第二章实数培优训练（4）2025-2026学年北师大数学八年级上册

2025-2026学年北师大数学八年级上册第二章培优训练4 一、选择题 1、已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 2、如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为（   ） A． B．1.8 C． D． 3、已知△ABC的三边长分别为，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4、若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 5、根据表中的信息判断，下列语句正确的是（    ） n A． B． C．只有3个正整数n满足 D． 6．若是的一个平方根，的平方根是，则的值为（    ） A． B．5 C．5或 D．或 二、填空题 7．若一个正数的平方根分别是与，则这个正数是 . 8、下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是 ． 9．若，则 ． 10．已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为______. 11、若，则 ． 12、比较大小： （填“”，“”或“=”） 13、如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 14、我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ． 三、解答题 15、老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：是和两个数中的一个． 当时，解得 ………………………………………………① 这个数是…………………………………………………………② 当时，解得 ……………………………………………③ 这个数是………………………………………………………④ 综上可得：这个数为或． (1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序号）； (2)请你帮助小张写出正确过程． 16、计算： (1)． (2)． 17、学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 18、（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：________ （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； （3）根据上面两个结论，解决下面问题： ① 在直角中，，三边分别为a、b、c，，，求c的值： ② 如图3,五边形中，线段，，四边形为长方形，在直角中，，，其周长为n，当n为何值时，长方形的面积为定值，并说明理由． 19、综合与实践 问题情境：如图1，有一条长为8个单位长度的纸条（宽度忽略不计），半径为1的圆上的一点与纸条上表示数字0的点重合，将圆沿着纸条向右滚动一周，重合点变为点，点表示的数为． (1)的值为 ．（结果保留） (2)求的平方根． (3)“善思小组”将纸条进行如下操作． ①操作一：如图2，将纸条沿表示4的数的点对折，则表示数的点与表示数 的点重合． 姓名：___________班级：___________号数：___________ ②操作二：如图3，在操作一的条件下，将对折的纸条沿着点剪开，如图4，展开后的长为，则点表示的数为 ． 2025-2026学年北师大数学八年级上册第二章培优训练4 参考答案 1、【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． 将化为，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 2、【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应，求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键．设含角的三角板直角边为，由面积法即可求解三角板直角边为，即可表示数轴上点所表示的数． 【详解】解：设含角的三角板直角边为， 则， 则， ∵直角顶点与数轴上表示的点重合， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：C． 3、【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式，三角形三边关系的应用，根据已知条件得到，再由非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4、【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 5、【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义及其小数点变化规律是解题的关键，根据表格中n与的对应关系，逐一分析选项的正误即可． 【详解】解：A中，由表格可知，，故A错误； B中，当时，，而，因此，故B错误； C中，由表格，，，满足的正整数需满足，即，共3个，故C正确； D中，表格中，则，故，故D错误； 故选：C． 6、【答案】D 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．本题先依据平方根的性质求得的值，然后再进行计算即可． 【详解】解: ∵是的一个平方根， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴ 当，时，， 当，时，． 故选：D． 7、【答案】4 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 故答案为：4． 8、【答案】 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故答案为：． 9、【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的非负性及二元一次方程组的应用，先根据二次根式的非负性求出x、y值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 解得：， 把代入，， 故答案为：． 10、【答案】5 【分析】一个正实数x的两个平方根分别是m和，得到，代入得到，解答即可． 本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由一个正实数x的两个平方根分别是m和， 得到， 代入得到， 故， 解得，（舍去）． 故答案为：5． 11、【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，由，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， 故答案为：． 12、【答案】 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】根据无理数估算，实数的大小比较解答即可． 本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 13、【答案】1 【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论． 【详解】解：拼剪后的正方形的面积， ∴， ∵，即 ∴， ∴的整数部分是1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14、1 【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解. 【详解】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为： S==1， 故答案为1． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 15、【答案】(1)②③④ (2)见解析 【分析】（1）根据平方根，算术平方根与原数的关系解答即可； （2）根据平方根，算术平方根得定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，不难发现②③④都是错误的， 故答案为：②③④． （2）解：依据题意可知： 是和两个数中的一个，              当时，解得， ，     这个数为； 当时，解得：，      （不合题意，舍去）；         综上可得：这个数为． 16、【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，解方程即可； （2）根据平方根的定义，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 所以， 解得或． （2）由题意，得， 所以， 所以， 解得或． 17、【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 18、【答案】（1）；（2）；（3）①；②当时，长方形的面积为定值． 【分析】（1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可； （2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可； （3）①由（1）得，由（2）得，代入计算即可； ②由（2）得，由直角中周长为n得，则有，整理得，长方形的面积为即，当即时，长方形的面积为定值． 【解析】解：（1）依题意得图1中阴影部分的面积为： 或， ， 故答案为：； （2）依题意得图2中梯形的面积为： 或， ， 整理得：； （3）①由（1）得 ， 在直角中，，由（2）得， ， ； ②由（2）得， ， 因为直角中周长为n， ， ， ， 整理得：， ， 长方形的面积为： ， 当， 解得， 即当时，长方形的面积为定值． 【点睛】本题考查了整式的的运算，与几何图形有关的乘法公式；解题的关键是利用等积法得到相关公式并正确运用． 19、(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了求平方根，数轴上两点之间的距离，实数与数轴， 对于（1），根据圆的周长公式计算即可； 对于（2），将n的值代入，再求平方根即可； 对于（3）①，根据数到点A的距离等于点B到点A的距离，可得答案；②先求出，可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， ∴原式， ∴4的平方根是； （3）解：①如图所示，因为数到点A的距离等于点B到点A的距离， 所以， 则， 所以数的点与表示的数的点重合； 故答案为：； ②， ∴点B表示的数是． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $