微专题拓展05 函数同构经典模型（8大题型）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学讲义聚焦函数同构经典模型，覆盖双变量对称同构、指对同构、方程求解等十大高考核心题型，按解题方法总结、重难点题型梳理、课后拓展精练的逻辑架构展开，通过考点分类梳理、同构变形方法指导、真题例题与变式训练结合，帮助学生构建系统的同构解题思维体系。 资料以数学思维和模型观念为核心，创新设计“同构变形四步法”教学活动，如引导学生将指对混合不等式转化为$f(x)=xe^x$等经典同构函数，培养推理能力与转化意识。设置基础例题、变式提升、综合精练三层练习，配合题型规律总结，确保学生在有限时间内掌握关键技巧，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

微专题拓展05 函数同构经典模型 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 4 题型一：双变量对称同构问题 4 题型二：指对同构的核心原理与应用 6 题型三：同构思想求解方程问题 8 题型四：和式结构同构问题 10 题型五：积式结构同构问题 13 题型六：同构法破解函数零点问题 17 题型七：基于同构思想的函数最值问题 24 题型八：同构法求解不等式恒成立问题 27 题型九：朗博同构与放缩技巧应用 29 题型十：公切线问题中的隐形同构模型 32 03 课后拓展精练 35 一、八大同构函数图像 ①，②， ③，④， ⑤，⑥， ⑦，⑧． 二、同构 1、常规变形方式 ①；②；③；④；⑤． 2、变形同构 ①； ② ； ③ ④ ⑤ 3、双变量同构 (1)为增函数． (2)为减函数． 题型一：双变量对称同构问题 例1．已知函数，对任意，且都有成立，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 不妨设，则，由， 得，即， 令函数，则函数在区间上单调递减， 因此对，恒成立， 而函数在上单调递增，则当时，取得最小值3，于是， 又，所以实数的取值范围是. 故选：A 例2．已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,不妨设 所以，即， 令，则，所以函数在上单调递增， 则恒成立，即恒成立， 又函数，当时，等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是． 例3．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 设， 依题意，当时，恒成立， 故函数在上单调递减， 因，求导得， 则在上恒成立，即， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 故当时，， 故实数的取值范围为. 变式1．若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 【答案】A 【解析】由可得， 由,且,所以，即， 令，则在上单调递增， 所以，令，则, 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以，故. 故选：A. 变式2．（2026·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，若，则. 设. 所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 题型二：指对同构的核心原理与应用 例4．对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. 【解析】因为， 所以. 例5．对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. 【解析】首先将不等式进行处理， 因为，不等式两边同时除以可得： ， 令，则，原不等式可化为，即. 进一步变形为. 考虑函数，则不等式左边为，对于右边，可变形为，即. 所以不等式同构变形为，同构函数为. 例6．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【解析】（1）显然，则， 同构函数为； （2）显然，则 ，同构函数为； （3）显然，则， 同构函数为； （4）显然，则， 同构函数为； （5）， 同构函数为； （6）， 同构函数为. 题型三：同构思想求解方程问题 例7．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，此时称与为同构式.已知实数满足，，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】由，则 令，则，故在单调递增， 所以， 所以，故， 故 故选：B. 例8．（2026·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（    ） A． B．e C． D．1 【答案】A 【解析】对的两边同时取自然对数，得①． 对的两边同时取自然对数，得，即②． 因为方程①②为同构方程，所以，解得． 设，则，所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个，所以，所以． 故选:A． 例9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，，即，也即， 由可得，所以， 即， 构造函数，在恒成立， 所以函数在定义域上单调递减， 所以，即， 又因为，所以，所以，解得， 故选:B. 变式3．已知实数，满足，，其中e是自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以． 因为，所以． 联立， 所以与是关于x的方程的两根． 构造函数，该函数的定义域为，且该函数为增函数， 由于，所以，又， 所以，即，解得． 故选：D． 变式4．已知满足，其中是自然对数的底数，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 又单调递增，所以，故. 故选：B 题型四：和式结构同构问题 例10．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将不等式变形为， 构造函数，其中，所以不等式可以表示为， 对求导，得，因为，所以恒成立，即在上单调递增， 则由不等式可推出对所有的恒成立，即，所以必须小于或等于在时的最小值， 令，则， 当时，，说明在上单调递减； 当时，，说明在上单调递增； 因此，在处取最小值，最小值为， 所以，即的最大值为，故B正确. 例11．已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，函数，因此不符合题意； 当，根据函数，即， 令函数，导函数， 令，，令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值，即， 所以，即，因此函数在上单调递增. 因为，即， 所以在上恒成立， 所以，令函数， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 即， 所以． 例12．已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，易知在单调递增， ，，，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，故， 又，的取值范围. 变式5．当，满足，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由. 设，， 则. 又因为，， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当时，，与1的大小关系不确定，但是要求实数的最小值，所以只要考虑，此时， 所以. 因为，所以，. 设，，则，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以. 所以. 即实数的最小值为. 变式6．（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 变式7．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因对任意恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则有 ，由，可知函数在上单调递增， 故得，即在上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值为， 故得，即实数a的最小值为. 题型五：积式结构同构问题 例13．已知对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，故在上单调递增. 对恒成立，可等价变形为， 在上单调递增， 又 ，所以，所以 ， 所以由可得， 可得两边取对数得，即对恒成立， 设，则， 令得， 得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴当. 对恒成立， ，即实数的取值范围是. 例14．关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 例15．若函数，且，则正实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得的定义域为； ， 由得，即. ，，； 当时，，，，此时恒成立； 当时，，得； ，即； 令，则； ，，，得； 在上单调递增. 由，得，即； ，即. 令，则. 令，则，得； 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增； 当时，取得极小值，也是最小值，即， 由在上恒成立，得，即，解得； ，； 正实数的取值范围是. 变式8．（2026·湖南株洲·三模）若存在，使得对恒成立，则实数b的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式， 由已知存在，使得对恒成立， 当时，，，所以， 由已知存在，使得对恒成立， 所以对恒成立， 不等式， 所以对恒成立， 因为，故， 令，则，故在上单调递增， 因此对恒成立，即对恒成立， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此函数的最大值为，故. 变式9．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，令， 则不等式变形为在上恒成立. 因为，再令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，即，所以在上单调递增， 因此，由得，即，所以不等式在上恒成立. 设，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，所以. 因此实数的取值范围为. 题型六：同构法破解函数零点问题 例16．已知函数的表达式为，函数的表达式为，其中函数经过点. (1)求实数的值，并求函数上一点处的切线方程； (2)求函数和的单调区间和极值； (3)是否存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，请说明理由. 【解析】（1）已知函数经过点， 将点代入可得： ，即 ，解得 ， 由 可得 ，其定义域为，求导可得， 将 代入，可得， 所以函数上一点处的切线方程为， 化简得， 因此，实数 ，函数上一点处的切线方程为. （2）由 可得 ，其定义域为 ，对求导可得 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时， ，则 ，所以在上单调递减； 当 时，，则 ，所以在上单调递增； 所以在 处取极小值，极小值为 ，无极大值； 由 可得 ，其定义域为，求导可得， 令 ，即 ，解得， 当 时， ，则 ，所以在上单调递减； 当 时，，则，所以在上单调递增； 所以在处取极小值，极小值为，无极大值； 因此在上单调递减，在上单调递增，极小值为 ，无极大值； 在上单调递减，在上单调递增，极小值为 ，无极大值； （3）证明存在直线满足条件，观察可知， 由（2）可知 在上单调递减，在上单调递增， 极小值为 ； 在上单调递减，在上单调递增， 极小值为；两函数的最小值均为， 构造共同点：设，满足（即），整理得， 零点存在性定理，令，其定义域为， 对求导，可得， 令，求导得， 当时，，但时，， 所以存在，使得，即， 在上，单调递减，在上，单调递增， 因此的最小值为， 令，则，上式变为，因为，所以， 即，所以在上恒成立，故在上单调递增， 又因为 ， ， 所以存在，使得，即公共点存在，有， 找三个交点：令，则，因为，且，解得和； 由，因为，且，解得和； 又因为三交点横坐标为，有，即中间项的倍等于两边之和，故成等差数列； 因此，存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点， 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列； 例17．（2026·高三·上海·阶段检测）已知曲线和，它们的图像分别为曲线和． (1)求函数和的最大值； (2)证明：曲线和有唯一交点； (3)设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列． 【解析】（1）对求导，， 令，即，所以1，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 对求导，， 令，即，解得， 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 因此，的最大值为，的最大值为． （2）， 设，则， 令，则， 所以，当，，单调递减， 当，，单调递增，所以，即，令，则， 所以，当，，单调递减， 当，，单调递增，所以，即， 所以， 所以， 所以在为减函数， 又，，即， 所以，由零点存在定理知，在存在唯一的零点， 即方程有唯一解，所以，曲线和有唯一交点． （3）由（1）知，， 由（2）知，要使直线与两条曲线、共有三个不同交点， 则直线必过曲线和的交点，且， 所以，故有， 因为，且， 由（1）知在上递增，所以， 同理，且， 由（1）知在上递减， 所以，即， 所以，即，，成等比数列． 例18．已知函数和，证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【解析】证明：由题，， 所以时，时， 时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 当时，考虑和的解的个数， 设，则， 当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，而， 设，则，所以在上为增函数， 所以，故， 故有两个不同的零点，即的解的个数为2， 设，则， 所以时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，而， 所以有两个不同的零点，故的解的个数为2； 同理可得，当时，由可知、均仅有一个解； 当时，由可知、均无解. 故若存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点，则. 设，则， 设，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以，所以在上单调递增， 而， 故在上有且仅有一个零点，且， 当时，即，即， 当时，即，即， 因此存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点，且， 此时有两个不同的根，有两个不同的根， 故，，，， 所以即，即， 故为方程的解，同理为方程的解， 又可化为， 所以即， 故为方程的解，同理也为方程的解， 所以，而， 故，即，故成等差数列. 变式10．（2026·高三·福建泉州·阶段检测）已知函数和有相同的最大值． (1)求； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标满足． 【解析】（1）因为函数，，则 ， 所以当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减； 故； 因为函数，所以， 令，则. ①当时，是减函数， 所以时，，则函数单调递增； 时，，则函数单调递减； 故，则成立； ②当时，令，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以，即，即，当且仅当时，等号成立， 用替换，则，即，所以， 故， 显然当，，则，故无最大值，故不成立； ③当时，，故单调递减， 又，， 设，使得，即（*）. 则，，则单调递增； ，，则单调递减； 故， 由，有，即， 代入（*）得不成立； 综上，. （2）由（1）知，两个函数图象如下图所示： 由图可知：当直线经过点时， 此时直线与两曲线和恰好有三个交点， 不妨设， 且， 由，又， 又当时，单调递增，所以，即， 又，又， 又当时，单调递减，所以，即， 所以. 题型七：基于同构思想的函数最值问题 例19．设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 【答案】0 【解析】由题意，即，所以， 由，所以在上单调递增，则，可得， 所以， 令，函数定义域为，则， 令，有在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 由，则时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为0. 例20．已知函数，，若，，则的最大值为________． 【答案】1 【解析】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以有唯一解，即，即，可得， 所以， 令，则，所以， 令，则， 令，即，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，为， 所以的最大值为. 例21．（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 即 设，可得，且，可得， 再令，则，可得， 即， 令，则， 所以，其中， 设，可得，所以在上单调递增， 由，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值. 故选：B. 变式11．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即， 构造函数 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因为，所以，此时， 令，令，解得， 所以当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以的最小值为， 综上的最小值为. 故选：B. 变式12．已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， ，因为，其中， 所以，，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：A. 题型八：同构法求解不等式恒成立问题 例22．（2026·福建三明·模拟预测）已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得，即， 设，可得， 因为，可得， 又因为，所以，即，所以， 当时，，可得函数在为单调递增函数， 所以，即. 故选：B. 例23．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以当时，，当时， 所以AB错误； 因为， 所以． 因为， 不妨设，则， 即， 即， 即， 所以， 所以， 所以C正确． 证明：， 设， 则， 所以在上单调递减， 所以，即， 设， 则， 所以在上单调递减， 所以，即. 所以当时，. 故选：C. 例24．（2026·高三·四川绵阳·阶段检测）已知且则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 所以， 所以 ， 令，则， 当时，，故在上单调递增， 因为所以， 则 所以，即，故A正确；故B错误； 因为，所以， 因为，所以不确定，故CD错误. 故选：A. 变式13．求证：当时，． 【解析】要证，只需证，只需证． 设，只需证． 则 令，则，， ，∴在单减．故只需证即可． ，，． 所以原不等式成立． 题型九：朗博同构与放缩技巧应用 例25．已知函数，（其中是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使在上恒成立，只需即可． ，又，易知：在上递增． 因为当趋向于0时，趋向负无穷，当趋向正无穷时，趋向正无穷， 所以，在上存在唯一的零点，满足， 所以，且在上单调递减，在上单调递增， 于是． 由得：，必有，， 两边同时取自然对数，则有，即． 构造函数，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以，即，故， 于是实数m的取值范围是． 例26．（2026·广东·模拟预测）已知函数． （1）求的极值； （2）当时，，求实数的取值范围． 【解析】（1）求导得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． （2）由题知不等式在上恒成立， 原问题等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立． 记，则，当单调递减，单调递增， 因为即， ①当时， 因为，所以不等式恒成立，所以； ②当时，令，显然单调递增，且， 故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解． 综上所述，． 例27．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得 因为，所以 令 则问题转化为求在上的最小值． 求导得 令， 因为，所以与同号． 又，所以在上单调递增． 当时，；又，所以存在唯一的，使得． 再看方程， 函数，，则， 则在上单调递增，且当时，， 当时，，所以该方程有唯一正根． 设这个正根为，则， 于是且，说明这个正是的唯一根． 因此，当时，，从而； 当时，，从而． 所以在处取得最小值． 由，得，又， 所以 所以． 要使对任意恒成立，必须且只需． 当时，取，原不等式等号成立，不满足严格大于． 故的取值范围为． 题型十：公切线问题中的隐形同构模型 例28．（2026·高三·山东·期中）若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为_________.（写出符合条件的一个方程即可） 【答案】（或） 【解析】直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即． 直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 因为直线为曲线与的公切线， 所以， 由得，两边取自然对数得， 即，即， 代入得，即，解得或， 所以或， 所以的方程为或． 故答案为：（或）． 例29．（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则__________. 【答案】11 【解析】由，得， 由题意可得，解得，， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得， 设切点为，则，且， 联立得，即，解得，所以． ∴． 故答案为：11. 例30．已知直线是曲线与的公切线，则______． 【答案】1 【解析】对曲线求导得：，对曲线求导得：， 设直线与曲线相切于点， 则过点的切线方程为：，即：； 设直线与曲线相切于点， 则过点的切线方程为： ， 即： 因为是公切线，所以 化简得：，即：，所以. 变式14．若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【答案】 【解析】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. 1．（2026·高三·陕西安康·阶段检测）已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设，由，得， 即， 令，所以对任意的实数时，都有， 即在上单调递增，所以在上恒成立， 即．在上恒成立． 令．则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即实数a的取值范围是． 故选：B． 2．已知函数，对任意，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，易知函数在上是增函数， 不妨设，则． 由，所以． 所以，即． 设，则在区间上是减函数． 所以在时恒成立， 因为，所以在时恒成立， 即在时恒成立，即． 而在区间上是增函数，所以的最大值为，所以， 又，所以． 故选：B. 3．已知函数，若，且，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于 均为单调递增函数，所以为上的单调递增函数，由，且，则， 故， 故， 即， 令， 则由，且，则，故在单调递增， 对任意的恒成立， 令， 由于均为单调递增函数，所以为单调递增函数，又当趋向于1时，趋向于，而趋向于时趋向于， 故存在唯一的实数，使得，即，则 当故在单调递减，在单调递增，故当时，取极小值也是最小值， 由于对任意的恒成立， 所以，记，所以在上单调递减，又， 故当，当， 又，所以 又，所以， 由于在单调递增，所以， 故，又，故， 故选：B 4．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 5．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，不等式， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 不等式，则，而， 于是恒成立，令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 因此，解得，又，则， 所以的取值范围为. 6．对任意，恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，由，得， 所以. 令，则， 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，在上单调递增. 由，知， 所以，即. 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为， 所以实数的可能取值为. 7．已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将原不等式移项整理得：， 构造函数，对求导得：，令，得唯一临界点， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 原不等式对任意恒成立等价于：对任意，都有， 因为任意，都有，，而在上单调递增， 因此等价于： 变形得对任意恒成立，只需， 令，求导得，令得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 因此的最大值为，故. 8．（2026·山东东营·二模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知函数对恒成立， 则， 令，求导得， 单调递增， ，由单调性得，即， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值：， 要使恒成立，只需满足， 的取值范围是． 9．（2026·高三·河南南阳·期末）若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式 ，令函数，显然函数在上单调递增， 依题意，不等式恒成立，即， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 10．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式可变形为， 即在上恒成立， 令， 易得在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 即在上恒成立，即在上恒成立， 也即在上恒成立， 所以， 令，则， 由，解得；由，解得； 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即，故实数的取值范围是． 故选：D 11．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为关于x的不等式对恒成立， 所以，即， 不妨设，此时在上恒成立， 可得， 当时，单调递增；当时，单调递减， 又，所以当时，，当时，， 又，所以在上恒成立，即恒成立. 构造函数，，则， 易知时，，在上单调递减；时，，在上单调递增； 所以， 所以实数a的取值范围为. 故选：D． 12．（2026·高三·安徽淮北·阶段检测）对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，即， 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，又时，， 所以的值域为，即. 所以，，即，恒成立， 当时，即为，令，则， 所以函数在上单调递减，故，则， 当时，对任意的成立； 当时，即为，由， 当时，，即函数单调递减； 当时，，即函数单调递增； 所以，故； 综上， . 故选：D. 13．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，，若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即，即， 因为，令，，则，所以. 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则. 故选：B. 14．（2026·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则________，________． 【答案】 3 8 【解析】对两边取自然对数得  ①．对两边取自然对数得，即  ②． 因为方程①，②为两个同构方程，所以，解得． 设（），则， 所以函数在上单调递增，所以方程的解只有一个，所以， 所以，故． 故答案为：3；8． 15．数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（将化为）可以同构为.若已知关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则______，______. 【答案】 3 8 【解析】关于b的方程， 依题意，，解得； 因此，显然， 函数，求导得，函数在上单调递增， 由，得，则，即， 所以. 故答案为：3；8 16．（2026·高三·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（可化为）可以同构为.若已知恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】令则在单调递增， 由可得， 则， 由于，所以，故， 记， 当单调递增，当单调递减， 故， 因此， 故答案为： 17．（2026·高三·江西宜春·开学考试）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为_______． 【答案】 【解析】对两边取自然对数，得①， 对两边取自然对数，得，即②， 因为方程①②为两个同构方程，所以，解得， 设且，则， 所以在上单调递增，故的解只有一个， 所以，则． 故答案为： 18．同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 __________. 【答案】3 【解析】函数在R上单调递增，且， 由，得，则， 即，因此，则， 所以. 故答案为：3 19．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则______． 【答案】5 【解析】易判断为增函数，， ， 即，， 所以，. 故答案为：5 20．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式.已知实数满足，，则___________. 【答案】8 【解析】， 令，易知在R上单调递增， 又， 所以. 故答案为： 21．（2026·高三·辽宁·期中）已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则______． 【答案】 【解析】且，且， 故，构造函数，则， 所以在上单调递增，所以，所以． 故答案为： 22．已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 【答案】 【解析】∵对任意的，恒成立， 即，在上恒成立， 即在上恒成立， 即，. 设函数，，则在R上为增函数， 则在上恒成立， 则. 令，， 则在上递增，在递减， 则. 23．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 【答案】 【解析】由题意可知,由，变形得， 即等价于，即； 令，因为，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得， 即实数的最大值为. 24．若对任意，恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为 所以等价于， 两边同加得 则原不等式等价于 记，则等价于， 因为恒成立，在上单调递增， 所以等价于， 记，，则恒成立等价于， 又， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 25． 时对恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】若，不等式恒成立， 若时，两边同乘以，可得， 两边同构，令，则， 由，所以在单调递增，所以， 所以，所以 令，求导得， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以＝1，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 26．已知，，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为， 所以，故， 注意到， 所以， 设函数，其导数， 故在上单调递增，因此由得 所以，设， 求导得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，取最小值，最小值为， 当时，， 故的取值范围是. 27．已知函数，，若，其中，的最大值为__________． 【答案】/ 【解析】由题知，，易知， 令，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 又，且，即，故得， 则，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，故的最大值为. 28．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【答案】4 【解析】设直线与函数的图象的切点为， 由求导得，由，得， 所以直线与函数的图象的切点为， 将点代入，解得. 设直线与函数的图象的切点为， 又，则（*）. 由，代入上式得， 因为函数单调递增，且， 所以，代入（*），解得， 所以. 29．（2026·高三·辽宁·阶段检测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程. （1）求的值； （2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：. 【解析】（1）对两边取自然对数，得(1), 对两边取自然对数，得 即， 因为(1)(2)方程为两个同构方程，所以 ，解得 ， 设 ，则 , 所以 在 单调递增，所以方程的解只有一个, 所以 ，所以 ， 故 . （2）由（1）知： 所以 要证，即证明等价于 令 ，则只要证明 即可， 由 知， ，故等价于证 设 则 ，即 在 单调递增， 故 ，即 . 设则 ，即在单调递增， 故，即 。 由上可知成立，则. 30．（2026·江苏·模拟预测）已知， (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的最小值； (3)已知当时，存在，使得函数有三个零点，且成等差数列，求的值. 【解析】（1），，， 当时，，在上单调递增； 当时，，解得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增； 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2），， 又恒成立，所以在上恒成立， 令，， 令，， 则的解为， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 又，所以，且， 存在唯一，使得，即， ， 当时，，，单调递增， 时，，，单调递减， 又， ，且 又在上单调递增，时，， ，又， 的最小值为； （3），，且， 当时，，则， 令，， 令，， 当时，，单调递增， 时，，单调递增，时，，单调递减， 又，，， 时，，，单调递增； 当时，有唯一解，设为， 则当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 又时，，时，， 则的简要图形如下： 则时，最多有两个不同的交点，且恒大于零， 函数有三个零点，且成等差数列， ，且， ， 整理得，解得或（舍去）， ， ． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题拓展05 函数同构经典模型 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 4 题型一：双变量对称同构问题 4 题型二：指对同构的核心原理与应用 4 题型三：同构思想求解方程问题 5 题型四：和式结构同构问题 6 题型五：积式结构同构问题 6 题型六：同构法破解函数零点问题 7 题型七：基于同构思想的函数最值问题 8 题型八：同构法求解不等式恒成立问题 9 题型九：朗博同构与放缩技巧应用 9 题型十：公切线问题中的隐形同构模型 10 03 课后拓展精练 11 一、八大同构函数图像 ①，②， ③，④， ⑤，⑥， ⑦，⑧． 二、同构 1、常规变形方式 ①；②；③；④；⑤． 2、变形同构 ①； ② ； ③ ④ ⑤ 3、双变量同构 (1)为增函数． (2)为减函数． 题型一：双变量对称同构问题 例1．已知函数，对任意，且都有成立，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 例2．已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1．若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 变式2．（2026·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 题型二：指对同构的核心原理与应用 例4．对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. 例5．对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. 例6．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 题型三：同构思想求解方程问题 例7．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，此时称与为同构式.已知实数满足，，则（    ） A．6 B．8 C． D． 例8．（2026·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（    ） A． B．e C． D．1 例9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．已知实数，满足，，其中e是自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4．已知满足，其中是自然对数的底数，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 题型四：和式结构同构问题 例10．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 例11．已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例12．已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式5．当，满足，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式6．（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型五：积式结构同构问题 例13．已知对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 例15．若函数，且，则正实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式8．（2026·湖南株洲·三模）若存在，使得对恒成立，则实数b的范围为（    ） A． B． C． D． 变式9．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六：同构法破解函数零点问题 例16．已知函数的表达式为，函数的表达式为，其中函数经过点. (1)求实数的值，并求函数上一点处的切线方程； (2)求函数和的单调区间和极值； (3)是否存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，请说明理由. 例17．（2026·高三·上海·阶段检测）已知曲线和，它们的图像分别为曲线和． (1)求函数和的最大值； (2)证明：曲线和有唯一交点； (3)设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列． 例18．已知函数和，证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 变式10．（2026·高三·福建泉州·阶段检测）已知函数和有相同的最大值． (1)求； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标满足． 题型七：基于同构思想的函数最值问题 例19．设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 例20．已知函数，，若，，则的最大值为________． 例21．（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式11．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式12．已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型八：同构法求解不等式恒成立问题 例22．（2026·福建三明·模拟预测）已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（    ） A． B． C． D． 例23．若，则（    ） A． B． C． D． 例24．（2026·高三·四川绵阳·阶段检测）已知且则一定有（    ） A． B． C． D． 变式13．求证：当时，． 题型九：朗博同构与放缩技巧应用 例25．已知函数，（其中是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例26．（2026·广东·模拟预测）已知函数． （1）求的极值； （2）当时，，求实数的取值范围． 例27．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型十：公切线问题中的隐形同构模型 例28．（2026·高三·山东·期中）若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为_________.（写出符合条件的一个方程即可） 例29．（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则__________. 例30．已知直线是曲线与的公切线，则______． 变式14．若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 1．（2026·高三·陕西安康·阶段检测）已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，对任意，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．已知函数，若，且，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．对任意，恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 7．已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山东东营·二模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·高三·河南南阳·期末）若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·高三·安徽淮北·阶段检测）对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，，若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则________，________． 15．数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（将化为）可以同构为.若已知关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则______，______. 16．（2026·高三·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（可化为）可以同构为.若已知恒成立，则的取值范围是______. 17．（2026·高三·江西宜春·开学考试）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为_______． 18．同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 __________. 19．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则______． 20．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式.已知实数满足，，则___________. 21．（2026·高三·辽宁·期中）已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则______． 22．已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 23．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 24．若对任意，恒成立，则的取值范围是______. 25． 时对恒有，则实数的取值范围为________． 26．已知，，若，则的取值范围是__________． 27．已知函数，，若，其中，的最大值为__________． 28．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 29．（2026·高三·辽宁·阶段检测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程. （1）求的值； （2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：. 30．（2026·江苏·模拟预测）已知， (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的最小值； (3)已知当时，存在，使得函数有三个零点，且成等差数列，求的值. 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $