第三章《 位置与坐标》暑假单元自测卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本试卷为初中数学《位置与坐标》暑假单元自测卷，通过基础辨析、情境应用及规律探究，全面考查坐标象限、对称、位置描述等核心知识，凸显空间观念与推理意识，适配暑假巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|象限判断（题1）、轴对称（题2）、位置描述（题3）|结合象棋盘（题6）等情境，基础与空间想象结合| |填空题|6/18|坐标距离（题11）、坐标与距离关系（题12）|融入动点规律（题16），渗透数学眼光| |解答题|8/72|坐标系建立（题18）、图形对称与面积（题19）、新定义“等距点”（题21）|综合正方形动点（题24），体现推理与应用意识，梯度覆盖基础到创新|

第三章《 位置与坐标》暑假单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最正确的是（     ） A．在东偏北方向300米处 B．在学校的东南方向 C．在东偏南方向300米处 D．在学校西偏北方向300米处 4．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，连接．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．在如图所示的地图上，以地为参照点，地的位置可表示为（   ） A．北偏东，距离处 B．东偏北，距离处 C．北偏西，距离处 D．西偏北，距离处 6．如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．2 D．1 8．若点，点，点，点，且轴， 轴，那么到x轴距离一定为3的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 10．如图，动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．点到轴上的距离是_____． 12．若点到轴，轴的距离相等，则的值为______． 13．已知点，若线段，且直线轴，则点的坐标是____． 14．已知，且满足，直线轴，且，则点坐标为_____． 15．如图，地图上标注了宝实分校附近学校的位置，若标记宝实分校的坐标为，宝实总校的坐标为，淞谊实验学校的位置恰好在格点上，则其坐标为_______． 16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，其顺序按图中箭头方向排列如，，，，，……按照这样的运动规律，则的坐标是______． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点在轴右侧且到轴的距离为，通过计算判断点所在的象限． 18．某数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下的平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂：_______，大门：_________； (3)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为______． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形并写出的坐标； (2)求的面积． 20．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 21．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：点到，轴的距离中的最大值等于点到，轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． 已知点的坐标为 (1)点，，中，与点为“等距点”的是______； (2)若点的坐标为，且，两点为“等距点”，求出点的坐标； 22．如图，在平面直角坐标系中，已知，点为第三象限内一点． (1)若到坐标轴的距离相等，，且，求点坐标； (2)若为，请用含的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 24．如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． (1)如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图2，已知，，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①请直接写出B、C、D的坐标： ②当时，求的面积； ③当时，求t的值． 参考答案 一、选择题 1．A 解：点所在象限为第一象限． 2．B 解：点关于x轴对称的点的坐标是． 3．D 解：根据题意得：小明家相对于学校的位置是在学校西偏北方向300米处． 4．B 解：∵轴， ∴ 点A和点B的横坐标相等， ∵ 点A的横坐标为3，点B的横坐标为， ∴， 解得， ∴点B的纵坐标为4， ∴点B的坐标为． 5．C 解：以地为参照点，地的位置可表示为北偏西，距离处． 6．D 解：根据“将”位于点，“象”位于点建立直角坐标系， 则“炮”位于点． 7．B 解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 8．C 解：∵ 轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴ ， ∵ 轴，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等， ∴ ， ∵ 点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，要求距离为，即， 逐一判断选项： A选项坐标为，纵坐标为，不一定等于，不符合； B选项坐标为，纵坐标为，，不符合； C选项坐标为，纵坐标为，，符合要求； D选项坐标为，纵坐标为，不一定等于，不符合． 9．D 解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 10．A 解：观察图象，结合运动后的点的坐标特点可知，点的横坐标为n，纵坐标依次按照1,1,0，，0循环变化， ∴点的横坐标为2026． ∵， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 二、填空题 11．7 解：已知点坐标为， 点的纵坐标为， 点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即． 12．3或 解：由题意，， 解得或. 13．或 解：直线轴， 平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等， 点坐标为， 点的纵坐标为， 设点的横坐标为，则点坐标为， ， ， 去绝对值，得或， 解得或， 点的坐标是或． 14．或 解： ，，且 ， 解得， 点的坐标为 轴 点的纵坐标与点的纵坐标相等，即点的纵坐标为 设点的横坐标为 解得或 点的坐标为或 ． 15． 解：由题意，建立直角坐标系如下： 由图可知，淞谊实验学校的坐标为. 16． 解：由图可知：，，， 观察发现： 当为奇数时，在轴上，坐标为， 当为偶数时，在直线上，坐标为， ，且为奇数， 的坐标为， 由图形运动规律可知，从到，从到均为沿轴正方向移动个单位， 从到也是沿轴正方向移动个单位， 的横坐标为，纵坐标为， ． 三、解答题 17．（1）解：点的坐标为，在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：点到轴的距离为，点在轴右侧， ， 解得， ， 即点A的坐标为， 点在第四象限． 18．(1)； （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门； （3）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，大门的位置是，图书馆的位置是， 若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为： ． 19．（1）解：根据对称规律，写出各顶点关于轴对称的点的坐标： 关于轴对称的点为， 关于轴对称的点为， 关于轴对称的点为， 在坐标系中描出点、、，依次连接，即可得到． （2）解：以的顶点为边界，构造一个长为、宽为的矩形（从到，到）， 矩形面积为：， 减去周围三个直角三角形的面积： 以、为顶点的三角形面积：， 以、为顶点的三角形面积：， 以、为顶点的三角形面积：， 的面积为：． 20．（1）解：由图形得： 中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆； 餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； （2）解：如图所示： ． 21．（1）解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； （2）解：∵A，M两点为“等距点”，点到x，y轴的距离中的最大值为4， 根据定义，需分情况讨论： 情况一：当且时，若，则，成立； 若，则，不成立． 情况二：当且时，若，则，此时，成立； 若，则，此时，不成立． 综上所述，的取值为2或4． ∴点的坐标为或． 22．（1）解：∵到坐标轴的距离相等， ∴， 即， 解得：或， ∵为第三象限内一点， ∴． ∴点M的坐标是， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标是或； （2）解：∵为且为第三象限内一点， ∴， ∴的面积； （3）解：当时，的面积， 当的面积是的面积的2倍时，的面积， 设， 则的面积 ， 即 解得：或， ∴点的坐标是或． 23．（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 24．（1）解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴，，， ∵ ， ∴，，， ∴； （2）解：①∵， ∴，，， ∴，，， 即正方形的边长为， ∴， 答：，，； ②当时，，， ∴P点位于上，如图，连接， ∴； ③由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $