精品解析：北京市清华大学附属中学2025－2026学年初二第二学期期末试卷数学（一）

初二第二学期期末试卷 数学（一） 2026.06 一、选择题（本题共24分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 3. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题可利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m，再因式分解求解方程得到另一根，所用方法均为初中数学解一元二次方程的基础方法． 【详解】∵是一元二次方程 的实数根， ∴将代入方程得， 解得 ， ∴原方程为， 对方程左边因式分解得 解得． ∴的值为 ． 4. 已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 5. 已知某学校八年级（1）班10名同学的身高（单位：）如下：163，158，161，168，170，175，163，167，169，170，则这组数据的下四分位数是（ ） A. 163 B. 167 C. 168 D. 170 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再计算下四分位数的位置，最后根据规则得到结果． 【详解】解：方法一：将10个数据从小到大排序，得， ∵数据个数，下四分位数为第25百分位数， ∴计算位置得， ∵不是整数，将向上取整得3，即下四分位数是排序后第3个数据， ∴这组数据的下四分位数是． 方法二：将10个数据从小到大排序，得， 下四分位数为前五个数据的中位数， 这组数据的下四分位数是． 6. 若是二次函数，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 7. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 8. 二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如表： … … … … 下列关于该二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 是关于的方程的一个根 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表格中的已知点求出二次函数的解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，且， 将代入得 ，即， 由对称轴公式，得， 联立得， 解得， ∴二次函数解析式为， 逐一判断选项： 选项A：∵， ∴图象开口向下，A错误； 选项B：当时，，，B错误； 选项C：∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，时仍随增大而增大，C错误； 选项D：将代入，得， ∴是方程的一个根，D正确． 二、填空题（本题共24分，每题3分） 9. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式，由此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，， 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． 10. 在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 11. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的定义得到满足的关系式，对所求代数式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，整理得， ． 12. 如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值． 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 13. 在体育运动技能测试中，参与排球连续垫球项目的15名学生的成绩如下表所示： 个数 18 21 25 27 30 35 人数 2 1 4 3 3 2 则这15名学生连续垫球个数的众数是________个． 【答案】25 【解析】 【分析】根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格中的数据即可确定众数． 【详解】解：由统计表可知，垫球个数为25的人数最多，为4人， ∴众数为25． 14. 某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】列一元二次方程解决实际问题． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得： ， 解得，（舍去）． 15. 点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【解析】 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 16. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 三、解答题（本题共52分，第17~18题每题6分，第19~23题每题5分，第24题7分，第25题8分） 17. 选择合适的方法解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得， 整理得， 开方得， 解得； 【小问2详解】 解：， 整理为一般式得， 因式分解得， 可得或， 解得． 18. 已知二次函数． （1）先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … （2）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． （3）点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）3；函数图象，如图所示： （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：当时，； 【小问3详解】 解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 19. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 20. 列方程解应用题： 某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于55元但不低于进价．经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】 每顶头盔应降价20元 【解析】 【分析】设每顶头盔降价元，根据总利润等于每顶利润乘以销售量列出方程，解答即可． 【详解】解：设每顶头盔降价元，则每顶头盔的利润为元，平均每周销售量为顶， 根据题意得，整理得， 解得：，， 每顶售价不高于元，不低于进价元， ，即， 解得， ∴不符合题意，舍去， ， 答：每顶头盔应降价20元． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有实数根； （2）若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】（1） 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 22. 抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线______； （2）关于x的方程的解为______； （3）关于x的不等式的解为______； （4）若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； 【小问3详解】 解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； 【小问4详解】 解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 23. 湿地碳汇监测工程通过评估植被固碳能力，可衡量生态修复效果，为比较甲、乙两个湿地修复片区的固碳效果，科研小组分别从两个片区各随机抽取20个采样点，记录每个采样点的单位面积固碳量（以下简称“固碳量”），用t表示（单位：），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两个片区采样点的固碳量的频数分布表如下： 组别（） 甲片区频数 乙片区频数 1 0 2 1 3 2 5 4 6 7 2 4 1 2 b．甲片区采样点的固碳量在这一组的数据是61, 63, 64, 65, 66（单位：）； c．甲、乙两个片区采样点的固碳量的平均数、中位数如表： 片区 平均数 中位数 甲 66.5 m 乙 n 74 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______． （2）若固碳量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的200个监测点中约有______个“达标监测点”． （3）将每个片区采样点的固碳量按从小到大排序，固碳量越大，排名越靠前．已知采样点P、Q不在同一个片区且固碳量都是，若P在其所在片区采样点中的排名比Q在其所在片区采样点中的排名更靠前，则P是______片区的采样点（填“甲”或“乙”）． （4）为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均数，记乙片区采样点的固碳量的平均数为n，最小值为，最大值为．已知剔除最大值和最小值后，剩余18个数据的平均数为，则n的值为______． 【答案】（1） （2） （3） 甲 （4） 72.7 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义，确定中位数位置后计算的值； （2）先求出样本中达标监测点的频率，再用样本估计总体计算总数量； （3）结合两个片区的中位数，分析相同固碳量的排名，得到结果； （4）根据平均数的定义，结合已知条件计算原数据的平均数． 【小问1详解】 解： 甲片区共抽取个采样点，中位数为从小到大排序后第个和第个数据的平均数． 累计的频数为， 因此第个和第个数据都在组， 结合该组排序后的数据，得． 【小问2详解】 解：乙片区抽取的个采样点中，满足的达标监测点频数为． 因此乙片区个监测点中，达标监测点的数量约为． 【小问3详解】 解： 甲片区中位数为，乙片区中位数为． 采样点固碳量为，， 甲片区中比大的数据个数少于乙片区， 结合“固碳量越大排名越靠前”的规则，可得在甲片区的排名更靠前， 因此是甲片区的采样点． 【小问4详解】 解：由题意，剔除极值后剩余个数据的总和为． 原个数据的总和为． 因此平均数． 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． （1）请用含a的式子表示b，c； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 25. 如图1，在正方形中，点E为对角线上一动点，设，满足，P为点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F． （1）求的度数（用含α的式子表示）； （2）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； （3）连接，若，，直接写出的长． 【答案】（1） （2）, 证明：作交于，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 根据（1）可知， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质和正方形的性质即可解答． （2）作交于，连接，证明，可得，，导角可得，从而得，为等腰直角三角形，则有，可证，从而有． （3）如图，证明，以为斜边构造等腰直角三角形，则有，且，根据勾股定理求出，再根据解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 根据对称可得，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点D作交的延长线于点Q，则， 根据（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 四、附加题（本题共20分，第26-27题每题3分，第28-29题每题4分，第30题6分） 26. 若一组数据的平均数是6，则这组数据的方差为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算，先计算出x的值，再根据方差的计算公式进行计算． 【详解】解：∵一组数据的平均数是6， ∴， 解得：， ∴方差为：， 故答案为：8． 27. 设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 【详解】解 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴． 28. 已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 29. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”，若关于x的二次函数，n为常数，总有两个不同的倍值点，则n的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反正比例函数，二次函数的图象上点坐标的特征，新定义，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．根据新定义得“倍值点”所在直线为，再联立两函数解析式，得方程组，再根据抛物线上有两个不同的“倍值点”，得方程总有两个不相等的实数根，然后由根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意可得“倍值点”所在直线为， 抛物线有两个不同的“倍值点”， 有两组不同的解， ∴关于x的方程总有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 30. 对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． （1）设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； （2）设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）② （2）①；② 【解析】 【分析】（1）逐一判断每个多边形的每一条边所在线段与直线是否有公共点，可通过将线段端点代入直线方程两侧或联立求交点坐标来判定，排除那些存在某条边与直线无交点的多边形，最终只需找出三条边均与直线有公共点的那个多边形即可； （2）①平移后的抛物线要与三角形每一边都有两个交点，关键在于确定临界状态，即抛物线与某条边恰好相切（一个交点）时的值，通过联立方程并令判别式为零求出临界，再结合图形位置确定满足“两个交点”的取值范围； ②若存在实数使得抛物线与三角形三边均有两个交点，可先确定临界情形，即抛物线过顶点且与对边相切，将的坐标代入抛物线可得的关系式，由的坐标得出边所在直线解析式之后结合抛物线与相切的临界状态得出的另一个关系式，两式联立即可解出,结合双重交错的定义以及函数图象，即可确定满足条件的的取值范围． 【小问1详解】 如图，在同一坐标系中画出，以及，，，四边形， 与中， 边与无交点，四边形ABCD中， ，边与无交点，均不符合题意， 三边均与相交，因此图象和是交错的. 【小问2详解】 ①，， 二次函数解析式为， 如图1，平移之前函数与每边均有两个交点， 将M向右平移个单位长度得到图象， 所以平移后的二次函数解析式为， 若图象和是双重交错的， 二次函数与线段均有两个交点， 如图2 ，为临界状态，此时图象和边相切， 设线段所在直线解析式为， 代入，解得， 所以线段所在直线解析式为 联立二次函数与线段所在直线解析式 得， 整理得， 所以， 解得， 所以要使图象和是双重交错的，则d的取值范围是． ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的， 如图3，临界状态为抛物线过点且与线段相切，则 设线段所在直线解析式为， 将，代入解得， 所以线段所在直线解析式为， 当抛物线过点时，代入得， 解得：①， 当抛物线与线段相切时， 联立抛物线与解析式消去得， 整理得， 当时， 解得②， 由①②得：， 整理得，解得， ∴ 因为与线段必须有两个交点， 所以抛物线的对称轴须在之间， 即， ∴， 综上所述，若存在实数c使得图象M和是双重交错的，则． 【点睛】本题以“双重交错”这一新定义为载体，核心考查一次函数与二次函数的图象性质（平移、对称轴、开口方向），以及直线与抛物线交点个数的代数判定方法（联立方程、判别式 ），解题的关键在熟悉一次函数与二次函数的图像以及性质，特别是通过数形结合找到临界状态——当图象与某条边相切或经过顶点时，交点个数发生会发生变化，通过联立方程并令可求出参数的临界值，但必须进一步验证切点或交点是否在线段上，且需结合对称轴位置（如第（2）②问中需满足 ）确保抛物线与三条线段同时满足双交点条件，而非仅与所在直线相交，整个过程体现了数形结合、分类讨论以及临界分析的核心思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二第二学期期末试卷 数学（一） 2026.06 一、选择题（本题共24分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 4. 已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某学校八年级（1）班10名同学的身高（单位：）如下：163，158，161，168，170，175，163，167，169，170，则这组数据的下四分位数是（ ） A. 163 B. 167 C. 168 D. 170 6. 若是二次函数，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 8. 二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如表： … … … … 下列关于该二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 是关于的方程的一个根 二、填空题（本题共24分，每题3分） 9. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 10. 在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 11. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 12. 如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 13. 在体育运动技能测试中，参与排球连续垫球项目的15名学生的成绩如下表所示： 个数 18 21 25 27 30 35 人数 2 1 4 3 3 2 则这15名学生连续垫球个数的众数是________个． 14. 某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________． 15. 点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 16. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共52分，第17~18题每题6分，第19~23题每题5分，第24题7分，第25题8分） 17. 选择合适的方法解下列方程 （1）； （2）． 18. 已知二次函数． （1）先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … （2）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． （3）点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 19. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 20. 列方程解应用题： 某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于55元但不低于进价．经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有实数根； （2）若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 22. 抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线______； （2）关于x的方程的解为______； （3）关于x的不等式的解为______； （4）若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 23. 湿地碳汇监测工程通过评估植被固碳能力，可衡量生态修复效果，为比较甲、乙两个湿地修复片区的固碳效果，科研小组分别从两个片区各随机抽取20个采样点，记录每个采样点的单位面积固碳量（以下简称“固碳量”），用t表示（单位：），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两个片区采样点的固碳量的频数分布表如下： 组别（） 甲片区频数 乙片区频数 1 0 2 1 3 2 5 4 6 7 2 4 1 2 b．甲片区采样点的固碳量在这一组的数据是61, 63, 64, 65, 66（单位：）； c．甲、乙两个片区采样点的固碳量的平均数、中位数如表： 片区 平均数 中位数 甲 66.5 m 乙 n 74 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______． （2）若固碳量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的200个监测点中约有______个“达标监测点”． （3）将每个片区采样点的固碳量按从小到大排序，固碳量越大，排名越靠前．已知采样点P、Q不在同一个片区且固碳量都是，若P在其所在片区采样点中的排名比Q在其所在片区采样点中的排名更靠前，则P是______片区的采样点（填“甲”或“乙”）． （4）为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均数，记乙片区采样点的固碳量的平均数为n，最小值为，最大值为．已知剔除最大值和最小值后，剩余18个数据的平均数为，则n的值为______． 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． （1）请用含a的式子表示b，c； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 25. 如图1，在正方形中，点E为对角线上一动点，设，满足，P为点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F． （1）求的度数（用含α的式子表示）； （2）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； （3）连接，若，，直接写出的长． 四、附加题（本题共20分，第26-27题每题3分，第28-29题每题4分，第30题6分） 26. 若一组数据的平均数是6，则这组数据的方差为______． 27. 设m，n是方程的两实数根，则______． 28. 已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 29. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”，若关于x的二次函数，n为常数，总有两个不同的倍值点，则n的取值范围是_____． 30. 对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． （1）设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； （2）设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $