专题01 多边形的面积（计算专项讲义）数学苏教版五年级上册（新教材）

该小学数学“多边形的面积”计算专项讲义以题型为框架构建知识体系，通过“核心推导逻辑+实用技巧”梳理平行四边形、三角形、梯形等图形的面积公式推导过程，用转化思想示意图呈现从已知图形到新公式的转化脉络，清晰标注重难点如对应底高匹配、逆向计算等内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，每个题型配典例解析与专项训练，如组合图形用分割法转化为基本图形计算，培养几何直观与推理意识。不规则图形数方格法结合对称技巧，帮助学生用数学语言表达面积估算过程，基础学生掌握方法，优秀学生深化思维，助力教师实施精准复习教学。

专题01 多边形的面积（计算专项讲义） 题型01 平行四边形的面积 题型02 三角形的面积 题型03 梯形的面积 题型04 含多边形的组合图形的面积 题型05 求组合图形中阴影部分的面积 题型06 不规则图形的面积 题型01 平行四边形的面积 一、四边形图形计算核心推导逻辑 ‌基础转化思路‌：依托苏教版教材的“转化思想”，通过沿平行四边形的任意一条高剪开，将剪下的直角三角形或直角梯形平移拼接，把平行四边形完整转化为已学过的长方形，转化前后图形的总面积完全保持不变。 ‌公式对应关系‌：拼接得到的长方形，它的长恰好等于原平行四边形的底，它的宽恰好等于原平行四边形对应这条底的高，结合长方形“面积=长×宽”的已知公式，直接推导出平行四边形的面积计算逻辑。 ‌字母规范表达‌：若用S表示平行四边形的面积，a表示平行四边形的底边长，ℎ表示这条底对应的垂直高度，最终得到标准计算公式：S=a×h，代入数值计算时要先明确标注公式，再完成运算。 二、图形计算实用技巧 ‌对应匹配技巧‌：计算前先在图形里标记出一组“底+对应高”，避免用相邻边的长度直接相乘，比如底是6米时，必须选取垂直于这条6米底边的4.2米高代入，才能算出正确面积6×4.2=25.2平方米。 ‌等积变形规律‌：等底等高的所有平行四边形，无论形状如何变化，面积一定完全相等；反过来面积相等的平行四边形，底和高的组合可以不同，比如底为5高为3的平行四边形，和底为3高为5的平行四边形面积一致。 ‌逆向推导技巧‌：已知平行四边形的面积和其中一条底，可直接用“高 = 面积 ÷ 底”快速算出对应高；已知面积和高，也能用“底 = 面积 ÷ 高”反推底边长，适配各类缺条件的图形题。 ‌场景适配技巧‌：遇到方格图作图题时，只要保证新平行四边形的底乘高的乘积和指定图形的面积相等，就能画出无数个形状不同但面积符合要求的平行四边形，无需局限于固定的边长比例。 【典例1】计算平行四边形的面积。    【专项训练1】洱海湿地公园有一块平行四边形草地（如下图），请你选择合适的条件计算出这块草地的面积。 【专项训练2】计算下面图形的面积。 【专项训练3】计算如图图形的面积。（单位：厘米） 【专项训练4】下图中平行四边形其中一条底边长4厘米，求这条底边上对应的高的长度。    【专项训练5】求平行四边形的面积。（单位：厘米） 题型02 三角形的面积 一、三角形图形计算核心推导逻辑 ‌基础转化思路‌：依托苏教版教材的拼接转化方法，将两个完全一模一样的三角形，通过旋转、平移的方式拼接成一个完整的平行四边形，拼接前后两个三角形的总面积和新平行四边形的面积完全相等，这是推导公式的核心依据。 ‌公式对应关系‌：拼接得到的平行四边形，它的底和高分别与原三角形的底、高完全相等，结合平行四边形“面积=底×高”的已知公式，单个三角形的面积就是这个等底等高平行四边形面积的一半。 ‌字母规范表达‌：若用S表示三角形的面积，a表示三角形的底边长，ℎ表示这条底对应的垂直高度，最终得到苏教版五年级阶段的标准计算公式：S=a×h÷2，代入数值计算时要先明确标注公式，再完成运算。 二、图形计算实用技巧 ‌对应匹配技巧‌：计算前先在图形里标记出一组“底+对应高”，避免用不垂直的底和高随意代入，比如底是6厘米时，必须选取垂直于这条6厘米底边的4厘米高代入，才能算出正确面积6×4÷2=12平方厘米。 ‌等积变形规律‌：等底等高的所有三角形，无论形状如何变化，面积一定完全相等；反过来面积相等的三角形，底和高的组合可以不同，比如底为5高为4的三角形，和底为4高为5的三角形面积完全一致。 ‌逆向推导技巧‌：已知三角形的面积和其中一条底，可直接用“高 = 面积 × 2 ÷ 底”快速算出对应高；已知面积和高，也能用“底 = 面积 × 2 ÷ 高”反推底边长，适配各类缺条件的图形题。 【典例2】求下面三角形的面积。 【专项训练1】求如图三角形的高。              【专项训练2】计算下列图形的面积。 【专项训练3】计算下面三角形的面积。（单位：分米） 【专项训练4】求下面三角形的高，单位：厘米。 【专项训练5】求下面图形的面积。（单位：dm） 题型03 梯形的面积 一、基础计算逻辑 梯形的面积公式是通过将梯形转化为已学过的图形（如平行四边形）推导而来。两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形的高。因为平行四边形的面积 = 底×高，所以梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，即梯形的面积 =（上底 + 下底）×高÷2 ，用字母表达为S=(a+b)h÷2（其中S 表示梯形的面积，a 表示梯形的上底，b 表示梯形的下底，ℎh 表示梯形的高）。计算时，先算出上底与下底的和，再乘高，最后除以2 。 二、特殊速算技巧 当梯形的上底与下底的和是一个整十、整百等容易计算的数时，可先计算这个和，再进行后续运算。例如，一个梯形上底是 3 厘米，下底是 7 厘米，高是 4 厘米，上底与下底的和为 3+7=10 厘米，再计算面积 S=(3+7)×4÷2=10×4÷2=20 平方厘米 。 三、面积大小规律 在高不变的情况下，梯形上底与下底的和越大，面积越大；上底与下底的和越小，面积越小。在上下底的和不变时，高越大，面积越大；高越小，面积越小。通过这样的规律可以在计算前对面积的大致范围有一个预判，避免计算结果出现较大偏差。 【典例3】计算下面阴影部分的面积。已知如图梯形的面积是80平方米。 【专项训练1】如图，已知△ABD是等腰直角三角形，求梯形ABCD的面积（单位：厘米）。 【专项训练2】计算下面图形的面积。 【专项训练3】求下列各图形的面积。（单位：cm） 【专项训练4】计算下列图形的面积。 【专项训练5】计算下面图形的面积。 题型04 含多边形的组合图形的面积 一、基础计算逻辑 ‌分割法‌：将组合图形分割成若干个已学过的简单多边形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等），分别计算出每个简单多边形的面积，然后把它们的面积相加，得到组合图形的面积。例如计算一个由三角形和长方形组成的组合图形面积，先分别算出三角形面积和长方形面积，再求和。 ‌添补法‌：把组合图形添补成一个规则的多边形（如长方形、正方形等），用添补后规则多边形的面积减去添补部分的面积，从而得到组合图形的面积。比如一个不规则的多边形，添补成一个长方形后，用长方形面积减去添补的三角形面积。 二、特殊速算技巧 ‌等积变形‌：对于一些组合图形，可通过等积变形的方法，将其转化为面积相等但更易计算的图形。例如，一个三角形可以通过平移、旋转等方式，转化为与之等底等高的另一个位置的三角形，方便与其他图形组合计算。 ‌割补平移‌：把组合图形中某一部分割下来，补到合适的位置，使其变成一个规则的多边形。如把一个不规则的多边形通过割补平移变成一个长方形或平行四边形来计算面积。 三、面积大小规律 当两个组合图形包含相同的基本图形且数量相同时，若其中一个组合图形中某部分图形的尺寸（如边长、高）更大，则该组合图形的面积更大。例如两个组合图形都由一个三角形和一个长方形组成，其中一个组合图形中三角形的底和高都更大，那么它的面积相对就更大。 对于由多个简单多边形拼接而成的组合图形，拼接的基本图形面积之和越大，组合图形的面积就越大。 【典例4】计算下面图形的面积。 【专项训练1】计算如图所示图形的面积。（单位：厘米）                【专项训练2】计算下面图形的面积。 【专项训练3】求组合图形的面积。                  【专项训练4】计算下列组合图形的面积。（单位：厘米） 【专项训练5】求组合图形的面积。 题型05 求组合图形中阴影部分的面积 一、基础计算逻辑 对于组合图形中阴影部分面积的计算，基本思路是通过分割、添补等方法，将不规则的阴影部分转化为已学过的规则图形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等），再利用这些规则图形的面积公式进行计算。 ‌分割法‌：把阴影部分分割成几个简单的规则图形，分别算出每个小图形的面积，然后将它们的面积相加，得到阴影部分的总面积。例如，一个阴影部分可分割为一个三角形和一个长方形，分别算出三角形面积和长方形面积，再求和。 ‌添补法‌：把阴影部分添补成一个大的规则图形，先算出大图形的面积，再算出添补部分图形的面积，最后用大图形面积减去添补图形面积，从而得到阴影部分面积。比如，阴影部分是一个不规则图形，添补后成为一个长方形，用长方形面积减去添补的三角形面积就是阴影部分面积。 二、特殊速算技巧 当阴影部分由多个相同的图形组成时，可以先算出一个图形的面积，再乘以图形的个数。例如，阴影部分是由 5 个相同的小正方形组成，先算出一个小正方形的面积，再乘以 5 即可。 对于一些对称的组合图形，可利用图形的对称性，只计算其中一部分的面积，再根据对称关系求出整个阴影部分的面积。比如，一个左右对称的阴影图形，可先算出左边一半的面积，再乘以 2 。 三、面积大小规律 可以通过与已知的规则图形面积进行比较，预判阴影部分面积的大致范围。例如，阴影部分在一个长方形内部，那么其面积肯定小于长方形的面积；如果阴影部分包含了一个正方形，那么其面积肯定大于正方形的面积。这样在计算后可以通过预判的范围来检验结果是否合理，避免出现过大或过小的错误。 【典例5】求阴影部分的面积。 【专项训练1】计算下图中涂色部分的面积。（单位：cm） 【专项训练2】计算下面图形中涂色部分的面积。 【专项训练3】看图计算下列阴影部分的面积。 【专项训练4】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【专项训练5】图形探究。 计算下面图形中涂色部分的面积。 题型06 不规则图形的面积 一、不规则图形面积计算核心要点 基础计算逻辑 采用数方格法。在方格纸上画出不规则图形，通过数方格数量来估算面积，每个方格面积固定（如1平方厘米、1公顷等）。 特殊计算技巧 先数整格，再数不满格，不满格按半格计算。将整格数与半格数折算后的整格数相加，得到估算面积。 若不规则图形为轴对称图形，可先算出一半图形的面积，再乘以2。 面积范围规律 只数整格时，得到的面积是不规则图形面积的下限，实际面积比数出的整格面积大。 把不满格都当整格数时，得到的面积是不规则图形面积的上限，实际面积比这个数出的面积小。 近似计算适配 用一个规则的图形（如矩形或圆形）去“包裹”或“嵌入”不规则图形，使其尽可能贴近不规则图形的轮廓，根据这个规则图形的面积来估算不规则图形的面积。 【典例6】按要求计算。 下图每个小正方形的面积是，求这个多边形的面积。 【专项训练1】图中每个小方格的面积是1平方厘米，请你估计阴影部分的面积是多少？ 【专项训练2】利用方格纸估计自己手掌的面积。 【专项训练3】一个池塘的形状如下图（涂色部分），图中每个小方格的面积是1平方米，请你估计这个池塘的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 多边形的面积（计算专项讲义） 题型01 平行四边形的面积 题型02 三角形的面积 题型03 梯形的面积 题型04 含多边形的组合图形的面积 题型05 求组合图形中阴影部分的面积 题型06 不规则图形的面积 题型01 平行四边形的面积 一、四边形图形计算核心推导逻辑 ‌基础转化思路‌：依托苏教版教材的“转化思想”，通过沿平行四边形的任意一条高剪开，将剪下的直角三角形或直角梯形平移拼接，把平行四边形完整转化为已学过的长方形，转化前后图形的总面积完全保持不变。 ‌公式对应关系‌：拼接得到的长方形，它的长恰好等于原平行四边形的底，它的宽恰好等于原平行四边形对应这条底的高，结合长方形“面积=长×宽”的已知公式，直接推导出平行四边形的面积计算逻辑。 ‌字母规范表达‌：若用S表示平行四边形的面积，a表示平行四边形的底边长，ℎ表示这条底对应的垂直高度，最终得到标准计算公式：S=a×h，代入数值计算时要先明确标注公式，再完成运算。 二、图形计算实用技巧 ‌对应匹配技巧‌：计算前先在图形里标记出一组“底+对应高”，避免用相邻边的长度直接相乘，比如底是6米时，必须选取垂直于这条6米底边的4.2米高代入，才能算出正确面积6×4.2=25.2平方米。 ‌等积变形规律‌：等底等高的所有平行四边形，无论形状如何变化，面积一定完全相等；反过来面积相等的平行四边形，底和高的组合可以不同，比如底为5高为3的平行四边形，和底为3高为5的平行四边形面积一致。 ‌逆向推导技巧‌：已知平行四边形的面积和其中一条底，可直接用“高 = 面积 ÷ 底”快速算出对应高；已知面积和高，也能用“底 = 面积 ÷ 高”反推底边长，适配各类缺条件的图形题。 ‌场景适配技巧‌：遇到方格图作图题时，只要保证新平行四边形的底乘高的乘积和指定图形的面积相等，就能画出无数个形状不同但面积符合要求的平行四边形，无需局限于固定的边长比例。 【典例1】计算平行四边形的面积。    【答案】72平方厘米 【分析】平行四边形面积＝底×高，图中9厘米的底对应的高是8厘米，用底乘对应的高即可求出面积，据此解答。 【解答】8×9＝72（平方厘米） 平行四边形的面积为72平方厘米。 【专项训练1】洱海湿地公园有一块平行四边形草地（如下图），请你选择合适的条件计算出这块草地的面积。 【答案】240平方米 【分析】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫作平行四边形的底；由此可知，底边20米对应的高是12米，底边16米对应的高是15米，根据“”求出这块草地的面积，据此解答。 【解答】20×12＝240（平方米） 所以，这块草地的面积是240平方米。 【专项训练2】计算下面图形的面积。 【答案】840cm2 【分析】平行四边形面积＝底×高，如图，24cm的底边上的高是35cm，21cm的高所对应的底边长度未给出，所以利用已知的一组底和高的数据代入公式计算解答。 【解答】24×35＝840（cm2） 故平行四边形的面积是840cm2。 【专项训练3】计算如图图形的面积。（单位：厘米） 【答案】72平方厘米 【分析】根据“平行四边形的面积＝底×高”，代入数据计算即可。 【解答】12×6＝72（平方厘米） 图形的面积是72平方厘米。 【专项训练4】下图中平行四边形其中一条底边长4厘米，求这条底边上对应的高的长度。    【答案】6厘米 【分析】观察平行四边形，一条底边长为8厘米，对应的高是3厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据求出这个平行四边形的面积，另一条底边长为4厘米，用平行四边形的面积除以这条底边长，即可求出对应的高的长度。 【解答】8×3÷4＝6（厘米） 即这条底边上对应的高是6厘米。 【专项训练5】求平行四边形的面积。（单位：厘米） 【答案】150平方厘米 【分析】由图可知，平行四边形的底是10厘米，高是15厘米，利用“平行四边形的面积＝底×高”求出这个平行四边形的面积，据此解答。 【解答】10×15＝150（平方厘米） 所以，这个平行四边形的面积是150平方厘米。 题型02 三角形的面积 一、三角形图形计算核心推导逻辑 ‌基础转化思路‌：依托苏教版教材的拼接转化方法，将两个完全一模一样的三角形，通过旋转、平移的方式拼接成一个完整的平行四边形，拼接前后两个三角形的总面积和新平行四边形的面积完全相等，这是推导公式的核心依据。 ‌公式对应关系‌：拼接得到的平行四边形，它的底和高分别与原三角形的底、高完全相等，结合平行四边形“面积=底×高”的已知公式，单个三角形的面积就是这个等底等高平行四边形面积的一半。 ‌字母规范表达‌：若用S表示三角形的面积，a表示三角形的底边长，ℎ表示这条底对应的垂直高度，最终得到苏教版五年级阶段的标准计算公式：S=a×h÷2，代入数值计算时要先明确标注公式，再完成运算。 二、图形计算实用技巧 ‌对应匹配技巧‌：计算前先在图形里标记出一组“底+对应高”，避免用不垂直的底和高随意代入，比如底是6厘米时，必须选取垂直于这条6厘米底边的4厘米高代入，才能算出正确面积6×4÷2=12平方厘米。 ‌等积变形规律‌：等底等高的所有三角形，无论形状如何变化，面积一定完全相等；反过来面积相等的三角形，底和高的组合可以不同，比如底为5高为4的三角形，和底为4高为5的三角形面积完全一致。 ‌逆向推导技巧‌：已知三角形的面积和其中一条底，可直接用“高 = 面积 × 2 ÷ 底”快速算出对应高；已知面积和高，也能用“底 = 面积 × 2 ÷ 高”反推底边长，适配各类缺条件的图形题。 【典例2】求下面三角形的面积。 【答案】96m2 【分析】观察图形，找到对应的底和高，这里底是16m，这条底边上的高是12m，根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，代入底和高的数值，即可求出三角形的面积。 【解答】16×12÷2 ＝192÷2 ＝96（m2） 所以三角形的面积是96m2。 【专项训练1】求如图三角形的高。              【答案】16米 【分析】由图可知，三角形的底为22米，面积为176平方米。已知三角形的面积和底要求高，根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，把公式变形，得到求高的公式：高＝面积×2÷底，代入已知数据得出结果。 【解答】176×2÷22 ＝352÷22 ＝16（米） 即三角形的高为16米。 【专项训练2】计算下列图形的面积。 【答案】120；36；30 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【解答】（1）20×12÷2 ＝240÷2 ＝120 （2）12×6÷2 ＝72÷2 ＝36 （3）12×5÷2 ＝60÷2 ＝30 【专项训练3】计算下面三角形的面积。（单位：分米） 【答案】24平方分米 【分析】观察图形可知，以6分米为底，则对应的高是8分米，再根据三角形的面积公式：S＝ab÷2，据此代入数值进行计算即可。 【解答】6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方分米） 【专项训练4】求下面三角形的高，单位：厘米。 【答案】2.4厘米 【分析】观察上图可知，3厘米、4厘米的边为直角三角形的两条直角边，三角形的面积等于3乘4的积，再除以2，再用三角形的面积乘2，再除以5，即等于边长为5厘米边上的高，据此即可解答。 【解答】3×4÷2×2÷5 ＝12÷5 ＝2.4（厘米） 【专项训练5】求下面图形的面积。（单位：dm） 【答案】45 【分析】观察三角形，高为5dm，它对应的底边长是18dm，再根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据即可求出三角形的面积。 【解答】18×5÷2＝45（dm2） 即图形的面积是45dm2。 题型03 梯形的面积 一、基础计算逻辑 梯形的面积公式是通过将梯形转化为已学过的图形（如平行四边形）推导而来。两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形的高。因为平行四边形的面积 = 底×高，所以梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，即梯形的面积 =（上底 + 下底）×高÷2 ，用字母表达为S=(a+b)h÷2（其中S 表示梯形的面积，a 表示梯形的上底，b 表示梯形的下底，ℎh 表示梯形的高）。计算时，先算出上底与下底的和，再乘高，最后除以2 。 二、特殊速算技巧 当梯形的上底与下底的和是一个整十、整百等容易计算的数时，可先计算这个和，再进行后续运算。例如，一个梯形上底是 3 厘米，下底是 7 厘米，高是 4 厘米，上底与下底的和为 3+7=10 厘米，再计算面积 S=(3+7)×4÷2=10×4÷2=20 平方厘米 。 三、面积大小规律 在高不变的情况下，梯形上底与下底的和越大，面积越大；上底与下底的和越小，面积越小。在上下底的和不变时，高越大，面积越大；高越小，面积越小。通过这样的规律可以在计算前对面积的大致范围有一个预判，避免计算结果出现较大偏差。 【典例3】计算下面阴影部分的面积。已知如图梯形的面积是80平方米。 【答案】56平方米 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，则高＝面积×2÷（上底＋下底），求出梯形的高，也是三角形的高，再根据三角形的面积＝底×高÷2，带入即可求解。 【解答】80×2÷（6＋14） ＝160÷（6＋14） ＝160÷20 ＝8（米） 14×8÷2 ＝112÷2 ＝56（平方米） 【专项训练1】如图，已知△ABD是等腰直角三角形，求梯形ABCD的面积（单位：厘米）。 【答案】22平方厘米 【分析】△ABD是等腰直角三角形，等腰直角三角形的两条直角边相等，即AD＝AB＝4厘米，所以梯形的上底为4厘米，下底为7厘米，高为4厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据即可求出梯形ABCD的面积。 【解答】（4＋7）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝44÷2 ＝22（平方厘米） 即梯形ABCD的面积是22平方厘米。 【专项训练2】计算下面图形的面积。 【答案】176cm2 【分析】根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，把数据代入公式解答。 【解答】（20＋12）×11÷2 ＝32×11÷2 ＝352÷2 ＝176（cm2） 【专项训练3】求下列各图形的面积。（单位：cm） 【答案】90平方厘米；70平方厘米 【分析】图形①上底、下底和高分别是8厘米、12厘米、9厘米，多给的一腰长11厘米是干扰数据；图形②是直角梯形，上底、下底和高分别是6厘米、8厘米、10厘米，且多给的一腰长9厘米是干扰数据。①和②直接套用公式计算即可。 【解答】①（8＋12）×9÷2 ＝20×9÷2 ＝90（平方厘米） ②（6＋8）×10÷2 ＝14×10÷2 ＝70（平方厘米） 【点睛】图形①由梯形的高的定义——夹在两底之间的垂线段，可确定长为9厘米的线段就是高；图形②是直角梯形，其中，垂直于两底的腰就是高，则长为10厘米的线段就是高。 【专项训练4】计算下列图形的面积。 【答案】405 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此求出梯形的面积即可。 【解答】（20＋25）×18÷2 ＝45×18÷2 ＝405 【专项训练5】计算下面图形的面积。 【答案】80 【分析】由图可知，梯形的上底为7，下底为13，高为8，根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，代入数据即可解答。 【解答】梯形面积： ＝20×8÷2 ＝160÷2 ＝80 梯形的面积为：80。 题型04 含多边形的组合图形的面积 一、基础计算逻辑 ‌分割法‌：将组合图形分割成若干个已学过的简单多边形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等），分别计算出每个简单多边形的面积，然后把它们的面积相加，得到组合图形的面积。例如计算一个由三角形和长方形组成的组合图形面积，先分别算出三角形面积和长方形面积，再求和。 ‌添补法‌：把组合图形添补成一个规则的多边形（如长方形、正方形等），用添补后规则多边形的面积减去添补部分的面积，从而得到组合图形的面积。比如一个不规则的多边形，添补成一个长方形后，用长方形面积减去添补的三角形面积。 二、特殊速算技巧 ‌等积变形‌：对于一些组合图形，可通过等积变形的方法，将其转化为面积相等但更易计算的图形。例如，一个三角形可以通过平移、旋转等方式，转化为与之等底等高的另一个位置的三角形，方便与其他图形组合计算。 ‌割补平移‌：把组合图形中某一部分割下来，补到合适的位置，使其变成一个规则的多边形。如把一个不规则的多边形通过割补平移变成一个长方形或平行四边形来计算面积。 三、面积大小规律 当两个组合图形包含相同的基本图形且数量相同时，若其中一个组合图形中某部分图形的尺寸（如边长、高）更大，则该组合图形的面积更大。例如两个组合图形都由一个三角形和一个长方形组成，其中一个组合图形中三角形的底和高都更大，那么它的面积相对就更大。 对于由多个简单多边形拼接而成的组合图形，拼接的基本图形面积之和越大，组合图形的面积就越大。 【典例4】计算下面图形的面积。 【答案】95cm2 【分析】观察图形可知，组合图形的面积＝三角形的面积＋长方形的面积，三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【解答】4＋6＋4＝14（cm） 三角形面积：14×5÷2 ＝70÷2 ＝35（cm2） 长方形面积：10×6＝60（cm2） 组合图形的面积：35＋60＝95（cm2） 因此，组合图形的面积为95cm2。 【专项训练1】计算如图所示图形的面积。（单位：厘米）                【答案】150平方厘米；690平方厘米 【分析】左图：平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，分别算出平行四边形和三角形的面积，将两部分面积相加即可； 右图：正方形面积＝边长×边长，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别算出正方形和梯形的面积，用正方形面积减去梯形面积即可。 【解答】左图：15×6＋15×8÷2 ＝90＋120÷2 ＝90＋60 ＝150（平方厘米） 右图：30×30－（12＋30）×10÷2 ＝30×30－42×10÷2 ＝900－420÷2 ＝900－210 ＝690（平方厘米） 【专项训练2】计算下面图形的面积。 【答案】50m2 【分析】由图可知：图形面积＝长方形面积－梯形面积，长方形面积＝长×宽，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可解答。 【解答】12×5－（4＋12－6）×（5－3）÷2 ＝60－10×2÷2 ＝60－10 ＝50（m2） 【专项训练3】求组合图形的面积。                  【答案】456m2 【分析】组合图形面积＝上底是10m，下底是15m，高是24m的梯形面积和底是26m，高是12m的三角形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，据此解答。 【解答】（10＋15）×24÷2＋26×12÷2 ＝25×24÷2＋26×12÷2 ＝600÷2＋312÷2 ＝300＋156 ＝456（m2） 【专项训练4】计算下列组合图形的面积。（单位：厘米） 【答案】336平方厘米 【分析】由图可知，用长方形的面积减去梯形的面积即可，根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据求解即可。 【解答】16×28＝448（平方厘米） （8＋20）×8÷2 ＝28×8÷2 ＝224÷2 ＝112（平方厘米） 448－112＝336（平方厘米） 【专项训练5】求组合图形的面积。 【答案】208cm2 【分析】观察图形：这个组合图形是由一个三角形和一个平行四边形组成，分别计算面积再相加即可。由图可知：三角形的底为16cm，高为8cm，根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，代入底和高的数值，求出三角形的面积。平行四边形的底为16cm，高为9cm，根据平行四边形的面积公式：平行四边形面积＝底×高，代入底和高的数值，求出平行四边形的面积。最后将三角形面积和平行四边形面积相加，即可求出组合图形的面积。 【解答】16×8÷2＋16×9 ＝128÷2＋144 ＝64＋144 ＝208（cm2） 所以组合图形的面积是208cm2。 题型05 求组合图形中阴影部分的面积 一、基础计算逻辑 对于组合图形中阴影部分面积的计算，基本思路是通过分割、添补等方法，将不规则的阴影部分转化为已学过的规则图形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等），再利用这些规则图形的面积公式进行计算。 ‌分割法‌：把阴影部分分割成几个简单的规则图形，分别算出每个小图形的面积，然后将它们的面积相加，得到阴影部分的总面积。例如，一个阴影部分可分割为一个三角形和一个长方形，分别算出三角形面积和长方形面积，再求和。 ‌添补法‌：把阴影部分添补成一个大的规则图形，先算出大图形的面积，再算出添补部分图形的面积，最后用大图形面积减去添补图形面积，从而得到阴影部分面积。比如，阴影部分是一个不规则图形，添补后成为一个长方形，用长方形面积减去添补的三角形面积就是阴影部分面积。 二、特殊速算技巧 当阴影部分由多个相同的图形组成时，可以先算出一个图形的面积，再乘以图形的个数。例如，阴影部分是由 5 个相同的小正方形组成，先算出一个小正方形的面积，再乘以 5 即可。 对于一些对称的组合图形，可利用图形的对称性，只计算其中一部分的面积，再根据对称关系求出整个阴影部分的面积。比如，一个左右对称的阴影图形，可先算出左边一半的面积，再乘以 2 。 三、面积大小规律 可以通过与已知的规则图形面积进行比较，预判阴影部分面积的大致范围。例如，阴影部分在一个长方形内部，那么其面积肯定小于长方形的面积；如果阴影部分包含了一个正方形，那么其面积肯定大于正方形的面积。这样在计算后可以通过预判的范围来检验结果是否合理，避免出现过大或过小的错误。 【典例5】求阴影部分的面积。 【答案】50平方米 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，先求出梯形和正方形的面积，然后把它们的面积相加，再减去两个空白的三角形的面积。 【解答】梯形的面积：（6＋10）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（平方米） 正方形的面积：10×10＝100（平方米） 右上角空白三角形的面积：10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方米） 左下角三角形的面积：（6＋10）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（平方米） 阴影部分的面积：48＋100－48－50＝50（平方米） 【专项训练1】计算下图中涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】18cm2 【分析】阴影部分面积＝上底是5cm，下底是9cm，高是4cm的梯形面积－底是5cm，高是4cm的三角形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，据此解答。 【解答】（5＋9）×4÷2－5×4÷2 ＝14×4÷2－5×4÷2 ＝56÷2－20÷2 ＝28－10 ＝18（cm2） 【专项训练2】计算下面图形中涂色部分的面积。 【答案】126cm2 【分析】由图可知，整个图形是平行四边形，底是18cm、高是9cm，根据“平行四边形面积＝底×高”求出平行四边形的面积；空白部分是三角形，三角形的底是8cm、高是9cm，根据“三角形面积＝底×高÷2”求出空白部分三角形的面积；最后用平行四边形的面积减去三角形的面积即可求出涂色部分的面积。 【解答】18×9＝162（cm2） 8×9÷2 ＝72÷2 ＝36（cm2） 162－36＝126（cm2） 所以图形中涂色部分的面积是126cm2。 【专项训练3】看图计算下列阴影部分的面积。 【答案】84cm2；37cm2 【分析】（1）阴影部分是一个底为14cm，高为12cm的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 （2）观察图形可知，用两个正方形的面积之和减去空白大三角形的面积，即可求出阴影部分的面积。正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，据此解答。 【解答】（1）14×12÷2＝84（cm2） 则阴影部分的面积是84cm2。 （2）8×8＋5×5－（8＋5）×8÷2 ＝64＋25－13×8÷2 ＝89－52 ＝37（cm2） 则阴影部分的面积是37cm2。 【专项训练4】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】12cm2；150cm2 【分析】根据图示，阴影部分的面积等于三角形面积S＝底×高÷2，三角形的底＝梯形的下底－上底，据此解答即可。 根据图示，阴影部分的面积等于空白三角形的面积，都等于平行四边形面积的一半。根据三角形的面积公式S＝底×高÷2，代入数值解答即可。 【解答】（1）（9－3）×4÷2 ＝6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（cm2） （2）20×15÷2 ＝300÷2 ＝150（cm2） 【专项训练5】图形探究。 计算下面图形中涂色部分的面积。 【答案】122cm2 【分析】阴影部分面积分为两个部分，一部分是上底是8cm，下底是10cm，高是10cm的梯形面积，一部分是底是8cm，高是8cm的三角形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【解答】（8＋10）×10÷2＋8×8÷2 ＝18×10÷2＋8×8÷2 ＝180÷2＋64÷2 ＝90＋32 ＝122（cm2） 阴影部分面积是122cm2。 题型06 不规则图形的面积 一、不规则图形面积计算核心要点 基础计算逻辑 采用数方格法。在方格纸上画出不规则图形，通过数方格数量来估算面积，每个方格面积固定（如1平方厘米、1公顷等）。 特殊计算技巧 先数整格，再数不满格，不满格按半格计算。将整格数与半格数折算后的整格数相加，得到估算面积。 若不规则图形为轴对称图形，可先算出一半图形的面积，再乘以2。 面积范围规律 只数整格时，得到的面积是不规则图形面积的下限，实际面积比数出的整格面积大。 把不满格都当整格数时，得到的面积是不规则图形面积的上限，实际面积比这个数出的面积小。 近似计算适配 用一个规则的图形（如矩形或圆形）去“包裹”或“嵌入”不规则图形，使其尽可能贴近不规则图形的轮廓，根据这个规则图形的面积来估算不规则图形的面积。 【典例6】按要求计算。 下图每个小正方形的面积是，求这个多边形的面积。 【答案】16cm2 【分析】根据题意，每个小正方形的面积是1cm2，那么每个小正方形的边长是1cm；把这个多边形分成一个三角形和一个平行四边形，三角形的底是4cm，高是2cm，平行四边形的底是4cm，高是3cm；根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高计算即可。 【解答】1×1＝1（cm2） 4×2÷2＋4×3 ＝4＋12 ＝16（cm2） 这个多边形的面积16cm2。 【专项训练1】图中每个小方格的面积是1平方厘米，请你估计阴影部分的面积是多少？ 【答案】38平方厘米 【分析】可以通过数方格估算不规则图形面积，满格按1格算，不满格按半格算的策略，数出阴影部分所占方格数来估算面积。满格的大约有28个，不满格的大约有20个，不满格的按半格算，20个不满格相当于10个满格。因为每个小方格的面积是1平方厘米，用数出的格数乘小方格的面积，即可估算出阴影部分的面积。 【解答】28×1＝28（平方厘米） 20÷2×1 ＝10×1 ＝10（平方厘米） 28＋10＝38（平方厘米） 答：阴影部分的面积大约是38平方厘米。 【专项训练2】利用方格纸估计自己手掌的面积。 【答案】（答案不唯一）35平方厘米 【分析】估计不规则图形的面积时，可以根据图形的特点转化成已学过的图形，再利用面积公式来估算面积。如下图：图中每个小方格的面积是1平方厘米，把手掌的形状近似地看成平行四边形。底是5厘米，高是7厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，即可计算出手掌的面积。 【解答】5×7＝35（平方厘米） 【专项训练3】一个池塘的形状如下图（涂色部分），图中每个小方格的面积是1平方米，请你估计这个池塘的面积。 【答案】101平方米 【分析】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。 【解答】观察图形可知，整格83个，不足格36个， 83＋36÷2 ＝83＋18 ＝101（平方米） 这个池塘大约是101平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $