第二章 不等式与不等式组 单元同步练习提升卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦初中数学“不等式与不等式组”单元复习，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合数学眼光、思维与语言，适配单元重难点检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式意义、解集数轴表示、函数与不等式结合|第7题借函数图象考不等式解集，体现几何直观| |填空题|6/18|不等式表示、解集范围、利润问题|第15题以西瓜进货考最值，渗透模型意识| |解答题|7/52|不等式组求解、实际应用（购物车/哨所/进货）|第23题项目学习情境，融合信息提取与运算能力，呼应真题应用趋势|

第二章 不等式与不等式组 单元同步练习提升卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若式子有意义，则实数x的值可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】【解答】解：∵二次根式有意义， ∴，则， ∴D符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用二次根式的被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出x的取值范围. 2．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（　　） A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4 【答案】A 【解析】【解答】解：， ，得， ， ， . 故答案为：A. 【分析】将两式相加求得，代入不等式组解得. 3．已知，且，那么必有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：A． 【分析】根据a的符号与，求出b的范围． 4．如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： 不等式①的解集为：x＞-1； 不等式②的解集为：x≤1， 在数轴上表示， 故答案为：B. 【分析】由题意，先分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后根据在数轴上表示解集时““≤”实心向左；“＞”空心向右”并结合各选项即可求解. 5．不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解： 解x-m≥-1，得m≥m-1， ∴该不等式组的解集为：m−1≤x＜1， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴−2＜m−1≤−1， ∴−1＜m≤0． 故答案为：D． 【分析】先将m作为参数求出不等式组的解集，再根据不等式组恰有两个整数解得出关于m的不等式组，求解即可． 6．函数的图象如图所示，当时，的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：当y<0时，x+2<0， 故x<-2. 故答案为：A 【分析】将转化成x+2<0，求解即可. 7．如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由图象可知：两直线的交点的横坐标为，且当时，函数的图象都在函数图象的下方， 关于的不等式的解集为． 故答案为：B． 【分析】观察函数图象可知：关于的不等式的解集就是直线y=x+b低于直线y=kx-1所对应的x的取值范围． 8．对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：请根据上述定义解决问题：若不等式有个整数解，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意，得4※x=4x-4-x+3=3x-1． ∴a＜3x-1＜8， 解得＜x＜3． ∵解集中有2个整数解， ∴0≤＜1， 解得-1≤a＜2． 故答案为：B． 【分析】根据m※n=mn-m-n+3，用4替换m，x替换n，再利用不等式组的整数解为1，2，故0≤＜1．解不等式组即可。 9．关于x的不等式组只有两个整数解，且，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】【解答】解： 解①得：； 解②得：， 由题意知不等式组的解集为：， 由于不等式组只有两个整数解，则； 由得：， ∴， 解得：； ∵的值是整数， ∴或3， ∴或， 所以a的取值共有4个． 故答案为：B． 【分析】由不等式组只有两个整数解可确定t的取值范围，再由可确定a的取值范围，根据的值是整数即可确定符合条件a的个数． 10．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【解析】【解答】解：①的图象过第二、三、四象限， ∴，． ∴． 故①正确． 将分别代入和得， ，． ∵在点的上方， ∴． 故②不正确． ∵ 一次函数和的图象的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故答案为：B． 【分析】根据的图象过第二、三、四象限，可确定a，b的符号，就可判断①； 将分别代入和得，求出相应函数值，结合函数图象，可判断②； 一次函数和的图象的横坐标为，可得出，可判断 ③ ； 根据，是直线上不重合的两点，可以根据自变量的大小判断函数值的大小，由此可判断 ④ ． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．“的2倍与6的和比1小”用不等式表示为　 　． 【答案】2y+6＜1 【解析】【解答】解：“的2倍与6的和比1小”用不等式表示为：2y+6＜1 故答案为：2y+6＜1. 【分析】y的2倍可表示为2y，和可表示为“+”，则y的2倍与6的和可表示为2y+6，小于可用“<”表示，据此不难列出不等式. 12．关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：， 解不等式得： 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围内， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【分析】根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可. 13．不等式组的解是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：解不等式 得： 解不等式 得： ∴原不等式组的解集为 故答案为： 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集. 14．关于的不等式的解集是，则不等式的解集是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：的解集是， ∴ ，， ， ， ， ． 故答案为： 【分析】首先根据不等式的解集是，不等号的方向发生了改变，可得出，且，即，然后可解不等式，即可得出答案. 15．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是　 　元． 【答案】780 【解析】【解答】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 【分析】设购进甲种西瓜x千克，列不等式求出x的取值范围，然后列y关于x的函数关系式，利用一次函数的增减性解答即可． 16．对于实数a，b，我们定义运算“”为：ab=a+3b，例如52=5+3×2=11.若关于x的不等式xm<2有且只有一个正整数解，则m的取值范围是　 　. 【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：xm， ∴x<2-3m， ∵x有且只有一个正整数解， ∴1<2-3m≤2， ∴， 故答案为：. 【分析】由 xm<2 化简得x<2-3m，根据题目要求应当满足条件1<2-3m≤2，从而得解. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知不等式组，解决下列问题： （1）求不等式组的解集； （2）若不等式组的解集与的解集相同，求、的值． 【答案】（1）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为； （2）解：由得：， 由且该不等式组的解集与的解集相同知，且， 解得，． 【解析】【分析】（1）先根据题意解不等式，进而即可得到不等式组的解集； （2）根据题意解不等式得到，进而根据题意即可得到且，从而即可得到a和b. 18．一次函数y＝－3x＋b的图像经过点（－1，2）． （1）求这个一次函数表达式； （2）若点A（2m，y1），B（m－1，y2）在该一次函数的图象上，且y1＜y2，求实数m的取值范围． 【答案】（1）解：∵一次函数的图像经过点，∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：，∵， ∴ 解得． 【解析】【分析】本题主要对一次函数的基本性质进行考查； （1）将图像经过的点代入函数的解析式可得，求解得，故一次函数表达式为； （2）将A、B两点分别代入函数的解析式，可得到，由y1＜y2建立不等式，解不等式可得． （1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）， ∵， ∴ 解得． 19．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元. （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元 则 即 ∵ ∴w随m的增大而增大 又 ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时(个). 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 【解析】【分析】本题围绕二元一次方程组，一元一次不等式与一次函数在实际销售盈利问题中的应用展开. (1)需从题干提取 4件A娃娃与5件B娃娃费用相同，A娃娃进价比B娃娃多2元两个等量关系，设未知数构建方程组求解进价； (2)先依据资金不超1700元设A娃娃购进数量，列不等式确定取值范围，再构建总利润关于该数量的一次函数，结合函数增减性求最大利润及对应进货方案，核心是将实际问题转化为数学模型(方程组，不等式，函数)求解. （1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 20．如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． （1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； （2）假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 【答案】（1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人， 根据题意，得， 解得：， ∴每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人； （2）解：设六个哨所的总人数为人， ∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人， ∴每个乙型哨所的人数为人， 又∵每个哨所至少要有一人， ∴， ∴， 根据题意，得， 随的增大而减小， 当时，最大值为，当时，最小值为， ∴当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人． 【解析】【分析】（1）设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，根据“六个哨所的总人数为21人，且2个甲哨所和1个乙哨所的人数和为11人”即可得出关于，二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设六个哨所的总人数为人，根据每个甲哨所的人数为人，得到每个乙型哨所的人数为人，然后由每个哨所至少要有一人得关于的不等式组，解不等式组得关于的取值范围，最后将六个哨所有人数相加即可得出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． （1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人， 根据题意列方程得：， 解得， 答：每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人； （2）解：设六个哨所的总人数为人， ∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人， ∴每个乙型哨所的人数为人， 又每个哨所至少要有一人， ∴， ∴， ∴， 随的增大而减小， 当时，最大值，当时，最小值， 答：当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人． 21．如图一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式． （2）请直接写出时自变量的取值范围． 【答案】（1）解：， ， 点的横坐标为，点在正比例函数的图象上， 时，，即：， ， 解得：， 一次函数的解析式为 （2）解：由图象可知， 当时，直线在直线的上方， 时自变量的取值范围为． 【解析】【分析】（1）首先根据题中所给条件求的点A和点B的坐标，再用待定系数法得出一次函数的解析式； （2）根据点B（1，2），结合函数图象可得再点B的左侧，直线的图象在直线的上方，故而得出的解析式为． 22．已知直线与直线相交于点． （1）求m，n的值； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）求直线、直线与y轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）解：把P（1，2）代入y＝x+n﹣2得： 1+n﹣2＝2，解得：n＝3； 把P（1，2）代入y＝mx+3得：m+3＝2，解得m＝﹣1； （2）解：不等式mx+n≤x+n﹣2的解集为：x≥1； （3）解：当x＝0时，y＝0+1，故OA＝1， 当x＝0时，y＝0+3，解得：y＝3，则OB＝3， ∴直线l1、直线l2与y轴围成的三角形的面积为：S△ABP=×（3﹣1）×1＝1． 【解析】【分析】（1）将交点坐标直接代入函数解析式中，求出n和m的值； （2）直接看图，根据不等关系在图中的位置关系，在交点的右侧满意题意，即x≥1； （3）根据(1)中所求解析式，求出与x轴的交点坐标，求出三角形的底边，进而求得面积. 23．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】（1）解：根据题意，可得 1.2+0.2（n-1） =1.2+0.2n-0.2 =1+0.2n（m） 答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m （2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6 解得，n=8 2×8=16（辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）解：有3种方案， 设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， 解得： 因为x为正整数， 所以x=3，4，5， 所以共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次。 【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式； （2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可； （3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可 （1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）解：有3种方案， 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 单元同步练习提升卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若式子有意义，则实数x的值可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 2．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（　　） A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4 3．已知，且，那么必有（　　） A． B． C． D． 4．如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．函数的图象如图所示，当时，的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7．如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 8．对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：请根据上述定义解决问题：若不等式有个整数解，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 9．关于x的不等式组只有两个整数解，且，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．“的2倍与6的和比1小”用不等式表示为　 　． 12．关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是　 　． 13．不等式组的解是　 　． 14．关于的不等式的解集是，则不等式的解集是　 　． 15．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是　 　元． 16．对于实数a，b，我们定义运算“”为：ab=a+3b，例如52=5+3×2=11.若关于x的不等式xm<2有且只有一个正整数解，则m的取值范围是　 　. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知不等式组，解决下列问题： （1）求不等式组的解集； （2）若不等式组的解集与的解集相同，求、的值． 18．一次函数y＝－3x＋b的图像经过点（－1，2）． （1）求这个一次函数表达式； （2）若点A（2m，y1），B（m－1，y2）在该一次函数的图象上，且y1＜y2，求实数m的取值范围． 19．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 20．如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． （1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； （2）假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 21．如图一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式． （2）请直接写出时自变量的取值范围． 22．已知直线与直线相交于点． （1）求m，n的值； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）求直线、直线与y轴围成的三角形的面积． 23．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $