第12讲 直线与圆的位置关系（培优讲义）新高二数学人教A版

第12讲 直线与圆的位置关系（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 直线与圆的位置关系 2 知识点02 弦长的两种求解方法 3 知识点03 直线与圆相切 4 知识点04 圆上点到直线的最大、最小距离 5 剖题型·讲技巧 6 题型1 判断直线与圆的位置关系 6 题型2 由直线与圆的位置关系求参数 8 题型3 由直线与圆的位置关系求距离最值 10 题型4 求圆的切线方程 12 题型5 与切线长有关的问题 15 题型6 弦长问题 18 释疑惑·重难拓展 20 题型1 与圆结合的数形结合求范围最值 20 题型2 圆中的韦达定理——设而不求思想 24 知高考•真题探源 30 练好题·提分培优 35 课标要点 1．掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，会用几何距离、判别式两种方法判定。 2．熟练运用几何法、代数法计算圆的弦长，掌握对应计算公式与特殊直线处理方式。 3．能根据点和圆的位置求切线方程，牢记切线相关结论与切线长求解思路。 4．会结合圆心距、半径，求解圆上点到直线的最大、最小距离。 知识点01 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 练习 1．直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点02 弦长的两种求解方法 1.几何法（最常用） 设直线被圆截得弦，圆半径为，圆心到直线距离为，半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，满足勾股定理： 2.代数法 设斜率为的直线与圆交于、两点： 弦长公式： 特殊情况： 1.（直线水平）： 2.斜率不存在（直线竖直）： 解题思路：联立直线与圆方程，消元得到一元二次方程，结合韦达定理求出两根之差后代入公式计算弦长。 练习 3．已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 知识点03 直线与圆相切 1.点与圆位置关系决定切线条数 ①点在圆内：无切线，无法作出圆的切线； ②点在圆上（切点）：仅有1条切线； ③在圆外：存在2条切线，解题需考虑切线斜率不存在的特殊情况。 2.过圆上一点求切线方程 （1）计算圆心与切点连线的斜率； （2）分类讨论： ①连线斜率不存在：切线方程为； ②连线斜率：切线方程为； ③斜率存在且不为0：切线与连心线垂直，切线斜率为，用点斜式写出切线方程。 3.过圆外一点求切线方程 设切线斜率为，切线方程：，两种解法： ①几何法：利用圆心到切线距离等于半径，列方程解出； ②代数法：将切线方程代入圆方程，整理为一元二次方程，由判别式（相切仅有一个交点）求解。 4.切线长公式 过圆外一点作圆的切线，连接该点、圆心、切点构成直角三角形，利用勾股定理可求出切线长度。 练习 5．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 知识点04 圆上点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线距离为，圆半径为，分三种位置讨论： 1.直线与圆相离：最大距离：，最小距离：； 2.直线与圆相切：最大距离：，最小距离：； 3.直线与圆相交：最大距离：，最小距离：。 练习 7．圆上的点到直线的最小距离是______. 题型1 判断直线与圆的位置关系 【例1】已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【例2】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式1-1】已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式1-3】已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 题型2 由直线与圆的位置关系求参数 方法技巧 1.根据相交、相切、相离的位置关系，列出与的等式或不等式，求解参数取值； 2.直线含参数斜率时，必须单独讨论斜率不存在的竖直线，防止出现漏解情况； 3.若使用代数法求解，结合的取值范围列不等式，注意保证二次项系数不为0。 【例3】若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【例4】若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【变式2-2】已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 题型3 由直线与圆的位置关系求距离最值 【例5】圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【例6】已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3-1】圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【变式3-2】已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型4 求圆的切线方程 【例7】已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【例8】已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【变式4-1】过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【变式4-2】已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【变式4-3】已知的三个顶点分别是，，． (1)求的外接圆的方程； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 题型5 与切线长有关的问题 【例9】若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【例10】已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式5-1】已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【变式5-2】过点与圆相切的两条直线的切点分别为，则___________． 【变式5-3】过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 题型6 弦长问题 【例11】已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【例12】已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【变式6-2】已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】（数学终极押题猜想02（北京专用））已知坐标原点O，直线与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 释疑惑·重难拓展 题型1 与圆结合的数形结合求范围最值 方法技巧 1.距离型最值：转化为圆心到定点、定直线的距离，结合半径加减求解最值； 2.斜率型最值：定点与圆上点连线的斜率最值，对应圆的两条切线斜率； 3.截距型最值：平移直线，直线与圆相切时，截距取得最大、最小值； 【例1】曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2（多选）已知点是圆上一点，其中，则（    ） A．圆C与轴相交 B． b的最大值是5 C．的最小值是 D．的最小值是 【变式1-1】（多选）已知圆，点是圆上的任意一点，则以下说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式1-2】已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【变式1-3】已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型2 圆中的韦达定理——设而不求思想 【例3】已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【例4】已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 【变式2-1】已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知直线与圆相交于两点. (1)若，求的值； (2)为坐标原点，求. 【变式2-3】已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 6．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 一、单选题 1．若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 2．直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 3．若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 4．已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 6．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 7．若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 三、填空题 10．若直线与圆只有一个公共点，则______． 11．已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 12．已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 四、解答题 13．已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 14．直线与直线垂直，且经过点. (1)求的方程； (2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (3)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 15．已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 16．已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 直线与圆的位置关系（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 直线与圆的位置关系 2 知识点02 弦长的两种求解方法 3 知识点03 直线与圆相切 4 知识点04 圆上点到直线的最大、最小距离 5 剖题型·讲技巧 6 题型1 判断直线与圆的位置关系 6 题型2 由直线与圆的位置关系求参数 8 题型3 由直线与圆的位置关系求距离最值 10 题型4 求圆的切线方程 12 题型5 与切线长有关的问题 15 题型6 弦长问题 18 释疑惑·重难拓展 20 题型1 与圆结合的数形结合求范围最值 20 题型2 圆中的韦达定理——设而不求思想 24 知高考•真题探源 30 练好题·提分培优 35 课标要点 1．掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，会用几何距离、判别式两种方法判定。 2．熟练运用几何法、代数法计算圆的弦长，掌握对应计算公式与特殊直线处理方式。 3．能根据点和圆的位置求切线方程，牢记切线相关结论与切线长求解思路。 4．会结合圆心距、半径，求解圆上点到直线的最大、最小距离。 知识点01 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 练习 1．直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 2．已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 知识点02 弦长的两种求解方法 1.几何法（最常用） 设直线被圆截得弦，圆半径为，圆心到直线距离为，半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，满足勾股定理： 2.代数法 设斜率为的直线与圆交于、两点： 弦长公式： 特殊情况： 1.（直线水平）： 2.斜率不存在（直线竖直）： 解题思路：联立直线与圆方程，消元得到一元二次方程，结合韦达定理求出两根之差后代入公式计算弦长。 练习 3．已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 4．直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 【答案】 【详解】曲线的方程可化为，是一个圆， 其圆心为，半径， 直线即到圆心的距离， 则弦长. 知识点03 直线与圆相切 1.点与圆位置关系决定切线条数 ①点在圆内：无切线，无法作出圆的切线； ②点在圆上（切点）：仅有1条切线； ③在圆外：存在2条切线，解题需考虑切线斜率不存在的特殊情况。 2.过圆上一点求切线方程 （1）计算圆心与切点连线的斜率； （2）分类讨论： ①连线斜率不存在：切线方程为； ②连线斜率：切线方程为； ③斜率存在且不为0：切线与连心线垂直，切线斜率为，用点斜式写出切线方程。 3.过圆外一点求切线方程 设切线斜率为，切线方程：，两种解法： ①几何法：利用圆心到切线距离等于半径，列方程解出； ②代数法：将切线方程代入圆方程，整理为一元二次方程，由判别式（相切仅有一个交点）求解。 4.切线长公式 过圆外一点作圆的切线，连接该点、圆心、切点构成直角三角形，利用勾股定理可求出切线长度。 练习 5．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 6．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 知识点04 圆上点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线距离为，圆半径为，分三种位置讨论： 1.直线与圆相离：最大距离：，最小距离：； 2.直线与圆相切：最大距离：，最小距离：； 3.直线与圆相交：最大距离：，最小距离：。 练习 7．圆上的点到直线的最小距离是______. 【答案】1 【详解】圆的圆心为，半径为2， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最小距离是. 题型1 判断直线与圆的位置关系 【例1】已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 【例2】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为，所以与圆相离． 【变式1-1】已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】集合A表示以原点为圆心，半径为1的圆上满足的所有点的集合， 集合B表示直线上的所有点的集合， 结合图形可知，两者交于两点,即的元素个数为2. 【变式1-2】已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 【变式1-3】已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【答案】C 【详解】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 题型2 由直线与圆的位置关系求参数 方法技巧 1.根据相交、相切、相离的位置关系，列出与的等式或不等式，求解参数取值； 2.直线含参数斜率时，必须单独讨论斜率不存在的竖直线，防止出现漏解情况； 3.若使用代数法求解，结合的取值范围列不等式，注意保证二次项系数不为0。 【例3】若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. 【例4】若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的方程为，圆心坐标为， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为 ， 因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1， 所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即， 即， 则半径的取值范围是. 【变式2-1】若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【答案】2或 【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，化简得，即或. 【变式2-2】已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 因为，所以， 因为，等号成立时，所以， 得， 则该圆面积的最小值为. 【变式2-3】若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 题型3 由直线与圆的位置关系求距离最值 【例5】圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 【例6】已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 【变式3-1】圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 【变式3-2】已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 【变式3-3】在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由得：， 即， 化简可得：，即点轨迹方程为， 直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 点到直线距离最小值为. 故选：D 题型4 求圆的切线方程 【例7】已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【例8】已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【详解】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 【变式4-1】过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 【变式4-2】已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 【变式4-3】已知的三个顶点分别是，，． (1)求的外接圆的方程； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】 【详解】（1）设圆M的方程为，将，，三点代入得： ，所以圆的方程为， 标准方程为. （2）由光的反射性质知，经轴反射后的光线所在直线过点， 点关于轴的对称点， 由（1）知圆的标准方程为：. 当斜率不存在时，直线方程为与圆不相切， 设反射光线所在的直线方程为，即， 于是，解得， 所以反射光线所在的直线方程为或． 题型5 与切线长有关的问题 【例9】若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 【例10】已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 【变式5-1】已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则， 所以切线长为. 【变式5-2】过点与圆相切的两条直线的切点分别为，则___________． 【答案】/ 【详解】将圆化为标准方程得到， 所以圆心，半径 ， 则. 在直角三角形中，， 所以； 同时，代入得到. 故答案为：. 【变式5-3】过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 四边形周长为， 当共线且按此顺序排列时，， 则四边形周长最大值为16， 故选：B. 题型6 弦长问题 【例11】已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 【例12】已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 【变式6-1】过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 【点睛】方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于；最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为（为圆心到定点的距离）. 【变式6-2】已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 【变式6-3】（数学终极押题猜想02（北京专用））已知坐标原点O，直线与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆：的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 设，则， 由余弦的二倍角公式得：. 释疑惑·重难拓展 题型1 与圆结合的数形结合求范围最值 方法技巧 1.距离型最值：转化为圆心到定点、定直线的距离，结合半径加减求解最值； 2.斜率型最值：定点与圆上点连线的斜率最值，对应圆的两条切线斜率； 3.截距型最值：平移直线，直线与圆相切时，截距取得最大、最小值； 【例1】曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 最终的曲线如图一 ， 可以理解为点到直线的距离， 是上一点，所以原题等价于求上一点到直线的距离的最小值， 观察图象得在第一象限的部分到直线的距离更近， 对第一象限的圆弧，过圆心作的垂线，垂线长， 到的距离的最小值， 所以的最小值为. 【例2（多选）已知点是圆上一点，其中，则（    ） A．圆C与轴相交 B． b的最大值是5 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BD 【详解】圆，可化为，故圆心，半径， 对于A，圆心到轴的距离，则圆C与轴相离，故A错误； 对于B，点在圆上，则， ，解得，即b的最大值是5，故B正确； 对于C，令，即，又点在圆上， 所以，解得，则的最小值是，故C错误； 对于D，因为圆心到原点的距离为， 所以的最小值是，故D正确． 故选：BD． 【变式1-1】（多选）已知圆，点是圆上的任意一点，则以下说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为1， 设，则，又点是圆C上的任意一点， 所以，解得， 所以的最大值为，最小值为，故A正确； 设，， 则， 当时，取最大值，故B错误； 表示点P到点的距离， 因为圆心到点的距离为， 故的最大值为，最小值为，故C错误； ，表示点P到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离为， 故点P到直线距离的最小值为， 故的最小值为，故D正确. 故选：BC 【变式1-2】已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 【变式1-3】已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分. 到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍. 又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为； 过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点， 所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为， 故的取值范围为. 题型2 圆中的韦达定理——设而不求思想 【例3】已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】 【详解】（1）将圆的一般方程配方得：， 所以圆心， 因为圆心在直线上，代入得：，得， 将代入原方程，得圆C的方程为：， 配方为标准方程：. （2）假设存在斜率为1的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点，所以， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 所以，即， 代入得：， 化简得：，解得或.且满足， 故存在这样的直线，方程为或. 【例4】已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由圆心在直线上，设， 由题意可得， 即， 化简可得：，即， 则， 故圆的半径为， 则圆的方程为 （2）设， 联立直线与圆方程， 得， 消去化简可得， 由韦达定理可得：， 因为以弦为直径的圆过点， 所以，即， ， 所以， 代入， 化简可得：， 代入韦达定理可得： ， 化简得：， 解得或 即直线方程为或， 故直线的斜率为或. 【变式2-1】已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则，， 由，消去整理得， 则， 所以，， 则 ， 所以，解得. 故选：B 【变式2-2】已知直线与圆相交于两点. (1)若，求的值； (2)为坐标原点，求. 【答案】(1)或； (2)2 【分析】 【详解】（1）解法一： （1）将将与圆的方程联立， 化简得： 由解得或 设直线与圆两交点分别为， 由韦达定理，， ， 解得或； 解法二： （1）圆的标准方程为， 则圆心为，半径且 直线即， 则圆心到直线的距离 根据垂径定理可得：， 即 所以或； （2）解法一： 由（1）知， 其中， 即， 代入韦达定理结果：， 所以的值为2； 解法二： 设点为的中点，由向量的坐标运算可得 ， 所以. 【变式2-3】已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】 【详解】（1）因为直线与轴相交于点, 设圆心， 则或（舍）． 所以圆的方程为． （2）当直线轴时，轴平分； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若轴平分， 则， 即， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 解得， 所以当点为时，能使得总成立． 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      5．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 6．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 一、单选题 1．若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【答案】C 【详解】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离， 解得或. 2．直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 3．若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. 4．已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】圆，圆心，圆的半径． 若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直， 由几何关系可知，此时，即， 即，解得或（舍）． 5．已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 6．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 7．若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 即表示圆的上半部分（包含与轴交点）， 由圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图可知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为2，且， 则直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于2，到的距离小于等于2， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 二、多选题 8．已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 所以直线的方程为或. 9．已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【详解】整理圆方程可得，因此圆心，半径. 选项A，整理直线的方程可得：， 令，解得，即直线恒过定点， A正确. 选项B，由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离： ， 解得：，B正确. 选项C，如图所示，当时，直线， 则圆心到直线的距离为：. ，C错误.    选项D，如图所示，从点向圆引切线，设一个切点为，连接、，则， 切线长， 因此当且仅当最小时最小，， 代入得：，D正确.    三、填空题 10．若直线与圆只有一个公共点，则______． 【答案】或 【详解】由圆，得，圆心为，半径为， 因为直线与圆只有一个公共点， 所以到直线的距离等于，即，解得或． 故答案为：或． 11．已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 【答案】/ 【详解】由点，线段为的一条直径，得， 的半径， 由两条切线的斜率均存在，设切线方程为，则， 整理得，因此是方程的两个根， 所以. 12．已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 【答案】0或. 【详解】由圆知，，半径. 由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和， 根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离. 根据点到直线的距离公式知，，所以， 平方整理得，即，解得或. 四、解答题 13．已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2或 【分析】 【详解】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 14．直线与直线垂直，且经过点. (1)求的方程； (2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (3)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. （2）圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. （3）设线段MN中点的坐标为，，则，即 因为点在圆上运动，所以， 所以， 即，所以线段MN中点的轨迹方程为. 15．已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 （2）因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 16．已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】 【详解】（1）因为圆位于轴右侧，且与轴相切于点，所以圆心在直线上， 如图所示：连接，作垂直于轴，垂足为， 又因为圆被轴分成的两段弧之比为，所以， 故，可得圆心的坐标为，半径为2. 所求圆的方程为：. （2）当直线的斜率为0时，则直线的方程为， 代入圆的方程得，解得， 不妨设,又, 则， 所以，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立，消去得， 即， 即. ，解得或. 设，， 则， 所以， 即， 即， 即， 故， 即，即， 所以， 即，解得或，均满足或. 综上所述，直线的方程为或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $