四川宜宾市2025-2026学年下学期期末学业质量监测高二年级数学试题

普通高中2024级高二春期末质量监测 数学参考答案及评分意见 一、选择题 题号1234567891011 选项A D B D A C B D ABD BD ABC 二、填空题 12.是 13.（-00,-4)U(-2,1) 14. 59 7 15.(13分) (1)由题am-bn=2(n-1,2分 an+bn=2X3n-1-- 4分 解得am=n-1+3m-1,bm=3"-1-n+1 6分 (2)由题a-b2=4(n-1)×3-1- 8分 Sm=4×0×30+4×1×32+4×2×32+…+4×(m-2)×3m-2+4×(m-1)×3m-1 3Sm=4×0×31+4×1×32+4×2×33+…+4×(n-2)×3m-1+4×(n-1)×3m -2Sm=4×1×32+4×1×32+4×1×33+…+4×1×3m-1-4×(n-1)×3m -2Sm=4×(3+32+33+…+3m-1)-4×(n-1)×3m=-2×(3-3m）-4(n-1)3m Sm=(2n-3)3”+3-- 13分 16.(15分) 【答案】()由题=日=分所以a=20 且a2-3=4c2-3=c2,解得a=2,c=1 4分 5分 (2)由题A(12,0),B(0,-6),则AB=6w5 7分 设与x-2划-12=0平行的直线方程为l:x-2y+t=0 联立军+考1消去得16时-12+3-12=0 9分 x-2y+t=0 △=144-643e-12)=-48t2+768=0 t=+4- -11分 ①-2划+4=0.d,==5,5=×6W5×1g=48 13分 5 √5 ②x2w-4=0,d=4=8,ss1 5 F7×65×8=24 -15分 √5 综上：△ABP的面积的取值范围[24,48] 17.(15分) (1)证明： 已知PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,因此PA⊥CD 2分 又平面PAD⊥平面PDC,且平面PAD∩平面PDC=PD, 如图，过A作AE⊥PD于E,可得AE⊥平面PDC. 因为DCC平面PDC,所以AE⊥DC.- 4分 又PA∩AE=A,PA,AEC平面PAD,因此DC⊥平面PAD, 5分 又ADC平面PAD,故DC⊥AD. 已知底面ABCD是平行四边形，邻边垂直的平行四边形是矩形， 因此四边形ABCD是矩形 (2)由(1)知AB,AD,AP两两垂直，以A为原点，分别以AB,AD,AP为x,,z轴建立如图所示 的空间直角坐标系. -8分 由PA=4,AD=3,AB=2,得各点坐标：P(0,0,4,D0,3,0),B(2,0,0),C(2,3,0) 因此PD=(0,3,-4),PB=(2,0,-4),PB=(2,0,-4),BC=(0,3,0),C元=（-2,0,0). -10分 设平面PBC的法向量为元=(x,y,z),则： 元·PB=2x-4z=0 元·BC=3y=0 令z=1,得x=2,y=0,即元=(2,0,1). 12分 设直线PD与平面PBC所成角为，根据线面角的向量公式可得： PD. 0×2+3×0+(-4)×1 sin= =4=45 15分 PD外成 √02+32+(-4)2.√22+02+125w525 ZA B 18.(17分) (1)当a=-l时，f(x)=-lnc+x-3=-(nx-c+3)其定义域为(0，十o), f'()=-(L-1)=-1 2分 因为x∈(0，+∞)，所以在(0,1)上，f'(x)<0,f(x)单调递减 在(1，十o)上，f'(x)>0,f(x)单调递增； -4分 所以函数y=f(x)的最小值为f(1)=-2. -5分 (2)F(x)=f(x)+(a+1)x+4-e=alnx-ax-3+(a+1)x+4-e=alnx+x+1-e 则F'()=+a -6分 若-a≤e,即a≥-e,F(x)在[e,e]上单调递增，F(x)max=Fe2)=2a十e2-e十1≤0， 从而有a≤e-)-e,此时无解 -8分 2 若e<-a<e,即-e2<a<-e,F(x)在[e,-a]上单调递减，在[-a,e]上单调递增 有F(e)=a+1≤0，即a≤-1，F(e)=2a+e-e+1≤0，即a≤e-1-e 2 所以-e'<a≤e-1-e 10分 2 若-a≥e,即a≤-e,F(x)在[e,e]上单调递减，F(c)max=F(e)=a+l≤0， 即a≤-1， 所以a≤-e 综上所述有a≤e-1-e 12分 2 (3)要证(2+1)(32+1)…(n2+1)<e(n:) 只需证ln(22+1)+ln(32+1)+.+ln(n2+1)<1+2lnn!=1+21n2+ln3+.+lnn) 只需证ln(22+1)+ln(32+1)+.+ln(n2+1)<1+ln22+ln32+.+lnn2 只证n空+i+h分+)+h华+++hn+<1 -14分 令a=-1,此时f(x)=-lnc+x-3,f(1)=-2, 由(1)可知f(x)在(1，十∞)上单调递增 所以f(x)>f1),即lnx<x-1成立 因为n≥2，n∈N; 阴以a六长是<六 1 11 16分 所以h(分+i)+h（令+)+ln(3+++ln是+ <1-)+-)++(n n-1 n =1-1<1(m≥2，neN)- 17分 m 19.(17分) (1)最坏情况下，考虑1000名感染者平均分散到1000个组中，则60万人，每组x人，可分成 600000组 而1000名感染者分散到1000个组，这1000个组再次逐一检测，共检测1000x次 则所有检测次数fx)=600000+1000c 3分 f(x)=- 600000+1000,令f()=0,解得x=10W6 2 所以f(x)在(0,10W6)单调递减，(10W6,+o∞)单调递增 5分 而24<10W6<25,且f(24)=49000,f25)=49000 所以在最坏情况下，需要进行49000次检测，每个组的最优人数为24或者25人 -7分 (2)(i)P(ξ=1)=(1-g) P(E=k+1)=1-(1-q) 9分 E()=k+1-k(1-q) 10分 (i)要证E()<k,即证k+1-k(1-q)<k 只需证1<k(1-q)=0.95k---- -12分 令g(k)=0.95k g(k)=0.95*kln0.95+0.95=0.95(kln0.95+1) 令g内=0，解得k=1n0.95 1 所以g内在小95上单调递增，在nds50上单调莲度 -14分 g(k)mm=min{g(2),g(80)}=m2n{1.805,1.36}>1,所以命题得证 -16分 所以E()<k,也就是说混检的方式相较单独检测可以减少化验次数，从而降低成本.-一17分2026年春期 中学校学业质量监测 高二年级 数学 (考试时间：120分钟，满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷 上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.函数f@)=子-2在=1处切线的斜率为 A.1 B.-1 c. 4 D.1 4 2.一箱产品中，有8件合格品，2件次品，从中不放回的抽取3件产品作为样本，用X表示样本 中次品的个数，则P(X=2)= CC B.CC CC D.Cic Cio Cio C Cio 3.三名志愿者被分配到交通劝导，文明服务两项工作进行社会服务，要求每项工作至少一人参加， 每人只参加一项工作，则不同的分配方案种数为 A.4 B.6 C.9 D.12 4随若雨季的米临，甲，乙两地每天下两的概率分别为品，号，且两地同时下雨的概率为号，则 雨季的某一天在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为 A易 c号 D. 3 5.函数f)-号红一sin心在[元x]上的图象大致是 π 高二数学第1页，共4页 6.若x=1是函数f(x)=alnc-b+r+1的极大值点，则b的取值范围是 A.(-∞，0) B.(0,1 C.(1,+∞) D.(2,+∞ 7.数轴上一质点在外力作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或者向右移动1个单位，经过 5秒后，这个质点在数轴上的位置为X,则P(1<X<5)= A局 玉点 c 8.己知函数fx)=xlnc-c2+x十e-2,则 A.函数y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程为y=ex B.函数y=f()在(0，+oo)上单调递增 C.函数y=f(x)存在唯一极值点 D.fx)≥0 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。 9.已知随机变量：服从正态分布N5,,且P≤3)=1，则 P(5<7)41 AP5>5)=月 BPK>7列=青 CP>=青 D.P(3<5<7)=3 10.下列说法中，正确的是 A.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B.用决定系数R来刻画回归效果，R越大，说明模型的拟合效果越好 C.已知P(x≥3.841)=0.05，若根据2×2列联表得到x2的估计值为4.1，依据α=0.05的独 立性检验，则认为两个分类变量无关 D.已知变量x,y线性相关，由样本数据算得经验回归方程为9=0.4c十à，且由样本数据得 元=4，=3.7，则a=2.1 11.已知函数g()=ln(1+e)-号，则下列说法正确的是 A.g(x)是偶函数 B.g(c)在x=0处取得最小值 C方程g(m)=号知有且仅有一个实根 D.对任意x∈R,都有g(x)≥n2+女 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x2-号展开式中x的系数为 (用数字作答】 3y=f(x) 13.已知定义在R上的函数f(x)图象如图所示，设f(x)的导 函数为f四，则f四<0的解集为」 f(a) 14.已知集合M={1,2,3,4,5,6,7},N={1,2,3,4,5},现甲、 乙两人分别从集合M,N中随机抽取3个不同的元素各构 成最大的三位数X和Y,则X>Y的概率为一， 高二数学第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{am},{bn}满足：a1=b1=1,且{an-bn}是公差为2的等差数列，{am十bn}是公比为3的 等比数列， (1)求数列{an},{bm}的通项公式； (2)求数列{a-b,}的前n项和Sm 16.(15分) 已知椭C号+苦-ia>6>0的-个顶点D0v5,商心率为分 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P为椭圆C上一动点，直线x-2则-12=0与坐标轴交于A,B两点，求△ABP面积 的取值范围. 17.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PA⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PDC. (1)证明：四边形ABCD是矩形： (2)若PA=4,AD=3,AB=2,求直线PD与平面PBC所成角的正弦值. 18.(17分) 已知函数f(x)=alnx-aac-3(a≠0) (1)当a=-1时，求函数y=f(x)的最小值； (2)任意x∈[e,e]时，不等式f(x)+(a+1)x+4-e≤0恒成立，求实数a的取值范围： (3)求证：(22+1)(32+1)…(n2+1)<e(n)2(n≥2，n∈N). 高二数学第3页，共4页 19.(17分) 有一种病毒在某地区蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年该地区总人口约60万人，专家分 析其中约有1000名感染者，疾病预防控制中心现决定对该地区所有人员进行血液检测以筛选出被 感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂已知感染者 的检测结果为阳性，未被感染者检测结果为阴性，另外被感染者与未被感染者的血样混合后检测结 果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变 (1)若对该地区人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到 所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数： (2)根据医学数据分析，这种病毒的感染率为g(0<g<1).现把k(k≥1)个人分为一组，将其血 样混合后进行化验.若结果为阴性，则通过检验；若结果为阳性，则这k个人需要再逐个化验一次.记 这k个人的化验次数为. (i)求的分布列与期望E(); (ⅱ)若q=0.05,求证：当2≤k≤80时，()<k,并以此为为依据说明实施混检的理由. (参考数据：1n0.95=-0.051,0.950=0.017) 高二数学第4页，共4页