第27讲 三角函数的应用（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第27讲 三角函数的应用 预习目标 知识回顾 1．掌握y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中振幅、周期、频率、相位、初相的含义与对应计算公式。 2．熟记利用三角函数模型解决周期类实际问题的审题、建模、求解、检验还原四步完整解题流程。 3．能够区分简谐运动、圆周运动、自然周期三类典型场景，判断适合三角函数建模的周期性现象。 4．学会提取实际问题中的周期、最值、初始条件，自主建立三角函数模型并结合实际检验结果合理性。 1．掌握五点法作图步骤，会列表确定关键点，规范绘制三角函数一个周期简图，并能熟练完成对应练习题。 2．梳理函数图像平移、伸缩四类变换规律，熟记 “左加右减” 法则，避开平移单位相关高频易错点。 3．独立处理多步连续图像变换题目，理清变换先后顺序，灵活完成不同三角函数图像的相互转化。 新知导图 预习精讲 想一想 现实生活中存在大量周而复始、循环往复的周期性变化现象。若一种动态变化具备周期规律，就可以借助三角函数对其进行描述。 生活与物理中典型的周期现象均能使用三角函数刻画：由地球自转产生的昼夜交替、地球公转形成的四季更替、月亮圆缺变化、潮汐涨落；物理层面匀速圆周运动的物体位置变化、简谐运动的物体位移变化，以及交变电流的周期性变化等。三角函数是刻画各类周期变化规律的重要数学模型。 则这些现象如何用三角函数模型刻画呢？ 知识点01 各参数物理意义 该函数用于描述简谐运动、周期性波动，各量定义统一整理如下： 名称 符号 定义 振幅 做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 物体往复完整运动一次所需时间 频率 单位时间内物体往复运动的次数 相位 描述运动某一时刻所处状态的整体角度 初相 当自变量时对应的相位，代表运动初始状态 【即学即练】 1．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是4，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是3，初相是 【答案】C 【详解】由弹簧振子的运动方程为，得，，，即该弹簧振子的振幅是4、初相是. 2．（多选）已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，代入点得． 又． 故选：AD. 知识点02 三角函数模型解决实际问题完整流程 一、通用四步解题法 1.审题 读懂文字、图像信息，区分已知条件与所求目标，识别周期性规律，必要时画出示意图，剥离纯粹数学关系。 2.建模 将周期类实际问题抽象为三角函数数学模型；根据周期、最值、初始状态选择正弦/余弦函数，列出三角解析式、三角方程或不等式。 3.求解 利用三角函数图像、恒等变换、周期公式等知识，计算模型的数学解。 4.检验还原 检验计算结果是否符合现实实际意义，舍去不合理解；再把数学结论翻译成实际问题的答案。 二、三角函数模型常见应用场景 1.物理简谐运动：弹簧振子、单摆、机械振动等往复运动，依靠振幅、周期、初相描述运动状态； 2.圆周旋转类问题：转盘、齿轮旋转等旋转运动，具备稳定周期性； 3.生活自然周期现象：潮汐涨落、每日气温变化、四季更替、昼夜时长等循环变化规律。 【即学即练】 3．（多选）图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，（单位：m）表示在时间（单位：s）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点距离地平面60m，最低点距离地平面10m，当时，过山车到达最高点，当时，过山车到达最低点，设，则（   ） A． B． C．入口处距离地平面 D．一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长是 【答案】ACD 【详解】对于A，设的最小正周期为，则，解得， 由题意得，得，则，A正确． 对于B，由上面解答过程知，令， 可得，又， 解得，B错误． 对于C，因为，所以，C正确． 对于D，由，得，所以， 解得，D正确． 故选：ACD 4．如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为______． 【答案】（） 【详解】设， 则，，所以，即． 又函数过点，所以，得，． 故（）． 故答案为：  ． 题型速练 题型01 三角函数各个参数的概念 【例1】某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的频率为，相位为． 【例2】已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（   ） A．振幅是2，初相是 B．振幅是4，初相是 C．振幅是2，初相是 D．振幅是4，初相是 【答案】C 【详解】由题意，振幅是2，初相是. 【小试牛刀】 【变式1-1】函数与函数具有相同的（   ） A．振幅 B．频率 C．相位 D．初相 【答案】B 【详解】函数的振幅为3；周期，则频率为；相位为；初相为； 函数的振幅为2；周期，则频率为；相位为；初相为； 所以两个函数的频率相同. 故选：B. 【变式1-2】已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 【答案】 2 【详解】因为正弦型简谐振动函数（）的振幅为， 所以满足函数的简谐振动的振幅为2. 【变式1-3】如图为一个钟摆的示意图，其中是钟摆能向左摆动的最大位置，角为钟摆在运动过程中与的夹角，已知与时间（单位：s）满足函数关系式，且频率为，从最大处开始计时，则该函数的初相为______．    【答案】 【详解】因为频率，即，所以，故， 由已知可得当时，，解得，该函数的初相为． 故答案为： 题型02 三角函数模型在物理中的应用 【例3】（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ） A．当时小球达到最高点 B．小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向上运动 【答案】BC 【详解】对于选项A：因为， 所以当时小球位于平衡位置，故A错误； 对于选项B：因为， 所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D错误. 【例4】阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得，所以， 又，即， 所以，即，则，， 所以， 则， 即当时，该振子的位移. 故选：D 【小试牛刀】 【变式2-1】如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 【答案】(1)，，， (2)19次 (3)小球在内是下降状态． 【分析】 【详解】（1）由图2可知，， 最小正周期，所以， 由五点作图法可知，当时，，所以， 所以， 当时，． （2）小球往复运动一次所需时间为， 小球1秒内往复运动的次数为， 所以小球1分钟（60秒）内往复运动的次数为（次）． （3）令， 得， 所以小球在内是下降状态． 【变式2-2】已知函数（其中，，）的图象如图1所示，它刻画了质点做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程.则质点运动的圆形轨道的半径为________米；图2中，质点首次出现在直线上的时刻________秒. 【答案】 2 【详解】由图1可以看出，函数的最大值为2，所以振幅，即质点运动的圆形轨道的半径为2米， 当时，，所以，即， 因为，所以， 当时，，结合五点法可得，解得， 所以，函数表达式为， 令，得，所以，解得， 因为，所以取，得首次时刻秒． 【变式2-3】声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（ ）. A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【详解】对于选项A：因为为定义在上的奇函数， 所以为定义在上的奇函数，故A正确； 对于选项B：因为，则，，， 且正弦函数在内单调递增，则在内单调递增， 所以在内单调递增，故B正确； 对于选项C：因为，可得的最大值，即 且的最大值为，则， 所以声音甲的响度一定比纯音的响度大，故C错误； 对于选项D：因为的最小正周期为，频率为， 又因为的最小正周期为，频率为， 且，所以声音乙一定比纯音更低沉，故D正确； 故选：C. 题型03 三角函数模型在生活中的应用 【例5】一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据得，当秒时，点位于最低点， 则经过时间秒后车轮转过的角度， 则点到铁轨表面的高度为. 得到符合初始条件. 【例6】海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 【详解】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 【小试牛刀】 【变式3-1】2026年清远全市春运返程车流量已破历史高峰，特别是南下车流占比较大，为缓解南行车流压力，清远市交警在许广高速清远段实施区间“借道通行”交通管制措施，被网友俗称“潮汐车道”． 如图为某地0～12时南下车辆的平均速度随时间变化的曲线，表格是北上车辆在部分时刻监测到的车辆平均速度．根据高速流量监控系统设置，当北上车辆平均速度减去南下车辆平均速度的差超过60km/h时，系统将自动开启向北上车道“借道通行”，请选择适当的三角函数模型，并据此判断在0～12时，“借道通行”的总时长约为（   ） 时间（h） 0 3 6 9 12 平均车速（km/h） 100 60 20 60 100 A．1h B．2h C．3h D．4h 【答案】B 【详解】由题意可得南下车辆的平均速度是正弦型函数模型， 设其解析式为， 根据图象可得, 又因为此函数图象为的图象，且函数在处最得最大值100， 由正弦函数的对称性和图象可得函数在处取得最小值20， 所以， 所以，解得， 所以， 又因为图象过点， 所以，， 取， 则， 验证：当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，，与题干中的图象完全吻合； 所以南下的函数的解析式为； 从表格中可得北上的车速函数关于对称， 且周期为12，振幅为，其图象为余弦函数的图象， 设其， 则， 所以， 经检验与表中数据完全吻合， 所以北上时，车速函数为， 令， 即， ， 整理得：， 又因为， 所以， 所以， 解得， 所以“借道通行”的总时长约为小时. 【变式3-2】（多选）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（   ） A． B．过山车启动时距地面13m C． D．一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 【答案】BCD 【详解】最高点满足 ，最低点满足 ，联立解得，故A错误； 第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期 ， 因此 ，故C正确； 将参数代入得，时为最高点，故 ， 即 ， 解得 ，结合得 ， 因此解析式为， 启动时，代入得，故B正确； 要求，代入得不等式， 解得一个周期内（）满足条件的范围是 ，区间长度为，故D正确. 【变式3-3】（多选）某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（ ） A． B．在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的 C．方程在区间上所有解的和为4.5 D．若对任意恒成立，则的最小正值为1.5 【答案】ABD 【详解】对于A，角速度，初始相位， 高度函数，故A正确. 对于B，令，得. 设，当时. 解，得. 对应的长度分别为和， 总长度秒，占周期秒的，故B正确. 对于C，由得， 即，其中. 利用和差化积可得，得， 所以，即. 因此，解得. 在内，解为和，和为，不是，故C错误. 对于D，由恒成立，得. 设，，则 对任意恒成立.根据正弦函数性质，需满足（另一情形不可能恒成立）， 即，解得，最小正值为，故D正确. 题型04 三角函数模型在几何中的应用 【例7】如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】由题意可知，随着从平行移动到单调递增，故可排除选项B．由题意可得等边三角形的边长为．    当时，，此时最小； 当时，，此时最大； 当时，如答图1，则，为等边三角形， 此时， 在等边中，， ； 又当时，图中的； 故当时，对应的点在图中两点连接线段的下方，结合选项可得选项D正确．    故选：D. 【例8】如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； （2）； （3）若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 【小试牛刀】 【变式4-1】（多选）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 设与轴正方向夹角为， 则时，，故， 由于12秒旋转一周，所以每秒钟旋转， 在，，绕坐标原点沿逆时针方向旋转到位置， 所以点纵坐标增大，从旋转到时， ，，纵坐标减小， 在上，即从逆时针旋转至位置，动点纵坐标增大， 所以当时，纵坐标关于的函数的单调区间为和. 故选：AD. 【变式4-2】点在直径为的半圆上移动，过点作圆的切线，且， (1)求四边形的面积关于的表达式； (2)问为何值时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）如图，作于，因为为直径，切圆于点，， 所以， . （2）因为，所以， 当，即时，四边形的面积最大. 【变式4-3】如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1)建系见解析，点，点； (2)最大值为. 【分析】 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为. （2）， ∴四边形的面积 ，， 当时，即时，， 四边形的面积的最大值为. 基础过关 1．下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（   ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 【答案】C 【分析】详解】根据表格的数据可以看出，因变量水深从0：00到3：00上升，从3：00到6：00下降， 从6：00到9：00下降，从9：00到12：00上升，从12：00到15：00上升，从15：00到18：00下降， 可以看出，符合三角函数的单调性规律，而幂函数、指数函数和对数函数没有这样的规律. 故选：C. 2．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 【答案】B 【分析】详解】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是. 故选：B 3．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 4．近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】依题意，解得， 又，所以，所以， 所以，又， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：A 5．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A 6．已知某摩天轮的最高点到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，直径为，每30分钟转动一圈.若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】 由题意可设距离地面的高度与时间所满足的三角函数关系式为：， 因为摩天轮的直径为，可知， 又因为摩天轮的最高点到地面的距离为，可知， 由每30分钟转动一周，可知， 由于从最低点开始计时，即当时，， 所以有， 则当时，有， 故选：C. 7．（多选）潮汐是海洋在日月引力作用下产生的周期性涨落现象．某港口一天的海水水位变化近似满足关系式，其中表示海水水位，表示时间，则（    ） A．曲线的振幅为2 B．曲线的最小正周期为12 C．曲线关于点中心对称 D． 时，函数的值域为 【答案】ABD 【分析】详解】对于A，曲线 的振幅为2，故A正确． 对于B，曲线 的最小正周期 ，故B正确． 对于C，由，得，所以曲线 的图象的对称中心为，故C错误． 对于D，时，，此时，则函数 的值域为，故D正确． 故选：ABD． 8．（多选）在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（   ） A． B．该音叉每秒钟往复振动880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 D．该音叉在时的位移为 【答案】ACD 【分析】详解】因为该音叉在时的位移为，所以， 所以，所以，因为，所以，故A正确； 所以，所以最小正周期为， 所以频率为，所以该音叉每秒钟往复振动440次，故B错误； 当时，，所以该音叉离开平衡位置的最大距离为，故C正确； 当时，， 该音叉在时的位移为，故D正确. 故选：ACD. 9．如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 【答案】 【分析】详解】依题意，以射线为终边的角， 时刻点M所在射线为终边的角为， 由三角函数定义得. 故答案为：. 10．在两个弹簧上各挂一个质量分别为和的小球，它们做上、下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移（cm）和（cm）分别由下列两式确定：，．则在时间时，与的大小关系是________． 【答案】 【分析】详解】当时，， ，所以. 故答案为： 11．某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为，低潮时入口处水的深度为，高潮时为，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深和时间之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度. 【答案】(1) (2)8.4米 【详解】（1）设此三角函数模型是，根据题意可知周期. 所以，，， 所以， 又因为当时，d取得最大值， 所以， 所以可取， 所以. （2）10月4日15：00相当于，此时入口处水的深度（米）. 12．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】详解】（1）依题意知， 故． 所以． 又因为时，，所以， 所以，所以． （2）时， ． （3）令， 有， 因此． 所以． 所以． 令，得；令，得． 故这一天共有水深低于． 能力提升 13．（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地面的高度，轨道最高点距离地面，最低点距离地面．入口处距离地面．当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点．设，下列结论正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B． C．时，过山车距离地面 D．一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是 【答案】AD 【分析】详解】对于A，由题意可知，最小正周期满足，所以，故A正确； 对于B，由，又，解得：， 所以，又，即， 因为，所以，故B错误， 选项C，由A，B可得， 所以，故C错误； 对于D，由题意得：， 则有，解得：， 令时，，则一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是，故D正确. 14．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 【答案】6 【分析】详解】设开始转动分钟后距离地面的高度为米， 且， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，则，可取， 所以，， 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以游客坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. 15．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1）．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个座舱里，他们中间相隔5个座舱，在摩天轮运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)，；最大值为 【详解】（1）由题意可知，摩天轮的半径， 圆心距离地面的高度为， 摩天轮转动的角速度， 设， 则， 当时，游客甲位于最低点，此时， 所以，即， 取， 所以，. （2）当时， ， 所以游客甲在开始转动后距离地面的高度为. （3）由题可知相邻两个座舱对应的圆心角为， 因为甲、乙两人中间相隔5个座舱， 所以两人的相位差为， 设甲的高度为，乙的高度为， 则 两人距离地面的高度差， 利用和差化积公式，， 当时，取最大值，. 16．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， 由题意可得，，，，即； 由题意可得，，，，即； 则， （2）由， 当时，， 则当时，取最大值，当时，取最小值， 则，即的值域为. 17．如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)当时，求矩形的面积； (2)写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 【答案】(1) (2)，；的最小值为. 【详解】（1）如图，过点作，垂足为， 当时，，， 所以，， 所以. （2）因为，，所以，， 所以，， 因为， 令，则，即， 因为，所以，故，即， 所以，， 所以当时，取得最小值. 挑战一刻 18．近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且米，设． (1)求扇形区域的面积； (2)若，求的长； (3)若矩形的面积为，当为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1)平方米; (2)米; (3)当时，取得最大值，最大值为平方米. 【详解】（1）由题意可知扇形的半径，圆心角， 所以扇形的面积， 所以扇形区域的面积为平方米； （2）因为， 在中，， 又因为为矩形，所以， 在中，，， 所以， 即的长为米； （3）在中，， ， 又因为为矩形，所以， 在中，，， 所以， 所以， 所以 ， 因为， 所以当， 所以当，即时，取最大值，为， 即当时，取得最大值，最大值为平方米. 19．九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 【答案】(1)最大高度为米，分；最小高度为米，分； (2)（ⅰ）分；（ⅱ）. 【详解】（1）函数，中，， 当，即时，；当，即时，， 所以缆车运行过程中的最大高度为米，分；最小高度为米，分. （2）（ⅰ）由，得， 因为，所以或，解得或， 所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为分. （ⅱ）依题意，改造后的函数解析式为， 由缆车的最大高度提升至800米，得，即， 由改造后缆车在时位于最低点，得，取， 则， 由，得， 改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，而函数的周期为20分钟， 因此的时间总长为缆车旋转半周的时间，而的时间总长为10， 则，解得，所以新的函数解析式. 20．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为5米的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动、每60秒转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒（看作点）到水面的距离为（单位：米）（若盛水筒在水面以下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. (1)求的值； (2)求在筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间； (3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒到水面的距离差的最大值． 【答案】(1) (2)秒 (3) 【详解】（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接， 过点作于点，过点分别作于点，于点， 则，， 因为筒车转一圈需要60秒，所以，故， 在中，， 所以，即； （2）由（1）知，， 令，即， 则， 解得， 由，故筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间有秒； （3）设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为， 两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则， 所以 ，， 当，即，时， 高度差的最大值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 三角函数的应用 预习目标 知识回顾 1．掌握y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中振幅、周期、频率、相位、初相的含义与对应计算公式。 2．熟记利用三角函数模型解决周期类实际问题的审题、建模、求解、检验还原四步完整解题流程。 3．能够区分简谐运动、圆周运动、自然周期三类典型场景，判断适合三角函数建模的周期性现象。 4．学会提取实际问题中的周期、最值、初始条件，自主建立三角函数模型并结合实际检验结果合理性。 1．掌握五点法作图步骤，会列表确定关键点，规范绘制三角函数一个周期简图，并能熟练完成对应练习题。 2．梳理函数图像平移、伸缩四类变换规律，熟记 “左加右减” 法则，避开平移单位相关高频易错点。 3．独立处理多步连续图像变换题目，理清变换先后顺序，灵活完成不同三角函数图像的相互转化。 新知导图 预习精讲 想一想 现实生活中存在大量周而复始、循环往复的周期性变化现象。若一种动态变化具备周期规律，就可以借助三角函数对其进行描述。 生活与物理中典型的周期现象均能使用三角函数刻画：由地球自转产生的昼夜交替、地球公转形成的四季更替、月亮圆缺变化、潮汐涨落；物理层面匀速圆周运动的物体位置变化、简谐运动的物体位移变化，以及交变电流的周期性变化等。三角函数是刻画各类周期变化规律的重要数学模型。 则这些现象如何用三角函数模型刻画呢？ 知识点01 各参数物理意义 该函数用于描述简谐运动、周期性波动，各量定义统一整理如下： 名称 符号 定义 振幅 做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 物体往复完整运动一次所需时间 频率 单位时间内物体往复运动的次数 相位 描述运动某一时刻所处状态的整体角度 初相 当自变量时对应的相位，代表运动初始状态 【即学即练】 1．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是4，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是3，初相是 2．（多选）已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（   ） A． B． C． D． 知识点02 三角函数模型解决实际问题完整流程 一、通用四步解题法 1.审题 读懂文字、图像信息，区分已知条件与所求目标，识别周期性规律，必要时画出示意图，剥离纯粹数学关系。 2.建模 将周期类实际问题抽象为三角函数数学模型；根据周期、最值、初始状态选择正弦/余弦函数，列出三角解析式、三角方程或不等式。 3.求解 利用三角函数图像、恒等变换、周期公式等知识，计算模型的数学解。 4.检验还原 检验计算结果是否符合现实实际意义，舍去不合理解；再把数学结论翻译成实际问题的答案。 二、三角函数模型常见应用场景 1.物理简谐运动：弹簧振子、单摆、机械振动等往复运动，依靠振幅、周期、初相描述运动状态； 2.圆周旋转类问题：转盘、齿轮旋转等旋转运动，具备稳定周期性； 3.生活自然周期现象：潮汐涨落、每日气温变化、四季更替、昼夜时长等循环变化规律。 【即学即练】 3．（多选）图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，（单位：m）表示在时间（单位：s）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点距离地平面60m，最低点距离地平面10m，当时，过山车到达最高点，当时，过山车到达最低点，设，则（   ） A． B． C．入口处距离地平面 D．一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长是 4．如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为______． 题型速练 题型01 三角函数各个参数的概念 【例1】某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（   ） A． B． C． D． 【例2】已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（   ） A．振幅是2，初相是 B．振幅是4，初相是 C．振幅是2，初相是 D．振幅是4，初相是 【小试牛刀】 【变式1-1】函数与函数具有相同的（   ） A．振幅 B．频率 C．相位 D．初相 【变式1-2】已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 【变式1-3】如图为一个钟摆的示意图，其中是钟摆能向左摆动的最大位置，角为钟摆在运动过程中与的夹角，已知与时间（单位：s）满足函数关系式，且频率为，从最大处开始计时，则该函数的初相为______．    题型02 三角函数模型在物理中的应用 【例3】（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（    ） A．当时小球达到最高点 B．小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C．小球往复运动一次经过的时间为秒 D．当时，小球向上运动 【例4】阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式2-1】如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 【变式2-2】已知函数（其中，，）的图象如图1所示，它刻画了质点做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程.则质点运动的圆形轨道的半径为________米；图2中，质点首次出现在直线上的时刻________秒. 【变式2-3】声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（ ）. A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 题型03 三角函数模型在生活中的应用 【例5】一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 【例6】海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【小试牛刀】 【变式3-1】2026年清远全市春运返程车流量已破历史高峰，特别是南下车流占比较大，为缓解南行车流压力，清远市交警在许广高速清远段实施区间“借道通行”交通管制措施，被网友俗称“潮汐车道”． 如图为某地0～12时南下车辆的平均速度随时间变化的曲线，表格是北上车辆在部分时刻监测到的车辆平均速度．根据高速流量监控系统设置，当北上车辆平均速度减去南下车辆平均速度的差超过60km/h时，系统将自动开启向北上车道“借道通行”，请选择适当的三角函数模型，并据此判断在0～12时，“借道通行”的总时长约为（   ） 时间（h） 0 3 6 9 12 平均车速（km/h） 100 60 20 60 100 A．1h B．2h C．3h D．4h 【变式3-2】（多选）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（   ） A． B．过山车启动时距地面13m C． D．一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 【变式3-3】（多选）某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（ ） A． B．在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的 C．方程在区间上所有解的和为4.5 D．若对任意恒成立，则的最小正值为1.5 题型04 三角函数模型在几何中的应用 【例7】如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【例8】如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【小试牛刀】 【变式4-1】（多选）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】点在直径为的半圆上移动，过点作圆的切线，且， (1)求四边形的面积关于的表达式； (2)问为何值时，四边形的面积最大？ 【变式4-3】如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 基础过关 1．下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（   ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 2．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 3．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 4．近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 5．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 6．已知某摩天轮的最高点到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，直径为，每30分钟转动一圈.若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）潮汐是海洋在日月引力作用下产生的周期性涨落现象．某港口一天的海水水位变化近似满足关系式，其中表示海水水位，表示时间，则（    ） A．曲线的振幅为2 B．曲线的最小正周期为12 C．曲线关于点中心对称 D． 时，函数的值域为 8．（多选）在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（   ） A． B．该音叉每秒钟往复振动880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 D．该音叉在时的位移为 9．如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 10．在两个弹簧上各挂一个质量分别为和的小球，它们做上、下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移（cm）和（cm）分别由下列两式确定：，．则在时间时，与的大小关系是________． 11．某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为，低潮时入口处水的深度为，高潮时为，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深和时间之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度. 12．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 能力提升 13．（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地面的高度，轨道最高点距离地面，最低点距离地面．入口处距离地面．当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点．设，下列结论正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B． C．时，过山车距离地面 D．一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是 14．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 15．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1）．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个座舱里，他们中间相隔5个座舱，在摩天轮运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 16．如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)当时，求矩形的面积； (2)写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 挑战一刻 17．近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且米，设． (1)求扇形区域的面积； (2)若，求的长； (3)若矩形的面积为，当为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值． 18．九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 19．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为5米的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动、每60秒转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒（看作点）到水面的距离为（单位：米）（若盛水筒在水面以下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. (1)求的值； (2)求在筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间； (3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒到水面的距离差的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $