第14讲 圆与圆的位置关系（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第14讲 圆与圆的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 圆与圆的位置关系及判定 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 【知识点1 圆与圆的位置关系及判断方法】 1．圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. 2．圆与圆的位置关系的判定方法 (1)利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 (2)代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．内含 【答案】B 【解题思路】先将两圆方程化为标准方程，从而得到两圆的圆心坐标和半径，再计算圆心距，最后根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系. 【解答过程】圆的方程化为标准方程：，圆心为，半径； 圆的方程化为标准方程：，圆心为，半径； 圆心距为：， ，. 因为，即，所以两圆相交. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【解题思路】求出两圆的圆心距及两圆的半径，通过比较圆心距与两圆半径之和、半径之差的大小关系来判断两圆的位置关系. 【解答过程】圆的圆心坐标，半径；圆的圆心坐标，半径. 圆心距：，又，所以，故两圆外离. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）圆与圆的位置关系为（　　） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【解题思路】根据圆的方程确定圆心和半径，再应用圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系. 【解答过程】由题意，，， 所以两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为4，10， 由，所以两圆内含. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】B 【解题思路】分别求出两个圆的圆心和半径，再判断两个圆的位置关系. 【解答过程】圆的圆心为半径为 ，圆的圆心为半径为， 则 ，， 因为 ，所以圆与圆相交. 故选：B. 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解题思路】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【解答过程】方法一：如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为：. 故选：D. 【变式2-1】（2026高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【解答过程】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两圆相交的判断方法得到不等式组，解出即可. 【解答过程】由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，． 若圆和圆相交，则，解得或． 故选：C． 【变式2-3】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 【答案】A 【解题思路】分别求出两圆的圆心坐标和半径，，由两圆外切，可得，代入数据，即可得答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 所以，解得. 故选：A. 模块三 两圆的公切线 【知识点2 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型3 两圆的公切线长】 【例3】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆与圆外切，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先根据圆的一般方程得出圆心及半径，再根据圆与圆的位置关系列式计算求参即可. 【解答过程】已知圆的圆心及半径为， 圆的圆心及半径为， 又圆与圆外切，则，所以. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·山东德州·期中）已知圆：与圆：有公共点，则实数a的可能取值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】由圆心距和半径和差的关系构造不等式求解即可. 【解答过程】，圆心，半径为1， ，圆心为，半径为， 因为两圆有公共点， 所以， 解得， 结合选项只有B符合， 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【解题思路】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【变式3-3】（2026·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为____________. 【答案】4 【解题思路】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【解答过程】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【题型4 求两圆的公切线方程】 【例4】（2026·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ， 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以， 整理得， 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【解答过程】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【变式4-3】（2026高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解 【解答过程】由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线.    两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为，A正确； 当时，切线方程为，即，B正确； 另两条切线与直线平行且相距为1，又由， 设切线，则，解得， 即切线方程分别为，； 整理可得两切线方程为和， 所以C正确，D不正确. 故选：D. 【题型5 两圆的公切线条数问题】 【例5】（25-26高二上·河南郑州·期中）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】确定两圆的圆心与半径，确定圆与圆的位置关系，从而确定公切线的条数. 【解答过程】，圆心，半径为2，圆，圆心，半径为3， 两圆的圆心距为，大于两圆的半径之和，故两圆相离， 则两圆的公切线有4条. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·江西南昌·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．6 B．4 C．36 D．16 【答案】D 【解题思路】由圆与圆有且仅有三条公切线，得到圆与圆外切，则有，计算求解即可. 【解答过程】，圆的半径为， ，圆的半径为， 圆与圆有且仅有三条公切线， 圆与圆外切， ，，. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·安徽淮南·期中）圆与的公切线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据圆与圆的位置关系即可判断公切线的条数. 【解答过程】由题意得圆的标准方程为，圆心为，半径； 圆的标准方程为，圆心为，半径． 因为， 所以，得到圆与圆相交，有2条公切线． 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知两圆相外切或相离，求出两圆的圆心和半径，可得，由此可求出的取值范围. 【解答过程】当圆和圆至少有3条公切线， 所以两圆相外切或相离， 圆的圆心， 圆的圆心， ，， 当两圆相外切时可得，则， 当两圆相离时可得：，则， 则，解得：，又因为，可得. 故选：C. 模块四 两圆的公共弦 【知识点3 两圆的公共弦问题】 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型6 相交圆的公共弦方程】 【例6】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出圆心，再判断两圆位置关系，将两圆方程相减可判断选项； 【解答过程】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为； 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【解答过程】即①，②， ①－②化简可得直线的方程为. 故选:A. 【变式6-2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将两个圆的方程相减可得直线的方程. 【解答过程】两圆和， 两圆方程相减可得：， 即相交弦所在的直线方程为， 故选：A. 【变式6-3】（25-26高二上·福建莆田·期中）若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用两圆方程相减即可得公共弦直线方程. 【解答过程】由两圆和圆方程相减， 可得公共弦的直线方程， 故选：C. 【题型7 两圆的公共弦长问题】 【例7】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）圆与圆的公共弦长为（   ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【解答过程】由，可得圆心的坐标为，半径， 由，可得圆心的坐标为，半径， 故，故圆与圆相交， 两圆方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为． 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案. 【解答过程】由题,圆，圆心 ，圆的半径为， 圆和圆的公共弦方程为 ，化简得. 又圆圆心到弦的距离为. 故弦长为. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·海南·阶段检测）圆和圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长. 【解答过程】由圆，得， 又圆，两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为， 又因为圆心到直线的距离， 故两圆公共弦长为． 故选：A． 【变式7-3】（25-26高二上·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差可得其公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离，由几何法求得弦长. 【解答过程】由，得两圆公共弦所在直线方程为. 圆心到直线的距离为. 所以公共弦长为. 故选：A. 模块五 圆系方程及其应用 【知识点4 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【题型8 圆系方程及其应用】 【例8】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据过两圆交点的圆系方程可设所求圆的方程为,把点代入方程,求出即可. 【解答过程】设所求的圆的方程为, 把点代入可得,, 解得,所以所求圆的方程为, 故选:A. 【变式8-1】（25-26高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用圆系方程可求圆的方程. 【解答过程】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【答案】 【解题思路】由已知，设所求的圆的方程为，再根据圆心在直线上，求得，代入即可得到所求圆的方程. 【解答过程】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为___________． 【答案】 【解题思路】利用圆系方程可求圆的方程. 【解答过程】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 模块六 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·广西·阶段检测）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】D 【解题思路】求出两圆的圆心距，再与两圆半径和差进行比较即可判断作答. 【解答过程】把圆的方程化成标准方程，得， 则圆的圆心是，半径. 把圆的方程化成标准方程，得， 则圆的圆心是，半径. 圆与圆的圆心距为. 圆与圆的两半径之和，两半径之差， 因为，即，所以圆与圆相交. 故选：D. 2．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，化简圆的方程为一般式方程，两圆的方程相减，即可求解. 【解答过程】由圆的方程，可化为， 联立方程组，两圆的方程相减，可得， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故选：A. 3．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解题思路】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解． 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆，外切，得，即， 所以. 故选：D. 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【解答过程】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A. 5．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将两个圆的方程相减，即可得到答案. 【解答过程】由题意得圆方程可化为， 将圆方程和圆方程相减， 即可得经过两圆交点的直线方程为. 故选：D. 6．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】将两圆方程化成标准方程，分别求出圆心和半径，由此判断两圆的位置关系，从而得到它们的公切线的条数. 【解答过程】由，得，所以圆心，半径为； 由，得，所以圆心，半径为. 所以. 因为，所以两圆相交. 所以它们有两条公切线. 故选：C. 7．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解题思路】把圆与圆的方程相减可得圆与圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，由弦长公式求得弦长． 【解答过程】圆的圆心，半径，圆圆心， 半径，圆的圆心，半径， ，因此圆与圆相交，将两圆方程相减得公共弦所在直线方程：， 圆心到直线的距离， 因此所求弦长为. 故选：A. 8．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】C 【解题思路】先求出两圆的圆心和半径，对A，判断出两圆的位置关系，即可求解；对B，两圆相减，即可求解；对C，利用圆的弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对D，连接，从而得，即可求解. 【解答过程】由，得，所以圆的圆心为，半径为， 由，得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，则，所以两圆相交， 则两圆有2条公切线，所以A正确， 对于B，由①，②，两式相减得， 即，所以B正确， 对于C，因为到直线的距离为，所以，故C错误， 对于D，连接，易知，则四边形的面积为， 由选项C知，，又，所以，故D正确， 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【解题思路】根据给定条件，利用两圆相离和内含列式求出的范围即可判断. 【解答过程】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或. 故选：AD. 10．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆与圆，则（    ） A．若圆与轴相切，则 B．若，则圆与圆相交 C．当时，两圆的公共弦长为 D．直线与圆始终有两个交点 【答案】BCD 【解题思路】A选项，先得到圆的圆心和半径，从而根据圆与轴相切得到方程，求出；B选项，求出两圆圆心距，满足，所以两圆相交，故B正确；C选项，两圆相减得到公共弦所在直线的方程，利用垂径定理得到公共弦长；D选项，求出直线所过定点坐标，判断出点在圆内，从而得到直线与圆始终有两个交点. 【解答过程】根据题意，圆，圆心为，半径， 圆， 即，圆心为，半径． 对于A，若圆与轴相切，则，则，故A错误； 对于B，若，圆的圆心为，两圆的圆心距为， ，因为，所以两圆相交，故B正确； 对于C，若，圆的方程为， 圆的方程为， ，圆与圆相交， 两圆方程相减得：，即两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离为1，则两圆的公共弦长，故C正确； 对于D，直线，即， 故直线恒过定点， 点到的距离为，即点在圆内， ∴直线与圆始终相交，有两个交点，故D正确． 故选：BCD. 11．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆O：和圆M：有两个公共点A，B，则下列结论正确的是（） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 【答案】AC 【解题思路】选项A：运用圆心距与半径比较确定两圆位置关系；选项B：由两圆方程相减求得两圆相交弦方程；选项C：运用两圆相交即可判断其公切线条数；选项D：运用弦长公式结合圆心到直线的距离与半径计算. 【解答过程】对于A，由圆：，可得其圆心为，半径， 圆：，配方得， 即该圆的圆心为，半径， 圆心距，由知两圆相交，故A正确； 对于B，将两圆方程左右相减得， 即，化简得，故B错误； 对于C，因两圆相交，则两圆有且仅有两条公切线，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离，则，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）圆和圆的公共弦所在的直线方程___________． 【答案】 【解题思路】将展开得一般式方程，与圆联立，即可得答案. 【解答过程】圆展开可得，即， 与圆联立可得，即， 所以两圆公共弦所在的直线方程为. 故答案为： . 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆与圆内切，则实数的值为___________. 【答案】7 【解题思路】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再根据内切得出圆心间距离等于半径差计算求解. 【解答过程】圆的圆心，半径为，圆圆心，半径为， 圆与圆内切，则，即， 实数的值为. 故答案为：7. 14．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）圆：与圆：相交于、两点，则两圆公共弦的长为___________. 【答案】4 【解题思路】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【解答过程】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：，即， 由圆：，可得，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）已知圆，圆，求： (1)圆的标准方程，以及圆心的坐标和半径； (2)圆与圆的位置关系. 【答案】(1)，圆心为，半径为. (2)两圆外切 【解题思路】（1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断. 【解答过程】（1）由圆可得， 圆的标准方程为， 其圆心为，半径为. （2）圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 因为圆心距， 所以两圆外切. 16．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）设圆心，根据圆心在直线上和切线的性质列出方程组得出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式得出半径即可求出圆的标准方程； （2）首先求出圆的公共弦方程，然后求出弦心距，最后利用勾股定理就可求解. 【解答过程】（1）设圆心， 由题意得，解得，，则半径， 故圆的标准方程为． （2）圆，圆心，半径． 两圆方程相减，得公共弦所在直线：． 圆心到该直线的距离（弦心距）：． 在圆中，公共弦长，可得，解得或， 均满足且两圆相交，符合题意． 故实数的值为或． 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【解答过程】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 18．（25-26高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆. (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2)2条，有， 【解题思路】（1）求出的中点坐标、,可得圆心坐标、半径，可得的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程 【解答过程】（1）（1）因为，所以的中点为， 且， 因为是以线段为直径的圆，即圆心为， 半径， 所以的标准方程为； （2）（2）圆的圆心2， 又， 所以，故两圆相交，其公切线条数为2， 此时有公共弦， 则两圆方程相减得到公共弦的一般式方程为． 19．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由已知，利用待定系数法可得圆的标准方程； （2）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （3）设过两圆的交点的圆为，求出，从而可 得圆的方程. 【解答过程】（1）设圆的方程为：， 由题意得方程组，解得：， 所求的标准方程为：：. （2）由（1）得圆的一般方程为：， 将两圆的方程作差得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得：， 故到直线的距离为， 所以所求公共弦长为. （3）设所求的圆的方程为：， 整理得到， 该圆圆心为， 因为该圆心在直线，故， 解得， 故所求圆的方程为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 圆与圆的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 圆与圆的位置关系及判定 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 【知识点1 圆与圆的位置关系及判断方法】 1．圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. 2．圆与圆的位置关系的判定方法 (1)利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 (2)代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．内含 【变式1-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【变式1-2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）圆与圆的位置关系为（　　） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【变式1-3】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【变式2-1】（2026高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 模块三 两圆的公切线 【知识点2 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型3 两圆的公切线长】 【例3】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆与圆外切，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（25-26高二上·山东德州·期中）已知圆：与圆：有公共点，则实数a的可能取值为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式3-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【变式3-3】（2026·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为____________. 【题型4 求两圆的公切线方程】 【例4】（2026·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-3】（2026高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【题型5 两圆的公切线条数问题】 【例5】（25-26高二上·河南郑州·期中）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-1】（25-26高二上·江西南昌·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．6 B．4 C．36 D．16 【变式5-2】（25-26高二上·安徽淮南·期中）圆与的公切线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模块四 两圆的公共弦 【知识点3 两圆的公共弦问题】 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型6 相交圆的公共弦方程】 【例6】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·福建莆田·期中）若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型7 两圆的公共弦长问题】 【例7】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）圆与圆的公共弦长为（   ） A．2 B． C．2 D．4 【变式7-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·海南·阶段检测）圆和圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 模块五 圆系方程及其应用 【知识点4 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【题型8 圆系方程及其应用】 【例8】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【变式8-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为___________． 模块六 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·广西·阶段检测）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 2．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C．1 D．3 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D． 8．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 10．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆与圆，则（    ） A．若圆与轴相切，则 B．若，则圆与圆相交 C．当时，两圆的公共弦长为 D．直线与圆始终有两个交点 11．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆O：和圆M：有两个公共点A，B，则下列结论正确的是（） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 三、填空题 12．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）圆和圆的公共弦所在的直线方程___________． 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆与圆内切，则实数的值为___________. 14．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）圆：与圆：相交于、两点，则两圆公共弦的长为___________. 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）已知圆，圆，求： (1)圆的标准方程，以及圆心的坐标和半径； (2)圆与圆的位置关系. 16．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 18．（25-26高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆. (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由. 19．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $