微专题拓展02 利用五大经典代数不等式求最值（6大题型）讲义-2027届高三数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦五大经典代数不等式求最值专题，系统梳理柯西、权方和、排序、切比雪夫、琴生不等式核心考点，按知识点精析-题型分类突破-分层精练的逻辑架构，通过方法总结、真题讲解、变式训练等环节，帮助学生构建不等式应用的知识网络与解题思路。 资料以数学思维培养为核心，创新设计“概念辨析-模型构建-实战应用”教学链，如用向量证明柯西不等式发展推理能力，结合函数凹凸性讲解琴生不等式强化数学表达，设置基础巩固与综合拓展分层练习，确保高效突破难点，助力学生提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

微专题拓展02 利用五大经典代数不等式求最值参考答案 目录 01 解题方法总结 2 知识点1、柯西不等式（Cauchy不等式） 2 知识点2、权方和不等式 2 知识点3、排序不等式 2 知识点4、切比雪夫不等式 2 知识点5、琴生不等式 3 02 重难点题型梳理 4 题型一：柯西不等式求最值 4 题型二：反柯西不等式求最值 6 题型三：权方和不等式求最值 8 题型四：排序不等式求最值 10 题型五：切比雪夫不等式求最值 11 题型六：琴生不等式求最值 12 03 课后拓展精练 19 知识点1、柯西不等式（Cauchy不等式） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 知识点2、权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 知识点3、排序不等式 给定两组实数．如果．那么其中是的一个排列． 知识点4、切比雪夫不等式 对于两个实数数列，若有， 则有， 类似地，若有，则有． 知识点5、琴生不等式 凹函数的定义 设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的凹函数. （1）琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的点，有（当且仅当时取“=”）． （2）加权琴生不等式：若在上为凹函数，则对任意，有 题型一：柯西不等式求最值 例1．（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 例2．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 例3．（2026·高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 变式1．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 变式2．（2026·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 题型二：反柯西不等式求最值 例4．（2026·高三·安徽·阶段检测）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是______． 【答案】 【解析】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，则， 所以，最小值为，此时． 故答案为：. 例5．的最小值为 ． 【答案】 【解析】 当且仅当即时取等号， 故的最小值为． 例6．函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】直接应用反向柯西不等式，有 当且仅当，即时，等号成立．故所求的最小值为． 题型三：权方和不等式求最值 例7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【解析】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 例8．（2026·高三·全国·一轮复习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 故答案为： 例9．已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 【答案】 【解析】应用权方和不等式，有 等号成立时． 所以的最小值是． 故答案为：. 变式3．（2026·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 题型四：排序不等式求最值 例10．（2026·高三·全国·一轮复习）设是的一个排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是的一个排列， 由排序不等式得， ， ∴的取值范围是 故选：C. 例11．（2026·高三·全国·一轮复习）若，，其中都是正数，则A与B的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依序列的各项都是正数，不妨设， 则为序列{xn}的一个排列. 由排序不等式，得， 即，当且仅当时，取等号， 故选：C. 例12．已知数组（）与（）均是1，2，…，n的一个排列.则的最大值为__________. 【答案】 【解析】注意到，. 由排序不等式，知当时，和式的值为最大.此时. 变式4．已知，，…，都是正整数，且.则的最大值是__________． 【答案】1992 【解析】对于自然数，，若， 则有. 于是，当的和不变的情况下，其中小数减1而大数加1所得的平方和增大， 由此可知：当，时，最大，其最大值为 . 题型五：切比雪夫不等式求最值 例13．设，对任意，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则． 由题意，，，，且， 由绝对值不等式，得， ∴，即，因此． 故选：C． 例14．已知对任意成立，则不超过的最大整数是______． 【答案】9 【解析】依题意， 因为，依据结论3求得的最佳逼近直线为， 从而可知，1，3，5是偏差点． 又由题意知，，综合这两个不等式可以得到等式． 由性质14可知，，则不超过的最大整数是9． 故答案为：9 题型六：琴生不等式求最值 例15．在锐角中，的最小值为______． 【答案】 【解析】构造函数，，则， 令，则， 所以函数在上为下凸函数． 由琴生不等式得， 即，当且仅当时等号成立． 因此在锐角中，的最小值为． 故答案为：. 例16．已知函数，则的最小值是________. 【答案】 【解析】定义域为R， ， 故为奇函数， 又， 故是周期函数，周期， 先考虑，函数，在上恒成立， 故在上是上凸函数， 由琴生不等式得 . 当且仅当时，. 又因为是奇函数，所以. 故答案为： 例17．（2026·高三·全国·一轮复习）在中，的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为在区间上是凸函数，根据琴生不等式可得， ， 得， 当且仅当时等号成立， 即的最大值是. 故选：D 变式5．（多选题）（2026·高三·安徽·期中）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A，由，得， 则，即，当且仅当时等号成立，故A正确； 对B，因为，所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，因为， 所以，解得， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对D，由函数的图象知，该函数为凹函数， 则根据琴生不等式有， 即，当且仅当时等号成立，则D正确． 故选：ABD． 变式6．函数的凹凸性是函数的重要性质之一，下面给出函数凹凸性的定义： 定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，，有，当且仅当时等号成立. 定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，有 ，当且仅当时等号成立.将定义1和定义2中的“≤”改为“≥”，则相应地称函数为上的下凹函数. 可以证明定义1与定义2等价.试运用以上信息解答下面的问题： (1)若，试根据定义判断在上的凹凸性； (2)已知为上的下凸函数，设，且，求的最小值； (3)设为大于或等于1的实数，试根据定义证明：.（提示：可设） 【解析】（1）因为的定义域为， 任取， 则 . 即，所以在上为下凸函数. （2）令，因为在上为下凸函数， 所以函数，在上为下凸函数， 依题意，， 即， 因此， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （3）设，因为，所以， 要证， 只需证明， 下面证：在上为下凸函数. 设，则， 下面证，即证， 即证， 化简得， 即证， 又，所以，所以式显然成立， 所以成立， 所以在上为下凸函数， 则得证. 变式7．（2026·上海金山·一模）现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 【解析】（1）设，取 则，， 则， 因，则，， 从而，，则， 即，当且仅当时取等号， 则不是定义域上的“U函数”； 设，， ，， ， 当且仅当时取等号，则是定义域上的“U函数”； （2）设，因是上的“U函数”， 则对，， 注意到，则； （3）由题可得， 当时，，则； 当，，则； 当时，，则； 当，，则； 依次类推可得：，， ，. 据此可得大致图像如下： 则， 则. 设，则 取， 因，则，，， ，从而， 即为区间上的“U函数”. 由题干提供信息可得：取， 则 1．（2026·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【解析】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】该函数的定义域为，由柯西不等式可得： ， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 3．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为, 令,又,,, 所以, 当且仅当即时等号成立, 即, 故选:D. 4．设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一 根据题意，有 ， 其中，令， 解得， 于是， 等号当时取得，因此所求最大值为． 解法二 令，其中，则 ， 等号当时取得，因此所求最大值为． 解法三 根据题意，有 ， 等号当，且即时取得， 因此所求最大值为． 故选：A. 5．已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【解析】根据柯西不等式，有， 从而， 因此e的取值范围是． 故选：D. 6．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】根据题意，有， 而，当且仅从时等号成立. 同理，当且仅当式等号成立， 记题中代数式为M，于是 ， 等号当时取得，因此所求代数式的最小值为2． 故选：B. 7．（2026·浙江·一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为. 故选：C． 8．已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由权方和不等式，可知 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B 9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 【答案】52 【解析】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为： 10．（2026·高三·江苏南通·阶段检测）已知正实数、且满足，求的最小值___________. 【答案】 【解析】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 11．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 12．求的最大值为______________ 【答案】 【解析】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 13．已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【答案】 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 14．设A，B，C是的三个内角，则的最大值是________. 【答案】 【解析】函数在上是凹函数，由琴生不等式得 ， 当且仅当时取到等号，所以. 故答案为： 15．权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【解析】（1）证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 16．某数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们在上都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．已知定义：设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的，，…，，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）．小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数．小组成员选择了反比例型函数来研究函数的凹凸性． (1)设，，…，，，且，求的最小值． (2)设，，…，为大于或等于1的实数，证明：．（提示：可设） 【解析】（1）对于函数，首先证明其凹凸性， ，，则 ， 所以在上为凹函数 由琴生不等式，得， 即， 又， 所以， 即． 所以，当时等号成立， 即求的最小值为. （2）设，因为，所以（，2，3，…，n）． 要证， 只需证， 即． 由琴生不等式，只需证在上为凹函数 设，，则，， 下面证， 即证， 即证， 化简得， 即证．（*） 因为，所以，（*）式显然成立， 所以成立，即在上为凹函数， 则得证. 17．无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且 (1)写出三条正六棱台的结构特征. (2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：） (3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!” “小迷糊”：“.....” 亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧. 注：可以参考（不限于）下面公式： ①元均值不等式： ②琴生不等式： 若函数在上为“凸函数”，且为上任意个实数，则 注：在是“凸函数” ③柯西不等式： 注：其二元形式为 【解析】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等腰梯形，等等. （2）在中，可求， 所以排练厅上底面为边长10的正六边形，下底面为边长9的正六边形，高为， 所以， 所以. （3）法1.四元均值不等式 . 当且仅当，即时取等号. 所以最大值为. 法2.琴生不等式法 ， 当且仅当，即取等号. 所以最大值为. 法3.二元均值不等式推广， ， 当且仅当时取等号. 所以最大值为. 法4.柯西不等式 ，根据二次函数知识可知当取得最大值， 所以； 柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当. 所以最大值为. 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题拓展02 利用五大经典代数不等式求最值参考答案 目录 01 解题方法总结 2 知识点1、柯西不等式（Cauchy不等式） 2 知识点2、权方和不等式 2 知识点3、排序不等式 2 知识点4、切比雪夫不等式 2 知识点5、琴生不等式 3 02 重难点题型梳理 4 题型一：柯西不等式求最值 4 题型二：反柯西不等式求最值 5 题型三：权方和不等式求最值 5 题型四：排序不等式求最值 6 题型五：切比雪夫不等式求最值 7 题型六：琴生不等式求最值 7 03 课后拓展精练 9 知识点1、柯西不等式（Cauchy不等式） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 知识点2、权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 知识点3、排序不等式 给定两组实数．如果．那么其中是的一个排列． 知识点4、切比雪夫不等式 对于两个实数数列，若有， 则有， 类似地，若有，则有． 知识点5、琴生不等式 凹函数的定义 设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的凹函数. （1）琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的点，有（当且仅当时取“=”）． （2）加权琴生不等式：若在上为凹函数，则对任意，有 题型一：柯西不等式求最值 例1．（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 例2．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 变式1．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式2．（2026·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 题型二：反柯西不等式求最值 例4．（2026·高三·安徽·阶段检测）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是______． 例5．的最小值为 ． 例6．函数的最小值为 ． 题型三：权方和不等式求最值 例7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 例8．（2026·高三·全国·一轮复习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 例9．已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 变式3．（2026·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：排序不等式求最值 例10．（2026·高三·全国·一轮复习）设是的一个排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例11．（2026·高三·全国·一轮复习）若，，其中都是正数，则A与B的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例12．已知数组（）与（）均是1，2，…，n的一个排列.则的最大值为__________. 变式4．已知，，…，都是正整数，且.则的最大值是__________． 题型五：切比雪夫不等式求最值 例13．设，对任意，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．已知对任意成立，则不超过的最大整数是______． 题型六：琴生不等式求最值 例15．在锐角中，的最小值为______． 例16．已知函数，则的最小值是________. 例17．（2026·高三·全国·一轮复习）在中，的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 变式5．（多选题）（2026·高三·安徽·期中）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 变式6．函数的凹凸性是函数的重要性质之一，下面给出函数凹凸性的定义： 定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，，有，当且仅当时等号成立. 定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，有 ，当且仅当时等号成立.将定义1和定义2中的“≤”改为“≥”，则相应地称函数为上的下凹函数. 可以证明定义1与定义2等价.试运用以上信息解答下面的问题： (1)若，试根据定义判断在上的凹凸性； (2)已知为上的下凸函数，设，且，求的最小值； (3)设为大于或等于1的实数，试根据定义证明：.（提示：可设） 变式7．（2026·上海金山·一模）现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 1．（2026·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 6．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 7．（2026·浙江·一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 8．已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 10．（2026·高三·江苏南通·阶段检测）已知正实数、且满足，求的最小值___________. 11．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为__________. 12．求的最大值为______________ 13．已知正数，，满足，则的最小值为______________ 14．设A，B，C是的三个内角，则的最大值是________. 15．权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 16．某数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们在上都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．已知定义：设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的，，…，，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）．小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数．小组成员选择了反比例型函数来研究函数的凹凸性． (1)设，，…，，，且，求的最小值． (2)设，，…，为大于或等于1的实数，证明：．（提示：可设） 17．无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且 (1)写出三条正六棱台的结构特征. (2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：） (3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!” “小迷糊”：“.....” 亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧. 注：可以参考（不限于）下面公式： ①元均值不等式： ②琴生不等式： 若函数在上为“凸函数”，且为上任意个实数，则 注：在是“凸函数” ③柯西不等式： 注：其二元形式为 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $