专题02：三角函数、y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质、三角函数应用【10大考点+10大题型】讲义-2025-2026学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

该高中数学讲义通过表格系统梳理三角函数知识体系，涵盖正弦余弦正切函数的图象性质、五点法作图要点及图象变换规律，清晰呈现定义域值域单调性等核心知识点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，包含五点作图、性质判断、实际应用等十大题型，如摩天轮高度问题培养用数学眼光观察现实世界的能力，性质判断题发展逻辑推理思维，变式题和专题精练支持不同层次学生自主复习，助力教师精准教学。

· 专题02：三角函数、y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质、三角函数应用 【知识梳理】 知识点01．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 知识点02：.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识点03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下： 【题型归纳】 题型一：五点作图法作三角函数图象 【例1】．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 (3)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，的递增区间为 (2)表格见解析，函数图像见解析 (3) 【分析】（1）根据正弦函数的周期性求解最小正周期，根据正弦函数的单调性求解单调递增区间. （2）完善表格，描点连线即可利用“五点作图法”画图. （3）由已知可得，结合（2）的图象即可求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以． 令，解得， 所以的递增区间为； （2）因为，当时，， 列表如下： 0 1 4 6 1 2 0 0 1 作图如下： （3）因为，所以， 又，由（2）的图象，且，可知， 所以的取值范围是． 【变式1】．（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）利用最小正周期可求再利用求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出图象即可； （3）由（1）得，原不等式化为，再由余弦函数的图象和性质解不等式即可. 【详解】（1）∵函数的最小正周期，∴． ∵， 则，因为，∴． （2）由（1）知，列表如下： 0 0 2 0 －2 0 在上的图象如图所示： （3）∵，即， ∴， 则， 即． ∴的取值范围是 【变式2】．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 【详解】（1） x 0 -1 0 1 1 0 1 2 （2）根据上表和五点法，画出函数图象如下： （3）当时，令，得：. ∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.即此时与的图象有2个交点，∴. 题型二：三角函数的定义域和值域问题 【例2】．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，.当时，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】应用正弦型函数的性质求区间最大值即可. 【详解】由，则，故， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】将等量代换为，得到，利用还原法设，根据余弦函数的性质得到的范围，则转化为，利用二次函数的性质求值域即可得解. 【详解】，， ， 设，，， 则转化为， 对称轴为，又在范围内， 在处，取最大值，且最大值为， 时，， 时，， ，的值域为. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系得到，结合和余弦图象，求出最小值. 【详解】， 因为，所以，， ，故最小值为. 故答案为： 题型三：正弦函数性质问题 【例3】．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 【变式1】．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上递减 D．的图象关于点中心对称 【答案】D 【分析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以图象关于对称，故B正确； 对于C，，，故在上单调递减，故C正确； 对于D，由选项B，可知D错误. 故选：D. 【变式2】．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．当时，取得最大值 D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数周期公式可求周期，即可判断A；求出函数单调递减区间，可判断B；将带入解析式计算，可判断C；求出的值可判断D. 【详解】对于选项A：的最小正周期为，故选项A错误； 对于选项B：令，得， 所以在上单调递减，B错误； 对于选项C：， 显然当时，取得最大值，C正确； 对于选项D： ，故，D错误. 故选：C 题型四：余弦函数的性质问题 【例4】．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质一一判断. 【详解】因为，所以的最小正周期，故A错误； 当，则，因为在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误； 当，则，所以， 所以在上不存在最小值，故D错误. 故选：B 【变式1】．（23-24高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】根据函数周期性定义判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；将代入验证可判断C；将代入验证可判断D. 【详解】对于A，函数， 即的一个周期为，A正确； 对于B，时，， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上不单调，B错误； 对于C，， 将代入得， 故的一个零点为，C正确； 对于D，将代入，即, 即取到最值，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：B 【变式2】．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量的集合为 D．函数的单调递增区间是 【答案】B 【分析】利用最小正周期计算公式可判断A；采用整体替换法，分别考虑对称轴、最大值时的取值、单调递增区间的公式，由此可判断BCD. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则， 所以取最大值时的取值集合为，故C错误； 对于D：令，解得， 所以单调递增区间是，故D错误； 故选：B. 题型五：正切函数的性质问题 【例5】．（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象、性质逐项判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期是，A错误； 对于B，由，得， 所以函数定义域为，B错误； 对于C，当时，函数无意义，又，则在上不单调递增，C错误； 对于D，不等式，则， 解得， 所以不等式的解集是，D正确. 故选：D 【变式1】．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是增函数 D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解． 【详解】对A：由，函数的最小正周期为，故A错误； 对B：由，，解得， 所以的定义域为，故B错误； 对C：，，解得，， 所以函数在，上单调递增，故C错误； 对D：由C知当时，在上单调递增，所以，故D正确； 故选：D. 【变式2】．（21-22高一下·陕西汉中·期末）已知函数，下列说法正确的有（    ） ①函数最小正周期为； ②定义域为 ③图象的所有对称中心为； ④函数的单调递增区间为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解. 【详解】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确； 对②，令，解得， 即函数的定义域为，所以②错误； 对③，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以③正确； 对④，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以④正确； 故①③④正确； 故选：C 题型六：三角函数的平移伸缩变换 【例6】．（24-25高一下·云南昭通·期末）要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及平移的性质可得，即可根据范围求解. 【详解】，故将其向左平移个单位得到， 故,进而， 故，解得， 结合，取，则， 故选：A 【变式1】．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的伸缩、平移变换可得结果. 【详解】由题可知：. 故选：B 【变式2】．（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A 题型七：求图像变化前后的解析式 【例7】．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意分析判断即可. 【详解】把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得， 再将图象向左平移个单位长度，得. 故选：B 【变式1】．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图像的平移法则，结合诱导公式进行求解. 【详解】将函数的图像向右平移个单位，得到图像， 所以函数， 故选：A. 【变式2】．（24-25高一下·辽宁·期末）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象平移的规则进行求解即可. 【详解】将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度， 再向上平移个单位长度，函数解析式变为； 将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍， 可得函数的图象. 故选：B. 题型八：y＝Asin(ωx＋φ)性质 【例8】．（24-25高一下·山东临沂·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】D 【分析】利用平移得到，然后利用奇函数的定义判断A选项，利用整体代入法判断选项B,C,D. 【详解】函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 故； 对于A，，故， 则函数是奇函数，故A正确； 对于B，当时，，故在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，故的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，当时，，故，故D错误. 故选：D 【变式1】．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出，代入求值，即可判断. 【详解】由图知，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 则，则，结合，则， 故，A错误； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则， 即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则， 则， 故，D正确， 故选：D 【变式2】．（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【分析】利用图像求出函数的解析式，对于A代入解析式即可判断，对于B利用诱导公式即可判断，对于C利用，得，即可求得的值域，进而即可判断，对于D利用图象的变换即可判断. 【详解】由图可知，所以， 且，所以， 又因为，所以只能，所以， 对于A， ，故A错误； 对于B．，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，若把图象上所有点右平移个单位，则所得函数是，故D错误． 故选：B. 题型九：三角函数的应用 【例9】．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 【变式1】．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 【答案】(1) (2)小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 (3)4分钟 【分析】（1）法一：设，通过最大值，最小值，列出方程求得，再由周期及具体点求解；法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由周期得到，再结合求解即可； （2）由求解即可； （3）由求解即可； 【详解】（1）方法一：设 由题意知，最大值是41米，最小值是1米， 即，解得 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，所以 又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即时，代入表达式得到 ，得，不妨取 所以 方法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，即角速度 设经过分钟后，小王同学在点的位置，则 所以点的纵坐标 所以 （2）由题意知，得 因为，所以或10 所以两人之间相差8分钟，即小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 （3）由题意知，即， 根据图像解得 所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟 【变式2】．（24-25高一上·福建漳州·期末）长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值． 【答案】(1)，； (2)6分钟 (3)米． 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【详解】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以，， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程； （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 题型十：三角函数图象性质的综合问题 【例10】．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单增区间为，取得最大值时的集合 (3) 【详解】（1）由图可知周期，故, 此时， 代入可得,故，解得 由于，故取，， （2）,解得， 故单增区间为， 由可得,故，解得， 故取得最大值时的集合 （3）由可得，， 即在上有四个不同的实数根， 令，则， ，则，， 令,则,如图， 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故，则， 令则且，故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故 【变式1】．（22-23高一下·江西萍乡·期中）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可； （2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值. 【详解】（1）由图可知，， ∵， ∴，∴， 又， ∴，，∴， 由可得， ∴； （2）将向右平移个单位得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，，∴； 由对称性可知， ∴，∴， ∴． 【变式2】．（23-24高一下·北京延庆·期中）已知函数的部分图象如下图，，．    (1)若已知图中点A的横坐标． （ⅰ）求，，的解析式； （ⅱ）若，求x的取值范围； (2)求的值． 【答案】(1)（i），，;（ii） (2) 【分析】（1）（i）由图可知，求出T，再求出，将点A带入即可求，进而知道的解析式；（ii）结合正弦函数的图象解不等式即可. （2）先由求出，再将点代入，求，再由列出等式，经过变形求解即可. 【详解】（1）(i)图中点的横坐标, ， 将点代入得：， 所以, 所以， 因为， 所以时，. . (ii)若, 则, , 解得， 即的取值范围为. （2）由图可知, , 又 , 将点代入得：， 所以, 解得, 因为,即, 所以, 所以当时，， ， ， ， ， 由图可知， ， ， ， . 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象和性质即得. 【详解】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知，结合解得， 即的取值范围是. 故选：C 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角函数的周期性定义和三角函数图象逐选项判断即可. 【详解】对于A，，结合正弦函数图象可知，时，单调递增，时，单调递减，故A错误； 对于B，，，所以周期为， 因为，所以，所以， 结合正弦函数图象，函数在上单调递增，故B正确； 对于C，，因为，所以，结合余弦函数图象可知， 函数在单调递减，在单调递增，故C错误； 对于D，，当时，函数无意义，所以在上不单调递增，故D错误， 故选：B. 4．（24-25高一下·广西梧州·期末）设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．方程在区间上的根的个数共有6个 C．当，的值域为 D．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 【答案】B 【详解】A选项，时，的最小值为，可得的最小正周期为，故A错误； B选项，由A可知，．则． 当时，，则当，，，，，时，，则在区间上的根的个数共有6个，故B正确； C选项，当时，，因在上单调递减，则，故C错误； D选项，将函数的图像向左平移个单位，则得到的解析式为，则得到的函数为奇函数，故D错误； 故选：B． 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．是偶函数 【答案】C 【详解】观察图象知，最大值是2，而，解得， 函数周期，A选项错误； 由选项A可得，则，所以， 因为，所以，所以，B选项错误； 因为，C选项正确； 因为 所以，所以不是偶函数，D选项错误. 故选：C 6．（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， 对于A，，则不是函数图象的对称中心，A不是； 对于B，，则不是函数图象的对称中心，B不是； 对于C，，则不是函数图象的对称中心，C不是； 对于D，，则是函数图象的对称中心，D是. 故选：D 7．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 【答案】D 【详解】根据图像可得，，解得， 又，所以，故A错误； 又过点，， 由五点作图法可知，，周期，故B错误； ，， 又，所以函数在区间上不单调，故C错误； ， 解得，又， 所以，所以共有8100个零点，故D正确； 故选：D. 8．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据函数的部分图象，可得，，∴，∴，∴. 由函数经过点，根据五点法作图可得，∴. 又，∴，. 令，则当时，， 所以方程在上有两个不相等的实数根，即方程在上有两个不相等的实数根，等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线如下图所示： 由图可知：方程在上有两个不相等的实数根时，则实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 【答案】AB 【分析】A选项根据周期公式求解，B选项根据正切函数的对称中心坐标公式求解，C选项直接代入求解，D选项根据正切函数的单调区间代入求解. 【详解】A选项，当的最小正周期是时，，则,故正确 B选项，当时，，所以令， 解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故正确. C选项，当时，，，故错误. D选项， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以， 解得， 另一方面，即，所以， 又因为，所以由，得，由，得， 所以的取值范围是，故错误. 故选：AB 10．（24-25高一下·山东威海·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．当时，曲线与的交点个数为4 【答案】ABD 【分析】应用代入法验证对称轴和对称中心判断A、C，整体法判断函数的区间单调性判断B；根据正弦型函数的区间单调性、值域确定曲线交点个数判断D. 【详解】A：由，则的图象关于直线对称，对； B：由题设，结合正弦函数性质知单调递增，对； C：由，则的图象关于直线对称，故不是对称中心，错； D：由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且在、、上对应值域依次为、、， 由题设，令， 则在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以与分别在、、、上各有一个交点，即共有4个交点，对. 故选：ABD 11．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（    ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】AD 【分析】根据正弦型函数经过的特殊点，结合正弦型的对称性、单调性、周期性、图象平移的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的图象可知，且图象的最高点坐标为，与它相邻的零点为， 设函数的最小正周期为，则有，故A正确； 因为，由. 又由， 因为，所以时，，因此. 因为，故函数的图象不关于点中心对称，即B错误； 当时，设，因在没有单调性， 故函数在不是单调递减函数，故C错误； 该图象向右平移个单位可得，故D正确； 故选：AD 12．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．在上的值域为 D．将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标不变，可以得到的图象 【答案】ABD 【分析】利用辅助角公式可得，进而逐项判断即可. 【详解】 ， 对于A，，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，当时，，由在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，所以， 所以，所以在上的值域为，故C错误； 对于D，将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍可得函数 的图象，即的图象，故D正确. 故选：ABD. 13．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列关于函数的说法，正确的有（    ） A．的最小正周期 B．是的一个对称中心 C．在区间上的值域为 D．将函数的图象向左平移后得到的图象，则 【答案】AD 【分析】对于A，由图中可得函数的对称轴，根据正弦函数的对称性，可得其正误；对于B，根据正弦函数的对称性，利用中点坐标公式以及周期，可得其正误；对于C，利用整体思想，根据正弦函数的值域，可得其正误；对于D，根据函数图像的变换以及诱导公式，可得其正误. 【详解】对于A，由图可得函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，则函数的对称中心为，其中， 显然不存在，使得，故B错误； 对于C，由图可得，由A可知，解得， 由B可得，其中，解得，其中， 所以， 由，则，可得，故C错误； 对于D，由题可得，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 14．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 15．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助余弦函数性质计算即可得. 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 16．（24-25高一下·四川成都·期末）函数（其中）的图象如上，则函数的解析式为 ，在区间上的单调递增区间为 ．    【答案】 【分析】结合函数的图象特征，依次求出的值，得到函数解析式；再求函数在上的单调递增区间，结合给定区间代值求交即得. 【详解】设函数的最小正周期为， 则由图知，，，即，则， 于是，将点代入解析式，可得， 则，即， 因，故得，则函数的解析式为； 由，可得， 因，故得在区间上的单调递增区间为. 故答案为：；. 17．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知函数，．给出下列三个结论： ①是偶函数； ②的值域是； ③在区间上单调递减；其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】计算出可判断①，分和两种情况求出的范围，然后结合其周期性可得值域，即可判断②，当时，，可判断单调性，从而判断上的单调性. 【详解】由题意，，所以是偶函数，故①正确； 当时，， 当时，， 又因为，所以的值域是，故②错误； 当时，，此时， 所以在上单调递减，则在区间上单调递减，故③正确. 故答案为：①③. 四、解答题 18．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的最值及其相应的值. 【答案】(1)；单调递增区间为 (2)最大值为1，；最小值为， 【分析】（1）利用求函数的最小正周期，利用整体思想，结合正弦函数图象求函数的单调增区间. （2）结合正弦函数的性质求函数在给定区间上的最值. 【详解】（1）函数的最小正周期为：； 由，得， ∴函数的单调递增区间为. （2）， ， ∴当，即时，函数有最大值1， 当时，即时，函数有最小值. 19．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据最值求出，根据周期求出，然后利用求出，即可求出的解析式，最后令即可求出对称中心； （2）根据图象变换得出，最后结合正弦函数图象即可求出. 【详解】（1）由图象可得，得， 由图象可知，所以，即， 即； 又因为，即， 所以，则， 结合，可得， 所以； 令得， 所以曲线的对称中心为． （2）把曲线向右平移个单位后的曲线为； 把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线； 把曲线向上平移个单位，得到曲线； 令，得， 结合正弦函数图象可得不等式的解集为. 20．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) (2)5s 【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为，进而得到，再结合的位置为初始位置即可求解； （2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动，进而结合周期求解即可. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 易知OP在xs内所转过的角为，    故点P的纵坐标为，则， 当时，，可得，所以， 则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而， 故点P在水中的时间是s． 21．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）方法一：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象向左平移个单位可得的图象， 再将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； 方法二：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 再将的图象向左平移个单位可得函数的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； （2）法一：因为，所以， 因为y＝sinx在上单调递减，在和上单调递增， 令，可得， 所以函数在上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） 法二： 由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，， 因为，所以，， 即函数f（x）在[0，π]上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） （3）因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以， 即，所以． 22．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由周期求得函数的解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调递增区间，即可得答案； （2）令，利用二次函数的图象与性质得出，由（1）中结论求得在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，故， 即， 令，即， 又，则只有当和时的范围才存在， 即得，和. 故函数在区间上的单调递增区间为，； （2）令，由得： ， 该函数的图象的对称轴， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数的最小值为，最大值为， 即函数，即 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， 且，， 时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， 综上可得：. 23．（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析． 【分析】（1）过作，垂足为，得，，应用矩形面积公式即可得关系式； （2）由题设，令，进而得到，结合二次函数的性质求最值，且可得值. 【详解】（1）过作，垂足为，由题意得：，， 故，，    所以矩形的面积，． （2）由（1）及题设知， 故， 令，，所以，且， ， 在区间上严格减，在区间上严格增，且， 当，即时，取得最小值， 此时，则，故， 当，即时，取得最大值， 此时，则，故或． 24．（24-25高一上·福建莆田·期末）如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由图可得，函数的最小正周期为，则， 所以，因为，则，因为，所以，解得，所以. （2）令，则因为函数在区间上有且仅有两个零点所以方程在有且仅有两个实根. 令，得或，所以方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得 （3）由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解，由可得， 令，则，因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $ · 专题02：三角函数、y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质、三角函数应用 【知识梳理】 知识点01．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 知识点02：.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识点03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下： 【题型归纳】 题型一：五点作图法作三角函数图象 【例1】．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 (3)当时，，求实数的取值范围． 【变式1】．（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 【变式2】．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 题型二：三角函数的定义域和值域问题 【例2】．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，.当时，则的最大值为 . 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）函数的值域为 . 【变式2】．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数，则的最小值为 ． 题型三：正弦函数性质问题 【例3】．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【变式1】．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上递减 D．的图象关于点中心对称 【变式2】．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．当时，取得最大值 D． 题型四：余弦函数的性质问题 【例4】．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为 【变式1】．（23-24高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【变式2】．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量的集合为 D．函数的单调递增区间是 题型五：正切函数的性质问题 【例5】．（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 【变式1】．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是增函数 D． 【变式2】．（21-22高一下·陕西汉中·期末）已知函数，下列说法正确的有（    ） ①函数最小正周期为； ②定义域为 ③图象的所有对称中心为； ④函数的单调递增区间为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六：三角函数的平移伸缩变换 【例6】．（24-25高一下·云南昭通·期末）要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 题型七：求图像变化前后的解析式 【例7】．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 【变式1】．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·辽宁·期末）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 题型八：y＝Asin(ωx＋φ)性质 【例8】．（24-25高一下·山东临沂·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【变式1】．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【变式2】．（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 题型九：三角函数的应用 【例9】．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【变式1】．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 【变式2】．（24-25高一上·福建漳州·期末）长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值． 题型十：三角函数图象性质的综合问题 【例10】．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【变式1】．（22-23高一下·江西萍乡·期中）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值． 【变式2】．（23-24高一下·北京延庆·期中）已知函数的部分图象如下图，，．    (1)若已知图中点A的横坐标． （ⅰ）求，，的解析式； （ⅱ）若，求x的取值范围； (2)求的值． 【专题精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西梧州·期末）设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．方程在区间上的根的个数共有6个 C．当，的值域为 D．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．是偶函数 6．（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 8．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 10．（24-25高一下·山东威海·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．当时，曲线与的交点个数为4 11．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（    ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 12．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．在上的值域为 D．将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标不变，可以得到的图象 13．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列关于函数的说法，正确的有（    ） A．的最小正周期 B．是的一个对称中心 C．在区间上的值域为 D．将函数的图象向左平移后得到的图象，则 三、填空题 14．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 15．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 16．（24-25高一下·四川成都·期末）函数（其中）的图象如上，则函数的解析式为 ，在区间上的单调递增区间为 ．    17．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知函数，．给出下列三个结论： ①是偶函数； ②的值域是； ③在区间上单调递减；其中，所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 18．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的最值及其相应的值. 19．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 20．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) 21．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 22．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 23．（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 24．（24-25高一上·福建莆田·期末）如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $