精品解析：北京市第四中学2025--2026学年八年级下学期期末数学试卷

北京四中2025～2026学年度第二学期期末试卷 初二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，平分交于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（ ） A. 向上平移6个单位 B. 向下平移6个单位 C. 向左平移6个单位 D. 向右平移6个单位 5. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解为（ ） A. B. C. D. 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，18，7，9，11．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的各组离差平方和（其中有一处数据丢失）： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第1个间隔 0 44.75 第2个间隔 2 26 第3个间隔 a 12.5 第4个间隔 20 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 8. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 把化为最简二次根式，结果是___________． 10. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 11. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，点F是中点，连接，若，则的长度是________． 12. 某校举办班级合唱比赛，评委根据音乐技巧、精神风貌、作品表现力三项内容打分（每项满分均为10分），再按照如图所示的占比计算最终成绩．已知八年级（5）班三项内容得分依次为8分，9分，8分，则八年级（5）班的最终成绩为________分． 13. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 14. 已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 15. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点P，当时，________． 16. 如图，在等腰中，，，点为的中点．以D为顶点作，其两边分别与，交于点E，F（不与点A，B，C重合）．取中点，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共68分，第17题8分，第18题9分，第19题8分，第20题10分，第21—23题，每题8分，第24题9分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 下面是李明设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：中，． 求作：矩形 作法：如图， ①作的垂直平分线，直线交于点O； ②作射线，在射线上截取，使得； ③连接． ∴四边形就是所求作的矩形． （1）根据李明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规补全图形（作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是的垂直平分线， ∴ = ， ∵， ∴四边形是 （填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”或“正方形”）（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是矩形（ ）（填推理的依据）． 19. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当时，请直接写出x的取值范围：________； （3）请直接写出的面积：________； （4）以点为位似中心，将放大得到，其中点和点分别是点和点的对应点，且满足放大后的三角形面积是原来的4倍，请直接写出点的坐标：________． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 22. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行分析（数据已从小到大排列）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，a，b，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 90 70 八年级 87 90 c （1）请补全七年级的箱线图；（使用2B铅笔和直尺作图，并标注必要数据） （2）在上述数据和图表中，________，________，________； （3）若该校八年级有180名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 23. 某物理兴趣小组进行了如下实验：将一壶的实验所需液体A加热到后，让其在室温下（可以认为温度恒定在）自然冷却，一开始每隔20分钟记录一次温度，一段时间后，每隔40分钟记录一次，最终得到下表数据： 时间t/分钟 0 20 40 60 80 100 140 180 220 260 300 温度y/ 101.9 90.0 81.0 73.5 66.5 61.5 53.5 47.5 43.7 40.8 38.8 （1）小组成员发现可以用函数刻画液体A的温度y与时间t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请你补充图中缺失的点，并用平滑的曲线连接，画出该函数图象．（使用铅笔作图） 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （2）记第，，分钟的液体A温度分别是，，，若，，则________（填写“”、“”或“”）； （3）若后续的实验需要的液体A，根据本次实验数据记录，回答下列问题： ①需要将的液体A在该环境下放置________分钟得到符合实验要求的液体A（结果精确到整数）； ②小华在的液体A自然冷却第80分钟后才想起来要进行后续实验，此时恰好小洋刚烧好了等质量的的液体A，他们可以再在该环境下放置________分钟，将两份液体混合得到两份符合后续实验要求的液体A（结果精确到整数）． 注：已知两份温度是和的等质量的液体A混合后的温度是（不计混合时间及混合期间的热量损耗）． 24. 如图，正方形边长为2，连接对角线，点E、O分别是线段的中点．点M是线段上的动点（不与点E、O重合），过M作交于点N，过N作交的延长线于点P． （1）求证：； （2）当________时，面积最大，最大面积为________； （3）判断线段与线段的数量关系，并给出证明． 四、选做题（本大题共2小题，共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在学习了分式与函数的内容后，某学习小组对分式展开进一步的探究． 【发现】 若直线过点和，其中，则斜率，是分式形式．反过来，分式也可以看成是过点和的直线的斜率． 【探究】 （1）当时，分式可以看成过点和的直线的斜率，其中点A可以是直线上的任意一点，画图可以得到t的取值范围是________； 【应用】 （2）当时，代数式的最小值是________； （3）当，时，代数式的取值范围是________． 26. 在平面直角坐标系中，已知点和点，对于实数，定义：点和是线段的两个“k-加权点”，线段（含端点）是线段的“k-加权线段”． 已知点，． （1）线段的“-加权点”是________； （2）若线段是线段的“k-加权线段”，则当线段与x轴有交点时，k的取值范围是________； （3）记直线和直线组成的图形为X．对于点，，线段和分别是线段和的“k-加权线段”，满足以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则k的值是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京四中2025～2026学年度第二学期期末试卷 初二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵有意义， ， 解得． 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于  的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应．从图象上看，若作垂直于  轴的直线，该直线与图象最多只有一个交点，则该图象表示  是  的函数． 【详解】解：A、B、C 选项中，任意垂直于  轴的直线与图象均只有一个交点，符合函数定义； D 选项中，当  取某些值时，垂直于  轴的直线与图象有两个交点，即一个  对应两个  值，不符合函数定义， 不能表示  是  的函数． 3. 如图，在中，平分交于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 4. 若一次函数的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（ ） A. 向上平移6个单位 B. 向下平移6个单位 C. 向左平移6个单位 D. 向右平移6个单位 【答案】A 【解析】 【详解】解：原一次函数解析式为， A．若向上平移个单位，根据平移规律，平移后解析式为， 把代入，等式成立，因此平移后图象经过原点． B．向下平移6个单位得到，不经过原点， C．向左平移6个单位得到，不经过原点， D．向右平移6个单位得到，不经过原点． 5. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数经过的象限判断k的符号，得到函数增减性，再结合函数与x轴的交点坐标，即可求出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即随的增大而减小， ∵一次函数与轴交于点，即时，， ∴，即时，对应的的取值范围是， ∴不等式的解为． 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，18，7，9，11．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的各组离差平方和（其中有一处数据丢失）： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第1个间隔 0 44.75 第2个间隔 2 26 第3个间隔 a 12.5 第4个间隔 20 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】先将5个数据从小到大排序，根据间隔对应得到各选项分组，计算每组的总组内离差平方和，根据组内离差平方和最小原则选出正确分组． 【详解】解：首先将5名同学完成个数从小到大排序，得 ，四个间隔分别对应四个选项的分组， 计算总组内离差平方和： 第1个间隔对应选项A，总组内离差平方和为 ； 第2个间隔对应选项B，总组内离差平方和为 ； 第3个间隔对应选项C，第一组为 ， ∵平均数 ， ∴第一组离差平方和 ， 总组内离差平方和为 ； 第4个间隔对应选项D，总组内离差平方和为； 比较得， 选项D的组内离差平方和最小，符合要求． 7. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】D 【解析】 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 8. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．得到，，进而得到，点M与点E，点H重合时，此时，的面积都为0，点M与点F，点G时重合，此时，的面积都为12，由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，由此即可解答． 【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点，，． ，， ， 如图，连接， ， 当点M与点E，点H重合时， 此时，三点再一条直线上， 的面积都为0， 当点M与点F时重合， 此时， 的面积为， 当点M与点G时重合， 此时， 的面积为， 由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0， 时，的面积先增大后减小， 时，点M运动的路径是， 点M运动的路径是． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 把化为最简二次根式，结果是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题关键． 10. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． 11. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，点F是中点，连接，若，则的长度是________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求出的长，再根据线段中点的定义求出的长，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ，点是中点， ， ，点是的中点， 在中，， ． 12. 某校举办班级合唱比赛，评委根据音乐技巧、精神风貌、作品表现力三项内容打分（每项满分均为10分），再按照如图所示的占比计算最终成绩．已知八年级（5）班三项内容得分依次为8分，9分，8分，则八年级（5）班的最终成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义，将音乐技巧、精神风貌、作品表现力三项的得分分别乘以其对应的权重百分比，再将所得的积相加，即可求得最终成绩． 【详解】解：     （分）． 13. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数性质，结合已知条件判断的取值范围，在范围内取值计算即可得到符合条件的点坐标． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内随的增大而增大． ∵点，， ∴． 若，在同一象限，则可得，与已知矛盾， 因此，分别在两个不同象限． 因此可得， 解得． 在中任取一个值，如取， 将代入，得， 所以点的坐标可以是． 14. 已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将给定等式展开后代入计算得到的值，再验证方程存在两个实根，即可得到最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根 ， ∴由一元二次方程根与系数的关系得 ，， ∵， ∴， ∴， 将，代入上式得， 解得， 此时方程的判别式，满足方程有两个根的条件， 因此的值为． 15. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点P，当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】设四个全等的直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边为，过作于，证明，可得，，结合，证明，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：设四个全等的直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边为，过作于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴. 16. 如图，在等腰中，，，点为的中点．以D为顶点作，其两边分别与，交于点E，F（不与点A，B，C重合）．取中点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的长，再得出，进而可得点在的垂直平分线上，然后过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，得出点在的垂直平分线上，则，利用两点之间线段最短、勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴，， 如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接， ∵，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，的垂直平分线与的垂直平分线是同一条直线， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点三点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于确定点的运动轨迹． 三、解答题（本大题共8小题，共68分，第17题8分，第18题9分，第19题8分，第20题10分，第21—23题，每题8分，第24题9分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴  ， ∴，，， ∵  ∴ ， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴ ，  ∴， ∴或， 解得． 18. 下面是李明设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：中，． 求作：矩形 作法：如图， ①作的垂直平分线，直线交于点O； ②作射线，在射线上截取，使得； ③连接． ∴四边形就是所求作的矩形． （1）根据李明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规补全图形（作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是的垂直平分线， ∴ = ， ∵， ∴四边形是 （填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”或“正方形”）（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是矩形（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1） （2），；平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵直线是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∵， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 19. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是菱形，得到，，由，，得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，进而求出，，然后求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，即， ， ，， ， 菱形的面积为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当时，请直接写出x的取值范围：________； （3）请直接写出的面积：________； （4）以点为位似中心，将放大得到，其中点和点分别是点和点的对应点，且满足放大后的三角形面积是原来的4倍，请直接写出点的坐标：________． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入中即可求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，将点、点的坐标代入即可求出一次函数的解析式； （2）数形结合，找到的图象在的图象的上方部分，包括交点，此时所对应的自变量的取值范围即所求，注意反比例函数自变量的取值范围为； （3）； （4）由位似图形的面积比求出相似比，分情况讨论，把所求的比值转换成的比值． 【小问1详解】 解：把代入中得， 反比例函数的解析式为， 把代入中得， ， 把、代入中得 ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由图象可知：当或时，； 【小问3详解】 与轴交于点， 令，则，解得， ， ， ； 【小问4详解】 ， ， 当点和点分别在、的延长线上时， 此时， ； 当点和点分别在、的反向延长线上时， 此时， 综上所述：或． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【小问1详解】 证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程，       ，  任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． 【小问2详解】 解： 方程有两个不相等的正整数根，  ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 22. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行分析（数据已从小到大排列）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，a，b，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 90 70 八年级 87 90 c （1）请补全七年级的箱线图；（使用2B铅笔和直尺作图，并标注必要数据） （2）在上述数据和图表中，________，________，________； （3）若该校八年级有180名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】（1）补全七年级的箱线图如图： （2）81，88，93 （3）90 【解析】 【分析】（1）分别求解七年级数据的最大值、最小值、中位数，上下四分位数，即可补全箱线图； （2）先根据平均数求出的值，再根据下四分位数求解，即可求解，然后根据众数的定义求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100， 则最大值为100，最小值为60；中位数是第6、7个数据的平均数，为；下四分位数为前6个数据的中位数，即为；或者，则下四分位数为第3、4个数据的平均数，即为； 上四分位数为后6个数据的中位数，即为；或者，则上四分位数是第9、10个数据的平均数，即为， 补全箱线图见答案； 【小问2详解】 解：， 八年级数据的下四分位数为，即前6个数据的中位数，故，解得，故，或者，则下四分位数是第3、4个数据的平均数，即，解得，故；而数据中93出现的次数最多，故； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为人． 23. 某物理兴趣小组进行了如下实验：将一壶的实验所需液体A加热到后，让其在室温下（可以认为温度恒定在）自然冷却，一开始每隔20分钟记录一次温度，一段时间后，每隔40分钟记录一次，最终得到下表数据： 时间t/分钟 0 20 40 60 80 100 140 180 220 260 300 温度y/ 101.9 90.0 81.0 73.5 66.5 61.5 53.5 47.5 43.7 40.8 38.8 （1）小组成员发现可以用函数刻画液体A的温度y与时间t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请你补充图中缺失的点，并用平滑的曲线连接，画出该函数图象．（使用铅笔作图） 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （2）记第，，分钟的液体A温度分别是，，，若，，则________（填写“”、“”或“”）； （3）若后续的实验需要的液体A，根据本次实验数据记录，回答下列问题： ①需要将的液体A在该环境下放置________分钟得到符合实验要求的液体A（结果精确到整数）； ②小华在的液体A自然冷却第80分钟后才想起来要进行后续实验，此时恰好小洋刚烧好了等质量的的液体A，他们可以再在该环境下放置________分钟，将两份液体混合得到两份符合后续实验要求的液体A（结果精确到整数）． 注：已知两份温度是和的等质量的液体A混合后的温度是（不计混合时间及混合期间的热量损耗）． 【答案】（1） （2） （3）70；40 【解析】 【分析】（1）根据描出的点，连线即可； （2）根据（1）画出的图像和进行分析即可； （3）①先从表格中找到两侧对应的时间与温度数据，再利用两点之间温度均匀变化进行插值计算，求出温度为 对应的时间，即可求解； ②先根据等质量液体混合温度公式列出等式，推出冷却后两液体温度之和为140；再设需要再放置x分钟，分别表示出原液体、新液体冷却后的温度，结合表格数据试算找到满足温度和为140的x值，即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 根据（1）所画图像可得规律：液体与室温温差越大，降温速度越快， ∵，前一段液体温度更高、降温更快，消耗时间更短， ∴． 【小问3详解】 解：①求冷却至的时间 查表：； 60到80分钟间隔20分钟，温度下降 设冷却到用时分钟： 故答案为：70； ②求继续放置的时间 等质量液体混合温度为，则：， ∴， 设再放置分钟： 旧液体总冷却时长：，温度， 新液体冷却时长：，温度， 需满足， 逐一代入表格数据验算： 若：新液体冷却，， 旧液体总时长，求得温度约， ，满足条件． 故答案为：40． 24. 如图，正方形边长为2，连接对角线，点E、O分别是线段的中点．点M是线段上的动点（不与点E、O重合），过M作交于点N，过N作交的延长线于点P． （1）求证：； （2）当________时，面积最大，最大面积为________； （3）判断线段与线段的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点E、O分别是线段的中点． ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ 设，则，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）解：，证明如下： 如图所示，延长交于点G，过点N作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴； 由（1）得是的中位线， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； 由（2）可得， ∴． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，由三角形中位线定理得到，证明，得到；设，则，，可证明，则，即可证明； （2）过点N作交的延长线于点H，证明，得到；由三角形中位线定理得到，则，可求出，据此可得答案； （3）延长交于点G，过点N作于点H，可证明四边形是平行四边形，得到；可证明是等腰直角三角形，得到；由（2）可得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点N作交的延长线于点H， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 由（1）得是的中位线， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，当且仅当时，取得等号， ∴当时，的面积最大，最大面积为； 【小问3详解】 略 四、选做题（本大题共2小题，共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在学习了分式与函数的内容后，某学习小组对分式展开进一步的探究． 【发现】 若直线过点和，其中，则斜率，是分式形式．反过来，分式也可以看成是过点和的直线的斜率． 【探究】 （1）当时，分式可以看成过点和的直线的斜率，其中点A可以是直线上的任意一点，画图可以得到t的取值范围是________； 【应用】 （2）当时，代数式的最小值是________； （3）当，时，代数式的取值范围是________． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义，求出直线的斜率，即可得出结果； （2）代数式可以看作是过点和点的直线的斜率，进而得到点在反比例函数的图象上，点在直线上，当直线和反比例函数只有一个交点时，最小，进行求解即可； （3）分和两种情况，根据新定义，画出图象，进行分析求解即可. 【小问1详解】 解：由图可知，直线的斜率为，点， 故直线的斜率为， 故； 【小问2详解】 解：代数式可以看作是过点和点的直线的斜率， ∵点在反比例函数的图象上，点在直线上， ∴当直线和反比例函数只有一个交点时，最小， 令，整理，得， ∵直线和反比例函数只有一个交点， ∴， 解得或， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，符合题意； 故代数式的最小值是； 【小问3详解】 解：当时，可以看成过点和的直线的斜率， 当时，可以看成过点和的直线的斜率， ∵点在直线上，点在直线上，点在直线上， 画图如下： 对于，当时，； 对于，当时，； ∴过点的直线的斜率为； 当过的直线与直线平行时，； ∴. 26. 在平面直角坐标系中，已知点和点，对于实数，定义：点和是线段的两个“k-加权点”，线段（含端点）是线段的“k-加权线段”． 已知点，． （1）线段的“-加权点”是________； （2）若线段是线段的“k-加权线段”，则当线段与x轴有交点时，k的取值范围是________； （3）记直线和直线组成的图形为X．对于点，，线段和分别是线段和的“k-加权线段”，满足以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则k的值是________． 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，，，，代入点M和点N的表达式即可求出结果； （2）先求出点P，Q的表达式，再根据线段与x轴有交点，判断出P，Q两点在x轴两侧（含落在x轴上），列出不等式组求解即可； （3）先求出点R，S的表达式，令，求出点P，Q，R，S的坐标，结合图象可得出，为对角线的四边形顶点是中心为的平行四边形，利用待定系数法分别求出直线，的解析式，要使以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则只需线段与仅有一个交点，联立直线的解析式和，即可求出k的值． 【小问1详解】 解：由题可知，点，，， ∴，，，， ∴， 即； ， 即， ∴线段的“-加权点”是和． 【小问2详解】 解：由题意知，点，的“k-加权点”为，， ∵线段与x轴有交点， ∴P，Q两点在x轴两侧（含落在x轴上）， ∴或， 解得：， ∴k的取值范围是． 【小问3详解】 解：由题意知，点，的“k-加权点”为，， 由（2）知，，， 令，则，，， ∴，，，， 由图可知，点C与点R重合，点D与点S重合，点P与点A重合，点Q与点B重合， ∴，为对角线的四边形顶点是中心为的平行四边形， 设直线的解析式为， 将点P代入得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点R代入得：， ∴直线的解析式为， 由图可知，要使以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点， 则只需线段与仅有一个交点， ∴联立与， 解得：， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $