精品解析：四川自贡市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025-2026学年高二年级下学期期末考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在处切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率. 【详解】，，根据导数的几何意义可得在处切线的斜率为. 2. 一箱产品中，有8件合格品，2件次品，从中不放回地抽取3件产品作为样本，用表示样本中次品的个数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】意味着从10件产品中抽出三件，两件为次品， 因此抽出三件，两件为次品的事件数为， 而从10件产品中抽出三件的事件数为， 因此根据古典概型的概率计算公式有. 3. 三名志愿者被分配到交通劝导，文明服务两项工作进行社会服务，要求每项工作至少一人参加，每人只参加一项工作，则不同的分配方案种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】先把3名志愿者分成两组，一组1人，一组2人，分组方法数为种， 再把这两组分配到两项不同的工作中，分配方法数为种， 根据分步乘法计数原理，总方案数为种， 所以答案是选项B. 4. 随着雨季的来临，甲，乙两地每天下雨的概率分别为，，且两地同时下雨的概率为，则雨季的某一天在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，则，，， 因此甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率即为. 5. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出函数的奇函数，再利用导数判断出函数在上的单调性，求出的值，即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以， 所以函数为上的奇函数； 当时， ， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为， 故只有A选项才满足. 故选：A. 6. 若是函数的极大值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意由推得，代入函数解析式消元后，求出导数，根据的取值分类讨论验证，即得参数的范围. 【详解】由求导得， 因是函数的极大值点，则，即， 所以， 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取极大值，符合题意； 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取极小值，不符合题意； 若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意； 则的取值范围是. 7. 数轴上一质点在外力作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或者向右移动1个单位，经过5秒后，这个质点在数轴上的位置为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设质点向右移动次数为，向左移动次数为， 每次向左、向右的概率都是，则此时质点位置为， 当时，即，，则向右移动4次向左移动1次， 所以. 8. 已知函数，则（ ） A. 函数在点处的切线方程为 B. 函数在上单调递增 C. 函数存在唯一极值点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】A利用切线的几何意义求解；B举反例；C举反例；D令，证即可. 【详解】， 因为，，所以在点处的切线方程为， 故A错误； 因为，所以在上不满足单调递增，故B错误； 因为， 所以使得， 则函数至少存在两个极值点，故C错误； 欲证，只需证， 即， 令，则只需证， 令，则， 则当时，单调递增， 当时，单调递减，则， 则成立，故成立，故D正确. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，结合已知概率比值计算各个选项，逐一判断选项即可； 【详解】选项A：随机变量服从正态分布，正态分布曲线关于对称轴对称，因此，A正确； 选项B：由对称性可知3和7关于对称，故， 因为，所以，解得，B正确； 选项C：1和9关于对称，仅由已知条件无法计算的具体值，因此也无法确定，C错误； 选项D：，D正确； 故选：ABD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好 C. 已知，若根据列联表得到的估计值为，依据的独立性检验，则认为两个分类变量无关 D. 已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】回归直线是使得每一个样本点都尽可能靠近该直线，并非经过样本数据点最多的那条直线，故A错误； 由决定系数的定义可知，B正确； 因为，所以依据的独立性检验，则认为两个分类变量有关， 故C错误； 易得，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据奇偶性的定义判断；B选项，求导，分析的单调性从而得到最小值；C选项，构造函数，根据函数单调性分析零点个数，从而得到根的个数；D选项，构造函数，根据单调性得到最值即可证明不等式. 【详解】由题意得的定义域为R， 且， 所以为偶函数，A正确； 由题意得， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处取得最小值，B正确； 令，， 所以单调递减，又，， 所以只有一个零点，即方程有且仅有一个实数根，C正确； 令，， 设，则， 所以单调递减，又，所以时，时，， 所以在上单调递增，上单调递减，， 所以，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项公式为：， 化简为，当的指数为4时，即： ，代入通项公式的系数部分得到的系数： . 13. 已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合图象及导数的意义分别可得、、和的解集，即可得答案. 【详解】因为，即， 即与的正负相反， 由图象可知当时，， 当时，， 又因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的解集为，的解集为， 所以的解集为 14. 已知集合，，现甲、乙两人分别从集合，中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，则的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】分甲抽取的元素中有6或7时和甲抽取的元素中没有6和7时，结合组合知识和全概率公式进行计算 【详解】可分两类，甲抽取的元素中有6或7时和甲抽取的元素中没有6和7时， 记事件为甲抽取的元素中有6，没有7，则，， 所以， 记事件为甲抽取的元素中有7，没有6，同理可得， 记事件为甲抽取的元素中有6和7，则，， 所以， 记事件为甲抽取的元素中没有6和7，，， 显然，故， 故， 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列，满足：，且是公差为的等差数列，是公比为的等比数列． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， () （2） 【解析】 【分析】（1）使用等差数列，等比数列的通项公式求解； （2）使用错位相减法求和. 【小问1详解】 因为， 所以，① ，②， 则①②除以2得，②①除以2得. 【小问2详解】 由（1）知， ③， 两边同时乘以3得④， ③④得：， 即， 所以. 16. 已知椭圆：的一个顶点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合椭圆顶点坐标、离心率及求解参数得标准方程. (2)先求线段长度，再通过椭圆参数方程将点到直线距离转化为三角函数最值问题，进而得到面积取值范围.  【小问1详解】 由题意，椭圆短轴上顶点为，故，即. 已知离心率，即，结合椭圆参数关系， 代入得： ， 解得， 因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 对直线，令得，即，令得，即， 故. 设椭圆上点的参数坐标为， 由点到直线距离公式，到直线的距离为： ，  因，故，取绝对值得，因此. 的面积，代入的范围得. 17. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，平面平面． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点作⊥于点， 因为平面平面，且它们的交线为，其中平面， 所以⊥平面，而平面，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为四边形为平行四边形，所以四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 又⊥，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，，，故， ， 设平面的法向量为， 则，解得， 令得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）要证， 两边同时取自然对数，只需证， 即证. 由（1）可知，当时，，且在上单调递增， 故当时，，得当时，恒成立. 因此，当时，<， 故，得证. 【解析】 【分析】（1）赋值后进行求导，研究函数的单调性，进而得解； （2）令，求导后通过对进行分类讨论研究函数的单调性，使得函数在内的最大值小于等于0，即可得解； （3）对两边取自然对数后，即证，由题(1)的结论可推出对一切成立，从而，然后利用裂项相消法，即可得解. 【小问1详解】 当时，，函数的定义域为，， 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增， 故在处取得最小值，. 【小问2详解】 令， 则，. （1）若，因为，此时，故， 即在上单调递增，故， 即，因为，故无解； （2）若，因为，此时，故， 即在上单调递减，故，即， 又因为，所以； （3）若，令，可得， 易知单调递增，故当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增. 因此，要使，需使， 解得，又因为，故. 综上所述，. 【小问3详解】 略. 19. 有一种病毒在某地区蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年．该地区总人口约60万人，专家分析其中约有1000名感染者，疾病预防控制中心现决定对该地区所有人员进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂．已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者检测结果为阴性，另外被感染者与未被感染者的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变． （1）若对该地区人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数； （2）根据医学数据分析，这种病毒的感染率为．现把个人分为一组，将其血样混合后进行化验．若结果为阴性，则通过检验；若结果为阳性，则这个人需要再逐个化验一次．记这个人的化验次数为． （ⅰ）求的分布列与期望； （ⅱ）若，求证：当时，，并以此为依据说明实施混检的理由． （参考数据：，） 【答案】（1）最坏情况下，需要进行次检测可以找到所有的被感染者；在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，则每个分组的最优人数为或人. （2）（ⅰ）的分布列： ，； （ⅱ）若，则，要证，即证. 构造函数，对其取自然对数，令，已知，则， 则，令，解得， 则当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 由复合函数的单调性规则，易知与的单调性相同， 因此，函数在区间上的最小值必在端点处取得，即或处， 当时，； 当时，由题设可知，故. 既然在区间的两个端点处都有，且区间内只有一个极值点(极大值点)，那么在整个的范围内，必然恒有，得证. 实施混检的理由：若进行逐个检测排查，每组个人需要化验次；而采用分组混检后，每组化验次数的数学期望严格小于，这意味着从统计学的大样本角度来看，混检能够有效减少总的检测化验次数，从而大幅度节约昂贵的检测材料与时间成本. 【解析】 【分析】（1）根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里，可得检测总次数，再用基本不等式即可得解； （2）（ⅰ）化验次数的可能取值为或，分别计算出其概率，即可得分布列，进而计算出；（ⅱ）要，即证，令，两边取对数后得，通过求导研究函数单调性，证得； 由可知混检能够有效减少总的检测化验次数. 【小问1详解】 已知总人数，感染者1000人，每组人，易知，组数， 最坏情况检测次数分析：1000名感染者分在1000个不同组，即有1000个阳性组，其余组全阴性，①所有组先混合检测1次：共次；②1000个阳性组，每组内逐个复查次：共次. 总检测次数：. 对函数，，由基本不等式可知： ，当且仅当，即时，等号成立， 又因为为正整数，比较与时的大小即可： ， ， 当或，两者检测次数相等，故最优分组人数为24或25人. 【小问2详解】 （ⅰ）由题可知，这个人的化验次数的可能取值为1或， 若，则说明个人的混合血样检测为阴性，说明个人全未感染，每个人未感染的概率为，因此； 若，则说明个人的混合血样检测为阳性，说明个人中至少有1人感染，这等价于对立事件（全未感染）不发生，因此. 因此随机变量的分布列如下： . （ⅱ）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级下学期期末考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在处切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 一箱产品中，有8件合格品，2件次品，从中不放回地抽取3件产品作为样本，用表示样本中次品的个数，则（ ） A. B. C. D. 3. 三名志愿者被分配到交通劝导，文明服务两项工作进行社会服务，要求每项工作至少一人参加，每人只参加一项工作，则不同的分配方案种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 4. 随着雨季的来临，甲，乙两地每天下雨的概率分别为，，且两地同时下雨的概率为，则雨季的某一天在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 若是函数的极大值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 数轴上一质点在外力作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或者向右移动1个单位，经过5秒后，这个质点在数轴上的位置为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 函数在点处的切线方程为 B. 函数在上单调递增 C. 函数存在唯一极值点 D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好 C. 已知，若根据列联表得到的估计值为，依据的独立性检验，则认为两个分类变量无关 D. 已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的系数为________．（用数字作答） 13. 已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为________． 14. 已知集合，，现甲、乙两人分别从集合，中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，则的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列，满足：，且是公差为的等差数列，是公比为的等比数列． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知椭圆：的一个顶点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围． 17. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，平面平面． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：． 19. 有一种病毒在某地区蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年．该地区总人口约60万人，专家分析其中约有1000名感染者，疾病预防控制中心现决定对该地区所有人员进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂．已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者检测结果为阴性，另外被感染者与未被感染者的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变． （1）若对该地区人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数； （2）根据医学数据分析，这种病毒的感染率为．现把个人分为一组，将其血样混合后进行化验．若结果为阴性，则通过检验；若结果为阳性，则这个人需要再逐个化验一次．记这个人的化验次数为． （ⅰ）求的分布列与期望； （ⅱ）若，求证：当时，，并以此为依据说明实施混检的理由． （参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $