第26讲 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第26讲 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 预习目标 知识回顾 1．熟练运用五点法列表求关键点，规范画出三角函数一个周期内的函数简图并完成习题。 2．理清图像平移、伸缩四类变换规律，牢记左加右减规则，规避平移单位常见易错点。 3．能独立完成多个连续图像变换题型，分清变换顺序，灵活实现函数图像之间的互化。 1．牢固记忆两角和差、二倍角、降幂、辅助角所有三角公式，分清各式符号，灵活正向、逆向变形运用。 2．掌握化简 “三看” 解题思路与凑角拆分方法，独立完成给角求值、给值求值两类基础计算题。 3．熟练使用辅助角公式统一三角式，结合角范围判断函数符号，顺利求解求角、最值相关基础题目。 新知导图 预习精讲 想一想 筒车是我国古代水利灌溉工具，水流量稳定时，筒车上盛水筒做匀速圆周运动。请思考：如何选取合适函数模型，描述盛水筒（质点）相对水面的高度随时间变化的对应关系？ 知识点01 用五点法画一个周期内的简图 如下表所示： x 0 π 2π 0 A 0 －A 0 适用于，将整体记为，取五个基准值。 作图时先令，代入五个值得到对应，再通过算出对应自变量，得到五组坐标，即可画出一个周期图像。 作图表格包含序号、整体变量、自变量三列，可快速整理全部关键点。 【即学即练】 1．探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图像. 知识点02 图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、的图象经变换得到的图象 注意 由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 【即学即练】 2．要得到函数的图象，是将正弦曲线的图象（     ） A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 C．横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的，再向右平移个单位长度 D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 3．先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 题型速练 题型01 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 【例1】已知函数. 利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 【例2】已知函数． (1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象； (2)求出函数的对称中心和递增区间： (3)当时，求曲线与的交点个数．（请直接写出答案） 必记结论 1.换元整体思想：设，取五点基准，对应取值依次为。 2.计算步骤：先代入得对应，再由反解，得到五组关键点。 3.绘图表格三列内容：整体变量、自变量、函数值，依据五点坐标绘制一个周期图像。 【小试牛刀】 【变式1-1】已知两点、是函数图象上相邻的最高点和最低点． (1)求的解析式； (2)填写表格并画出在上的简图；    (3)若方程在上的解为，求． 【变式1-2】设（），图象的一条对称轴是直线. (1)写出函数的解析式，填写下表并用“五点作图法”画出函数的图象； ______ 0 (2)已知，求函数的最小值，并写出取最小值时的取值. 【变式1-3】已知函数. (1)用“五点法”作出在区间上的图象，并求的单调递减区间； (2)若在上有两个不等实根，求实数的取值范围. 题型02 描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【例3】函数的图象可由函数的图象（    ）个单位得到 A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 【例4】将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.影响左右平移：口诀左加右减，针对本身进行加减。 2.影响横向伸缩：横坐标变为原来倍，纵坐标不变。 3.影响纵向伸缩：纵坐标变为原来倍，横坐标不变。 4.两种变换顺序：先平移后伸缩、先伸缩后平移，平移单位不一致。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知曲线，下列说法中正确的是（   ） A．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的3倍，得到 B．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的3倍，得到 C．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到 D．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到 【变式2-2】把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 题型03 求图象变化前（后）的解析式 【例5】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，可得到函数（ ）的图象 A． B． C． D． 【例6】已知函数，将的图象向左平移个长度单位后得到的图象，若函数为偶函数，则φ的最小值为（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式3-1】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）把函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于点对称 题型04 由部分图象求函数的解析式（可直接算出周期） 【例7】已知，，，函数的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【例8】设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.由图像最高点、最低点直接求振幅。 2.相邻零点、最值点间距可直接求出周期，再计算。 3.代入图像已知点坐标，求解初相。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知函数（，，）的部分图象如图所示，则__________ 【变式4-2】函数的部分图象如图，则该函数的解析式为__________. 【变式4-3】已知函数的图象如图所示，则______，______． 题型05 由部分图象求函数的解析式（不可直接算出周期） 【例9】已知（，），函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________． 【例10】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小正周期为 D．曲线关于直线对称 易错点 1.无法快速判断两点间对应的水平长度占整个周期的比例，导致计算错误。 2.解出多个值时，未根据图像给出的区间筛选符合条件的初相。 【小试牛刀】 【变式5-1】函数（，）的部分图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．是曲线的一条对称轴 C．函数是奇函数 D．若方程在上有且仅有6个解，则 【变式5-3】如图，已知函数的图象过点和，且满足. (1)求的解析式； (2)求的递增区间和对称轴方程； (3)当时，求函数值域. 题型06 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【例11】设函数（是常数，），若在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式6-1】（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【变式6-2】（多选）已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象与的图象重合 D．若的图象关于y轴对称，则的最小值为 【变式6-3】函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号） ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象； ⑤函数的最小正周期为. 题型07 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用 【例13】已知函数的最小值为-1． (1)求实数的值； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求函数的值域和单调递增区间． 【例14】已知函数的最大值为2． (1)求常数的值及函数的单调递减区间； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【小试牛刀】 【变式7-1】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于中心对称 C．函数在区间上单调递增 D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 【变式7-2】已知函数的最大值为1. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求使成立的的取值集合. 【变式7-3】已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为． (1)求函数的对称轴方程 (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． 基础过关 1．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 4．函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（    ）． A． B． C． D． 7．（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．（多选）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上只有一个零点 C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 9．将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则的最小值为___________. 10．函数在一个周期内的图象如下图所示，则______．    11．函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域. 12．已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求： （1）的值； （2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间． 条件①：的最大值为2；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 能力提升 13．已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是_____. 14．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知偶函数（，）的图象向右平移（）个单位长度所得的图象与原图象重合，若的最小值为1，曲线与恰有一个交点，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（） A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象，且的图象关于轴对称 B．若，则的图象关于点对称 C．若，若方程在上恰有一个根，则 D．若函数在区间上单调递增，则 17．已知函数（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，（）且满足，求实数m的取值范围，及的值． 挑战一刻 18．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为__________. 19．已知质点从开始，沿以原点为圆心，2为半径的圆做匀速圆周运动，质点运动的角速度为弧度/秒（），经过x秒，质点运动到点P，设点P的纵坐标为y，令，将的图象向左平移2个单位长度后图象关于y轴对称． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间及上的最值． (3)将函数横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍得到函数，若，求函数的值域． 20．已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 预习目标 知识回顾 1．熟练运用五点法列表求关键点，规范画出三角函数一个周期内的函数简图并完成习题。 2．理清图像平移、伸缩四类变换规律，牢记左加右减规则，规避平移单位常见易错点。 3．能独立完成多个连续图像变换题型，分清变换顺序，灵活实现函数图像之间的互化。 1．牢固记忆两角和差、二倍角、降幂、辅助角所有三角公式，分清各式符号，灵活正向、逆向变形运用。 2．掌握化简 “三看” 解题思路与凑角拆分方法，独立完成给角求值、给值求值两类基础计算题。 3．熟练使用辅助角公式统一三角式，结合角范围判断函数符号，顺利求解求角、最值相关基础题目。 新知导图 预习精讲 想一想 筒车是我国古代水利灌溉工具，水流量稳定时，筒车上盛水筒做匀速圆周运动。请思考：如何选取合适函数模型，描述盛水筒（质点）相对水面的高度随时间变化的对应关系？ 知识点01 用五点法画一个周期内的简图 如下表所示： x 0 π 2π 0 A 0 －A 0 适用于，将整体记为，取五个基准值。 作图时先令，代入五个值得到对应，再通过算出对应自变量，得到五组坐标，即可画出一个周期图像。 作图表格包含序号、整体变量、自变量三列，可快速整理全部关键点。 【即学即练】 1．探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图像. 【答案】定义域为，值域为，周期为，图像见解析 【详解】令,则可以化成, 由的定义域为,值域为,可以看出的定义域为,值域为, 由的周期为可知,对任意u,当它增加到且至少要增加到时,对应的函数值才重复出现, 因为,这说明对任意x,当它增加到且至少要增加到时,的函数值才重复出现,的周期为, 当时,即时,我们有,即, 所以下面我们用五点法作出在上的图像,取点列表如下, x 0 0 1 0 0 0 3 0 0 描点作图,如图所示,    【点睛】本题考查正弦型函数的基本性质,考查五点法作图 知识点02 图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、的图象经变换得到的图象 注意 由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 【即学即练】 2．要得到函数的图象，是将正弦曲线的图象（     ） A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 C．横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的，再向右平移个单位长度 D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 【答案】B 【详解】将正弦曲线的横坐标伸长为原来的2倍，得曲线， 再将所得曲线的纵坐标缩短为原来的，得曲线， 然后将所得曲线向右平移个单位长度，得曲线，ACD错误，B正确. 3．先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象向右平移，可得到函数 的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 故. 题型速练 题型01 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 【例1】已知函数. 利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 【答案】 0 画出在区间上的图象如图： 【详解】略 【例2】已知函数． (1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象； (2)求出函数的对称中心和递增区间： (3)当时，求曲线与的交点个数．（请直接写出答案） 【答案】(1) (2)函数的对称中心为，递增区间为. (3). 【分析】 【详解】（1）函数的振幅为，角频率为，所以周期为. 在区间上取关键点，可得下表： 据此可作出函数在上的大致图象如下： （2）令，解得，所以函数的对称中心为. 由，解得. 所以函数的递增区间为. （3）在第（1）问所给坐标系内，再补作曲线的图象如下： 由图象可知：曲线与的交点个数为. 必记结论 1.换元整体思想：设，取五点基准，对应取值依次为。 2.计算步骤：先代入得对应，再由反解，得到五组关键点。 3.绘图表格三列内容：整体变量、自变量、函数值，依据五点坐标绘制一个周期图像。 【小试牛刀】 【变式1-1】已知两点、是函数图象上相邻的最高点和最低点． (1)求的解析式； (2)填写表格并画出在上的简图；    (3)若方程在上的解为，求． 【答案】(1) (2)填表见解析；作图见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由于，两点、是函数相邻的最高点和最低点， 则，解得， 又，解得，此时， 又， 又，则， 于是. （2）在上选取一些特殊点，填表如下：    （3）在同一坐标系作出曲线和的图象，    由图可知，关于对称，即， 则， 又，则， 由诱导公式，得， 即，于是. 【变式1-2】设（），图象的一条对称轴是直线. (1)写出函数的解析式，填写下表并用“五点作图法”画出函数的图象； ______ 0 (2)已知，求函数的最小值，并写出取最小值时的取值. 【答案】(1)，作图见解析 (2)的最小值为0，. 【详解】（1）因为直线是函数的一条对称轴， 所以， 则，，解得，， 又，所以，函数解析式为. 由可知，列表如下： 0 0 2 0 0 故函数的图象如下： （2）当时，，可得. 因此， 令，则原函数可化为， 对，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立，此时满足， 所以，当且仅当时等号成立. 此时，即， 结合，则，解得. 所以的最小值为0，此时. 【变式1-3】已知函数. (1)用“五点法”作出在区间上的图象，并求的单调递减区间； (2)若在上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)图象如下： 单调递减区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）由已知可得 列表： 0 0 1 0 -1 0 描点､连线，得到在区间上的图象如图所示： 方法一：由图象可知，在上单调递减，又的最小正周期为， 所以的单调递减区间为. 方法二：令，解得， 故的单调递减区间为. （2）结合图象可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 在上有两个不等实根， 则或， 所以实数的取值范围为. 题型02 描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【例3】函数的图象可由函数的图象（    ）个单位得到 A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 【答案】D 【详解】因为， 根据图象平移规则，函数图象由的图象向左平移个单位得到. 因此函数的图象由函数的图象向左平移个单位得到. 【例4】将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：由题可知，又，所以. 必记结论 1.影响左右平移：口诀左加右减，针对本身进行加减。 2.影响横向伸缩：横坐标变为原来倍，纵坐标不变。 3.影响纵向伸缩：纵坐标变为原来倍，横坐标不变。 4.两种变换顺序：先平移后伸缩、先伸缩后平移，平移单位不一致。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知曲线，下列说法中正确的是（   ） A．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的3倍，得到 B．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的3倍，得到 C．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到 D．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到 【答案】C 【详解】变换方式一：由函数的图象可向左平移个单位长度，得到， 再将所有点的横坐标变为原来的，得到. 变换方式二：可知， 由函数的图象所有点的横坐标变为原来的，得到， 再向左平移个单位长度，得到. 【变式2-2】把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据逆变换法，将的图象向左平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到. . 【变式2-3】要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】易知函数， 因此只需将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变可得到， 再将其向右平移个单位长度可得到. 因此只需将函数的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 再向右平移个单位长度可得到函数的图象. 题型03 求图象变化前（后）的解析式 【例5】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，可得到函数（ ）的图象 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到， 将向右平移个单位得到. 【例6】已知函数，将的图象向左平移个长度单位后得到的图象，若函数为偶函数，则φ的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，其为偶函数， 所以，则， 又，故的最小值为. 【小试牛刀】 【变式3-1】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到图象对应的函数解析式为， 再将所得图象向右平移个单位长度， 得到的图象对应的函数解析式为. 【变式3-2】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，， 令，得， 则的单调递减区间为． 对于A：当时，，A正确. 对于BCD：无满足条件，故BCD错误. 【变式3-3】（多选）把函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于点对称 【答案】BC 【详解】由平移规则得, ， 正弦函数的对称轴满足，对应函数值为， 对称中心满足，对应函数值为. 选项A，代入得，，不是对称轴. 选项B，代入得，为最小值，是对称轴. 选项C，代入得，，故是对称中心. 选项D，代入得，，不是对称中心. 题型04 由部分图象求函数的解析式（可直接算出周期） 【例7】已知，，，函数的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据图象知，函数最大值为，因此. 根据图像知，，解得. 将最高点代入，即， 解得，即. 因为条件，得，因此函数为. 【例8】设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】观察图象，得函数的最小正周期， 而，则，解得，当时，， 可得，不符合题意； 当时，，，符合题意， 因此，，， ，， 因此函数图象的一个对称中心为，则A，B，D不是，C是. 故选：C 必记结论 1.由图像最高点、最低点直接求振幅。 2.相邻零点、最值点间距可直接求出周期，再计算。 3.代入图像已知点坐标，求解初相。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知函数（，，）的部分图象如图所示，则__________ 【答案】 【详解】由题意易知，周期，所以，所以. 考虑图中最低点，其横坐标为，纵坐标为，代入得， 解得，，又因为，，所以， 所以. 【变式4-2】函数的部分图象如图，则该函数的解析式为__________. 【答案】 【详解】由图可知，．． 由五点作图的第二点知，，即．． 【变式4-3】已知函数的图象如图所示，则______，______． 【答案】 0 【详解】由图可知，， 即， 将代入上式． ，则， 因为，所以令，得， 即， ． 故答案为：；0 题型05 由部分图象求函数的解析式（不可直接算出周期） 【例9】已知（，），函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________． 【答案】 【详解】将代入可得，则， 又，解得， 将代入，可得， 则，即，， 又结合的部分图象可知，其最小正周期， 即，，又，解得， 则最小正周期为． 【例10】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小正周期为 D．曲线关于直线对称 【答案】ABC 【详解】由已知函数的最大值为，即，A选项正确； 即， 又由图像可知函数图像过点，代入可得， ，所以，B选项正确； 即，又函数图像过点， 则函数的周期，C选项正确； 所以，则， 所以， 令，， 解得，，D选项错误； 故选：ABC. 易错点 1.无法快速判断两点间对应的水平长度占整个周期的比例，导致计算错误。 2.解出多个值时，未根据图像给出的区间筛选符合条件的初相。 【小试牛刀】 【变式5-1】函数（，）的部分图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由图可知当时，，又，解得， 又由图可知，所以为的对称轴， 则，，结合图象，即， 则解得，故A正确. 故选：A. 【变式5-2】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．是曲线的一条对称轴 C．函数是奇函数 D．若方程在上有且仅有6个解，则 【答案】ACD 【详解】解：对于A．，即， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，， 解得，， 又因为， 所以，， 所以， 所以， 所以，故A正确； 对于B．因为， 所以， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于C．因为， 易知此时函数为奇函数，故C正确； 对于D．，或， 即，或， 若方程在上有且只有6个根， 则将它们从小到大排列为： ，，，，，， 由规律可知，大于且离最近的使得的为， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【变式5-3】如图，已知函数的图象过点和，且满足. (1)求的解析式； (2)求的递增区间和对称轴方程； (3)当时，求函数值域. 【答案】(1) (2)递增区间为，；对称轴为， (3) 【详解】（1）由，，， 得，，则 又，即，得， 由，得， 根据图象可知，解得 . （2） ， 的递增区间为， 令 解得， 因此函数的对称轴为， （3），， 故， ，即的值域为. 题型06 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【例11】设函数（是常数，），若在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，. 由正弦函数单调性，令，， 解得单调递减区间为，. 已知在上单调递减，故. 即，，即 当时(取)以代入得 既要大于等于又要小于等于,无交集,无解. 时,,不等式永远矛盾,无解. 当(取)以代入得 因为,而此处要求为负数,与矛盾,无解. 同理时,不可能满足. 所以取得，化简得. 综上，的取值范围是. 【例12】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】方法一，因为， 则， 将图象向右平移个单位长度， 则. 若，都有， 则，恒成立， 即，恒成立， 故，， 解得，. 综合选项可知B正确. 故选：B. 方法二，同方法一，得到 ， 由， 则 ， 因为，恒成立， 所以，则，， 又，所以的最小值为. 故选B. 方法三，由题意知， ， 根据正弦型函数的图象与性质可知， 将正弦型、余弦型函数的图象向左（或向右）平移半个周期之后与原图象关于轴对称， 所以符合题意的的最小值就是函数的半个周期， 由的周期为，所以. 故选：B. 【小试牛刀】 【变式6-1】（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【详解】对于A，根据题意得，， 因为的图象与的图象关于轴对称，所以， 即， 可得或， 因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时， 而当时，，此时 所以，故D正确. 【变式6-2】（多选）已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象与的图象重合 D．若的图象关于y轴对称，则的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，函数与函数的图象关于直线对称， 则，所以， 所以，又因为，所以，A正确； 对于B，由A可知，当时，， 故在上单调递减，B错误； 对于C ，， 与的图象不重合，C错误； 对于D，， 若的图象关于y轴对称，则满足, 所以，由可知，的最小值为，故D正确. 【变式6-3】函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号） ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象； ⑤函数的最小正周期为. 【答案】①②③ 【详解】因为 对于①：当时，为函数的最小值， 故图象关于直线对称，即①正确； 对于②：因为， 所以图象C关于点对称；故②正确； 对于③：令， 解得：， 所以的递增区间为， 当时，是的一个递增区间，故③正确； 对于④：的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误. 对于⑤；因，可理解为将函数的图象向上平移1个单位长度， 再保持轴上方部分不变，并将轴下方部分沿着轴向上翻折得到， 故其周期并非的周期的一半，即⑤错误. 题型07 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用 【例13】已知函数的最小值为-1． (1)求实数的值； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求函数的值域和单调递增区间． 【答案】(1) (2)值域为 ，单调递增区间为 【详解】（1） ，因此 ，由题意最小值为 ， 所以，得 （2）由（1）知 依题意得， 令 ，，则 在 的取值范围：，即 值域为 由 解得 结合定义域 ，取 ，得的单调递增区间是. 【例14】已知函数的最大值为2． (1)求常数的值及函数的单调递减区间； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）函数， 由函数的最大值为，得，因此，， 由，得， 所以函数的单调递减区间是. （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 将得到的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得， 当时，，则，， 由不等式恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【小试牛刀】 【变式7-1】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于中心对称 C．函数在区间上单调递增 D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】 ， 对于A，的最小正周期，A正确； 对于B，因为， 所以不关于中心对称，B错误； 对于C，当时，， 而在上单调递增，， 所以在上单调递增，C正确； 对于D，将向左平移个单位后得到， 若为奇函数，则，解得， 又，所以的最小值为，D正确． 【变式7-2】已知函数的最大值为1. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求使成立的的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意得 故，得. （2）由（1）知.由， 得， 故的单调递增区间为. （3），可得，则. 则使得成立的的取值集合为. 【变式7-3】已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为． (1)求函数的对称轴方程 (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】(1)若，函数的对称轴方程为． 若，函数的对称轴方程为． (2).若，函数的值域为， 若，函数的值域为. 【分析】 【详解】（1）由已知 因为函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为， 所以 若，则 令，解得 故函数的对称轴方程为． 若，则， 令，解得 故函数的对称轴方程为． 综上，若，函数的对称轴方程为． 若，函数的对称轴方程为． （2）若， 将函数的图象向右平移个单位后， 可得的图象； 再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象． 当时， 所以故函数的值域为. 若， 将函数的图象向右平移个单位后， 可得的图象； 再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象． 当时，， 所以，故函数的值域为 综上，若，函数的值域为， 若，函数的值域为. 基础过关 1．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得到， 即所得到的图象的函数解析式是. 2．函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. 3．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象可知，，，则， 且，得， 则，. 故选：A 4．函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ，解得，结合选项可知可取， 由，所以， 则，结合选项取或1时，或， 又，而， 所以、可以取的一组值是，. 故选：. 5．已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 所以， 由题意可得，为偶函数，所以，解得， 又，所以的最小值为. 故选：A． 6．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求得，表示出的解析式，根据函数为偶函数确定，再求在区间上的值域 【详解】解：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 所以 的图象向左平移个单位长度后，所以 函数为偶函数，所以 ， 故选：B 【点睛】考查正、余弦函数的图象变换及其值域求法，基础题. 7．（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】BD 【详解】因为， 所以将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到的图象，则A错误，B正确； 因为， 所以将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的图象，则C错误，D正确. 故选：BD. 【点睛】易错点点睛：在三角函数图象变换时，图象变换的顺序不同，其中的变换量也有所不同： （1）先相位变换后周期变换，平移个单位； （2）先周期变换后相位变换，平移个单位. 这是很容易出错的地方，应特别注意. 8．（多选）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上只有一个零点 C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变， 可以得到，再将所得图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象． 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误； 对于B选项，，，解得， 只有一个零点，B选项正确； 对于C选项，，，而在上不单调， 故在上并不单调，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确． 故选：BD. 9．将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则的最小值为___________. 【答案】3 【详解】将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后， 得到， ， 因为两个函数图象的对称轴重合， 所以，Z， 所以，Z， 因为，所以当时，取得最小值为3． 故答案为：3． 10．函数在一个周期内的图象如下图所示，则______．    【答案】1 【详解】由图象可知，最小正周期，所以， 故， 将点代入得，所以， 即，所以． 故答案为：1 11．函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）由，，则， 由，得， 设的周期为，则有， 所以令，所以. （2） 因为，所以， 则，故的值域为. 12．已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求： （1）的值； （2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间． 条件①：的最大值为2；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；（1）；（2）单调增区间为． 【分析】 【详解】解：（1）选择①：因为 所以，其中， 所以，又因为，所以． 选择②：，所以． （①不写不扣分，②每个值计算正确各给一分） （2）因为 所以 则， ， 所以函数的单调增区间为 (一个都没写的扣一分) 能力提升 13．已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为， 令，，则，， 函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合， 又在区间上恰好有两条对称轴， 由，得，,, 即区间内恰好有两个整数，且，得， 设两个整数为，则，即， 当的两个整数解为时，，则，即； 当的两个整数解为时，，则，即； 当的两个整数解为大于等时，时，因为， 所以不等式组无解； 综上所述，当的两个整数解为时，； 当的两个整数解为时，；无大于等的两个整数解. 因此的取值范围为. 14．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，，函数的最小正周期满足， 可得，则，则， 又因为，可得， 因为，则，所以，可得， 所以． 将的图象向右平移个单位长度，得到函数， 当时，， 又在区间上恰有两个零点， 所以，解得，即的取值范围是． 15．已知偶函数（，）的图象向右平移（）个单位长度所得的图象与原图象重合，若的最小值为1，曲线与恰有一个交点，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为为偶函数，则，即， 则，即，此等式不恒成立，故舍， 或，即，即， 因为，则，则， 由题意得的最小正周期为1，则，解得，即， 由题意得有一个解， 整理得， 设，， 易得均关于对称，所以与的交点关于对称， 即任何交点都会有一个与对称的点， 为了使图像只有1个交点，则必有，解得，即 即，解得. 16．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（） A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象，且的图象关于轴对称 B．若，则的图象关于点对称 C．若，若方程在上恰有一个根，则 D．若函数在区间上单调递增，则 【答案】ABD 【详解】 ， 对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度， 得到， 因为， 所以的图象关于轴对称，A选项正确； 当时，， 令，解得， 当时，，此时， 所以的图象关于点对称，B选项正确； 当时，， 当时，， 令，则， 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减， 且，，， 方程在上恰有一个根， 即与的图象在上恰有一个交点， ，，C选项错误； ， 又函数在区间上单调递增， 所以， 解得，又， ，D选项正确． 17．已知函数（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，（）且满足，求实数m的取值范围，及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）由题，得，所以， 又，故，所以． 由于，所以，又，所以， 即． （2）由题． 当时，则， 由，得，故函数在上单调递增； 由，得，故函数在上单调递减． 又，， ， 由于，（）且， 即在内的图象与直线有两个不同的交点，所以． 由于的图象关于直线对称，所以． 挑战一刻 18．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意可得， 作出函数、的图象如下图所示： 点是与图象的连续相邻的三个交点（不妨设在轴下方），为的中点， 由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，所以， 由， 整理得，所以， 则，所以，， 则，所以， 要使为锐角三角形，，所以，， ，解得. 故答案为：. 19．已知质点从开始，沿以原点为圆心，2为半径的圆做匀速圆周运动，质点运动的角速度为弧度/秒（），经过x秒，质点运动到点P，设点P的纵坐标为y，令，将的图象向左平移2个单位长度后图象关于y轴对称． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间及上的最值． (3)将函数横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍得到函数，若，求函数的值域． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，， (3) 【分析】 【详解】（1）设， 由知，， 因为，所以，又，所以， 将的图象向左平移2个单位长度后所得函数． 因为的图象关于y轴对称， 所以，解得． 又，所以时， 所以． （2）由（1）得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为． 当 时，， 当时，； 当时，． （3）由（1）知， 将函数图象横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍， 所以， 所以 ， 由，则，故，所求值域为. 20．已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】 【详解】（1）因为函数周期，且，所以，解得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 又，所以，所以函数. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，作出正弦函数的图象如图所示，    由图可知方程在区间上有3个根，所以， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $