精品解析：四川省自贡市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

四川省自贡市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题 （考试时间：120分钟；总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数公式计算得解. 【详解】. 故选：B 2. 在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用散点图可直观看出是否线性相关和正相关． 【详解】对于A，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A错误； 对于B，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B正确； 对于C，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C错误； 对于D，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D错误； 故选：B． 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故选：D 4. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. 960 B. 160 C. -160 D. -960 【答案】B 【解析】 【分析】根据展开式的特点直接计算即可. 【详解】由题可知：常数项为. 故选：B 5. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式求出. 【详解】随机变量，所以. 故选：C 6. 从2名男生、3名女生中选2人分别担任班长和学习委员，要求选出的2人中至少有一名女生，则不同的方法数为（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列、组合计数问题，结合两个基本原理列式计算即可. 【详解】依题意，选出2人中至少有一名女生的方法数为，对选取的2人分配职务有种， 所以不同的方法数为. 故选：C 7. 若函数无极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得恒成立，求解即可. 【详解】的导数为， 函数不存在极值点， 在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：B. 8. 已知函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断出为偶函数，得出；对求导，根据，判断函数的单调性，从而得出间的大小关系. 【详解】已知，函数定义域为R,关于原点对称，则, 即，为偶函数. 所以. 求导：. 当时，，故，即. 所以在时单调递增. 所以，又，则. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再借助导数判断单调性即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数在定义域上不单调，A不是； 对于B，函数定义域为R，， 当且仅当时取等号，函数在定义域上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，当时，， 函数在上单调递减，函数在定义域上不是增函数，C不是； 对于D，函数定义域为R，求导得，函数在定义域上单调递增，D是. 故选：BD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，极值即可判断选项A，B；由可知其对称性即可判断选项C；由导函数值为，解得，求得切线的方程即可判断选项D. 【详解】对于A，，令，解得， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确； 对于B，由极大值，极小值， 可知有三个零点，故B错误； 对于C，， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，由， 所以切线方程为，即，故D正确. 故选：ACD 11. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（ ） A. 是对立事件 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义可判断A；计算出可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A：从甲袋中摸球，结果只能是红球或者绿球，即​与​互斥且必有一个发生， 所以​与是对立事件，故A正确； 对于B：当​发生时，即从甲袋中摸出1个绿球放入乙袋 ，则乙袋中有红球3个，绿球6个， 根据条件概率的含义得， 故B正确； 对于C：由题得，计算得. 由全概率公式可知： ，即，故C错误； 对于D：由前面的计算可知，，根据贝叶斯公式 ，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性可求得结果. 【详解】由题意， ∵，且随机变量， ∴对称轴为，到和的距离相等， ∴， 故答案为：. 13. 由具有线性相关关系的一组样本数据，得到回归直线方程为，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由回归直线过样本中心点可列方程求解. 【详解】由题意，解得. 故答案为：. 14. 若关于的不等式在定义域内恒成立，则的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】令分类讨论求其最大值，再结合题意可得，再构造函数求其最大值即可. 【详解】令，， 若，即时，则在上恒成立， 则在上单调递增， 当且时，，即与矛盾； 若，即时，令得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 因不等式在定义域内恒成立，则，即， 则， 令，则， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 则的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式、平方关系即可求解. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； 【小问2详解】 由题意以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以， 设平面、平面的法向量分别为， 则，， 令，解得， 故可取， 所以， 所以二面角的正弦值为. 16. 近年来，中国新能源汽车进入高速发展时期．中国汽车工业协会最新发布的数据显示，2024年我国汽车销量达到3143.6万辆，其中新能源汽车销量达到1286.6万辆，占比达到，持续领跑全球．为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司采用问卷调查形式对200名消费者进行调查，统计后得到如下列联表： 青年人 中老年人 合计 购买新能源汽车 60 35 95 购买燃油车 40 65 105 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买新能源汽车意向与年龄有关？ （2）现从上述问卷调查中的100名青年人中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取10人进行访谈，再从这10人中抽取3人赠送礼品，并记为这3人中购买新能源汽车的人数，求的分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关； （2）分布列： 0 1 2 3 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用数表中数据求出，再与临界值比对得解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 零假设：购买新能源汽车意向与年龄无关， 由数表中数据经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为购买新能源汽车意向与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.01. 【小问2详解】 抽取的10人中，购买新能源汽车的有人，购买燃油车的有4人， 的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 17. 在平面直角坐标系中，，动点与两点连线斜率乘积为． （1）记动点的轨迹为曲线．求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，且的面积是的面积的2倍，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据列方程化简可得结果. （2）设，，根据三角形面积关系可得，结合韦达定理计算可得结果. 【小问1详解】 设，则， 由得，， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意得直线的斜率不为，设，， 由得，， 所以， 因为的面积是的面积的2倍， 所以， 因为，所以， 由题意得，符号相反，故， 所以， 所以，解得， 所以直线的斜率为或. 18. 已知函数，函数． （1）求的最小值； （2）若． ①求零点的个数； ②证明：的所有零点之和为定值． 【答案】（1）； （2）①3个；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求出函数的最小值. （2）①求出函数的导数，结合零点存在性定理求出的零点所在区间，进而求出函数的单调性，再由零点存在性定理求出零点个数；②变形并构造函数，探讨奇偶性并利用其性质求得所有零点和. 【小问1详解】 函数定义域为R，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 所以当时，函数取得最小值. 【小问2详解】 ①函数的定义域为R，求导得， 令，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而，则存在，使得， ，令，求导得， 函数在上递增，，即， 因此存在，使得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而， 则是的一个零点，且，又， 因此函数在上各有一个零点， 所以零点的个数为3. ②， 而，由，得，令， ，则函数为R上的奇函数， 函数的图象关于原点对称，因此的所有零点和为0， 所以所有零点和为0，是定值. 19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权．先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．某局在双方10：10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束． （1）求； （2）记事件“且甲获胜”的概率为． ①求； ②求证：． 【答案】（1）； （2）①，；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）事件“” 表示在双方平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或者均由乙得分，利用概率的加法公式和乘法公式计算即可； （2）①利用概率的乘法公式计算即可； ②对和进行分析研究，再求出甲先发球，记“比赛2局结果为平局”为事件，求出其概率为，最后得到当时，，再利用等比数列的通项公式以及求和公式可得答案. 【小问1详解】 由题可得：事件“” 表示在双方平后，甲先发球，两人又打了4个球， 且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或者均由乙得分， 所以. 【小问2详解】 ①，， ②由比赛规则可知： 当时，； 当时，事件“且甲获胜”表示，在双方平后，甲先发球，两人又打了个球，且这个球的得分情况为：前个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第，个球均由甲得分； 记“比赛2局结果为平局”为事件，则， 则． 又因为，所以， 综上，， 故当为奇数时，； 当为偶数时，， 因，，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省自贡市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题 （考试时间：120分钟；总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 2. 在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. 960 B. 160 C. -160 D. -960 5. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 6. 从2名男生、3名女生中选2人分别担任班长和学习委员，要求选出的2人中至少有一名女生，则不同的方法数为（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 24 7. 若函数无极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（ ） A. 是对立事件 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则____________． 13. 由具有线性相关关系的一组样本数据，得到回归直线方程为，若，则____________． 14. 若关于的不等式在定义域内恒成立，则的最大值为____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 16. 近年来，中国新能源汽车进入高速发展时期．中国汽车工业协会最新发布的数据显示，2024年我国汽车销量达到3143.6万辆，其中新能源汽车销量达到1286.6万辆，占比达到，持续领跑全球．为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司采用问卷调查形式对200名消费者进行调查，统计后得到如下列联表： 青年人 中老年人 合计 购买新能源汽车 60 35 95 购买燃油车 40 65 105 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买新能源汽车意向与年龄有关？ （2）现从上述问卷调查中的100名青年人中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取10人进行访谈，再从这10人中抽取3人赠送礼品，并记为这3人中购买新能源汽车的人数，求的分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 在平面直角坐标系中，，动点与两点连线斜率乘积为． （1）记动点的轨迹为曲线．求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，且的面积是的面积的2倍，求直线的斜率． 18. 已知函数，函数． （1）求的最小值； （2）若． ①求零点的个数； ②证明：的所有零点之和为定值． 19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权．先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．某局在双方10：10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束． （1）求； （2）记事件“且甲获胜”的概率为． ①求； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $