专题01 混合运算与数量关系（一）（解决问题专项讲义）数学苏教版三年级上册（新教材）

该小学数学专题讲义围绕混合运算与数量关系，按乘加乘减、除加除减、含小括号运算及24点游戏四大题型构建知识体系，通过“基础解题逻辑-进阶技巧”框架梳理运算优先级、速算方法和结果预判规律，用典例解析和专项训练呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于生活化问题设计与分层方法指导，如“社区志愿服务分组”“科技馆买票划算方案”等典例培养应用意识，乘加运算“补全方阵速算”“反向代入验证”等技巧提升运算能力，24点游戏训练创新思维。基础题巩固运算规则，进阶题发展推理意识，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题01 混合运算与数量关系（一）（解决问题专项讲义） 题型01 运用乘加、乘减混合运算解决问题 题型02 运用除加、除减混合运算解决问题 题型03 运用含小括号的混合运算解决问题 题型04 24点游戏的实际应用 题型01 运用乘加、乘减混合运算解决问题 一、乘加、乘减混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌：解决实际问题时先根据题意确定运算优先级，先算出乘法部分对应的“几个相同加数的和”，再用这个结果加/减剩余的独立数量，最终得到总数量，比如先算3组每组5个物品的总数，再加上额外多出的2个，就能得出全部物品的总个数。 ‌特殊速算技巧‌：当算式中乘法部分的两个数符合表内乘法规则时，可直接口算乘法结果，再口算末尾的加减运算，比如4×7+3，直接用四七二十八的口诀得出28，再加3快速得到31，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌：乘加运算的最终结果一定大于乘法部分的乘积，乘减运算的最终结果一定小于乘法部分的乘积，解题前先预判结果的大致范围，避免出现运算顺序颠倒、先算加减后算乘法的低级错误。 二、乘加、乘减混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌：遇到“比几个几多几”的场景直接用乘加列式，遇到“比几个几少几”的场景直接用乘减列式，先锁定核心的“几个几”乘法模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌：遇到图形类的乘加乘减问题，比如数方阵里的总人数，可先把不完整的方阵补成完整方阵算出总人数，再减去空缺的人数，比如3行4列的方阵缺2个人，直接用4×3-2快速得出总人数10，比拆分零散部分相加更快。 ‌结果校验规律‌：解题后可以反向代入验证，把算出的总数量先减去/加上末尾的独立数，再除以乘法里的其中一个乘数，看是否能得到另一个乘数，验证算式逻辑是否完全符合题意。 ‌解题简化技巧‌：当多个乘加算式的乘法部分有相同乘数时，可直接提取相同乘数合并计算，比如5×6+5×3，不用分别算出30和15再相加，直接转化为5×（6+3）=45，一步口算得出结果，大幅提升解题速度。 【典例1】古人就有“物各有归”的收纳智慧，如今垃圾分类也是新时代劳动美德。三（1）班45名同学走进社区开展志愿服务，分成4个小组清扫街道，每组9人，剩余同学负责垃圾分类引导。请问负责分类垃圾的同学有多少人？ 【专项训练1】2位老师带5名学生去科技馆。票价如图所示，请你算一算怎样买票最划算？ 成人票：12元/人 儿童票：6元/人 团体票：8元/人 （5人及以上） 【专项训练2】小天统计了周日密洛陀公园晨练的人数，其中慢跑的有9人，打太极拳的有6人，练习八段锦的人数比慢跑人数的4倍还多2人，练习八段锦的有多少人？（先画线段图表示题中的数量关系，再列式解答） 【专项训练3】某小学开展“尊老敬老”志愿者活动，准备将志愿者分成9个小组，每个小组6人。现在已有39名同学报名参加，还需要招募多少名志愿者？ 【专项训练4】实验小学为了美化环境，买了3捆柳树苗，每捆9棵，买的松树苗比柳树苗多24棵，买了多少棵松树苗？ 【专项训练5】下面是完成每种小制作需要的大致时间。 种类 捏泥人 折纸鹤 剪窗花 时间 9分 3分 7分 淘淘捏了3个泥人，还折了一只纸鹤，他一共用了多长时间？ 题型02 运用除加、除减混合运算解决问题 一、除加、除减混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌：解决实际问题时先遵循运算优先级，先算出除法部分对应的“单一量”，也就是把总数平均分成若干份后得到的每份数量，再用这个结果加/减剩余的独立数量，最终得到目标结果，比如先算12个苹果平均分给3个人每人得4个，再加上额外给每个人的2个橘子，就能得出每人拿到的水果总个数。 ‌特殊速算技巧‌：当算式中除法部分的两个数符合表内除法规则时，可直接用乘法口诀反向口算除法结果，再口算末尾的加减运算，比如36÷6+4，直接用六六三十六的口诀得出6，再加4快速得到10，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌：除加运算的最终结果一定大于除法部分的商，除减运算的最终结果一定小于除法部分的商，解题前先预判结果的大致范围，避免出现运算顺序颠倒、先算加减后算除法的低级错误。 二、除加、除减混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌：遇到“先平均分后再多出一部分”的场景直接用除加列式，遇到“先平均分后再去掉一部分”的场景直接用除减列式，先锁定核心的“平均分求单一量”除法模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌：遇到购物类的除加除减问题，比如已知3支笔总价12元，单买一个本子5元，求一支笔比一个本子便宜多少元，可先算出单支笔的单价4元，再用5-4快速得出差价1元，比拆分零散条件分步计算更快。 ‌结果校验规律‌：解题后可以反向代入验证，把算出的最终结果先减去/加上末尾的独立数，再乘除法里的除数，看是否能得到除法里的原被除数，验证算式逻辑是否完全符合题意。 ‌解题简化技巧‌：当多个除加算式的除法部分有相同除数时，可直接合并被除数计算，比如24÷4+8÷4，不用分别算出6和2再相加，直接转化为（24+8）÷4=8，一步口算得出结果，大幅提升解题速度。 【典例2】少年宫合唱团共有54人，计划每行排6人，实际排了7行，实际比计划少排了多少行？ 【专项训练1】“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”，描绘的就是清明节。清明节有扫墓、祭祖的习俗。刘阿姨在清明节当天购买了1束鲜花，花了40元；又花16元购买了2份青团。1份青团比1束鲜花便宜多少元？ 【专项训练2】一个书包的价格是一把雨伞的4倍，买一个书包和一把雨伞需要多少元？ 【专项训练3】书架有3层。上层有28本书，中层有45本书，中层的本数是下层本数的5倍，下层和上层共多少本？ 【专项训练4】一只小猴站在地上，想爬到一根15米长的竹竿顶端，小猴每爬3米就下滑1米，它爬几次才能爬到竹竿顶端？ 【专项训练5】春节期间有很多精彩的演出。团体票比个人票每张票少花多少元？ 题型03 运用含小括号的混合运算解决问题 一、含小括号的混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌：解决实际问题时优先计算小括号内的部分，先通过小括号算出需要先合并、先求差的中间总量，再用这个结果和括号外的数完成乘除运算，最终得到目标结果，比如先把男生和女生的总人数用加法算出，再用总人数除以每组人数，得到可以分成的小组总数。 ‌特殊速算技巧‌：当小括号内的加减运算结果是整十数，和括号外的数匹配表内乘除规则时，可直接口算得出最终结果，比如（20+10）÷3（20+10）÷3，先快速算出括号内和为30，直接用30÷3=10，无需分步笔算。 ‌结果预判规律‌：小括号会改变原本的运算顺序，解题前先对比“带括号”和“不带括号”的运算结果差异，预判最终数值的大致范围，避免漏看小括号、按从左到右顺序计算的错误。 二、含小括号的混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌：遇到需要先合并不同部分的总量、先算差值再进行平均分的场景，直接用小括号把需要优先计算的加减部分括起来，再搭配后续的乘除运算，不用反复调整运算顺序。 ‌特殊场景速算技巧‌：遇到购物、分配类的典型问题，比如“用50元买单价3元的笔记本10本，剩下的钱买2元一支的笔，能买几支”，直接列成（50−3×10）÷2，先算括号内的剩余钱数，再快速算出笔的数量，比分步拆解条件效率更高。 ‌结果校验规律‌：解题后可以把小括号去掉，按无括号的运算顺序算出结果，和带括号的结果做对比，验证自己是否正确遵循了小括号的优先级规则，避免运算顺序出错。 ‌解题简化技巧‌：当多个算式的括号外有相同乘数/除数时，可直接提取相同数合并计算，比如（12+8）×5+（7+3）×5，直接转化为（20+10）×5=150，不用逐个计算括号内结果再分别相乘，大幅提升口算速度。 【典例3】小梦组和小雨组一起前往苹果园体验采摘乐趣，小梦组采摘了36千克，小雨组采摘了27千克，要把这些苹果平均分装在7个篮子里，每个篮子里要装多少千克？ 【专项训练1】水果商店今天上午卖出5千克苹果，卖出的草莓比苹果多3千克，卖出的桃子是草莓的5倍。水果商店卖出的桃子多少千克？ 【专项训练2】丽丽折了20只千纸鹤，冬冬折了15只千纸鹤。如果每位小朋友得到5个千纸鹤，那么一共有多少位小朋友可以得到千纸鹤？（用两种方法计算） 【专项训练3】李叔叔原来养了26只兔子，两个月后出生了46只小兔子。将全部兔子平均放入8个笼子里，每个笼子放几只？ 【专项训练4】图书馆购进一批新书，其中故事书有64本，科技书有48本。如果每层书架上放8本书，那么故事书能比科技书多放几层？ 【专项训练5】稻草人是民间用来驱逐鸟雀、避免鸟雀破坏庄稼的传统方法。王大伯做了24个稻草人，王大妈做了18个稻草人，把两人做的稻草人平均插在6个地头上，每个地头上插几个？ 题型04 24点游戏的实际应用 一、24点游戏基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌：拿到4个给定数字后，优先通过两两组合算出能凑出24的核心数对（比如3和8、4和6、12和2），再用核心数相乘得到24；若无法直接凑出，就通过加减运算调整数值，最终得到24的结果，全程依托表内乘除、百以内加减的基础运算完成推导。 ‌特殊速算技巧‌：当4个数字里出现3、4、6、8这些高频凑数数字时，直接锁定剩余3个数字算出对应的配对数，比如拿到数字2、3、5、7，优先以3为核心，用7+5-2快速算出10不对，调整后用3×5+2+7直接得到24，不用逐一尝试所有运算组合。 ‌结果预判规律‌：三年级阶段的24点题目数字都在1-13范围内，最终运算结果必然等于24，解题前可以先预判核心运算的类型，优先排查乘法凑数路径，避免陷入全靠零散加减凑数的低效思路。 二、24点游戏进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌：优先遵循“凑核心数对”的固定路径，先把4个数字两两分组运算，得到两个能相乘得24的数，再合并结果，是三年级学生最容易上手的标准化解题思路。 ‌特殊场景速算技巧‌：遇到带相同数字的组合，比如两个数字都是2，可直接尝试凑出12再乘2得到24，比如数字2、2、5、7，用（5+7）×2=24，剩余的数字2通过2-2消去，快速完成推导。 ‌结果校验规律‌：推导完成后反向代入运算顺序，重新核对每一步的计算结果，确认最终数值刚好等于24，没有多算或者少算的偏差，避免出现看似逻辑通顺但结果不等于24的错误。 ‌解题简化技巧‌：遇到数字里有1的组合，可直接用1和其他数字做加减调整，不用改变核心凑数的结构，比如数字1、3、5、8，直接用3×8×（5-4不对，调整为3×5+1+8=24），快速跳过无效的运算尝试，大幅提升解题速度。 【典例4】“24点”游戏是把若干个整数通过加、减、乘、除运算，使最后的计算结果是24的一种数学游戏。下面这四张扑克牌点数，经过怎样的计算可以得到24？请你写出两个不同的算式。（每张扑克牌都要用且只用一次） 【专项训练1】“24点”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：从52张扑克牌（不包括大小王）中任意取出4张，用这4张扑克牌上的点数通过加、减、乘、除进行计算，使得数是24。游戏规定：4张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用1次，可以使用小括号。 下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的运算才能得到24呢？（请写出两种不同的算法。） 【专项训练2】“24点”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌（不包括大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数通过加减乘除算出24。游戏规定4张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用1次，比如1，4，6，8可以这样算：6－4＝2，2＋1＝3，3×8＝24，如果在一次游戏中抽到了2，3，10，10，写出你的算法。 【专项训练3】“24点游戏”是很受同学们喜欢的一种益智游戏。下图四张扑克牌上的点数，经过怎样的运算才能得到24呢？请列出综合算式。（至少写3种） 【专项训练4】在数学游戏“算24点”中，规则是利用给定的数字，通过加、减、乘、除四则运算以及合理使用括号，使得最终计算结果为24。现在给定8、4、2、10这四个数算“24点”，你能用几种方法？都写下来。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 混合运算与数量关系（一）（解决问题专项讲义） 题型01 运用乘加、乘减混合运算解决问题 题型02 运用除加、除减混合运算解决问题 题型03 运用含小括号的混合运算解决问题 题型04 24点游戏的实际应用 题型01 运用乘加、乘减混合运算解决问题 一、乘加、乘减混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌：解决实际问题时先根据题意确定运算优先级，先算出乘法部分对应的“几个相同加数的和”，再用这个结果加/减剩余的独立数量，最终得到总数量，比如先算3组每组5个物品的总数，再加上额外多出的2个，就能得出全部物品的总个数。 ‌特殊速算技巧‌：当算式中乘法部分的两个数符合表内乘法规则时，可直接口算乘法结果，再口算末尾的加减运算，比如4×7+3，直接用四七二十八的口诀得出28，再加3快速得到31，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌：乘加运算的最终结果一定大于乘法部分的乘积，乘减运算的最终结果一定小于乘法部分的乘积，解题前先预判结果的大致范围，避免出现运算顺序颠倒、先算加减后算乘法的低级错误。 二、乘加、乘减混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌：遇到“比几个几多几”的场景直接用乘加列式，遇到“比几个几少几”的场景直接用乘减列式，先锁定核心的“几个几”乘法模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌：遇到图形类的乘加乘减问题，比如数方阵里的总人数，可先把不完整的方阵补成完整方阵算出总人数，再减去空缺的人数，比如3行4列的方阵缺2个人，直接用4×3-2快速得出总人数10，比拆分零散部分相加更快。 ‌结果校验规律‌：解题后可以反向代入验证，把算出的总数量先减去/加上末尾的独立数，再除以乘法里的其中一个乘数，看是否能得到另一个乘数，验证算式逻辑是否完全符合题意。 ‌解题简化技巧‌：当多个乘加算式的乘法部分有相同乘数时，可直接提取相同乘数合并计算，比如5×6+5×3，不用分别算出30和15再相加，直接转化为5×（6+3）=45，一步口算得出结果，大幅提升解题速度。 【典例1】古人就有“物各有归”的收纳智慧，如今垃圾分类也是新时代劳动美德。三（1）班45名同学走进社区开展志愿服务，分成4个小组清扫街道，每组9人，剩余同学负责垃圾分类引导。请问负责分类垃圾的同学有多少人？ 【答案】9人 【分析】根据题意，用分成小组的个数乘每组的人数，求出清扫街道的人数，再用三（1）班总人数减去清扫街道的人数，即可求出负责分类垃圾的同学有多少人。 【解答】45－4×9 ＝45－36 ＝9（人） 答：负责分类垃圾的同学有9人。 【专项训练1】2位老师带5名学生去科技馆。票价如图所示，请你算一算怎样买票最划算？ 成人票：12元/人 儿童票：6元/人 团体票：8元/人 （5人及以上） 【答案】买5张团体票和2张儿童票最划算 【分析】方案一：老师买成人票，学生买儿童票。用成人票的价格乘老师的人数，计算出老师的花费。然后用儿童票的价格乘学生的人数，计算出学生的花费。最后将老师和学生的花费相加，计算出总花费。方案二：全部买团体票。先将老师和学生的人数相加，计算出总人数。然后用团体票的价格乘总人数，计算出总花费。方案三：2位老师和3名学生买团体票，剩下2名学生买儿童票。用团体票的价格乘5，计算出团体票的花费。用儿童票的价格乘2，计算出儿童票的花费。将团体票和儿童票的花费相加，计算出总花费。比较三个方案的费用，据此解答。 【解答】12×2＋5×6 ＝24＋5×6 ＝24＋30 ＝54（元） （2＋5）×8 ＝7×8 ＝56（元） 5×8＋2×6 ＝40＋2×6 ＝40＋12 ＝52（元） 52＜54＜56 答：买5张团体票和2张儿童票最划算。 【专项训练2】小天统计了周日密洛陀公园晨练的人数，其中慢跑的有9人，打太极拳的有6人，练习八段锦的人数比慢跑人数的4倍还多2人，练习八段锦的有多少人？（先画线段图表示题中的数量关系，再列式解答） 【答案】38人 【分析】根据题意，已知慢跑有9人，八段锦人数比慢跑人数的4倍还多2人。打太极拳的6人与问题无关，可忽略。用慢跑的人数乘4，再加上2人，就是练习八段锦的有多少人，列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 9×4＋2 ＝36＋2 ＝38（人） 答：练习八段锦的有38人。 【专项训练3】某小学开展“尊老敬老”志愿者活动，准备将志愿者分成9个小组，每个小组6人。现在已有39名同学报名参加，还需要招募多少名志愿者？ 【答案】15名 【分析】由题可知，要将志愿者分成9个小组，每个小组6人，则志愿者的总人数为9个6的和，用乘法计算，用每个小组的人数乘小组的个数即可；现在已有39名同学报名志愿者，求还需要招募多少名志愿者，用总人数减去已有的人数即可。 【解答】6×9－39 ＝54－39 ＝15（名） 答：还需要招募15名志愿者。 【专项训练4】实验小学为了美化环境，买了3捆柳树苗，每捆9棵，买的松树苗比柳树苗多24棵，买了多少棵松树苗？ 【答案】51棵 【分析】买了3捆柳树苗，每捆9棵，买的松树苗比柳树苗多24棵，柳树苗每捆的棵数乘捆数等于柳树苗的棵数，再加24等于松树苗的棵数。 【解答】9×3＋24 ＝27＋24 ＝51（棵） 答：买了51棵松树苗。 【专项训练5】下面是完成每种小制作需要的大致时间。 种类 捏泥人 折纸鹤 剪窗花 时间 9分 3分 7分 淘淘捏了3个泥人，还折了一只纸鹤，他一共用了多长时间？ 【答案】30分钟 【分析】根据题意，用捏一个泥人的需要的时间乘个数，即可求出捏3个泥人一共花了多少时间；再加上折一只纸鹤需要的时间，就是一共用了多少时间；据此解答。 【解答】3×9＋3 ＝27＋3 ＝30（分钟） 答：他一共用了30分钟。 题型02 运用除加、除减混合运算解决问题 一、除加、除减混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌：解决实际问题时先遵循运算优先级，先算出除法部分对应的“单一量”，也就是把总数平均分成若干份后得到的每份数量，再用这个结果加/减剩余的独立数量，最终得到目标结果，比如先算12个苹果平均分给3个人每人得4个，再加上额外给每个人的2个橘子，就能得出每人拿到的水果总个数。 ‌特殊速算技巧‌：当算式中除法部分的两个数符合表内除法规则时，可直接用乘法口诀反向口算除法结果，再口算末尾的加减运算，比如36÷6+4，直接用六六三十六的口诀得出6，再加4快速得到10，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌：除加运算的最终结果一定大于除法部分的商，除减运算的最终结果一定小于除法部分的商，解题前先预判结果的大致范围，避免出现运算顺序颠倒、先算加减后算除法的低级错误。 二、除加、除减混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌：遇到“先平均分后再多出一部分”的场景直接用除加列式，遇到“先平均分后再去掉一部分”的场景直接用除减列式，先锁定核心的“平均分求单一量”除法模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌：遇到购物类的除加除减问题，比如已知3支笔总价12元，单买一个本子5元，求一支笔比一个本子便宜多少元，可先算出单支笔的单价4元，再用5-4快速得出差价1元，比拆分零散条件分步计算更快。 ‌结果校验规律‌：解题后可以反向代入验证，把算出的最终结果先减去/加上末尾的独立数，再乘除法里的除数，看是否能得到除法里的原被除数，验证算式逻辑是否完全符合题意。 ‌解题简化技巧‌：当多个除加算式的除法部分有相同除数时，可直接合并被除数计算，比如24÷4+8÷4，不用分别算出6和2再相加，直接转化为（24+8）÷4=8，一步口算得出结果，大幅提升解题速度。 【典例2】少年宫合唱团共有54人，计划每行排6人，实际排了7行，实际比计划少排了多少行？ 【答案】行 【分析】要求实际比计划少排了多少行，需要先求出计划排了多少行。已知合唱团总人数和计划每行排的人数，用除法计算计划行数，再用计划行数减去实际行数即可得出结果。 【解答】 （行） 答：实际比计划少排了行。 【专项训练1】“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”，描绘的就是清明节。清明节有扫墓、祭祖的习俗。刘阿姨在清明节当天购买了1束鲜花，花了40元；又花16元购买了2份青团。1份青团比1束鲜花便宜多少元？ 【答案】32元 【分析】根据题意，已知刘阿姨在清明节当天购买了1束鲜花，花了40元；又花16元购买了2份青团。先用16除以2，求出1份青团的价格，再用40减去1份青团的价格，就是1份青团比1束鲜花便宜多少元，列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 40－16÷2 ＝40－8 ＝ 32（元） 答：1份青团比1束鲜花便宜32元。 【专项训练2】一个书包的价格是一把雨伞的4倍，买一个书包和一把雨伞需要多少元？ 【答案】45元 【分析】根据题意，先用一个书包的价格除以4，求出一把雨伞的价格，再将一个书包与一把雨伞的价格相加即可。 【解答】36÷4＋36 ＝9＋36 ＝45（元） 答：买一个书包和一把雨伞需要45元。 【专项训练3】书架有3层。上层有28本书，中层有45本书，中层的本数是下层本数的5倍，下层和上层共多少本？ 【答案】37本 【分析】中层有45本书，中层的本数是下层本数的5倍，用45除以5即可算出下层有多少本书，上层有28本书，用刚才得到的下层书的数量，加上28即可解答。 【解答】45÷5＋28 ＝9＋28 ＝37（本） 答：下层和上层共37本。 【专项训练4】一只小猴站在地上，想爬到一根15米长的竹竿顶端，小猴每爬3米就下滑1米，它爬几次才能爬到竹竿顶端？ 【答案】7次 【分析】小猴每爬3米就下滑1米，除了最后一次爬到顶端不会下滑，之前的每一轮实际只向上爬了3－1＝2米，竹竿总长15米，最后一次最多能爬3米并直接到顶，因此需要先算出“爬完最后一次前，小猴需要到达的高度”，即15－3＝12米，每轮有效爬2米，爬12米需要的次数为：12÷2＝6次，即6次循环后小猴到达12米处，再爬1次3米就能到顶端，不需要下滑。 【解答】3－1＝2（米） 15－3＝12（米） 12÷2＋1 ＝6＋1 ＝7（次） 答：它爬7次才能爬到竹竿顶端。 【专项训练5】春节期间有很多精彩的演出。团体票比个人票每张票少花多少元？ 【答案】1元 【分析】6人共花了42元，用42除以6可算出团体票一人多少钱，用个人票单价减团体票每个人的票价可算出。 【解答】8－42÷6 ＝8－7 ＝1（元） 答：团体票比个人票每张票少花1元。 题型03 运用含小括号的混合运算解决问题 一、含小括号的混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌：解决实际问题时优先计算小括号内的部分，先通过小括号算出需要先合并、先求差的中间总量，再用这个结果和括号外的数完成乘除运算，最终得到目标结果，比如先把男生和女生的总人数用加法算出，再用总人数除以每组人数，得到可以分成的小组总数。 ‌特殊速算技巧‌：当小括号内的加减运算结果是整十数，和括号外的数匹配表内乘除规则时，可直接口算得出最终结果，比如（20+10）÷3（20+10）÷3，先快速算出括号内和为30，直接用30÷3=10，无需分步笔算。 ‌结果预判规律‌：小括号会改变原本的运算顺序，解题前先对比“带括号”和“不带括号”的运算结果差异，预判最终数值的大致范围，避免漏看小括号、按从左到右顺序计算的错误。 二、含小括号的混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌：遇到需要先合并不同部分的总量、先算差值再进行平均分的场景，直接用小括号把需要优先计算的加减部分括起来，再搭配后续的乘除运算，不用反复调整运算顺序。 ‌特殊场景速算技巧‌：遇到购物、分配类的典型问题，比如“用50元买单价3元的笔记本10本，剩下的钱买2元一支的笔，能买几支”，直接列成（50−3×10）÷2，先算括号内的剩余钱数，再快速算出笔的数量，比分步拆解条件效率更高。 ‌结果校验规律‌：解题后可以把小括号去掉，按无括号的运算顺序算出结果，和带括号的结果做对比，验证自己是否正确遵循了小括号的优先级规则，避免运算顺序出错。 ‌解题简化技巧‌：当多个算式的括号外有相同乘数/除数时，可直接提取相同数合并计算，比如（12+8）×5+（7+3）×5，直接转化为（20+10）×5=150，不用逐个计算括号内结果再分别相乘，大幅提升口算速度。 【典例3】小梦组和小雨组一起前往苹果园体验采摘乐趣，小梦组采摘了36千克，小雨组采摘了27千克，要把这些苹果平均分装在7个篮子里，每个篮子里要装多少千克？ 【答案】9千克 【分析】小梦组采摘了36千克，小雨组采摘了27千克，用36加27得出两个组共采摘的重量；要把这些苹果平均分装在7个篮子里，用两个组共采摘的重量除以7计算即可。 【解答】（36＋27）÷7 ＝63÷7 ＝9（千克） 答：每个篮子里要装9千克。 【专项训练1】水果商店今天上午卖出5千克苹果，卖出的草莓比苹果多3千克，卖出的桃子是草莓的5倍。水果商店卖出的桃子多少千克？ 【答案】40千克 【分析】根据题意，用卖出苹果的质量加3，即可求出卖出草莓的质量；用卖出草莓的质量乘5，即可求出卖出桃子的质量。 【解答】（5＋3）×5 ＝8×5 ＝40（千克） 答：该水果商店卖出桃子40千克。 【专项训练2】丽丽折了20只千纸鹤，冬冬折了15只千纸鹤。如果每位小朋友得到5个千纸鹤，那么一共有多少位小朋友可以得到千纸鹤？（用两种方法计算） 【答案】7位 【分析】方法一：先根据“千纸鹤的总数＝丽丽折的千纸鹤总数＋冬冬折的千纸鹤总数”，求出千纸鹤的总数，再根据“小朋友的总人数＝千纸鹤的总数÷每位小朋友得到的千纸鹤数量”求出小朋友的总数； 方法二：先根据“丽丽折的千纸鹤可以分给小朋友的人数＝丽丽折的千纸鹤数量÷每位小朋友得到的千纸鹤数量”求出丽丽折的千纸鹤可以分给小朋友的人数，再根据“冬冬折的千纸鹤可以分给小朋友的人数＝冬冬折的千纸鹤数量÷每位小朋友得到的千纸鹤数量”求出冬冬折的千纸鹤可以分给小朋友的人数，最后根据“小朋友的总人数＝丽丽折的千纸鹤可以分给小朋友的人数＋冬冬折的千纸鹤可以分给小朋友的人数”求出小朋友的总人数。 【解答】方法一：（20＋15）÷5 ＝35÷5 ＝7（位） 方法二：20÷5＝4（位）   15÷5＋4 ＝3＋4 ＝7（位） 答：一共有7位小朋友可以得到千纸鹤。 【专项训练3】李叔叔原来养了26只兔子，两个月后出生了46只小兔子。将全部兔子平均放入8个笼子里，每个笼子放几只？ 【答案】9只 【分析】根据题意可知，原来养的兔子只数加上后来出生的小兔子只数等于兔子的总只数，再除以笼子的个数，等于平均每个笼子里兔子的只数，据此即可解答。 【解答】（26＋46）÷8 ＝72÷8 ＝9（只） 答：每个笼子放9只。 【专项训练4】图书馆购进一批新书，其中故事书有64本，科技书有48本。如果每层书架上放8本书，那么故事书能比科技书多放几层？ 【答案】2层 【分析】由题意得，故事书有64本，科技书有48本，可以先用减法算出故事书比科技书多几本。每层书架上放8本书，直接用前面的得数除以8即可算出故事书能比科技书多放几层。 【解答】（64－48）÷8 ＝16÷8 ＝2（层） 答：故事书能比科技书多放2层。 【专项训练5】稻草人是民间用来驱逐鸟雀、避免鸟雀破坏庄稼的传统方法。王大伯做了24个稻草人，王大妈做了18个稻草人，把两人做的稻草人平均插在6个地头上，每个地头上插几个？ 【答案】7个 【分析】根据题意，用王大伯做的个数加上王大妈做的个数，就是一共做了多少个稻草人。再除以地的个数，就是每个地头上插几个。 【解答】（18＋24）÷6 ＝42÷6 ＝7（个） 答：每个地头上插7个。 题型04 24点游戏的实际应用 一、24点游戏基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌：拿到4个给定数字后，优先通过两两组合算出能凑出24的核心数对（比如3和8、4和6、12和2），再用核心数相乘得到24；若无法直接凑出，就通过加减运算调整数值，最终得到24的结果，全程依托表内乘除、百以内加减的基础运算完成推导。 ‌特殊速算技巧‌：当4个数字里出现3、4、6、8这些高频凑数数字时，直接锁定剩余3个数字算出对应的配对数，比如拿到数字2、3、5、7，优先以3为核心，用7+5-2快速算出10不对，调整后用3×5+2+7直接得到24，不用逐一尝试所有运算组合。 ‌结果预判规律‌：三年级阶段的24点题目数字都在1-13范围内，最终运算结果必然等于24，解题前可以先预判核心运算的类型，优先排查乘法凑数路径，避免陷入全靠零散加减凑数的低效思路。 二、24点游戏进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌：优先遵循“凑核心数对”的固定路径，先把4个数字两两分组运算，得到两个能相乘得24的数，再合并结果，是三年级学生最容易上手的标准化解题思路。 ‌特殊场景速算技巧‌：遇到带相同数字的组合，比如两个数字都是2，可直接尝试凑出12再乘2得到24，比如数字2、2、5、7，用（5+7）×2=24，剩余的数字2通过2-2消去，快速完成推导。 ‌结果校验规律‌：推导完成后反向代入运算顺序，重新核对每一步的计算结果，确认最终数值刚好等于24，没有多算或者少算的偏差，避免出现看似逻辑通顺但结果不等于24的错误。 ‌解题简化技巧‌：遇到数字里有1的组合，可直接用1和其他数字做加减调整，不用改变核心凑数的结构，比如数字1、3、5、8，直接用3×8×（5-4不对，调整为3×5+1+8=24），快速跳过无效的运算尝试，大幅提升解题速度。 【典例4】“24点”游戏是把若干个整数通过加、减、乘、除运算，使最后的计算结果是24的一种数学游戏。下面这四张扑克牌点数，经过怎样的计算可以得到24？请你写出两个不同的算式。（每张扑克牌都要用且只用一次） 【答案】6×2＋8＋4＝24；（6×8）÷（42）＝24 【分析】给出的四张扑克牌点数分别是2、4、8、6。通过加、减、乘、除运算，使计算结果等于24，且每张牌必须使用一次。 乘法凑整法：想乘法口诀，如3×8＝24，4×6＝24，2×12＝24； 若保留8，需用2、4、6凑出3，6÷（4－2）＝3，列式为8×[6÷（4－2）]＝24。 若保留6，需用2、4、8凑出4，8÷（4÷2）＝4，列式为6×[8÷（4÷2）]＝24。 加减凑整法：想12＋12＝24，20＋4＝24，32－8＝24； 2×6＝12，剩下4和8，4＋8＝12，最后相加，列式为2×6＋4＋8＝24。 4×8＝32，剩下6和2，6＋2＝8，最后相减，列式为4×8－（6＋2）＝24。 除法逆运算：想48÷2＝24； 6×8＝48，剩下4和2，4－2＝2，所以6×8÷（4－2）＝24。 方法不唯一。 【解答】6×2＋8＋4 ＝12＋8＋4 ＝24 （6×8）÷（42） ＝48÷2 ＝24 【专项训练1】“24点”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：从52张扑克牌（不包括大小王）中任意取出4张，用这4张扑克牌上的点数通过加、减、乘、除进行计算，使得数是24。游戏规定：4张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用1次，可以使用小括号。 下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的运算才能得到24呢？（请写出两种不同的算法。） 【答案】（8－6）×（5＋7）＝24；[5－（8－7）]×6＝24 【分析】常见思路是先尝试凑出乘法或除法中的关键因数（如2和12、3和8、4和6），再处理剩余数字。观察5、6、7、8，可考虑利用8－6＝2，再用5＋7＝12，最后2×12＝24或利用8－7＝1，再用5－1＝4，最后4×6＝24。此过程需注意运算顺序，确保每个数字只用一次，并得到最终结果24。据此解答。 【解答】8－6＝2 5＋7＝12 2×12＝24 综合算式：（8－6）×（5＋7）＝24 8－7＝1 5－1＝4 4×6＝24 综合算式：[5－（8－7）]×6＝24 答：两种不同的算法分别是：（8－6）×（5＋7）＝24或[5－（8－7）]×6＝24。 【专项训练2】“24点”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌（不包括大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数通过加减乘除算出24。游戏规定4张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用1次，比如1，4，6，8可以这样算：6－4＝2，2＋1＝3，3×8＝24，如果在一次游戏中抽到了2，3，10，10，写出你的算法。 【答案】见详解 【分析】根据题意，从抽到的四个数字2、3、10、10中，需通过加、减、乘、除四则运算（每个数字只能用一次）得到24。常见思路是先尝试凑出乘法或除法中的关键因数（如2和12、3和8、4和6），再处理剩余数字。观察10、10、3、2，可考虑利用10－3＝7，再用7×2＝14，最后14＋10＝24。此过程需注意运算顺序，确保每个数字只用一次，并得到最终结果24。据此解答。 【解答】由分析可知，如果抽到2，3，10，10 我们可以这样算：10－3＝7，7×2＝14，14＋10＝24。综合算式：（10－3）×2＋10＝24 【点睛】算“24点”时，若不能直接用乘法口诀凑24，可尝试不同运算组合，先凑出中间数再调整，同时确保4个数都用到且只用1次。 【专项训练3】“24点游戏”是很受同学们喜欢的一种益智游戏。下图四张扑克牌上的点数，经过怎样的运算才能得到24呢？请列出综合算式。（至少写3种） 【答案】（5＋7）÷48＝24；（8＋4）（75）＝24；5＋7＋4＋8＝24（答案不唯一） 【分析】（1）3×8＝24，那么要使5、7、4通过运算等于3，那么5加上7等于12，再除以4，即使5、7、4通过运算等于3，列出综合算式为（5＋7）÷48＝24。 （2）12×2＝24，那么要使5、7、4、8通过运算等于12和2，那么8＋4＝12，7－5＝2，再将二者的和相乘，即5、7、4、8通过运算得到24，列出综合算式为（8＋4）（75）＝24。 （3）将5、7、4、8相加，和为24，列出综合算式为5＋7＋4＋8＝24。 【解答】（1）（5＋7）÷48 ＝12÷4×8 ＝3×8 ＝24 （2）（8＋4）（75） ＝12×2 ＝24 （3）5＋7＋4＋8 ＝12＋4＋8 ＝16＋8 ＝24 （答案不唯一） 【专项训练4】在数学游戏“算24点”中，规则是利用给定的数字，通过加、减、乘、除四则运算以及合理使用括号，使得最终计算结果为24。现在给定8、4、2、10这四个数算“24点”，你能用几种方法？都写下来。 【答案】四种；见详解 【分析】可以利用一些算式。例如3×8＝24、4×6＝24、2×12＝24、24×1＝24求解。例如用2与8的积再减去10，算得结果是6，这样6与4相乘得24。也可以用10减去4的差除以2凑出3，3与8相乘得到24。也可以用10加2的和是12，8除以4的商是2，12与2相乘。或者将四个数8、4、2、10相加求解等。 【解答】方法一：8＋4＋2＋10 ＝12＋2＋10 ＝14＋10 ＝24 方法二：（10＋2）×（8÷4） ＝12×2 ＝24 方法三：（2×8－10）×4 ＝（16－10）×4 ＝6×4 ＝24 方法四：（10－4）÷2×8 ＝6÷2×8 ＝3×8 ＝24 学科网（北京）股份有限公司 $