第02讲 形如y = a(x + m)²+ h二次函数的图像与性质（知识详解+11典例精讲+课后作业）-2026年九年级数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

第02讲 形如y = a(x + m)2 + h二次函数的图像与性质 （知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：y = ax2 + h的图像与性质 知识点02：y = a(x+m)2 的图像与性质 知识点03：y = a(x + m)2 +h的图像与性质 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：y = ax2 + h的图像 题型02：y = ax2 + h的性质 题型03：与 间的关系 题型04： 的图象 题型05： 的性质 题型06：与 间的关系 题型07：y = a(x + m)2 +h的图象 题型08：y = a(x + m)2 +h的性质 题型09：y = a(x + m)2 +h与 间的关系 题型10：二次函数平移 题型11：待定系数法求二次函数解析式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数y = ax2 + h的图像与性质 一般地，二次函数y = ax2 + h的图像是抛物线，称为抛物线y = ax2 + h，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到,对称轴是y轴,顶点坐标是（0，h） 【知识点02】二次函数y = a(x+m)2 的图像与性质 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到,对称轴为直线x = -m，顶点坐标是（-m，0）。 【知识点03】二次函数y = a(x + m)2 +h的图像与性质 一般地，抛物线y = a(x + m)2 +h的对称轴是直线x=-m，顶点是(-m，h).抛物线y = a(x + m)2 +h可由抛物线 y=ax²平移得到，平移的方向由m、h的符号决定，距离由m、h的绝对值决定. 若a>0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x=-m时，函数值y取到最小值，最小值为h. 若a＜0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x=-m时，函数值y取到最大值，最大值为h. 【题型01】y = ax2 + h的图像 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数中，， 二次项系数， 该二次函数的图象开口向下， ，， 该二次函数的顶点坐标为， 选项符合题意． 故选：． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）抛物线的对称轴是______． 【答案】轴 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）抛物线在y轴右侧部分呈现______的趋势填“上升”或者“下降” 【答案】下降 【详解】解：中的，， 抛物线开口向下，对称轴为y轴， 轴右侧部分呈现下降的趋势， 故答案为：下降． 【题型02】y = ax2 + h的性质 【典例2】若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵点和点都在抛物线上， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海·期中）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m___________n．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【详解】解：由二次函数，可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线经过点、，那么______．（填“＞”、“＜”、或“＝”） 【答案】 【详解】解：∵ ∴开口向下，有最大值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越大， ∵， ∴， 故答案为：＞． 【变式2-3】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么_________．（填“”、“”、或“”） 【答案】 【详解】解：∵ ∴开口向上，有最小值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越小， ∵ ∴ 故答案为：． 【题型03】与 间的关系 【典例3】对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（    ） A．形状相同 B．顶点相同 C．最小值相同 D．最大值相同 【答案】A 【详解】解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到， ∴抛物线和形状相同， 故A正确，符合题意； ∵抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为m；抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为0．故B、C、D错误，不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 【变式3-2】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【答案】 下 轴(或) 低 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【变式3-3】在同一个平面直角坐标系中，画出函数与的图象． 【答案】 【详解】解：由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象。 【题型04】 的图象 【典例4】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上 故选：C． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 【变式4-3】（23-24九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 【题型05】 的性质 【典例5】（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【变式5-1】已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 【变式5-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： __________（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 点、都在二次函数的图象上，且， ， 故答案为：． 【变式5-3】（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 【题型06】与 间的关系 【典例6】（2026·上海金山·一模）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为_____． 【答案】 【详解】解：抛物线向左平移3个单位可得， 故答案为：． 【变式6-1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 【详解】先列表：            描点、连线，画出这两个函数的图象： 【变式6-2】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)． 【详解】（1）解：向左平移两个单位得到； ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标． （2）解：向右平移四个单位得到， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标． 【变式6-3】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【题型07】y = a(x + m)2 +h的图象 【典例7】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）抛物线在对称轴的右侧下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：抛物线的二次项系数为， 由题意，抛物线开口向下， 故， 解得， 故答案为：． 【题型08】y = a(x + m)2 +h的性质 【典例8】已知点，在抛物线上，则______（比较大小关系）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，且抛物线上的点距离对称轴的距离越远，的值也越大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，根据点距离对称轴越远函数值越小， 距离对称轴6， 距离对称轴2， 距离对称轴1， ， ， 故选：A 【变式8-2】已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式8-3】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【题型09】y = a(x + m)2 +h与 间的关系 【典例9】（25-26九年级上·上海崇明·期末）将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将抛物线平移，使顶点移到点的位置， ∴所得新抛物线的表达式是， 故选：C． 【变式9-1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【详解】解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 【变式9-2】试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线作怎样的平移？ 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此应将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度． 【变式9-3】已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 【题型10】二次函数平移 【典例10】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）将抛物线向右平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴替换为，， ∴新抛物线的表达式为， 故选：A． 【变式10-1】（24-25九年级上·上海·阶段检测）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：， 故顶点坐标为：； 故选C． 【变式10-2】将抛物线向左平移6个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 【答案】的值为 【详解】解：将抛物线向左平移6个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为，                         将点代入中，得， 的值为． 【变式10-3】将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【题型11】待定系数法求二次函数解析式 【典例11】已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 【变式11-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 (1)填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． (2)如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 【详解】（1）解：①， 抛物线的对称轴为直线 故答案为： ②抛物线的对称轴为直线，它与x轴的一个交点坐标是， 图象与x轴的另一个交点坐标为 故答案为： （2）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 它的顶点坐标为 【变式11-2】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求m的值． (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时， ． 抛物线的顶点为， ．又抛物线经过点， ，解得， 抛物线对应的函数解析式为， （2）点在抛物线上， ，解得， 的值为1或． （3）如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P． 点的坐标为，对称轴是直线， ，则直线的函数解析式为． 联立解得 故点P的坐标为． 【变式11-3】（2026·上海·模拟预测）已知抛物线：（，），其顶点为，且与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． (1)当时，①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标． ②点在抛物线上，延长至使得，若点落在抛物线上，求的坐标． (2)过点作直线垂直于轴，与抛物线的对称轴交于点，交抛物线于点（在对称轴右侧）、若，求的值． 【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点A的坐标为； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设， ∵， ∴点D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵在抛物线的图象上， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或； （2）解：∵轴交对称轴于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得抛物线的解析式为：， ∵点Q在抛物线上， ∴，即①， 又点在抛物线上， ∴，即②， 把②代入①得， 解得：． 1.二次函数y = ax2 + h的图像与性质 抛物线y = ax2 + h的特征：抛物线y = ax2 + h （其中a、c是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0，抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，有最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点 2.二次函数y = a(x+m)2 的图像与性质 抛物线y = a(x+m)2 的特征：抛物线y = a(x+m)2 （其中a、m是常数，且a≠0）的对称轴是即直线x=-m，抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，有最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点 3.二次函数y = a(x + m)2 +h的图像与性质 一般地，抛物线y = a(x + m)2 +h的对称轴是直线x=-m，顶点是(-m，h).抛物线y = a(x + m)2 +h可由抛物线 y=ax²平移得到，平移的方向由m、h的符号决定，距离由m、h的绝对值决定. 若a>0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x=-m时，函数值y取到最小值，最小值为h. 若a＜0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x=-m时，函数值y取到最大值，最大值为h. 一、单选题 1．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴二次项系数，二次函数开口向下，函数存在最大值， ∵顶点式的顶点坐标为，该函数顶点坐标为， ∴的最大值为． 2．抛物线的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． 3．将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的二次函数的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的图象向上平移个单位长度， ∴得到的二次函数的表达式为． 4．将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是（    ） A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．随的变化情况不变 D．与轴的交点不变 【答案】D 【详解】解：将的图象向下平移两个单位，得到新函数 二次函数开口方向由二次项系数决定，两个函数的二次项系数都是， 开口方向不变，A不符合题意； 原函数对称轴为，新函数对称轴也为， 对称轴不变，B不符合题意； 开口方向和对称轴都不变， 随的变化情况不变，C不符合题意； 原函数与轴的交点为，新函数与轴的交点为，两个交点不相同， 与轴的交点发生改变，D符合题意． 5．二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 6．已知点在抛物线上，其中，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线解析式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， ∵， ∴， ∵开口向下的抛物线，点到对称轴距离越大，函数值越小， ∴，且，， ∴． 二、填空题 7．抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【答案】 向下 y轴 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 8．若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 9．将抛物线的解析式向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______ ． 【答案】 【详解】解：原抛物线解析式为 将抛物线向上平移3个单位长度，根据平移规律“上加下减”，可得： 再将得到的抛物线向右平移1个单位长度，根据平移规律“左加右减”，可得： ． 10．（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 【答案】 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 12.抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是____________． 【答案】 【详解】抛物线向上平移5个单位所得抛物线为， 则其顶点坐标为， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象有最高点，那么的取值范围是____． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象有最高点， ∴抛物线的开口向下， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 15．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 【答案】 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为． 沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，顶点坐标为 ． 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标， 解得． 故答案为：． 16．将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：将二次函数的图象向左平移个单位后，新函数解析式为． 由于图象经过原点，代入点得：， 即， 整理得， 或， 或， ， ． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·上海·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 【答案】 【详解】解：对于二次函数， 当时，； 当时，； 当时，； ． 故答案为：． 18．（2026·上海静安·二模）如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【详解】解：由题意可得：抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的， ∵抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和，即和． 三、解答题 19.已知关于x的二次函数，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数的定义要求未知数最高次数为2且二次项系数， ∴， 解得； ， 解得． 将代入解析式中， 得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 20．试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？ 【详解】抛物线由抛物线向左平移3个单位长度得到，抛物线由抛物线向右平移3个单位长度得到． 21.已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示： (2)解：函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 22．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 23．如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上， ∴， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 24．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：原解析式变形为顶点式得， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为，此时取得最大值5． 把代入得 ，（舍去）． ； 故答案为：，8； （2）解：变形为顶点式得，，顶点坐标为， 根据平移规律可知，抛物线向左平移了3个单位，向下平移了5个单位． 点坐标为， 的坐标为，即， 线段的长度为， 线段的长度为． 25．如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， ． 抛物线经过点， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接、． 设点的坐标为． ， ． ， ． 整理，得， 解得（舍去）． 当时，， 点的坐标为． 26．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上， ， 解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上， ， ， 又， ， 当时，， 点的坐标为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 形如y = a(x + m)2 + h二次函数的图像与性质 （知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：y = ax2 + c的图像与性质 知识点02：y = a(x+m)2 的图像与性质 知识点03：y = a(x + m)2 +h的图像与性质 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：y = ax2 + h的图像 题型02：y = ax2 + h的性质 题型03：与 间的关系 题型04： 的图象 题型05： 的性质 题型06：与 间的关系 题型07：y = a(x + m)2 +h的图象 题型08：y = a(x + m)2 +h的性质 题型09：y = a(x + m)2 +h与 间的关系 题型10：二次函数平移 题型11：待定系数法求二次函数解析式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数y = ax2 + h的图像与性质 一般地，二次函数y = ax2 + h的图像是抛物线，称为抛物线y = ax2 + h，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到,对称轴是y轴,顶点坐标是（0，h） 【知识点02】二次函数y = a(x+m)2 的图像与性质 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到,对称轴为直线x = -m，顶点坐标是（-m，0）。 【知识点03】二次函数y = a(x + m)2 +h的图像与性质 一般地，抛物线y = a(x + m)2 +h的对称轴是直线x=-m，顶点是(-m，h).抛物线y = a(x + m)2 +h可由抛物线 y=ax²平移得到，平移的方向由m、h的符号决定，距离由m、h的绝对值决定. 若a>0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x=-m时，函数值y取到最小值，最小值为h. 若a＜0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x=-m时，函数值y取到最大值，最大值为h. 【题型01】y = ax2 + h的图像 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）抛物线的对称轴是______． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的顶点坐标是__________． 【变式1-3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）抛物线在y轴右侧部分呈现______的趋势填“上升”或者“下降” 【题型02】y = ax2 + h的性质 【典例2】若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-1】（25-26九年级上·上海·期中）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m___________n．（填“>”、“=”或“<”） 【变式2-2】（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线经过点、，那么______．（填“＞”、“＜”、或“＝”） 【变式2-3】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么_________．（填“”、“”、或“”） 【题型03】与 间的关系 【典例3】对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（    ） A．形状相同 B．顶点相同 C．最小值相同 D．最大值相同 【变式3-1】抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【变式3-2】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【变式3-3】在同一个平面直角坐标系中，画出函数与的图象． 【题型04】 的图象 【典例4】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【变式4-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【变式4-3】（23-24九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是______． 【题型05】 的性质 【典例5】（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： __________（填“”“”或“”）． 【变式5-3】（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【题型06】与 间的关系 【典例6】（2026·上海金山·一模）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为_____． 【变式6-1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 【变式6-2】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)． 【变式6-3】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【题型07】y = a(x + m)2 +h的图象 【典例7】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【变式7-1】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是________． 【变式7-3】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）抛物线在对称轴的右侧下降，那么的取值范围是___________． 【题型08】y = a(x + m)2 +h的性质 【典例8】已知点，在抛物线上，则______（比较大小关系）． 【变式8-1】若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【题型09】y = a(x + m)2 +h与 间的关系 【典例9】（25-26九年级上·上海崇明·期末）将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【变式9-2】试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线作怎样的平移？ 【变式9-3】已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【题型10】二次函数平移 【典例10】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）将抛物线向右平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25九年级上·上海·阶段检测）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】将抛物线向左平移6个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 【变式10-3】将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【题型11】待定系数法求二次函数解析式 【典例11】已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【变式11-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 (1)填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． (2)如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 【变式11-2】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求m的值． (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 【变式11-3】（2026·上海·模拟预测）已知抛物线：（，），其顶点为，且与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． (1)当时，①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标． ②点在抛物线上，延长至使得，若点落在抛物线上，求的坐标． (2) 过点作直线垂直于轴，与抛物线的对称轴交于点，交抛物线于点（在对称轴右侧）、若，求的值． 1.二次函数y = ax2 + h的图像与性质 抛物线y = ax2 + h的特征：抛物线y = ax2 + h （其中a、c是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0，抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，有最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点 2.二次函数y = a(x+m)2 的图像与性质 抛物线y = a(x+m)2 的特征：抛物线y = a(x+m)2 （其中a、m是常数，且a≠0）的对称轴是即直线x=-m，抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，有最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点 3.二次函数y = a(x + m)2 +h的图像与性质 一般地，抛物线y = a(x + m)2 +h的对称轴是直线x=-m，顶点是(-m，h).抛物线y = a(x + m)2 +h可由抛物线 y=ax²平移得到，平移的方向由m、h的符号决定，距离由m、h的绝对值决定. 若a>0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x=-m时，函数值y取到最小值，最小值为h. 若a＜0，当x<-m时，函数值y随着自变量x的增大而增大;当x>-m时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x=-m时，函数值y取到最大值，最大值为h. 一、单选题 1．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 2．抛物线的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的二次函数的表达式为（ ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是（    ） A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．随的变化情况不变 D．与轴的交点不变 5．二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知点在抛物线上，其中，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 8．若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 9．将抛物线的解析式向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______ ． 10．（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是__________． 11．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 12.抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是____________． 13．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象有最高点，那么的取值范围是____． 14．已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 15．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 16．将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 17．（25-26九年级上·上海·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 18．（2026·上海静安·二模）如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 三、解答题 19.已知关于x的二次函数，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？ 21.已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 22．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 23．如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 24．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 25．如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 26．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $