第12讲 圆与圆的位置关系（知识详解+9典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第12讲 圆与圆的位置关系（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：两圆位置关系的判断 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断圆与圆的位置关系 题型02：求两圆的交点坐标 题型03：由圆的位置关系确定参数或范围 题型04：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型05：相交圆的公共弦方程 题型06：两圆的公共弦长 题型07：圆的公切线条数 题型08：圆的公切线方程 题型09：圆的公切线长 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】两圆位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： 利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系，应优先使用几何法． 【例1】已知两圆方程 ，，判断两圆的位置关系。 解：步骤1：提取圆心、半径 圆的标准方程：，圆心，半径。 圆：圆心，半径 圆：圆心，半径 步骤2：计算圆心距 步骤3：计算半径和、半径差 半径和： 半径差绝对值： 步骤4：数值比较、判定关系 估算： 可得：，即 满足两圆相交的判定条件。 答：两圆位置关系为：相交 【题型01】判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二·全国·寒假作业）（多选）圆和圆的位置关系不可能是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】ABD 【分析】由圆心距和两圆半径之和与差的大小关系即可判断. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为1， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距， 且两圆相交. 故选：ABD 【变式1-2】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）圆与圆的位置关系为______. 【答案】外离 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断方法，根据两点间距离公式，判断结果即可. 【详解】由题意知， 则两圆圆心为，，两圆的半径分别为，， 所以，易知，所以两圆外离. 故答案为：外离. 【变式1-3】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）已知圆，圆，求： (1)圆的标准方程，以及圆心的坐标和半径； (2)圆与圆的位置关系. 【答案】(1)，圆心为，半径为. (2)两圆外切 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断. 【详解】（1）由圆可得， 圆的标准方程为， 其圆心为，半径为. （2）圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 因为圆心距， 所以两圆外切. 【题型02】求两圆的交点坐标 【典例2-1】圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案. 【详解】由,可得，即， 代入，解得或， 故得或, 所以两圆的交点坐标为和, 故选:C 【变式2-1】已知平面直角坐标系中，，若是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点的坐标是___________. 【答案】 【分析】分别点为圆心，为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案. 【详解】解：如图，分别以点为圆心，为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点. 因为， 所以以点为圆心，为半径的圆的方程为； 以点为圆心，为半径的圆的方程为. 联立方程，解得（负舍）， 所以点的坐标是 故答案为： 【变式2-2】证明下列两圆相切，并求出切点坐标：，． 【答案】两圆相外切，证明见解析，切点为. 【分析】求出两圆的圆心的坐标以及半径根据圆心距与半径的关系即可判断两圆的位置关系，然后联立两圆的方程即可求出切点坐标. 【详解】，所以圆心为，半径为； ，所以圆心为，半径为； 所以两圆心间的距离为，且，因此，故两圆相外切； ，解得，故切点为. 【变式2-3】（1）判断圆与圆的位置关系； （2）证明圆与圆外切，并求出切点坐标. 【答案】（1）圆内含于圆；（2）证明见解析，切点为 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再计算圆心距与半径和（差）比较，即可判断； （2）首先将圆的方程化为标准式，得到圆心坐标与半径，再计算圆心距与半径和比较，即可证明，再两圆方程作差得到直线方程，联立直线与圆的方程，即可求出切点坐标； 【详解】解：（1）圆，即圆，圆心，半径； 圆，即圆，圆心，半径， 所以，所以，所以两圆内含，即圆内含于圆； （2）证明：圆①，即圆，圆心，半径； 圆②，即圆，圆心，半径， 所以，所以，所以两圆相外切； ①②得，即， 则，解得，即切点坐标为 【题型03】由圆的位置关系确定参数或范围 【典例3-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知与圆外切，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据求得. 【详解】由题意可知，，半径；，半径， 因为两圆外切，所以，得. 故选：B 【变式3-1】（多选）（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用两圆相离和内含列式求出的范围即可判断. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或. 故选：AD 【变式3-2】若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据两圆的位置关系，结合圆心距、两圆半径和差之间的关系进行求解即可. 【详解】由已知得，半径，，半径. 因为，两圆没有公共点， 所以两圆的位置关系为外离或内含， 所以或， 即或， 所以或，即或或. 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式3-3】（25-26高二上·广东清远·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用两点距离公式列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题设，结合相交条件下列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题意，设，则， 所以，则， 所以圆心，半径为，故圆的标准方程为； （2）由，，则，    又圆、圆相交且半径分别为、，则， 所以. 【题型04】由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例4-1】以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 【变式4-1】过两圆与的交点和点的圆的方程是_______________. 【答案】 【分析】设过两圆交点的圆系方程，代入即可求得结果. 【详解】设所求圆的方程为： 将代入得： 所求圆的方程为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查过两圆交点的圆系方程的求解问题，属于基础题. 【变式4-2】经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为__________. 【答案】 【分析】由已知圆心坐标及切点确定圆心在直线，又由圆过两点得圆心在直线上，从而得出圆心坐标和半径，得圆标准方程． 【详解】由题意已知圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所求圆与圆切于原点，则圆心在直线上，设圆心为， 又圆过点及原点，所以圆心在直线上，即，， 所以圆方程为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆外切于点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得圆圆心，再由满足圆的方程，得到点在圆上，利用切线的性质，求得直线的斜率，进而求得直线的方程； （2）设圆的圆心坐标为，半径为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程. 【详解】（1）由圆，可化为， 可得圆心，半径为， 又由点满足圆的方程，可得点在圆上， 因为直线过点与圆相切，所以， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）设圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆经过点，且与圆外切于点， 可得，解得， 所以圆的方程为. 【题型05】相交圆的公共弦方程 【典例5-1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简圆的方程为一般式方程，两圆的方程相减，即可求解. 【详解】由圆的方程，可化为， 联立方程组，两圆的方程相减，可得， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两圆的一般式作差，即可得到两圆公共弦所在的直线方程. 【详解】已知圆与圆， 由两圆的一般式作差可得：， 所以两圆公共弦所在直线的方程为. 故选：B 【变式5-2】（25-26高二上·广东·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为________. 【答案】 【分析】将圆的方程作差即可求得公共弦方程. 【详解】两圆方程相减得到，即. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【详解】（1）经过点与点的直线方程为 ． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 【题型06】两圆的公共弦长 【典例6-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用两圆方程相减可得公共弦方程，再利用一个圆心到公共弦的距离来求弦长即可. 【详解】由圆：可得圆心，半径， 由圆：和圆：方程相减可得公共弦的直线方程：， 由圆心到公共弦的距离为：， 所以公共弦长为， 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为__________. 【答案】 【分析】两个圆的方程相减，得到相交弦所在的直线方程，结合点到直线距离公式、圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】两圆为① ，② ， ②-①可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为点，半径为， 圆心到公共弦的距离为公共弦的长为. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 【答案】 【分析】两圆相减，求出相交弦所在直线方程，圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆与圆， 两圆的方程相减，得， 即为直线的方程， 的圆心到距离为， 所以 故答案为： 【变式6-3】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据已知条件求得，从而求得圆的标准方程. （2）先求得两圆公共弦所在直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得公共弦长. 【详解】（1）设圆， 由题意得 得 所以圆的标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆相交. 由，两式相减得， 则圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以圆与圆的公共弦长为. 【题型07】圆的公切线条数 【典例7-1】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 【变式7-1】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 【变式7-2】（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）圆：与圆：的公切线条数为________. 【答案】0 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与两圆半径之间的关系得到两圆内含，其公切线条数为0. 【详解】由题意可知两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为4，10， 由于，所以两圆内含，其公切线条数为0. 故答案为：0 【变式7-3】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)判断圆与圆的位置关系，写出两圆公切线的条数. 【答案】(1)； (2)相交，两条公切线. 【分析】（1）根据圆心到直线的距离求解直线方程； （2）根据圆心距与半径和差的关系判断两圆位置关系，确定公切线条数. 【详解】（1）圆可化为， 圆心，半径， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，不合题意； 若直线的斜率存在，设为，则直线，即， 圆心到直线的距离，若直线与圆相切，则， 解得，所以直线的方程为，即. （2）圆可化为，圆心，半径， 因为，所以， 所以两圆相交，公切线有两条. 【题型08】圆的公切线方程 【典例8-1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 【变式8-1】（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 【变式8-2】（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【答案】，，，(写一条即可） 【分析】设公切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即得答案. 【详解】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得：， 解得：或或或， 故公切线方程为：，，，. 故答案为：，，，（写一条即可）. 【变式8-3】（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【答案】(1) (2)圆与圆外切，. 【分析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为，线段的中垂线方程为，与已知直线联立，解得圆心，计算，得到半径； （2）圆心距，恰好等于两圆半径之和，因此两圆外切；设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：解得三组解即得. 【详解】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. （2）由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 【题型09】圆的公切线长 【典例9-1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 【变式9-1】（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【变式9-2】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 【变式9-3】已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 知识点01知识点前置铺垫 在平面直角坐标系中，判断两个圆的位置关系，主流方法为几何法（圆心距判定法），为人教版选必一核心考点，适用于所有考试题型。 设两圆标准方程： 圆 圆 圆心分别为： 两圆圆心距公式（微软标准公式）： 知识点02两圆五种位置关系（几何法判定·必背） 令 为圆心距， 为半径和， 为半径差的绝对值，五种位置关系一一对应，无重叠、无遗漏。 1. 两圆外离 判定条件： 几何特征：无公共点，两圆相互独立、完全分开 2. 两圆外切 判定条件： 几何特征：有且仅有1个公共点（外切点） 3. 两圆相交（高频考点） 判定条件： 几何特征：有2个不同公共点，存在公共弦 4. 两圆内切 判定条件： 几何特征：有且仅有1个公共点（内切点），小圆在大圆内部相切 5. 两圆内含 判定条件： 几何特征：无公共点，一圆完全包含在另一圆内部 知识点03标准解题四步骤（满分答题模板） 适配人教版解答题规范，步骤完整、不扣分： 步骤1：定参数 从圆的标准方程中提取圆心坐标、半径； 步骤2：算圆心距 代入距离公式计算 ； 步骤3：求临界值 计算 、； 步骤4：判关系 结合大小关系，确定两圆位置关系。 知识点04核心考点汇总表格 位置关系 判定公式 公共点个数 核心特征 外离 0 两圆相离无交点 外切 1 外侧单点相切 相交 2 存在公共弦 内切 1 内侧单点相切 内含 0 一圆完全包含 知识点05高频易错点 易错1：内切、内含判定忘记加绝对值，导致半径差为负，判定错误。 易错2：相交条件为双向不等式，必须同时满足大于半径差、小于半径和，缺一不可。 易错3：两圆半径相等时，无内切、内含关系，仅存在外离、外切、相交。 易错4：混淆两类相切： 外切， 内切。 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】判断两圆的位置关系，可得出两圆的公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ，，所以两个圆相交， 所以圆与圆的公切线条数为条. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求公共弦长. 【详解】设圆，圆， 圆，其圆心，半径； 圆，其圆心，半径； 则，即，可知两圆相交， 用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长是. 故选：D. 3．（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得交点坐标. 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 4．（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与两圆的半径和差比较可得答案 【详解】由，得， 所以圆的圆心，半径， 由，得， 所以圆的圆心，半径， 所以， 所以两圆内切， 故选：A 5．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 6．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 7．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 8．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【答案】C 【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D. 【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.    故选：C 二、多选题 9．（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）已知圆，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的轨迹是一条直线 B．直线与圆可能不相交 C．圆与圆至多只有一个公共点 D．若直线与圆相交，则其相交弦的弦长最大值为2 【答案】ACD 【分析】求得圆心满足直线，可判断A；根据直线与圆的位置关系计算可判断B；根据圆与圆的位置关系计算可判断C；当直线过圆心时，弦长最长，计算是否存在实数，满足条件判断D. 【详解】对于A，圆的圆心，半径， 因为圆心满足直线， 所以圆心的轨迹是一条直线，故A正确； 对于B，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，圆的圆心为，半径， 因为， 因为，即， 所以圆与圆外切或相离， 所以圆与圆至多只有一个公共点，故C正确； 对于D，直线过圆圆心时，弦长最长， 所以， 当时，即时，方程不成立， 所以， ， 因为，所以，解得， 所以当时，存在实数，使得直线过圆圆心， 故直线与圆相交时，则其相交弦的弦长最大值为2，故D正确. 10．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）点在圆上，点在圆上，则下列说法正确的是（   ） A．圆，圆有两条公切线 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】先把两个圆的方程都转化成标准形式，得出圆心坐标和半径大小，再算圆心距，并判断位置关系，求的最值，及圆心连线斜率，最后逐一判断选项即可． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，即， 所以圆心，半径， 则， 所以两圆相离，有四条公切线，A错误． 的最大值：的最大值为7，B正确； C.选项：两圆心连线斜率,C正确． D.选项：两圆外离，无相交弦，故方程不存在，D错误． 11．（25-26高二下·河南周口·期末）已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 【答案】AD 【分析】对于A，利用切线过且和垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误. 【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误； 对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误； 对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高二上·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可得到不等式组，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 又点与的距离， 因为圆与圆相交， 所以，即，即，解得； 所以的取值范围为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 13．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由两圆相交可得，结合条件即可解得的取值范围. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， 且， 由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为， 故答案为：. 14．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 四、解答题 15．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【答案】(1) 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径； 于是，即， 所以圆与圆相交. (2). 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证. （2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程. 【详解】（1）略 （2）由，得， 将代入圆得：，当时，；当时，， 则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为， 而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为. 16．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知圆过原点，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长． 【答案】(1) (2)相交，且公共弦长为 【分析】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【详解】（1）圆过原点，，① 圆与直线相切，，② 联立①②，解得，， 圆的方程为． （2）圆的圆心，半径． 则，，， ，圆与圆相交． 将圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 17．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆 圆 (1)若圆C₁与圆C₂恰有三条公切线，求实数a的值； (2)设a = 2时，圆C₁与圆C₂相交于A、B两点，求|AB|. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）因圆与圆恰有3条公切线，所以两圆外切，由两圆外切可得实数的值. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【详解】（1）因圆与圆恰有3条公切线，所以两圆外切， 又因为圆：，所以圆心，半径， 同理，圆：，圆心，半径， 所以圆心距， 由，得， 解得或. （2）当时，圆：，其圆心为,半径为， 圆：，其圆心为，半径为， 则两圆的圆心距，即两圆相交， 将两圆方程相减得，即两圆的公共弦所在直线方程， 所以圆心到直线的距离为：， 且半径，则. 18．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【详解】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 19．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】(1) 证明：圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，因为，故两圆相交. (2) (3) 【分析】（1）根据几何法证明两圆相交； （2）根据两圆相减计算得到公共弦所在直线的方程； （3）根据经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆，计算圆心和半径即可得到结果； 【详解】（1）略 （2）将两圆方程相减得， 化简得，即， 所以两圆公共弦所在直线的方程. （3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆 联立两圆方程，由公共弦方程得， 代入圆方程：，解得交点， 中点（圆心）坐标为， 半径为， 故圆方程为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 圆与圆的位置关系（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：两圆位置关系的判断 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断圆与圆的位置关系 题型02：求两圆的交点坐标 题型03：由圆的位置关系确定参数或范围 题型04：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型05：相交圆的公共弦方程 题型06：两圆的公共弦长 题型07：圆的公切线条数 题型08：圆的公切线方程 题型09：圆的公切线长 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】两圆位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： 利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系，应优先使用几何法． 【例1】已知两圆方程 ，，判断两圆的位置关系。 【题型01】判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【变式1-1】（25-26高二·全国·寒假作业）（多选）圆和圆的位置关系不可能是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1-2】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）圆与圆的位置关系为______. 【变式1-3】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）已知圆，圆，求： (1)圆的标准方程，以及圆心的坐标和半径； (2)圆与圆的位置关系. 【题型02】求两圆的交点坐标 【典例2-1】圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【变式2-1】已知平面直角坐标系中，，若是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点的坐标是___________. 【变式2-2】证明下列两圆相切，并求出切点坐标：，． 【变式2-3】（1）判断圆与圆的位置关系； （2）证明圆与圆外切，并求出切点坐标. 【题型03】由圆的位置关系确定参数或范围 【典例3-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知与圆外切，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 【变式3-1】（多选）（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【变式3-2】若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 【变式3-3】（25-26高二上·广东清远·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 【题型04】由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例4-1】以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【变式4-1】过两圆与的交点和点的圆的方程是_______________. 【变式4-2】经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为__________. 【变式4-3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆外切于点，求圆的方程. 【题型05】相交圆的公共弦方程 【典例5-1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·广东·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为________. 【变式5-3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【题型06】两圆的公共弦长 【典例6-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式6-1】（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为__________. 【变式6-2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 【变式6-3】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长. 【题型07】圆的公切线条数 【典例7-1】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-2】（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）圆：与圆：的公切线条数为________. 【变式7-3】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)判断圆与圆的位置关系，写出两圆公切线的条数. 【题型08】圆的公切线方程 【典例8-1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【变式8-3】（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【题型09】圆的公切线长 【典例9-1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【变式9-1】（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【变式9-2】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【变式9-3】已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 知识点01知识点前置铺垫 在平面直角坐标系中，判断两个圆的位置关系，主流方法为几何法（圆心距判定法），为人教版选必一核心考点，适用于所有考试题型。 设两圆标准方程： 圆 圆 圆心分别为： 两圆圆心距公式（微软标准公式）： 知识点02两圆五种位置关系（几何法判定·必背） 令 为圆心距， 为半径和， 为半径差的绝对值，五种位置关系一一对应，无重叠、无遗漏。 1. 两圆外离 判定条件： 几何特征：无公共点，两圆相互独立、完全分开 2. 两圆外切 判定条件： 几何特征：有且仅有1个公共点（外切点） 3. 两圆相交（高频考点） 判定条件： 几何特征：有2个不同公共点，存在公共弦 4. 两圆内切 判定条件： 几何特征：有且仅有1个公共点（内切点），小圆在大圆内部相切 5. 两圆内含 判定条件： 几何特征：无公共点，一圆完全包含在另一圆内部 知识点03标准解题四步骤（满分答题模板） 适配人教版解答题规范，步骤完整、不扣分： 步骤1：定参数 从圆的标准方程中提取圆心坐标、半径； 步骤2：算圆心距 代入距离公式计算 ； 步骤3：求临界值 计算 、； 步骤4：判关系 结合大小关系，确定两圆位置关系。 知识点04核心考点汇总表格 位置关系 判定公式 公共点个数 核心特征 外离 0 两圆相离无交点 外切 1 外侧单点相切 相交 2 存在公共弦 内切 1 内侧单点相切 内含 0 一圆完全包含 知识点05高频易错点 易错1：内切、内含判定忘记加绝对值，导致半径差为负，判定错误。 易错2：相交条件为双向不等式，必须同时满足大于半径差、小于半径和，缺一不可。 易错3：两圆半径相等时，无内切、内含关系，仅存在外离、外切、相交。 易错4：混淆两类相切： 外切， 内切。 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 3．（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 5．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 二、多选题 9．（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）已知圆，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的轨迹是一条直线 B．直线与圆可能不相交 C．圆与圆至多只有一个公共点 D．若直线与圆相交，则其相交弦的弦长最大值为2 10．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）点在圆上，点在圆上，则下列说法正确的是（   ） A．圆，圆有两条公切线 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 11．（25-26高二下·河南周口·期末）已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 三、填空题 12．（25-26高二上·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______． 13．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 14．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 四、解答题 15．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 16．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知圆过原点，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长． 17．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆 圆 (1)若圆C₁与圆C₂恰有三条公切线，求实数a的值； (2)设a = 2时，圆C₁与圆C₂相交于A、B两点，求|AB|. 18．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 19．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $