第10讲 相似三角形的性质（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年九年级数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 第10讲相似三角形的性质（知识详解+6典例精讲+课后作业) 目标导航 知识点01：基础对应性质 知识点02：对应线段性质 知识详解核心内容 知识点03：周长与面积性质 题型01：相似比与周长比互求 题型02：相似比与面积比互求（高频易错) 典例精讲·例题解析 (举三反三) 题型03：对应线段比值计算 题型04：证相似+性质求线段（解答题基础必 考) 题型05：梯形背景相似问题（期末高频） 题型06：压轴综合题型（期末、中考高频） 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6) 二、填空题（11) 三、解答题(7) ☑ 知识详解·核心内容 【知识点01】基础对应性质（由相似定义推导) 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 符号语言： .△ABC-△ABC AB=BC=AC=k 、∠A=∠A,∠B=∠B,LC=∠C:ABBC=AC 关键要点：书写三角形相似时，顶点必须严格对应，是避免找错对应边、对应角的核心前提。 【知识点02】对应线段性质（课本重点必考定理） 相似三角形对应边上的高、对应中线、对应角平分线的比值，均等于两三角形的相似比k。 符号语言： 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AD 若AD、AD分别为△ABC、△ABC对应边上的高，则 k AD 对应中线、对应角平分线同理，比值均等于相似比。 推导思路：通过AA判定定理，证明对应线段与底边构成的小三角形相似，即可证得该定理。 易错提醒：仅对应的高、中线、角平分线满足该性质，非对应线段比值不等于相似比。 【知识点03】周长与面积性质（考试高频核心） 1.相似三角形的周长比等于相似比：CAABC C△ABC=k 2.相似三角形的面积比等于相似比的平方： S△ABC=K2 SAABC 女8 ☆ 典例精讲·例题解析 【题型01】相似比与周长比互求 【典例1】(24-25九年级上·上海杨浦期中)如果两个相似三角形的相似比是4：9，那么它们的周长比是 【答案】4：9 【详解】解：~两个相似三角形的相似比是4：9， ∴这两个相似三角形的周长比是4：9， 故答案为：4：9 【变式1-1】(24-25九年级上·上海浦东新·期末)如果两个相似三角形的周长分别是5cm、16cm,那么这两个三角形 对应角平分线的比是() A.25:256 B.5:16 C.5:4 D.以上都不对 【答案】B 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解】解：，两个相似三角形的周长比、对应角平分线的比都等于相似比， ∴这两个三角形对应角平分线的比是5：16， 故选：B 【变式1-2】(2425九年级上·上海松江·期中)如果两个相似三角形的对应高的比为2：3，且它们的周长差为15厘米， 则周长较小的三角形的周长为_厘米. 【答案】30 【详解】解：，两个相似三角形的对应高的比为2：3， ∴.两个相似三角形的相似比为2：3， ∴设较大三角形的周长是3x,较小三角形的周长是2x,则3x-2x=15, 解得x=15, 那么较小三角形的周长是2x=30(厘米)， 故答案为：30， 【变式1-3】(2025上海松江一模)如图，点G是△ABC的重心，EF经过点G,且EF∥BC.那么△AEF的周长 与△ABC的周长之比为 B 【省案1 【详解】解：连接AG并延长交BC于点H, 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。。 B 点G是△ABC的重心， AG 2 HG1' EF∥BC, AEAG 2 ∴BE=HG-i'△AEFAABC AE 2 AB3 AE 2 ·△AEF的周长与△ABC的周长之比为AB3: 故答案为： 【题型02】相似比与面积比互求（高频易错） 【典例2】(24-25九年级上·上海期中)已知两个相似三角形的面积比为1：2，则这两个三角形对应中线之比为一 【答案】V2:2 【详解】解：，两个相似三角形的面积比为1：2， ∴两个相似三角形的相似比为：1：V2,即为：V2:2, ∴这两个三角形对应中线之比为V2:2: 4 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故答案为：V2:2 【变式2-1】(2425九年级上·上海徐汇期中)已知两个相似三角形的面积之比是1：4，那么这两个三角形的周长之 比是 【答案】1：2 【详解】解：：两个相似三角形的面积比是1：4， ∴这两个相似三角形的相似比是：2， ∴.它们的周长比是1：2， 故答案为：1：2」 【变式2-2】(2425九年级上：上海崇明期中)如果两个相似三角形对应角平分线的比为1：V2,其中小三角形的面积 为4，那么大三角形的面积为 【答案】8 【详解】设较大三角形的面积为x, ,两个相似三角形对应角平分线的比为1：V2, 2 4 2 解得x=8, 经检验，x=8是原方程的解。 大三角形的面积为8. 故答案为：8. 【变式2-3】(2425九年级上·上海浦东新阶段练习)如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上， 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 DE∥BC,且DE经过△ABC的重心，那么S△ADE:S四边形DECB的值为 D E B C 【谷1 设△ABC的重心为O点，延长AO交BC于F点，如图则利用三角形重心的性质得到AO:AF=2:3,再证明 △ADE∽△ABC,则根据相似三角形的性质得到S。c9,然后根据比例的性质得到SADE:Sem 的值. 【详解】解：设△ABC的重心为O点，延长AO交BC于F点，如图， D 点 为 的重心， B F 0 △ABC A0=20F, AO:AF=2:3, :DE∥BC, △ADE△ABC, S ABC 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 SADE:S四边形DECB=4:5 故答案为：4：5 【题型03】对应线段比值计算 【典例3】如图，在△ABC中，点D、E在AB、AC上，DEIIBC,△MDE和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值 A D B 【解析】解：DE/IBC,.△ADE∽△ABC, AD SAABC AB :SMADE=S四边形BCED, AD 1 .AD1=反+1 【变式3-I】如图，RiAABC中，点D是BC延长线上一点，直线EF刚WBD交AB于点E,交AC于点G,交AD于 CF 点F,若 ',求AD的值. 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 E G B AE AF 【解析】解：“EF/1BD,∴.△MEG∽△AEC,“ABAD 、1 AB SMEG= 边形Ec SMEG=1 AE AF 1 SAABC 4 ABAD2,Rt△ABC,∴.∠ACD=∠ACB=90°， CF=AD CF 1 ∴.CF是中线， 2 ,AD 2 【变式3-2】如图，D是△MBC的边BC上的点，∠BAD=∠C,BE是△MBC的角平分线，交AD于点F,BD=1, CD=3,求BF:BE. y 2 C 【解析】解：BE是△MBC的角平分线，∠ABF=∠EBC,又∠BAD=∠C, 、ABBF .△MBF∽ACBE,“CBBE,又∠BAD=∠C,∠ABD=∠ABC AB 1 9Da94总2c8，B2AC2 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .BF:BE= 2 【变式3-3】如图，在△MBC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点B,EC和BD相交于点O,联结DE,若 AE Sop=16,SBoc=36,求AC的值. E 【解析】解：“BD⊥AC,CE⊥AB .∠BEO=∠CDO=90°，：∠A=∠A, .AE AD △AEC∽△MDB.ACAB .MDEZMEC.4508∠BoB=∠Doc.AFOR-ADOC EO BO ODOC,:∠EOD=∠BOC,.AEOD∽△BOC, SAEOD ED2164 ED 2 AE 2 SABOC CB 369,8c=3. AC 3 【题型04】证相似+性质求线段（解答题基础必考) 【典例4-1】如图，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm,BC边上的高AM=hcm,要剪出一个正方形铁片DEFG, 使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长= 9 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 G D C ah 【答案】a+h 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， 四边形DEFG为正方形， .GFDE,即：GFBC, ∴.AH⊥GF,△AGF-△ABC, GF AH BC-AM' 设正方形的边长为x, xh-x a=h 解得：xsah a+h' ah 故答案为： a+h· 10 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 M E 【典例4-2】如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是△ABC的高 BC=60厘米，AH=40厘米，求正方形DEFG的边长. A D P G E H 【解析】设正方形EFGD的边长为x, DG AD AP DG IBC, BC AB AH x=40-x 6040，.x=24, ∴正方形EFGD的边长为24. 【变式4-1】如图，在△ABC中，BC=12,高AD=6,正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD 交EF于点N,求AW的长 E H DG 11 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件讲义、单元、月考、期中期蛛 【答案】2 【详解】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x, ~四边形EFGH是正方形， .∠HEF=∠EHG=90°，EFI‖BC, ∴△AEFD△ABC, AD是△ABC的高， ∠HDN=90°， .四边形EHDN是矩形， :DN=EH=x, :△AEF△ABC, AN EF ADBC(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)， :BC=12,AD=6. .AN=6-x, 6-x=x 612: 解得：x=4, .AN=6-x=6-4=2 AD 4 【变式4-2】如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且AE3,将△ADE沿DE翻折， 使点A落在BC上的点F上. 12 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (1)求证：△BDF∽△CFE: (2)求BF的长. A D 【解析】(1)证明：△MDE翻折成△FDE. ∴.△ADE兰△FDE,∴.∠A=∠EFD, :A4BC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60, .∠EFD=∠B=∠C=60°， ∠DFC=∠DFE+∠EFC.∠DFC=∠B+∠BDF, .∠EFC=∠BDF, ∴.△BDF∽△CFE, CABDEDF (2)由(1)知△BDF∽ACFE,CACFE EF ,又：△ADE=AFDE, CABDEAD4 BF+BD+DF BF+AB 4 AD=DF,AE=EF CACEE AE-3 ·CE+FC+EFCF+AC3 BF+74 7-BF+73,.BF=5」 EF 4 1 4.3】如图，∠4CB=90°DF⊥4B于点B,BE5.S0cE4°a8E,月CB 13 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。。 求：(1)BC的长；(2)SCr. A B 【解析】解：(1)FD⊥AB,∴∠EFB=90°， ∠ACB=90°，.∠BCD=90,∠EFB=∠BCD .=EF '∠FEB=LCED,∴△BFE∽ADCE,“SAcE（CE) 1 :E=2FE-4:CE_2 CE ,BE 5.BE 5 CE=5 .BE=25 5c5 2 FE 4 （2)BE-5..EF=10BF=51 S巴..SA8EF=,BE-EFS7J 2 2 SAarE-EB5 又 SAFEC CE 2.:SAFEC =15 【题型05】梯形背景相似问题（期末高频中档题） 【典例5】如图，在梯形4BCD中，AD/BC,SMoD=4平方米，Soc=9平方米，则S稀形8cD平方米. 14 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 A D B 【解析】？解：：AD/BC,△AOD∽△COB. DO 2 (40 SACOB 00.2 9 0B-0C=3 S40D= D0A02 SAAOB OB OC 3 ÷Saos=6cm2,c=6cm,Sg形cD=25cm2 【变式5-1】△MBC中，AB=5,BC=6,AC=7,点D、E分别在边AB、AC上，且DE/BC (1)如果△ADE的面积与梯形BCED的面积相同，求DE的长： (2)如果AADE的周长与梯形BCED的周长相同，求DE的长. SMADE =1 【解析】解： (1) SMDE=S梯形6ED,SMBc2.:DE1/BC,.△ADE∽△ABC, SAADE DE 1 DE 2 BC 2 “BC2,BC=6,DE=3N2: (2) CMDE=C梯形BCBD,∴AD+AE+DE=DE+BD+CE+BC, .AD+AE=5-DA+7-AE+6...AD+AE=9 AD=AE-DE AD9-AD DE DEIIBC.AB-AC-BC.5 7 6, DA=15 DE-3 4, 2 15 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式5-2】如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DElIBC,∠ACD=∠B (1)写出图中所有与△4DE相似的三角形（不必证明）； (2)如果CD=20cm,BC=30cm,△BCD的面积为18c2,求△ABC的面积. A ò 公 B 【解析】(1)△ADE∽△MBC,△ADE∽△ACD, △ACDAABC,△EDC∽△DCB: (2)由(1)知：AEDC∽△DCB ED DC SAEDC DC .DC CB SADCB CB .CD=20cm CB=30cm SADCB =18cm2DE=40 3cm Sune -8cm SBCD=18,.S格形DaE=18+8=26.DE1/BC,.△4ADE∽△ABC SAEDA= DE216 S梯形D8cE_65 CB 81 S.ac 81 【变式5-3】如图，梯形ABCD中，AD/BC,E是腰AB上的一点，过点E作BC的平行线交CD于点F,已知AD= 2,BC=6. 16 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AE_2 (1)如果EB3,试求EF的长： S桃形AEFD 2 (2)如果S形EBCF 试求EF的长. A 0 R 【解析】解：(1)过点A作ANIIDC交BC于点N,交EF于点M. E 少 C AD//NC //FE. ∴·四边形ANCD是平行四边形， 四边形AMFD是平行四边形， .AD=MF NC=2.BC=6,..BN=4 AE=EMAE=2、AE=2 .EF //BC.AB BN,'EB 3,AB 5, ME 2EM=5BF=5 (2)分别延长BA、CD交于点G. 17 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A D B SMDG= AD 1 AD//BC,SxG8c CB 9 设S带形1BrD=2a S梯形EBCr=3a 则5梯形HcD=5a SAGDA SAGDA 、1 :.SMDG+S梯形ABcD SMDG+5a 9 SAGDA= 5 SMDG= 21 a SAGEF 8 8a+2a 2 SMDG= AD 2 .EF //AD.SAGEF EF EF 21 EF-205 【题型06】压轴综合题型（期末、中考高频） 【典例6】(24-25九年级上：上海普陀期中)如图，在平行四边形ABCD中，BC=L,点E,F是对角线BD上的两点， 且BE=EF=FD,AE的延长线交BC于点G,GF的延长线交AD于点H. E 18 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (I)求HD的长： (2)设△BGE的面积为S,求四边形AEFH的面积.（用含S的代数式表示） 【详解】(1)解：四边形ABCD是平行四边形，BC=1, ∴.BC=AD=1,BC∥AD, :点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD, BE FD 1 .DE FB2 GB∥AD ·△BGEn△DAE, GB BE 1 .ADDE2· o840-月 .HD∥GB .∴△HDF∽AGBF HD FD 1 ·GBFB2 ..HD=GB= 1 1 2 4 HD=1 4: (2)ABGEADAE,S.BGE =S 19 宋老师数学图文制作室 o ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 S.BGE .S.DAE -(DE-4 S.DAE =4S.BGE =4S BE=EF, S.BGE =S.FGE=S .S.GBF =2S.BGE=2S, :aHDF∽aGBF, S.E=(FD1 S.(FB=4 S.MDE S GBF 1 4 S8边形Bm=S.0ME-Sor=45-S 21 7 :四边形ABFH的面积为2S 【变式6-1】如图，梯形ABCD中，ADI/BC,BC=3AD,E是腰AB上的一点，连接CE. (1)如果CE⊥AB,AB=CD,BE=3AE,求∠B的度数： BE (2)设△BCE和四边形AECD的面积分别为S和S2,且2S=3S2,试求AE的值. 20 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A B 【解析】解：(1)分别延长BA、CD交于点M,如图所示. M D E B :AD/IBC,.△MAD∽△MBC, AD MA 1 BCMB3,即MB=3MA. 设MA=2x,则MB=6x,∴.AB=4x .EB=3AE,.BE=3x,AE=x, BE=ME=3x,又CE⊥AB,.CB=MC, 又'MB=MC, .△MBC为等边三角形， ∠B=60° 21 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AD 2 (2)'AD/IBC,∴.AMAD∽△MBC,SABC CB 9 设SaaD=S=a,则SAIBC=9a,S+S,=8a 25=3双.5-24。 5a.S,=a. SAMEC.=MES3+S27 .SAECB EB S8 设ME=7k,则EB=8k,MB=15k AM-号MB=5 AE=7k-5=2k, BE=4 .AE 【变式6-2】如图，在△4BC中，∠A=90°，BC=10,△4BC的面积为25，点D为AB边上任意一点（点D不与点 A、B重合)，过点D作DEI/BC,交AC于点E.设DE=x,以DE为折线将△ADE翻折（使AMDE落在四边形 DBCE所在的平面内)，所得的△M'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y. (1)用x表示△4DE的面积； (2)求出0<x<10时，y与x的函数关系式 A 【解析】解： (1)DE/IBC,∴.△ADE△ABC BC DE=x,BC=10.SMbc =25 22 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .25=x 10 4 (2) ·SBc= 号BCAG=25 BC=10,∴.AG=5 5 若点A在边BC上，则△ADE的高AH为2， AH 1 DE 1 AG2,△MDE△MBC,BC2,x=5」 1 ①当0<x≤5时 y=Sae=Sae=子 DE AH ②当5<x<10时，y=S梯形nED,如图2，△MDE∽△ABC,“BCAG A 1 D B M、 G/N C A 图2 AH-x GH-5-x MN AG .AAMN∽△ADE,DE=AH 9MN=2(x-5) (N+DEyG-(-10+5- 23 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ,0<≤到 3 y=- x2+10x-25 2+10x-25,(5<x<10) 即 综上 4 【变式6-3】如图，已知△MBC与AMDE都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C重合），DE与AC相交于 点F. (1)求证：△ABD∽△DCF: (2)若BC=1,设BD=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及定义域： S=7 (3)当x为何值时，SD9? E C D 【解析】(I)“△MBC、△MDE是等边三角形 ∠B=∠C=60°，∠E=∠EDA=60 :'∠CDF+∠FDA=∠B+∠DAB LCDF=∠DAB,∴△ABDADCF: ABBD (2)由(1)得△ABD∽△DCF,“DCCF 1-xy y=-x2+x(0<x<1), .AB_AD (3)易证△ABD∽△AEF, AE AF 24 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 SAAEF AE 7 .AE2 AF2 7 SAABD AB 9 ·AB2=AD29 、AE2AF27 ,AF249 ·△4DE是等边三角形 ∴AD=AE …AB2AE2=9 ·AB281 .AF=] .AB=1 y=CF=1-7-2 99 2+x=2 9 1 3、 解得 x=2或x= 3 当3 3时，S4BD9 课堂小结·知识梳理 1.三大核心性质（必背） ①对应角相等，对应边成比例 ②对应高、中线、角平分线之比=相似比： ③周长比=相似比，面积比=相似比的平方。 2.标准解题步骤（通用万能） 第一步：判图形、证相似（找准A字型、8字型、母子型模型）； 第二步：对顶点、定比例（杜绝对应关系错误）； 第三步：算线段用相似比，算面积用平方比，面积反求相似比必开方。 3.终极易错提醒 ①“对应”是解题核心，顶点对应正确，比例式才不会出错： ②面积与相似比的平方关系是本章最大易错点，全程牢记： ③判定定理用于证相似，性质定理用于计算，二者必须搭配使用。 0 课后作业·巩固延伸 25 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 一、单选题 1.(25-26九年级上·上海崇明期末)如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为 () A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 【答案】A 【详解】解：，两个相似三角形的面积比为1：4， 两个三角形的相似比为1：2， 又，相似三角形对应中线的比等于相似比， .这两个三角形的对应中线的比为1：2， 故选：A. 2.(23-24九年级上·上海·阶段检测)某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 1.5m,影长是lm,旗杆的影长是8m,则旗杆的高度是() A.12m B.11m C.10m D.9m 【答案】A 【详解】解：设旗杆高度为h米， ,身高影长=旗杆高旗杆影长， 1.5h 1=8 ∴.h=1.5×8=12m, .旗杆高12m 26 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故选：A. 3.(25-26九年级上·上海静安·期末)已知一个三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形最短边的长为 6cm,那么另一个三角形的周长为() A.12cm B.24cm C.36cm D.48cm 【答案】B 【详解】解：，相似三角形对应边成比例，且原三角形三边比为3：4：5， .新三角形三边比也为3：4：5，设新三角形三边分别为3kcm、4kcm、5kcm, ,新三角形的最短边3k=6, k=2, .新三角形的另两边长分别为8cm、l0cm, .新三角形的周长为6+8+10=24cm, 故选：BB, 4.若△ABC∽△DEF,且△ABC与ADEF的相似比为l:3,则SABc:SDF为() A.1:3 B.1:9 C.1:5 D.1:6 【答案】B 【详解】解：：△ABC∽aDEF,相似比为l:3 .S48c:SDEr=12:32=1:9 DE 1 5.(23-24九年级上湖南永州期中)如图，在。ABC,中线BE,CD相交于点D,连接DE,下列结论：①BC2: 27 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味兰 S.0E-1 、ADOE。SoDE=} ②S.c02:®AB0O8:④Sc3,其中正确的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：：BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点， .DE是△ABC的中位线， 1 DE 1 ·DE∥BC' DE=2BC,即BC2,①正确： 2 :DE∥BC ∴.aODE∽aOCB, SADOE DE :..SACOB BC 4 ②错误： :DE∥BC,△ODEAOCB, AD DE OE :.AB BC OB ③正确： △ODEAOCB, OD DE 1 CO-BC2 28 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 S0E=1 S CDE 3 又：BE是△ABC的中线， S.CDE=1 心Scm2' SADOE =1 六SMc6,④错误， 故①③正确： 故选：B 6.(25-26九年级上·上海奉贤期末)一个三角形框架模型的边长分别为20cm,30cm,40cm,工人师傅要利用两 根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料） 作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是() A.80cm B.67.5cm C.60cm D.52.5cm 【答案】B 【详解】解：由题意得，①以30cm铁丝为最长边，设中等边长为xcm,短边长为cm, y=x-30 .203040' 则x=22.5,y=15, .15+22.5<50, ∴符合题意，周长为：30+15+22.5=67.5(cm), ②以30cm铁丝为中等边，设最长边为xcm,短边长为cm, 29 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 y30_x .203040 则x=40,y=20, .40+20>50, ∴不符合题意： ③以30cm铁丝为最短边，设最长边为xcm,中等边长为cm, 30_y=x ·203040 则x=60,y=45, 60+45>50, 不符合题意： ④以50cm铁丝为最短边，设最长边为xcm,中等边长为cm, 50=y= 203040' 则x=100,y=75 100+75>30, ∴不符合题意： ⑤以50cm铁丝为中等边，设最长边为xcm,短边长为cm, 20=3040 200 100 则x= 3, 3 30 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件讲义、单元、月考、期中期脉白 200.10 :33 >30 ∴不符合题意： ⑥以50cm铁丝为最长边，设中等边长为xcm,短边长为cm, y==50 203040 则x=37.5,y=25. 37.5+25>30, ∴.不符合题意， 故选：B 二、填空题 7.相似三角形的对应高之比为1：2，那么对应周长之比为 【答案】1：2 【详解】解：，相似三角形对应高的比为：2， 这两个相似三角形的相似比为1：2， .相似三角形的对应周长之比为1：2， 8.(2026上海闵行·一模)如果两个相似三角形的面积之比为16：9，那么它们的周长之比是 【答案】4：3 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为k(k>0), 则面积比为k2, 31 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 由题意，2=16 9 164 解得k=93’ 周长比等于相似比，即它们的周长之比是4：3， 故答案为：4：3 9.(25-26九年级上·上海阶段检测)己知正方形ABCD的边长是3，点E在边AD的延长线上，如果DE=1,联结 AM BE与对角线AC相交于点M,那么MC的值为一， 【答案】3 【详解】解：：四边形ABCD是边长为3的正方形， ∴.AD=BC=3,AD‖BC, .△AME∽△CMB, AM AE 3+1 4 MC BC 3 3' 故答案为：3： D B 10.(2026上海杨浦二模)在梯形ABCD中，AD‖BC,对角线相交于点O,如果SBcD=2SBD,则Sc:SCD= 32 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】2：3 【详解】解：依题意，如图所示： B :AD‖BC,△ABD和△BCD的高都等于梯形的高（两平行线间距离相等），且S,CD=2S,BD, S,aCD.=2=BC .S。ABD AD .BC:AD=2:1, .ADIl BC. .∠ADO=∠CBO,∠DAO=∠BCO, .△AODACOB, OD AD 1 则B0-BC2' o00, 3 .BD=OB+OD=OB+OB=>OB. BD 3 B02 ,△BOC和△BCD共顶点C,底边OB、BD在同一直线BD上，高相同， 33 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 因此面积比等于底边长的比，即SBoc:ScD=OB:BD=2:3, 故答案为：2：3 11.(2425九年级上·上海期中)如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠ABD=∠C,AD=4,AC=9,那么 AB=」 D 【答案】6 【详解】解：，∠ABD=∠C,∠A=∠A, ∴.△ABD∽△ACB ABAC AD AB' AB2=AC·AD=4×9=36, ∴AB=V36=6 12.(2026:上海松江·一模)如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度CD=2.7米，标杆与旗杆 的水平距离BD=16米，人的眼晴与地面的距离EF=1.7米，当E、C、A三点共线时，人与标杆CD的水平距离 DF=2米，那么旗杆AB的高度是 米 H B 34 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】10.7 【详解】解：作EH⊥AB交CD于点G, H B 由题意可知：四边形EFDG,DBHG均为矩形， .EF=DG=BH=1.7,EG=DF=2,HG=BD=16,CDIl AB, .'.CG=CD-DG=1,EH=EG+HG=18. CD‖AB, .△EGC∽△EHA, EG_CG 21 ∴EFAH,即8AH AH=9, .AB=AH+BH=9+1.7=10.7,即旗杆AB的高度是10.7米： 故答案为：10.7」 13.(25-26九年级上·上海浦东新·期中)数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(latticepoint )或整点.坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形.如图，点A、B、C、D都是格点，△PR是一个格点 三角形，且点P的坐标是(4，)，若点A、B、C、D分别都和点P、Q连接，且连接后构成的格点三角形和△PQR相 似，则这个点的坐标是 35 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】(2,2) 【详解】解：如图，点A、B、C、D分别都和点P、Q连接， PR=2,QR=P+P=V2,PQ=V32+P=0,BP=P+22=5,B0=5, BP-5-0Pg_0B≌-5=i0 ..OR v2 2’PR=2QP1o2' BP PO BO .OR PR OP, :△BPO和△ROP相似，即点B和点P、2连接后构成的格点三角形和△POR相似，B(2,2), 故答案为：(2,2). YA D 14.(2026:上海闵行一模)如图，在△ABC中，点M、N分别是ABBC的中点，连接AWCM交于点G, GF∥AC交BC于点F,那么SNGr:SGAC= M G B 36 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【跨案1店 【详解】解：在△ABC中， :点M、N分别是AB、BC的中点， ∴.MN是△ABC的中位线， 1 则MN∥AC,MN=2AC, .∴∠NMG=∠ACG,∠GNM=∠CAG, ∴GNMAGAC, MN MG NG 1 AC CG AG 2' ∴.S.GAC:ScNw=4:l, .S.GNM S.GNC =MG:GC=1:2 GF∥AC, ∠NGF=∠NAC, △NGF∽aNAC, .NG:AG=1:2, .GW:AN=1:3, 在△NAC中，△GAC和△NAC等高， 37 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 S.OuC=AG_2 S.NAC AN 3' 1 SANFG- S.NAC 1 9 SGAC 2 69 故答案为：1：6 15.(25-26九年级上·上海青浦期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,BC=3,AC=4,四边形DEGF为内接正方形， 那么AD:DE:EB为— F B D 【答案】1612：9 【详解】解：过点C作CN⊥AB于点N,交FG于点M, ,在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4, .AB=AC2+BC2=5, :Sx-×4Bxcv=x4CxBC, x5xCN= 1 2×4x3, Cw=12 , 四边形DEGF为内接正方形， 38 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .FGI DE FG‖AB, .△CGFACBA, CMFG .CN AB' 设正方形DEGF的边长为x, .CM =CN-x-2-x 12 -x 5 2=5 :xs60 37 ,FD⊥AB, .∠ADF=∠ACB=90°， ∠A=∠A, .△ADF△ACB, AD DF ·ACBC' 60 4D-37 43 解得：AD=8 7； 39 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 同理，△BEG∽△BCA」 BE EG ·BC=AC 60 BE=37, 34 解得：BE=45 Γ37 ÷4D:D6:BE=80:6045-16129 373737 M E 16.(2026上海静安·二模)如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BF⊥CE,垂足为点P,已知 CP=9,PF=7,那么BF的长为一· F D 【答案】10或13 【详解】解：设BF=x,则PB=BF-PF=x-7, 四边形ABCD是正方形， 40 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .∠A=∠ABC=90°，AB=BC, ∴.∠BCE+∠BEC=180°-∠ABC=90°， BF⊥CE. .∠BPE=∠BPC=90°， ∴.∠BEC+∠ABF=180°-∠BPE=90°， ∴.∠ABF=∠BCE, 在△ABF和△BCE中， 「∠ABF=∠BCE AB=BC ∠A=∠EBC :AABF≌aBCE(ASA), ∴.CE=BF=x, .'.PE CE -CP =x -9, .:∠ABF=∠BCE,∠BPE=∠BPC, .△PBE△PCB, PB PE :.PC B,即PB2=PC·PE' .(x-7）2=9(x-9), 解得x=10或x=13, .BF的长为10或13 41 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味三 17.(24-25九年级上·上海·期中)如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这 个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB=AC=25,AD=CD=3·点E、F分别是边AD、BC的中 点，如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF= V41 【答案】 2 【详解】解：如下图： 4 B D 是凸四边形 的相似对角线， .AC ABCD .△ABC∽△DAC, AB=AC,AD=CD, AB BC AD=AC,即AC2=BCAD，且∠ACB=∠ACD=∠CAD, AB=AC=23,AD=CD=3, 片BC=4C2-23-2-4 AD 33 :∠ACB=∠CAD, :BCIIAD AB=AC,F是BC的中点， AFLBC CF-TBC-2 3 42 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .AF⊥AD,即∠FAE=90°， :E是AD的中点， 、AE=)AD=2, 1 3 在R1△AFC中，由勾股定理得AF=√AC2-CF2=V(2W3)}-22=2-4=2√2， 中，由勾股定理得EF=√AF2+AE2= (22)2+ 3）2 在 41-4 RtAAEF 三、解答题 18.(25-26九年级上：上海宝山阶段检测)如图：在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点 O,CE与BA的延长线相交于点G,已知DE=2AE,CE=6.求GE、CO的长. G B 【答案】GE=3,C0=3.6 【详解】四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AB∥CD, ∴.AG∥CD .△CDEn△GAE, DE CE ·AEGE .DE=2AE,CE=6. 43 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 26 GE' ∴GE=3. AD∥BC, .△BOCADOE, CO BC .EO DE' BC=AD=3AE,DE =2AE CO BC 3 .6-C0DE2, .∴.C0=3.6 19.(2025·上海松江·二模)已知：如图，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，连结AP、CP并延长，分 别与边CD、AD交于点E、F. B (I)求证：AE=CF: (2)如果∠APF=2∠ABD,求证：BP·BD=2AB. 【答案】() 证明：(1)四边形ABCD是菱形， .AD=CD,BD垂直平分AC, 44 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∠ACD=∠CAD, 点P在BD上， :PA=PC, .∠PAC=∠PCA. 在△MCE和△CAF中， ∠ACE=∠CAF AC=CA ∠EAC=∠FCA :△ACE≌aCAF(ASA, .AE=CF, (2) 证明：设AC交BD于点L,则LB=D-BD, D B ·AB=CBBD⊥AC ∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ABC=2∠ABD, ∠APF=2∠ABD, ∠APF=∠ABC, 45 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .∠ABC+∠APC=∠APF+∠APC=18O°， .∠BAP+∠BCP=360°-（∠ABC+∠APC)=180°， ∠BAC=∠BCA,∠PAC=∠PCA, ·∠BAP=∠BAC+∠PAC=∠BCA+∠PCA=∠BCP, .2∠BAP=180°， ∠BLA=∠BAP=90°， ∠ABL=∠PBA, .△ABL△PBA, AB LB .BP AB' .BP AB ..BP.BD=2AB2 20.(2026:上海静安·二模)如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是正方形外一点，连结AE、EF、AF, 对角线AC与线段EF相交于点M,如果AB·AF=AE·AC,且∠EAC=∠DAF. D B E (1)求证：∠ACF=90°，AF=V2EF: 46 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)当点E是边BC的中点时，请直接写出△AMF与△EMC面积的比值：-， 【答案】(I)证明：：AC是正方形ABCD的对角线， ∴.∠BAC=∠CAD=45°， :∠EAC=∠DAF, ∴.∠BAC-∠EAC=∠CAD-∠DAF, 即LBAE=∠CAF, ,AB·AF=AE·AC, AB AE …AC=AF, ,∴.△ABE△ACF, ∴.∠ACF=∠B=90°， ,∠BAE=∠CAF, ,∴.∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC, 即∠BAC=∠EAF=45°， AB AE AC-AF' AB_AC AE AF ,△ABCP△AEF, ∴，△AEF是等腰直角三角形， ∴.AF=V2EF. 47 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 (2)解：：∠AEF=∠ACF=90°，∠AME=∠FMC ∴.△AEM∽△FCM, AM EM .FMCM AM FM ·EMCM' .·∠AMF=∠EMC, ∴.△AMF∽△EMC, :点E是边BC的中点， 设BE=EC=x,则BC=AB=2x, .AE=√AB2+BE2=V5x, AF=√2AE=V10x, )2 SAME AF 10x =10 EC 21.(2026:上海奉贤·二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AF交BD于点E、交BC于 点F,且BE=BF,∠BAF=∠DAC (1)如果AE=CF,求证：∠ABC=∠ACB: (2)连接OF.如果OF2=EF·AF,求证：F是BC的中点. 48 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件讲义、单元、月考、期中期蛛 【答案】(I)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∠DAC=∠ACF, ∠BAF=∠DAC, ∠BAF=∠ACF, BE=BF. .∠BEF=∠BFE. :∠AEB+∠BEF=180°，∠CFA+∠BFE=180°， ∴∠AEB=∠CFA, 在△ABE和△CAF中， [∠BAF=∠ACF AE=CF ∠AEB=∠CFA ∴△ABE≌△CAF(ASA. ..AB=CA, .∠ABC=∠ACB: (2)证明：OF2=EF·AF, OF EF AF OF' 又：∠AFO=∠OFE. 49 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 .△AFO∽△OFE .∠AOF=∠OEF, .∠COF=∠AEO. :∠AEO=∠BEF(对项角相等)， ∴∠COF=∠BEF, 又BE=BF, .∠BEF=∠BFE, .∠COF=∠BFE. .AD II BC, ∴.∠DAC=∠ACF, ∠BAF=∠DAC, .∠BAF=∠ACF, .△ABF∽ACFO. .∠ABF=∠CFO, .AB∥OF, :四边形ABCD是平行四边形， .O为AC中点， AB∥OF CF OC ·BFOA 50 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件讲义、单元、月考、期中期味 .CF=BF, F是BC的中点. 22.(25-26九年级上·上海·阶段检测)根据背景素材，探究解决问题. 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位 于法线两侧：入射角i等于反射角”，这就是光的反射定律. 法线 入射光线 反射光线 反射面 O 光的反射定律 图1 问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜 (墙、木板垂直于地面)，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘 点F,落在墙上的点卫处，点卫到地面的高度为3.5m,点F到地面的高度为l.5m,灯泡到木板的水平距离为5.4m 木板到墙的水平距离为4m.图中A,B,C,D在同一条直线上. 墙 木板 B 地面D 平面镜A 图2 任务(1)：求灯泡到地面的高度AG 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆AB垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平 51 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 面镜，假如你是该校的学生，请你设计一种测量旗杆AB高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写 出测量过程)，写出测量数据（线段长度用a、b、C表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆AB的高度（结 果用含a、b、c.…的式子表示)· B 777777777777777 【详解】(1)由题意可得：FC∥DE,DE=3.5m,CF=1.5m 则△BFC∽△BED, BC FC BDDE' BC1.5 ·BC+43.5 解得BC=3m, AC=5.4m, ∴.AB=5.4-3=2.4(m). 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴.∠FBC=∠GBA, 又，∠FCB=∠GAB, ∴.△BGAABFC, 52 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 AG FC ·ABBC AG_1.5 2.43 解得：AG=1.2m, 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m. 问题解决2： 解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直竖立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A,视 线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示， 777777777 测量数据：CD=a,EF=b,DF=c,BD=d, 由测量示意图易得△ACH∽△ECG,CG=DF=c,CH=BD=d,EG=EF-CD=b-a, AH CH EG CG' AHd 得-ac ..AH=d(b-a) :.AB=AH+BH-AH+CD-d(b-a)a-d(b-a)+ac=bd-ad+ac c c 53 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 d-ad+ac 故旗杆4B的高度为 3 23.(25-26九年级上·上海浦东新期中)如图，己知梯形ABCD:AD∥BC,AB=AD=5, tan∠DBC 4·E为射 S△EE=y. BD上一动点，过点E作EF∥DC交射线BC于点p,连接EC,设BE=x'Sc D B 备用图 (I)求BD的长； (2)当点E在线段BD上时，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)连接DF,若△BDF与△BDA相似，试求BF的长 【详解】(I)解：如图，过点A作AH⊥BD于H, D AD‖BC,AB=AD=5, ∴∠ABD=∠ADB=∠DBC,BH=HD, tan∠ABD=tan∠DBC=3 4· 在RIABH中，tan∠ABD=L-3 BH 4 54 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .设AH=3x,BH=4x, :4H+BH=AB2,即(3x)}+(4x}=52, .x=1, .BH=DH=4, BD=8: (2)解：EF‖DC, FC DE 8-x BF BE x·AFEBACDB' :△ECF与△EFB同高， S.ECE=FC_8-x SFEB BF x '△FEBACDB. SBDC 、BD ..= mS名r+特08 SBDC SFEB SBDC (3)解：由(1)可知，∠ADB=∠DBC, 若△BDF与△BDA相似， ①如图，当∠BFD=∠A时，则LABD=∠FDB, 55 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 B .ABIIDF, ∴四边形ABFD是平行四边形， ∴BF=AD=5, ②如图，当∠BFD=∠ABD时， D B ∠ADB=∠DBF,∠ADB=∠ABD, ∠DBF=∠BFD,△DBF∽AADB, DB BF DF=BD=8'AD DB' 8BF 即58， 64 ∴.BF= 5 64 综上所述：当。BDF与ABDA相似时，BF的长为5或5： 24.(25-26九年级上·上海普陀期中)已知：在R△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=12,点P是斜边AB上的一 56 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 个动点，PD⊥AB,交AC边于点D(点D与点A、C都不重合)，点E在射线DC上，且∠EPD=∠A,设A、P两 点的距离为x,△BEP的面积为y. 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点E和点C重合时，求AP的长： (2)如图2，当点E在线段DC上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域： (3)当△BEP与△ABC相似时，直接写出△BEP的面积. 【详解】(1)解：PD⊥AB, ∴.∠APD=90° .∠ACB=90°， ∴.∠APD=∠ACB ,∠A=∠A, ∴.△APD∽△ACB AP DP AC BC BC=6AC=12, DP BC 6 1 ·APAC122 ,·∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP, 57 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∴.△PED∽△AEP PE_EDPD-1 ∴AE-PE-AP2· .PE=6,ED=3 .AD=9 DP 1 APAP=x' .'.DP 2 ,∠APD=90°， ∴.AD2=AP2+DP2 8=r+ 解得x5, 4n-g5 (2)解：过点E作EH⊥AB于点E,如图， A D H E 图2 .∠AHE=90° 58 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :∠APD=90, ∴.∠AHE=∠APD .DP∥EH. DP AD :.EHAE' PE ED PD 1 AE-PE AP 2 设ED=a,则PE=2a,AE=4a, ∴AD=AE-ED=4a-a=3a, AD 3 AE4' DP 3 :.EH 4' 又：DP= 2t, :EH 3x. :∠ACB=90°，BC=6,AC=12. .AB=VAC2+BC2=65」 .PB=6V5-x. SEP=5XPB×EH, 2 65- ∴y= 59 宋老师数学图文制作室 'o ©初高中数学备课备考 ∽ 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 r+250s5 (3)解：当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或LEBP=∠C=90°. ①当∠BEP=9O°时，点E在线段DC上，△PEBABCA,如图， DP∥EH, ∴.△APD∽△AHE, ,△APD∽△ACB, ,△PEHr△BAC, PE AB ·HEAC' 2 ∴PE=HE.AB-65 5x AC 12 PE BC PB AB' √5x 3-=6 6W5-x65 解得x=9 +25 95 225 4-16 60 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 H 2-d 当 时，点E在射线 上，即点E在C点下方， B② ∠EBP=90° DC △EPB∽AABC ,PD⊥AB .∠APD=90°， 又：∠EBP=90°， .DP∥EB, ∴.△APDAABE, :△APD∽△ACB. ∴.△ABE△ACB, AE AB ·AB AC' 5-5 AC 1 在RIAABE中，BE=√AE2-AB=1S2-(6N5=3N5, △EPB∽AABC, PB BC ·BEAC’ PB 6 352 61 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 ,'o ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :PB=3 .m P5 22 x3V5=45 ， 22545 综上所述，△BEP的面积为16或4， - D B E 62学科网 第10讲 相似三角形的性质（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：基础对应性质 知识点02：对应线段性质 知识点03：周长与面积性质 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：相似比与周长比互求 题型02：相似比与面积比互求（高频易错） 题型03：对应线段比值计算 题型04：证相似+性质求线段（解答题基础必考） 题型05:梯形背景相似问题（期末高频） 题型06：压轴综合题型（期末、中考高频） 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（7） 【知识点01】基础对应性质（由相似定义推导） 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 符号语言： ； 关键要点：书写三角形相似时，顶点必须严格对应，是避免找错对应边、对应角的核心前提。 【知识点02】对应线段性质（课本重点必考定理） 相似三角形对应边上的高、对应中线、对应角平分线的比值，均等于两三角形的相似比。 符号语言： 若、分别为、对应边上的高，则； 对应中线、对应角平分线同理，比值均等于相似比。 推导思路：通过AA判定定理，证明对应线段与底边构成的小三角形相似，即可证得该定理。 易错提醒：仅对应的高、中线、角平分线满足该性质，非对应线段比值不等于相似比。 【知识点03】周长与面积性质（考试高频核心） 1. 相似三角形的周长比等于相似比： 2. 相似三角形的面积比等于相似比的平方： 【题型01】相似比与周长比互求 【典例1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的周长比是 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如果两个相似三角形的周长分别是、，那么这两个三角形对应角平分线的比是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1-2】（24-25九年级上·上海松江·期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，且它们的周长差为15厘米，则周长较小的三角形的周长为 厘米． 【变式1-3】（2025·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为 ． 【题型02】相似比与面积比互求（高频易错） 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）已知两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形对应中线之比为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形的周长之比是 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如果两个相似三角形对应角平分线的比为，其中小三角形的面积为4，那么大三角形的面积为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心，那么的值为 ． 【题型03】对应线段比值计算 【典例3】如图，在中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值． A B C D E 【变式3-1】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值． A B C D E F G 【变式3-2】如图，D是的边BC上的点，，BE是的角平分线，交AD于点F，，，求BF：BE． A B C D E F 【变式3-3】如图，在中，于点D，于点E，EC和BD相交于点 O，联结DE．若，，求的值． A B C D E O 【题型04】证相似+性质求线段（解答题基础必考） 【典例4-1】如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【典例4-2】如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、 AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长． A B C D E F G H P 【变式4-1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【变式4-2】如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且，将沿DE翻折，使点A落在BC上的点F上． （1）求证：∽； （2）求BF的长． A B C D E F 【变式4-3】如图，，于点F，，，且CE = 5， 求：（1）BC的长；（2）． A B C D E F 【题型05】梯形背景相似问题（期末高频中档题） 【典例5】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，= 4平方米，= 9平方米，则 平方米． A B C D O 【变式5-1】中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，点D、E分别在边AB、AC上，且DE//BC． （1）如果的面积与梯形BCED的面积相同，求DE的长； （2）如果的周长与梯形BCED的周长相同，求DE的长． 【变式5-2】如图，在中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，． （1）写出图中所有与相似的三角形（不必证明）； （2）如果CD = 20cm，BC = 30cm，的面积为18cm2，求的面积． A B C D E 【变式5-3】如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是腰AB上的一点，过点E作BC的平行线 交CD于点F，已知AD = 2，BC = 6． （1）如果，试求EF的长； （2）如果，试求EF的长． A B C D E F 【题型06】压轴综合题型（期末、中考高频） 【典例6】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点． (1)求的长： (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【变式6-1】如图，梯形ABCD中，AD//BC，BC = 3AD，E是腰AB上的一点，连接CE． （1）如果，AB = CD，BE = 3AE，求的度数； （2）设和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1 = 3S2，试求的值． A B C D E 【变式6-2】如图，在中，，BC = 10，的面积为25，点D为AB边 上任意一点（点D不与点A、B重合），过点D作DE//BC，交AC于点E．设DE = x， 以DE为折线将翻折（使落在四边形DBCE所在的平面内），所得的 与梯形DBCE重叠部分的面积记为y． （1）用x表示的面积； （2）求出时，y与x的函数关系式．A B C D E A’ 【变式6-3】如图，已知与都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C 重合），DE与AC相交于点F． （1）求证：∽； （2）若BC = 1，设BD = x，CF = y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）当x为何值时，？ A B C D E F 1. 三大核心性质（必背） ① 对应角相等，对应边成比例； ② 对应高、中线、角平分线之比=相似比； ③ 周长比=相似比，面积比=相似比的平方。 2. 标准解题步骤（通用万能） 第一步：判图形、证相似（找准A字型、8字型、母子型模型）； 第二步：对顶点、定比例（杜绝对应关系错误）； 第三步：算线段用相似比，算面积用平方比，面积反求相似比必开方。 3. 终极易错提醒 ① “对应”是解题核心，顶点对应正确，比例式才不会出错； ② 面积与相似比的平方关系是本章最大易错点，全程牢记； ③ 判定定理用于证相似，性质定理用于计算，二者必须搭配使用。 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海·阶段检测）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是，影长是，旗杆的影长是，则旗杆的高度是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知一个三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形最短边的长为，那么另一个三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 4．若，且与的相似比为，则为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 8．（2026·上海闵行·一模）如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知正方形的边长是3，点在边的延长线上，如果，联结与对角线相交于点，那么的值为_____． 10．（2026·上海杨浦·二模）在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则___________． 11．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 12．（2026·上海松江·一模）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是______________米． 13．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是______． 14．（2026·上海闵行·一模）如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 15．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，四边形为内接正方形，那么为______． 16．（2026·上海静安·二模）如图，正方形中，点、分别在边、上，，垂足为点，已知，，那么的长为______． 17．（24-25九年级上·上海·期中）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形中，， ．点E、F分别是边、的中点，如果是凸四边形的相似对角线，那么 _______． 三、解答题 18．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 19．（2025·上海松江·二模）已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 20．（2026·上海静安·二模）如图，正方形中，点E在边上，点F是正方形外一点，连结、、，对角线与线段相交于点M，如果，且． (1)求证：，； (2)当点E是边的中点时，请直接写出与面积的比值： ． 21．（2026·上海奉贤·二模）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，交于点、交于点，且，． (1)如果，求证：； (2)连接．如果，求证：是的中点． 22．（25-26九年级上·上海·阶段检测）根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜（墙、木板垂直于地面），手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度为，点F到地面的高度为，灯泡到木板的水平距离为，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． 任务（1）：求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你设计一种测量旗杆AB高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用a、b、c…表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）． 23．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知梯形，，，．为射线上一动点，过点作交射线于点，连接，设，． (1)求的长； (2)当点在线段上时，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，若与相似，试求的长． 24．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知：在中，，点P是斜边上的一个动点，，交边于点D（点D与点A、C都不重合），点E在射线上，且，设A、P两点的距离为x，的面积为y． (1)如图1，当点E和点C重合时，求的长； (2)如图2，当点E在线段上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当与相似时，直接写出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $