第21讲 三角函数的概念及同角三角函数的基本关系（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第21讲 三角函数的概念及同角三角函数的基本关系 预习目标 知识回顾 1．掌握单位圆下任意角三角函数定义，分清正弦、余弦、正切的坐标表示，理解函数值仅由终边位置决定。 2．熟记各象限三角函数符号与口诀，熟练运用诱导公式一化简任意角，快速求出对应三角函数值。 3．牢记同角三角函数平方、商数关系，掌握各类变形，能准确辨析公式适用条件与书写规范。 4．会运用三角函数定义及同角关系式完成求值、化简练习，形成数形结合解题思维。 1.理解任意角分类，掌握象限角、轴线角、终边相同角的集合写法，能推导终边对称、垂直的角度关系。 2.会书写区间角、区域角集合，熟悉各类轴线角通式，借助坐标系判断角的终边位置并解题。 3.掌握弧度制定义与角度弧度换算，熟练运用扇形弧长、面积公式及其变形进行计算。 新知导图 预习精讲 想一想 假如小明同学去坐摩天轮，在摩天轮转动的过程中，你能否建立一个数学模型来刻画小明的运动情况呢？ 知识点01 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.诱导公式一 其中. 【即学即练】 1．角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则______． 【答案】 /0.6 【详解】可知. 2．已知，，则_________． 【答案】 【详解】由且，可得， 因此. 知识点02 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 注意 (1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （2）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 基本关系式的变形公式： ① ② 【即学即练】 3．已知，在第二象限，则的值为__________ 【答案】 【详解】由，在第二象限， 则. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ，∴ ，即 . 由得， 整理得 ，即 ，解得 . ∵ ，且 ， ∴ 为第二象限角，第二象限角的正弦值为正，∴ . 题型速练 题型01 利用三角函数的定义求三角函数值 【例1】已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点， 所以. 【例2】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 【答案】B 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得， 故选：B. 必记结论 1.定义：角顶点在原点，始边为轴非负半轴，终边上任一点，。 2.若终边过定点，直接代入求再算三个函数；终边在直线上需分两种象限讨论正负。 【小试牛刀】 【变式1-1】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得. 【变式1-2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，点在角的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于直线对称 D．与关于直线对称 【答案】B 【详解】设，由，则角的终边在轴上方，即， 对于A，由与关于轴对称，得，则，A不是； 对于B，由与关于轴对称，得，则，B是； 对于C，由与关于直线对称，得，当时，，C不是； 对于D，由与关于直线对称，得，当时，，D不是. 【变式1-3】（多选）下列命题不正确的是（   ） A．若，都是第二象限角，且，则 B．若，都是第三象限角，且，则 C．若，都是第四象限角，且，则 D．若，都是第一象限角，且，则 【答案】ABD 【详解】设角，的终边与单位圆分别交于点，点． 若，都是第二象限角，且，即，如图1，则，即，故A错误； 若，都是第三象限角，且，即，如图2，则，即，故B错误； 若，都是第四象限角，且，即，如图3，则，即，故C正确； 若，都是第一象限角，且，即，如图4，则，即，故D错误． 故选：ABD 题型02 三角函数值的符号运用 【例3】若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角是第二象限的角，则，，，. 【例4】在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若角终边在第二象限，不妨令，此时，，， 取特殊值，则，，，此时， 所以“角终边在第二象限”不能推出“”； 若， 若终边在轴上，； 若终边在轴上，无意义； 所以为象限角，不妨设， 若，则，因，故，得，与条件矛盾，排除； 若，则， 取，则，所以. 所以可能成立； 若，则，，所以不可能成立，排除； 若，则，，所以不可能成立，排除； 因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足. 所以“”“角终边在第二象限”. 所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件. 【小试牛刀】 【变式2-1】若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】要使，必须，，即，，所以是第二象限角. 故选：B. 【变式2-2】已知是第四象限的角，则点在第______象限． 【答案】二 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 【变式2-3】若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】D 【详解】因，由可得, 则为第一象限角，即, 也即. 当时，,即为第一象限角； 当时，，即为第三象限角. 综上，角为第一或第三象限角. 故选：D 题型03 诱导公式一 【例5】＝（   ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【详解】． 故选：C． 【例6】点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】根据诱导公式，可得， 又是第三象限角，所以，即， 同理，所以，即， 所以点位于第三象限. 故选：C. 必记结论 1.公式：，，，。 2.核心作用：任意角减去，转化到内再求值、判断符号。 3.拓展：角加、减整数个周角，三角函数值不变。 【小试牛刀】 【变式3-1】的值为________． 【答案】 【详解】 ＝ 【变式3-2】、为第一象限的角，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【详解】验证充分性：取，，则，但，此时， 故不能推出，充分性不成立； 验证必要性：取，则，满足，但； 故不能推出，必要性不成立. 故选：D. 【变式3-3】设，若对任意实数，都有，则满足条件的一组实数的值依次为__________. 【答案】2，3，（答案不唯一） 【详解】因为， 且当时，等式对任意实数都成立， 所以，，满足条件需求. 故满足条件的一组实数的值依次为：2，3，（答案不唯一）. 题型04 平方关系 【例7】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 代入，化简得， 又，，所以， 则有，. 【例8】已知，，其中，则的值为______. 【答案】 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 【小试牛刀】 【变式4-1】已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，若，等式不成立； 若，则， ． 【变式4-2】已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则_____；若点在第一象限，且，则____． 【答案】 / 【详解】由三角函数的定义可知，， 因为， 所以， 则， 与联立得. 【变式4-3】的最小值是_______. 【答案】9 【详解】依题意易知，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故答案为：9 题型05 已知正弦、余弦、正切中其一，求另外两个量 【例9】若，，则_____. 【答案】 【详解】因为，，所以， 所以， 因为，所以， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以. 【例10】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以角的终边在第二象限， 所以． 故选：B 【小试牛刀】 【变式5-1】已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 已知为第二象限角，故， 因为，所以 ， 将，代入得： . 【变式5-2】若，则＝（   ） A．3 B． C． D．－3 【答案】A 【详解】因， 则，. 从而. 故选：A 【变式5-3】已知，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， ， 故. 题型06 齐次式的运算 【例11】（多选）已知角终边上， 且，则的值可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由于，故，解得或. 当时，，则，； 当 ，则， 【例12】已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【详解】由，则， 所以. 必记结论 1.商数关系：。 2.一次齐次式（分子分母均一次）：上下同除以，化为。 3.二次齐次式（分子分母均二次）：上下同除以，化为含的式子。 4.含常数项非齐次：把常数替换成，统一为二次齐次再计算。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知，则__________． 【答案】 【详解】. 【变式6-2】角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则， 所以. 【变式6-3】（1）已知，求的值. （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】 【详解】（1）已知， 所以. （2）证明：. 题型07 ，求值 【例13】已知，且，则______． 【答案】/ 【详解】因为，所以，所以，而， 所以. 【例14】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即， 则. 【小试牛刀】 【变式7-1】已知，，则的值为___________． 【答案】 【详解】因为，则，在等式两边平方得， 所以，故，所以， 故，故. 【变式7-2】设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，是方程的两根，则有， 又由， 得，解得，故A错误； 又，则，又，所以， 所以， 又，，所以，则，故B错误； 又，解得， 所以，故C错误； 所以，故D正确. 故选：D 【变式7-3】《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：C 题型08 应用同角三角函数的基本关系式化简 【例15】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，， 又， . 故选：D． 【例16】（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 必记结论 化简通用步骤： ①统一函数名：全部化成； ②遇高次用平方关系降次； ③分式先因式分解，再约分； ④带根号先去根号，根据角范围去绝对值； ⑤最终最简：项数最少、次数最低、无分母根号。 【小试牛刀】 【变式8-1】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 当为第一象限角时，； 当为第三象限角时，； 当为第二、四象限角时，. 【变式8-2】化简下列各式： (1); (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 【变式8-3】已知曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】由题意得，因为，则， 由，则，即， 所以， 由，所以， 所以 ， 解得． 基础过关 1．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在区间内，正弦值为的角有两个：， 余弦值为的角只有一个：， 若，则可能为或，当时，，因此充分性不成立. 若，则，此时，因此必要性成立. 2．已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 3．已知，角为第三象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，由, 解得或， 因为角为第三象限角，所以. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 5．已知则角终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为所以角是第三象限角或第四象限角， 又因为，所以，即角是第一象限角或第四象限角， 综上可得：角终边所在的象限为第四象限， 故选：D. 6．“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，即，得不出，如， 所以“”不是“”的充分条件； 若，则，可得，即， 所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：A． 7．（多选）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 【答案】AB 【详解】因为角终边过点，所以点到原点的距离： ， 所以选项A： ，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：因为点在第三象限，所以是第三象限角，故D错误. 8．（多选）下列等式可以成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，，A不成立； 对于B，，B不成立； 对于C，当时，，C可以成立； 对于D，当时，，D可以成立. 9．已知，则__________. 【答案】/ 【详解】. 10．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则____；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为____． 【答案】 【详解】由三角函数定义知：； ，，，， 点的纵坐标为. 11．（第一章专题二单位圆中的三角函数定义微点2单位圆中的三角函数定义综合训练【培优版】）如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆交于点，点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）由已知，角的终边与单位圆交于，且的横坐标为， ，又是第一象限角，，即， ，． 的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为， ，又是第二象限角，， ，． （2）由（1）． 12．证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ； (2)因为 ， 所以； (3). 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 能力提升 13．已知是的内角，且 若，则是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形． 【答案】B 【详解】， ， ， ，， 为三角形内角，，， 为钝角，即三角形为钝角三角形. 14．已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 15．（多选）已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意，得：， 又因为， 所以， 把（1）式代入（2）式得： ， 即. 令， 得：. 令，解得：，与矛盾，故A错误； 令，解得：，故B正确； 令，解得：，与矛盾，故C错误； 令，解得：，故D正确. 16．若集合，，且，则的取值范围是________. 【答案】或 【详解】因为，所以， 所以； 又，即，所以； 即的范围是或． 17．已知关于的方程的两根为， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】 【详解】（1）由题意，解得， 又关于的方程的两根为， 所以， 所以.解得，满足题意； （2）由（1）得，解得或， 又，所以或. 挑战一刻 18．已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则①， 又，则②， 由①②得，即， 又，所以，又，则， 所以，解得，所以， 故选：B. 19．一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交于点，其中无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义. ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论正确的有（   ）（多选） A． B． C． D．函数的定义域为 【答案】AC 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，.，C正确； 对于D，函数的定义域为，D错误. 20．已知第二象限角满足______，请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 条件①：，是关于x的方程的两个实根； 条件②：为角终边上一点，且； 条件③：且. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）因为是第二象限角，所以，. 选条件①：因为，是关于x的方程的两个实根， 所以，解得. 所以，所以. 选条件②：因为为角终边上一点，且， 所以，且，解得， 所以，所以， 所以，所以. 选条件③：因为，解得或， 又，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 三角函数的概念及同角三角函数的基本关系 预习目标 知识回顾 1．掌握单位圆下任意角三角函数定义，分清正弦、余弦、正切的坐标表示，理解函数值仅由终边位置决定。 2．熟记各象限三角函数符号与口诀，熟练运用诱导公式一化简任意角，快速求出对应三角函数值。 3．牢记同角三角函数平方、商数关系，掌握各类变形，能准确辨析公式适用条件与书写规范。 4．会运用三角函数定义及同角关系式完成求值、化简练习，形成数形结合解题思维。 1.理解任意角分类，掌握象限角、轴线角、终边相同角的集合写法，能推导终边对称、垂直的角度关系。 2.会书写区间角、区域角集合，熟悉各类轴线角通式，借助坐标系判断角的终边位置并解题。 3.掌握弧度制定义与角度弧度换算，熟练运用扇形弧长、面积公式及其变形进行计算。 新知导图 预习精讲 想一想 假如小明同学去坐摩天轮，在摩天轮转动的过程中，你能否建立一个数学模型来刻画小明的运动情况呢？ 知识点01 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.诱导公式一 其中. 【即学即练】 1．角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则______． 2．已知，，则_________． 知识点02 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 注意 (1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （2）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 基本关系式的变形公式： ① ② 【即学即练】 3．已知，在第二象限，则的值为__________ 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型速练 题型01 利用三角函数的定义求三角函数值 【例1】已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【例2】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 必记结论 1.定义：角顶点在原点，始边为轴非负半轴，终边上任一点，。 2.若终边过定点，直接代入求再算三个函数；终边在直线上需分两种象限讨论正负。 【小试牛刀】 【变式1-1】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，点在角的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于直线对称 D．与关于直线对称 【变式1-3】（多选）下列命题不正确的是（   ） A．若，都是第二象限角，且，则 B．若，都是第三象限角，且，则 C．若，都是第四象限角，且，则 D．若，都是第一象限角，且，则 题型02 三角函数值的符号运用 【例3】若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【例4】在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【小试牛刀】 【变式2-1】若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】已知是第四象限的角，则点在第______象限． 【变式2-3】若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 题型03 诱导公式一 【例5】＝（   ） A．－1 B． C． D．1 【例6】点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 必记结论 1.公式：，，，。 2.核心作用：任意角减去，转化到内再求值、判断符号。 3.拓展：角加、减整数个周角，三角函数值不变。 【小试牛刀】 【变式3-1】的值为________． 【变式3-2】、为第一象限的角，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3-3】设，若对任意实数，都有，则满足条件的一组实数的值依次为__________. 题型04 平方关系 【例7】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例8】已知，，其中，则的值为______. 【小试牛刀】 【变式4-1】已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则_____；若点在第一象限，且，则____． 【变式4-3】的最小值是_______. 题型05 已知正弦、余弦、正切中其一，求另外两个量 【例9】若，，则_____. 【例10】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式5-1】已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，则＝（   ） A．3 B． C． D．－3 【变式5-3】已知，求的值（    ） A． B． C． D． 题型06 齐次式的运算 【例11】（多选）已知角终边上， 且，则的值可能为（   ）． A． B． C． D． 【例12】已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 必记结论 1.商数关系：。 2.一次齐次式（分子分母均一次）：上下同除以，化为。 3.二次齐次式（分子分母均二次）：上下同除以，化为含的式子。 4.含常数项非齐次：把常数替换成，统一为二次齐次再计算。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知，则__________． 【变式6-2】角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（1）已知，求的值. （2） 证明：. 题型07 ，求值 【例13】已知，且，则______． 【例14】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式7-1】已知，，则的值为___________． 【变式7-2】设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． 题型08 应用同角三角函数的基本关系式化简 【例15】若，则（   ） A． B． C． D． 【例16】（　　）． A． B． C． D． 必记结论 化简通用步骤： ①统一函数名：全部化成； ②遇高次用平方关系降次； ③分式先因式分解，再约分； ④带根号先去根号，根据角范围去绝对值； ⑤最终最简：项数最少、次数最低、无分母根号。 【小试牛刀】 【变式8-1】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】化简下列各式： (1); (2)． 【变式8-3】已知曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（    ） A． B． C． D．4 基础过关 1．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，角为第三象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知则角终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 8．（多选）下列等式可以成立的有（   ） A． B． C． D． 9．已知，则__________. 10．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则____；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为____． 12．证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 能力提升 13．已知是的内角，且 若，则是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形． 14．已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 15．（多选）已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 16．若集合，，且，则的取值范围是________. 17．已知关于的方程的两根为， (1)求的值； (2)求的值． 挑战一刻 18．已知且，则（    ） A． B． C． D． 19．一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交于点，其中无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义. ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论正确的有（   ）（多选） A． B． C． D．函数的定义域为 20．已知第二象限角满足______，请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 条件①：，是关于x的方程的两个实根； 条件②：为角终边上一点，且； 条件③：且. (1)求的值； (2)求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $