第四章《一次函数》暑假单元自测卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学一次函数暑假单元自测卷，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/18/72分）覆盖图像性质、平移、应用等核心知识，结合密度测量、容器排水等真实情境，渗透抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图像经过点、平移、函数值比较|第8题密度图像分析，第9题容器水量动态关系，体现数学眼光观察现实| |填空题|6/18|点与直线关系、三角形面积、排水时间|第15题水池排水函数图像，第16题直线上点构成图形面积，培养数据意识| |解答题|8/72|函数关系式、小球滚动、两车行驶|第23题“明珠函数”新定义探究，第24题两车距离动态分析，发展推理能力与应用意识|

第四章《一次函数》暑假单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一次函数的图像经过点A，则点A的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 2．将直线向下平移3个单位，得到的新直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．若点和点在同一个正比例函数（为常数，）的图象上，则下列式子一定成立的是（     ） A． B． C． D． 5．下列图象中，一次函数与一次函数（k，b为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 7．将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 8．为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 9．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水．第3分钟时，再打开出水管排水；第8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示．则的值为（     ） A． B． C． D．10 10．如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（     ） A．16 B．20 C．24 D．32 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．点在直线上，则代数式的值为________． 12．已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 13．已知直线过点，，则和的大小关系是____(填“＞”“＜”或“＝”） 14．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 15．某水池上方有一个进水管，底部有一个排水管，先打开进水管，3小时后同时打开排水管（进水和排水都是匀速的），该水池内水的体积与时间之间的函数关系如图所示、则水池从开始进水到全部排出所需要的时间是______（h）． 16．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，求的值． 18．一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式； (2)当小球滚动了时，其速度是多少？ 19．下表是某市2026年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高： 年龄组/岁 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 平均身高/cm 124 130 135 141 145 151 159 165 168 170 171 172 观察此表，回答下列问题： (1)该市14岁男学生的平均身高是多少？ (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始增加特别迅速？ (3)这里反映了哪些变量之间的函数关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？ 20．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题． (1)①由图2，当时，_______；摩天轮转一圈需要______； ②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是_________（填“增大”或“减小”）； (2)求出摩天轮的半径为_______； 21．探究一次函数的性质时，我们经历了“确定函数解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象，利用函数图象研究函数性质，利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表： … 0 1 2 3 … … 1 0 1 3 4 … 则__________，__________； (2)描点、连线，在所给坐标系中画出函数的图象； (3)结合函数图象，写一条函数的性质__________； (4)进一步探究函数图象，当时，自变量的取值范围是__________； 22．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 23．对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为． (1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值； (2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值； (3)已知一次函数． ①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围； ②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围． 24．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从A地出发，匀速驶往C地，同时甲车从B地出发，匀速驶往A地，到达A地后停留30分钟，再以原路原速途经B地驶往C地．结果两车同时到达C地．两车距B地的距离（单位：千米）与两车出发的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息回答下列问题： (1)甲车的速度为_____千米/小时，乙车的速度为_____千米/小时，A、C两地间的距离为_____千米： (2)求乙车从B地到C地的行驶过程中与的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； (3)请直接写出两车出发多长时间，两车之间相距70千米． 参考答案 一、选择题 1．B ∵若点在一次函数的图象上，则点的坐标满足该解析式， 对选项A，当时，，∴A错误； 对选项B，当时，，与点的纵坐标相等，符合要求，∴B正确； 对选项C，当时，，∴C错误； 对选项D，当时，，∴D错误． 2．C 解：∵函数图象平移遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向下平移个单位， ∴新直线的解析式为. 3．A ∵ 在直线 中，， ∴ 随 的增大而减小， ∵ 三个点的横坐标满足 ， ∴ ， 即 ． 4．C 解：∵点和在的图象上， ∴坐标满足函数解析式，代入得，， ∴， 对其余选项验证如下： ，∵，∴，即，故A，D错误； ，∵，∴，故B错误； 因此只有C一定成立． 5．A 解：当时，两个函数图象都经过一，二，三象限； 当时，一次函数的图象经过一，三，四象限；一次函数的图象经过一，二，四象限； 当时，一次函数的图象经过二，三，四象限；一次函数的图象经过二，三，四象限； 当时，一次函数的图象经过一，二，四象限；一次函数的图象经过一，三，四象限； 观察给出的图象，只有选项A的图象符合题意. 6．C 解：对于一次函数，可得，． A选项：，，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确． B选项：令，则，解得，函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确． C选项：根据图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，函数向右平移2个单位，向下平移4个单位后，解析式为，化简得，不是，C结论错误． D选项：，函数值随自变量的增大而减小，D结论正确． 7．C 解：∵将直线向左平移2个单位长度后得到直线， ∴平移后直线解析式为，即，， ∴直线经过第一、二、三象限，故A错误． 对于，令，得， 解得， ∴ 直线与轴交于，B错误． 对于，令，得， ∴ 直线与轴交于，C正确． 选项D：∵ ， ∴ 随的增大而增大，D错误． 8．A 解：由图象可知，当时，，，即， A正确； 当时，由图象可知， B错误； 当时，；当时，； ，， ， C、D错误． 9．B 解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟， 3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完， 则排水速度为升/分钟， ， 解得． 10．B 解：由图象可知，，， ． 根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时， ， ， ， 如图，则可得， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 所以直线的解析式为， 当点P运动到中点时，即时， 把代入，得， 所以当点P运动到中点时，的面积为20． 二、填空题 11． 解：点在直线上， ， 移项整理得， 等式两边同乘得， ． 12． 解：∵函数是关于的正比例函数 ∴且， 解得：， 当时，． 13． 解：在直线中，比例系数， 根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大， 因为点和的横坐标满足. 所以 14．3 当时，， 当时，，， 则，， 的面积． 15．9 解：由图象可知，进水速度为， ∴3小时后，水池中水的总量为， 当同时打开进水管和排水管时，相当于排水速度为， 故水池从开始进水到全部排出所需要的时间是（小时）. 16． 解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 三、解答题 17．（1）解：设， 把代入得， 解得， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得． 18．（1）解：∵小球由静止开始滚动，其速度每秒增加， ∴， 即； （2）解：当时，代入，得， 答：当小球滚动了时，其速度是． 19．（1） 解：根据表格给出的数据，可得该市14岁男学生的平均身高是． （2）解：计算相邻年龄组的平均身高增长量， 结果依次为： 对比各增长量可知，12岁之后身高增长量大幅增加，因此该市男学生的平均身高从12岁开始增加特别迅速； （3）解：表格中存在两个变量，分别是年龄和男学生的平均身高，平均身高的值随年龄的变化而变化，因此这里反映了年龄和平均身高之间的函数关系. 其中年龄是主动变化的量，是自变量，平均身高随年龄变化而变化，是因变量． 20．（1）由图象得，①由图2，当时，；摩天轮转一圈需要； 故答案为：54，6； ②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是减小； 故答案为：减小； （2）由图可知，点离地面的高度的最大值为70，最小值为5 ∴半径为； 21．（1）解：将代入，得， 将代入，得， 故答案为：2，5； （2）解：函数图象如下： （3）解：结合图象可知函数图象关于轴对称，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故答案为：当时，随的增大而增大；（其他答案合理即可） （4）解：将代入，得， 解得：或， 由图象可知，当时，自变量的取值范围是， 故答案为：． 22．（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ③设D的坐标是 ∴，， 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上可知，点的坐标为． 23．（1）解：一次函数的1阶明珠函数为 ． 点中， 将代入，得 ． 故． （2）解：正比例函数的-1阶明珠函数为 ． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，或． （3）解：一次函数的2阶明珠函数为 ． ①当时，随增大而减小， 时，；时，， ； 当时，随增大而增大， 趋近2时，趋近；时，， ； 综上，当时，的取值范围是． ②当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， 此时， ∵当时，的取值范围是， ∴， 当时，随增大而增大， 趋近2时，接近；时，． 则时，， ∵当时，的取值范围是， 且时，；， ∴， 解得， 故的取值范围是． 24．（1）解：由图知：甲车从B地驶往A地，共需1小时，到达A地后停留0.5小时，B、C两地间的距离为千米； 甲车从A地返回到B地也需要1小时， 甲车的速度为千米小时， 两地相距千米， A、C两地间的距离为千米；， 乙车的速度为千米小时； （2）解：如图， 由（1）可知，乙车到达B地时，， ， 由图知：， 设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 则， 解得， 所以乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为； （3）解：由题意知，，，， 设乙车从A地到B地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 则， 解得， 所以乙车从A地到B地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 同理可求甲车从A地到B地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 甲车从B地返回到A地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 甲车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为； 由图可知两车之间相距70千米的情况有五种： ①当时， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）； ②当时， ， 解得； ③当时， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； ④当时， ， 解得或（不符合题意，舍去）； ⑤当时， ， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上所述，两车出发小时或小时或小时或小时，两车之间相距70千米． 学科网（北京）股份有限公司 $