴，即， 设， 当单调递增；当单调递减； 所以当时，所以 故的取值范围集合为. （3）要证明， 即证明， 因为，且，所以， 故只需证明，即． 设，则． 知在上单调递增，且，， 所以存在唯一的，使得，即，． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以， 故原命题成立． 7．已知函数，． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）依题意，时，函数，且的定义域为， 则，， 所以切线方程为，即． （2）因为在上恒成立，即在上恒成立， 即时，恒成立，则．         令，则， 令，所以， 因为，所以恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以， 则在上恒成立，即函数在上单调递减， 所以函数的最大值为， 所以，即a的取值范围为． 8．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)设，若，使得，求的取值范围． 【解析】（1）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【解析】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 10．已知，． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）∵函数的定义域是，． 令，得，解得， 的单调递减区间是． 令，得，解得，的单调递增区间是． 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是． （2），恒成立，恒成立． ，在上恒成立． 设，则． 令，得，（舍去）． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． ∴当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是． 11．（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断的单调性，并求出的极值； (3)若，求的最大值. 【解析】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知. 令，则， 所以在上单调递增. 又，所以当时，，即 所以在区间上单调递减； 当时，，即， 所以在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值. （3），即恒成立，等价于恒成立， 即恒成立. 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即. 当时，，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又在上单调递减，所以， 即，所以， 又因为，所以的最大值为2. 12．已知函数． (1)当时，讨论的图象与直线的交点个数； (2)对任意的，恒成立，求的值. 【解析】（1）当时，定义域为，则， 令，解得：， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 的大致图象如图所示， 当时，的图象与直线的交点个数为0； 当或时，的图象与直线的交点个数为1； 当时，的图象与直线的交点个数为2． （2）根据题意，时，恒成立， 即，即. 令，则不等式等价于， 对其求导，得， 当，则，在上单调递减，又， 所以时，不合题意； 当，令得，令得， 所以的递增区间为，递减区间为， 若，因为，则当时，，不合题意； 若，，符合题意； 若，，则当时，，不合题意； 综上，. 13．已知函数． (1)若的最大值为1，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为， 令，得， 令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减． 因为 ． （2）若恒成立， 即恒成立，即 即恒成立， 设， 则， 令， 则在上单调递增，易知， 即存在，使得， 即，则，两边取对数有，即， 即时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增， 则， 所以，即的取值范围为． 14．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． (3)对任意，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为，， 则，当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为， 且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． （3）由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增， ∴有在内恒成立， ∴恒成立，即. 由（2）可知最大值为，所以. 15．设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； 【解析】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. 16．设函数． (1)当时，求证：； (2)如果恒成立，求实数的最小值． 【解析】（1）因为，所以 ， 当时，恒成立，所以 在区间上单调递增， 所以； （2）因为， 所以， 当时，由（1）知，对恒成立； 当时，因为，所以， 因此在区间上单调递增， 所以对恒成立； 当时，令，则， 因为，所以恒成立， 因此在区间上单调递增， 且， 所以存在唯一使得，即， 所以任意时，，所以在上单调递减， 所以，不合题意； 综上可知，，故的最小值为1. 17．（2026·重庆万州·三模）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; (3)若，求正数a的取值范围. 【解析】（1）由解得， 则，求导得：， 则，由点斜式得切线方程：， 整理得：； （2）求导得：， 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当，即时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当时：，故在上单调递增。 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； （3）已知，由(2)结论：在上单调递减；在上单调递增； 故最小值为，要使恒成立，只需， 则， 解得,即正数a的取值范围是. 18．已知函数． (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程 （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）（ⅰ）当时，函数的定义域是，， ，，由点斜式可得；， 所以切线方程为； （ⅱ）令，得，解得，所以的单调减区间是， 令，得 ，解得，所以的单调增区间是， 综上，的单调减区间是，单调增区间是； （2）由任意， 知 恒成立， 因为，故，在上恒成立， 设，则， 令，得，(舍去)， 当时，，单调递增，，，单调递减， 故，取得极大值，也是最大值，且 ， 所以若在上恒成立，则 ， 故实数的取值范围是. 19．已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【解析】（1）的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； （2）当时， 等价于， 即，令， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 20．已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 【解析】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得， 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，． 设，，， 则在上单调递增，于是， 即， 所以的取值范围为． （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，． 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则． 因此，解得， 所以 的取值范围为． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题拓展11 利用导数解决恒（能）成立问题 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 4 题型一：指对同构法 4 题型二：直接法 5 题型三：分离参数法 6 题型四：换元后参数分离 8 题型五：主元变换法 10 题型六：端点效应 10 题型七：必要性探路 13 题型八：朗博同构 14 题型九：整数问题 15 题型十：共零点问题 17 题型十一：双参数模型 17 题型十二：双重最值问题 18 题型十三：求具体取值集合 18 03 课后拓展精练 22 在处理不等式恒成立或能成立问题时，以下是一些常用的解题策略： 1、完全参数分离法 方法描述：首先，将原不等式中的参数与变量进行完全分离，使得不等式转化为形如（或 ）的形式。 应用条件：当分离后的函数结构相对简单，且易于求取其最值时，此方法尤为有效。 解题步骤： （1）对原不等式进行变形，将参数与变量完全分离。 （2）求解函数 的最值。 （3）根据最值确定参数的取值范围。 2、 部分参数分离法 方法描述：将原不等式转化为形如（或 ）的形式，其中 是一个既包含参数 a 又包含变量 x 的函数。 应用条件：当完全参数分离法难以实施或结果复杂时，可考虑此方法。 解题步骤： （1）对原不等式进行变形，实现部分参数分离。 （2）通过绘制函数图像或分析临界状态（如切线、端点等），确定参数 a 的取值范围。 3、不分离参数法（隐零点、端点效应） 方法描述：在某些情况下，不直接分离参数，而是利用函数的隐零点或端点效应来求解不等式。 应用条件：当参数与变量之间的关系复杂，难以直接分离时，此方法可能更为适用。 解题步骤： （1）分析函数的性质，如单调性、极值点等。 （2）利用隐零点或端点效应，结合不等式的条件，确定参数的取值范围。 4、 特殊方法（如同构法） 方法描述：针对某些具有特殊结构的不等式，可以采用同构等特殊方法进行求解。 应用条件：当不等式具有某种特定的结构或形式时，可考虑使用此方法。 解题步骤： （1）识别不等式的特殊结构或形式。 （2）应用同构等特殊方法，将不等式转化为更易求解的形式。 （3）求解转化后的不等式，确定参数的取值范围。 综上所述，解决不等式恒成立或能成立问题时，应根据不等式的具体形式和特点，选择合适的解题策略。 题型一：指对同构法 例1．已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 例2．（2026·高三·上海虹口·阶段检测）记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 例3．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 题型二：直接法 例4．（2026·陕西渭南·三模）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 例5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 例6．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对定义域内任意的x都有恒成立，求a的取值范围． 变式2．已知函数. (1)若关于的方程有且只有一个根，求的值； (2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 变式3．已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 变式4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 题型三：分离参数法 例7．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，且，求的取值范围. 例8．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 例9．已知函数，． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围． 变式5．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若，求的取值范围． 变式6．已知函数在处取得极小值． (1)求； (2)若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 变式7．设函数在处取得极值. (1)求a的值，并求的单调区间； (2)若，有，求b的取值范围. 变式8．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数的取值范围； 题型四：换元后参数分离 例10．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：； (3)已知，，恒有，求的取值范围． 例11．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 例12．已知函数． (1)讨论函数的极值点的个数； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 变式9．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 变式10．已知函数（）. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型五：主元变换法 例13．函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在唯一的极值点，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 例14．已知函数（），若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围 ． 例15．已知不等式 对任意的 恒成立,求 的取值范围. 题型六：端点效应 例16．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 例17．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中，为的导函数． (1)若，证明：； (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 例18．（2026·广西贵港·三模）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 变式11．（2026·云南保山·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 变式12．已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 变式13．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 变式14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，都有，求的取值范围； 题型七：必要性探路 例19．已知函数，其中. (1)若函数在处取得极大值0，求的值； (2)函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若恒成立，求实数a的取值范围. 例20．已知函数．当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； 例21．已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 题型八：朗博同构 例22．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，对恒有，求实数的取值范围． (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 例23．已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 例24．（2025·广东·模拟预测）已知函数． （1）求的极值； （2）当时，，求实数的取值范围． 变式15．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，． （1）若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值； （2）若恒成立，求a的取值范围． 题型九：整数问题 例25．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 例26．已知函数，其中． (1)当时，求在上的最小值； (2)若，求证：； (3)当时，不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 例27．已知函数 ，． (1)当时，求的极值； (2)设，证明：与的图象恰有一个公共点； (3)当时， ，求整数的最大值． 变式16．已知函数 ， (1)求曲线在点处的切线方程 (2)当 时，列出极值表，求的极值； (3)当时， ，求整数 的最大值． 变式17．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：； (3)若对任意的，都有，求最大的整数. 题型十：共零点问题 例28．若恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例29．（2026·高三·云南曲靖·阶段检测）已知，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-2 例30．已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式18．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 变式19．已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 题型十一：双参数模型 例31．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数 对任意 成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 例32．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．e 例33．已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式20．已知函数的最小值为0，则（ ） A． B． C． D． 变式21．（2026·山东日照·三模）设． (1)设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值； (2)若正实数a，b满足：对于，都有，求的最大值． 题型十二：双重最值问题 例34．已知函数，． （1）求函数在上的单调区间； （2）用表示，中的最大值，为的导函数，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 例35．（2026·福建南平·二模）已知函数，，其中． （1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集； （2）若，证明：当时，； （3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 例36．已知函数，，其中． (1)求函数的零点； (2)当时，求证：，； (3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 变式22．（2026·河南·二模）已知函数，，其中． (1)求函数的零点； (2)． （ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：； （ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型十三：求具体取值集合 例37．（2026·湖南·模拟预测）已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 例38．（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）已知函数. (1)试判断在区间内零点的个数，并说明理由； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值集合. 例39．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，. (1)若存在正数，使得，求实数的取值范围； (2)设在处的切线方程为. ①求的解析式； ②当时，恒成立，求的取值集合. 变式23．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)讨论的零点个数； (2)当时，证明：； (3)若，求的取值集合． 变式24．（2026·湖北襄阳·一模）已知函数． (1)若恒成立，求a的取值集合； (2)当时，证明：当时，恒成立． 1．（2026·湖北·二模）已知函数，且对恒成立，则的最大值为__________. 2．已知，，且恒成立，则的最大值为________. 3．（2026·高三·湖南长沙·期中）已知函数 ，设 表示 的最大值，记 . (1)讨论 在 上的单调性； (2)当 时， ，求 的取值范围. 4．（2026·高三·云南·阶段检测）已知函数，，其中. (1)证明：当时，；当时，； (2)用表示中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，请说明理由. 5．函数. (1)求的单调区间； (2)若只有一个解，求的值； (3)在（2）的条件下，当时，求使成立的最大整数. 6．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值集合； (3)若，证明：当时，. 7．已知函数，． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 8．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)设，若，使得，求的取值范围． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 10．已知，． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 11．（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断的单调性，并求出的极值； (3)若，求的最大值. 12．已知函数． (1)当时，讨论的图象与直线的交点个数； (2)对任意的，恒成立，求的值. 13．已知函数． (1)若的最大值为1，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围． 14．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． (3)对任意，恒成立，求的取值范围． 15．设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； 16．设函数． (1)当时，求证：； (2)如果恒成立，求实数的最小值． 17．（2026·重庆万州·三模）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; (3)若，求正数a的取值范围. 18．已知函数． (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程 （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 19．已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 20．已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $