第二章 实数 单元检测卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第二章实数单元卷，覆盖无理数、平方根、二次根式等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，培养运算能力、推理意识和应用意识，适配新授课学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|无理数识别、实数比较、勾股定理应用|第3题结合数轴与勾股定理，体现几何直观；第8题考查直角三角形边长，强化空间观念| |填空题|5题/15分|估算、平方根性质、二次根式化简|第14题数轴覆盖数判断，培养抽象能力；第15题同类二次根式，落实符号意识| |解答题|7题/55分|计算、分类、阅读材料应用|第21题有理化因式阅读题，提升推理能力；第22题正方形玻璃边长比较，体现应用意识，关联实际问题解决|

【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】 第二章 实数 一.选择题：（每小题3分共30分） 1．（本题3分）下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．5 2．（本题3分）下列实数中，最大的是（     ） A． B．0 C． D．π 3．（本题3分）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 4．（本题3分）下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）实数16的平方根是（     ） A．8 B． C．4 D． 6．（本题3分）下列各式，化简后能与合并的是（） A． B． C． D． 7．（本题3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的是（     ） A．1，1， B．1，2，3 C．5，15，20 D．，，5 9．（本题3分）在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（本题3分）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知（为整数），则的值是__________． 12．（本题3分）已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 13．（本题3分）计算：__________________． 14．（本题3分）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 15．（本题3分）与最简二次根式是同类二次根式，则________． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）计算： 17．（本题7分）先化简，再求值：，其中． 18．（本题8分）求下列等式中的值： (1)； (2)． 19．（本题8分）把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 20．（本题8分）计算： (1) (2) 21．（本题9分）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”）； (3)计算：． 22．（本题9分）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） ( 第 2 页 共 11 页 ) ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 第二章 实数 （解析） 一.选择题：（每小题3分共30分） 1．（本题3分）下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．5 解：∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，∴是无理数. ∵是分数，属于有理数，3.14是有限小数，属于有理数，5是整数，属于有理数， ∴只有A选项符合要求．故选A 2．（本题3分）下列实数中，最大的是（     ） A． B．0 C． D．π 解：∵ 根据实数大小的性质，负数小于0，0小于正数， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ，即， ∴最大的数是.故选D 3．（本题3分）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：．故选B 4．（本题3分）下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 解：∵表示9的算术平方根，结果为，∴A选项错误； ∵表示9的平方根，结果为，∴B选项错误； ∵，∴，C选项正确； ∵，∴D选项错误．故选C 5．（本题3分）实数16的平方根是（     ） A．8 B． C．4 D． 解：根据平方根的定义，若，则是的平方根， ∵ ， ∴ 16的平方根是.故选D 6．（本题3分）下列各式，化简后能与合并的是（） A． B． C． D． 解：，与不能合并，故选项A不符合题意； ，与能合并，故选项B符合题意； ，与不能合并，故选项C不符合题意； 与不能合并，故选项D不符合题意．故选B 7．（本题3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 解:选项A： 和 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 选项B： ，计算正确，正确； 选项C：，不符合题意； 选项D：，不符合题意．故选B 8．（本题3分）下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的是（     ） A．1，1， B．1，2，3 C．5，15，20 D．，，5 解： A、最长边为，，，，可以作为直角三角形三边长，符合题意； B、最长边为，，，，不可以作为直角三角形三边长，不符合题意； C、最长边为，，，，不可以作为直角三角形三边长，不符合题意； D、最长边为，，，，不可以作为直角三角形三边长，不符合题意． 故选A 9．（本题3分）在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：，，，中， ，是最简二次根式， 的被开方数含有分母，的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式， 故最简二次根式的个数是2.故选C 10．（本题3分）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 解：A．，原运算正确，故此选项符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，故此选项不符合题意； C．与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，故此选项不符合题意； D．，原运算错误，故此选项不符合题意．故选A 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知（为整数），则的值是__________． 解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 12．（本题3分）已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 解：由平方根的性质，得 ， 化简得， 解得． 13．（本题3分）计算：__________________． 解： 14．（本题3分）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 15．（本题3分）与最简二次根式是同类二次根式，则________． 解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）计算： 解： ． 17．（本题7分）先化简，再求值：，其中． 解： ， 当时，原式 ． 18．（本题8分）求下列等式中的值： (1)； (2)． （1）解：∵ ∴ 解得，； （2）解：∵， ∴， 解得． 19．（本题8分）把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 解：0，是整数，是分数；，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）是无理数． 20．（本题8分）计算： (1) (2) （1）解： ； （2）解： ． 21．（本题9分）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”）； (3)计算：． （1）解： ． （2）解： ，， ​ 因为，分子相同，分母越大分数越小， 所以​，即． （3）解：， ． 22．（本题9分）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） （1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． $