1.2有理数及其大小比较（6知识点+19大题型+分层训练）【暑假自学课】2026-2027学年人教版七年级数学上册讲义

1.2有理数及其大小比较 学习目标导航 1.掌握有理数的分类（整数/分数，或正有理数/0/负有理数），理解数集的概念。 2.掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），理解数轴上的点与有理数的对应关系。 3.理解相反数的几何定义（到原点距离相等）和代数定义（只有符号不同）。 4.理解绝对值的几何意义（距离），掌握绝对值的代数求法（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）。 洞悉◆教材知识 知识点01 ：有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 知识点02 ：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点03 ：数轴 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3.应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 知识点04：相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点05： 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 知识点06： 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 核心题型◆归纳 题型1.有理数概念的理解 题型2. 0的意义 题型3.有理数的分类 题型4.带“非”字的有理数 题型5.数轴的三要素及其画法 题型6.用数轴上的点表示有理数 题型7. 数轴上两点之间的距离 题型8.数轴上整点覆盖问题 题型9. 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型10 . 数轴上的动点问题 题型11. 数轴上的规律探究问题 题型12 .求一个数的相反数 题型13 .判断是否互为相反数 题型14 .化简多重符号 题型15 .求一个数的绝对值 题型16. 绝对值的非负性 题型17. 绝对值的应用 题型18. 绝对值的几何意义 题型19 .有理数大小的比较 题型解析◆精准备考 【题型1 有理数概念的理解】 例题：下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 【变式训练】 1．下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【答案】B 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了整数和有理数，根据整数和有理数的定义逐项判断即可求解，掌握整数和有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意； 、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意； 、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意； 、零是有理数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【题型2 0的意义】 例题：下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数，0是重要的数，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．依据0的含义以及有理数分类逐一判断即可． 【详解】解：A、表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界，故此选项正确，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，不符合题意； C、0是整数，也是最小的自然数，故此选项正确，不符合题意； D、0能写成分数的形式，是有理数，故此选项错误，符合题意；． 故选：D． 【变式训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【题型3 有理数的分类】 例题：将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数\负有理数的定义解答即可． 【详解】解∶ 整数集合：{， 260 ，0 ， ，…}； 负有理数集合：{， ， ， ，…} 【变式训练】 1．把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 【题型4 带“非”字的有理数】 例题：把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，， 整数集合：{                  …} 负分数集合：{                  …} 非负有理数集合：{                  …} 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数的相关概念和分类，是解答本题的关键．根据整数、分数、正数、负数以及非负有理数的定义解答即可． 【详解】解：，，0，，，，6，，3.14，． 整数集合：{ ，0，}； 负分数集合：{ ，，}； 非负有理数集合：{ ，0，，6，}． 【变式训练】 1．把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 【题型5 数轴的三要素及其画法】 例题：下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案． 【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意； B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意； C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意； D、是数轴，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可． 【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线， 选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确，不符合题意； 选项B的数轴无原点，无正方向，因此选项B不正确，不符合题意； 选项C符合数轴的意义，正确，符合题意； 选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【题型6 用数轴上的点表示有理数】 例题：画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． 0，，，，， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据数轴比较大小，熟练掌握以上知识点是解题的关键．直接利用已知数在数轴上表示，进而由右边的数比左边的数大比较大小得出答案． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由数轴可知，用“”将它们连接起来为：． 【变式训练】 1．在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可．熟练掌握用数轴表示有理数的方法是解题关键． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 【题型7 数轴上两点之间的距离】 例题：点A，B在数轴上的位置如图所示，则A，B两点之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是掌握两点间的距离公式，解为右边的数减去左边的数，或者是两个数的差的绝对值．直接利用右边的点表示的数减去左边的点表示的数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．如图，已知数轴上点表示的数是2024，且，则点表示的数是 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是2024， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【题型8 数轴上整点覆盖问题】 例题：如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B．0 C． D．2.5 【答案】A 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴，墨渍遮挡住的点在0的左边且距离0一个单位，即可得出结论． 【详解】解：在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数为负数，可能是． 故选：A． 【变式训练】 1．小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 【题型9 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 例题：若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据数轴上各数的位置得出，容易得出结论； 【详解】解：根据题意由数轴得：， ∴， 故答案为：； 【变式训练】 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，由图可知a，b，c，0的大小关系是 （用“>”连接）．    【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，在原点左边离原点越近的点表示的数越大，在原点右边离原点越远的点表示的数越大． 【详解】解：由图可知，． 故答案为：． 【题型10 数轴上的动点问题】 例题：如图，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； (2)将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 【答案】(1)数轴见解析，2 (2)数轴见解析， 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算． （1）根据题意画出数轴，再根据点到原点的距离的定义可得B点表示的数． （2）根据题意画出数轴，根据点到原点的距离的定义得C点表示的数． 【详解】（1）如图所示， ，B点表示的数为2． （2）如图所示， ，C点表示的数为． 【变式训练】 1．数轴上点表示的数是，那么将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是 【答案】 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴，掌握数轴定义及数轴上点的平移是解决问题的关键．利用数轴性质、数轴上点的平移知识即可求解． 【详解】解：∵点表示的数是，点向左移动个单位长度， ∴平移后点表示数为， 故答案为：． 【题型11 数轴上的规律探究问题】 例题：如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【答案】C 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， ∴翻转次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是． 故选C． 【变式训练】 1．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 【题型12 求一个数的相反数】 例题：的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【变式训练】 1．2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，直接根据相反数的定义作答即可. 【详解】2025的相反数是， 故选：A. 【题型13 判断是否互为相反数】 例题：下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【答案】B 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数． 【详解】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意； B、，，故和是互为相反数，符合题意； C、和，不是互为相反数，不符合题意； D、4和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．5与 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出即可． 【详解】A．与绝对值不同，不满足相反数定义，不是互为相反数，故本选项不符合题意；． B．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； C．，与只有符号不同 ，满足相反数定义，所以与互为相反数，故本选项符合题意； D．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【题型14 化简多重符号】 例题：化简： ． 【答案】23 【知识点】化简多重符号 【分析】根据有理数的负数计算即可． 本题考查了有理数的负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：23． 【变式训练】 1．化简 ． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型15 求一个数的绝对值】 例题：计算： ． 【答案】2025 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式训练】 1．计算： ． 【答案】2 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据，进行作答即可． 【详解】解： 故答案为： 2 【题型16 绝对值的非负性】 例题：若，则 ， ． 【答案】 3 4 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，求出x、y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 【变式训练】 1．（已知，则，，的值分别是 ． 【答案】，， 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 【题型17 绝对值的应用】 例题：检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 【变式训练】 1．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【答案】(1)4 (2)3袋 【知识点】绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数，负数，绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）将表格中的数据与误差标准进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，， ， ∴最接近标准重量的是； （2）解：∵，，，，，， ，， ∴有袋不合格产品． 【题型18 绝对值的几何意义】 例题：已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 【答案】(1)<；>；> (2)见解析 (3) 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴的应用，相反数的概念，绝对值的性质等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）观察数轴，即可得出答案； （2）运用相反数的概念在数轴上表示出相应的点； （3）根据绝对值的性质即可得出答案． 【详解】（1）由图可知： 故答案为：， （2）如图所示： （3）， 又， 【变式训练】 1．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、相反数的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 【题型19 有理数大小的比较】 例题：用“”“”填空： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．比较大小： ．（填“”或“”或“=”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，首先计算，，然后根据负数比较大小，绝对大的反而小求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 1．不属于（   ） A．整数 B．有理数 C．分数 D．负数 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数，直接利用有理数以及整数、 分数的定义分析得出答案 ． 【详解】解：是有理数，分数，负数，故不属于正数，也不属于整数． 故选：A． 2．下列图形表示数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键；因此此题可根据数轴的三要素“正方向、原点及单位长度”进行排除选项即可． 【详解】解：根据数轴的三要素“正方向、原点及单位长度”可得：下列图形表示数轴正确的是B选项 故选B． 3．的相反数是（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 4．（   ） A．0 B．1 C． D．2023 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．据此求解即可． 【详解】解： 故选D． 5．，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数比较大小，负数比较大小时，绝对值大的反而小，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ， 故选：C． 6．最大的负整数是________；最小的自然数是_______． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了有理数，根据有理数的分类和性质逐项分析即可； 【详解】解：最大的负整数为，最小的自然数为． 故答案为 7．在数轴上，表示与4的点之间（包括这两个点）有________个点表示的数是整数，它们表示的数分别是________，其中负整数有________个． 【答案】 7 ，0，1，2，3，4 2 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，正确列举出符合题意的整数是解答本题的关键． 【详解】解：和4之间（包括这两个点）的整数有：，0，1，2，3，4共7个，其中负整数有共2个． 故答案为：7；，0，1，2，3，4；2． 8．如图，数轴上点P所表示的数的相反数可能为___________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，相反数． 先根据数轴估算P表示的数，再根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：由数轴可知，P表示的数可能为， ∴点P所表示的数的相反数可能为， 故答案为：（答案不唯一）． 9．如果，那么__________；如果是负数，且，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算，熟记绝对值定义是解决问题的关键．根据绝对值定义求解，即可解题． 【详解】解：， ， 是负数，且， ． 故答案为：，． 10．下列各数，，，，，，其中，最小的数是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．根据“正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】，，， ， 最小的数为， 故答案为：． 11．把下列各数分别填在相应的集合内：，73，，，，，0． 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】，，；73，0 【分析】此题考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：负有理数集合{，，，…}； 非负整数集合{73，0…}． 故答案为：，，；73，0 12．给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． 先画出数轴，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：将表示上面各数的点在数轴上表示如下： 13．如图，数轴上的一个单位长度表示2，请回答问题： (1)若点A与点D表示的数互为相反数，则点D表示的数是多少？ (2)若点B与点F表示的数互为相反数，则点D表示的数的相反数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是数轴和相反数的定义； （1）由数轴发现点和点的距离是，若点A与点D表示的数互为相反数，则点A与点D表示的数到原点距离相等求解即可； （2）先由点B与点F表示的数互为相反数求出点表示的数字为，再由平移得到D所表示的数，即可求解． 【详解】（1）解：由数轴发现点和点的距离是， 若点A与点D表示的数互为相反数，则点A与点D表示的数到原点距离相等，为， ∴点D表示的数字为． （2）解：由数轴发现点和点的距离是， 若点B与点F表示的数互为相反数，则点B与点表示的数到原点距离相等，为， ∴点表示的数字为， ∴点向左移动2格4个单位长度得到点，则点D表示的数字为， ∴点D表示的数的相反数是． 14．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【答案】(1)4 (2)3袋 【分析】本题主要考查了正数，负数，绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）将表格中的数据与误差标准进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，， ， ∴最接近标准重量的是； （2）解：∵，，，，，， ，， ∴有袋不合格产品． 15．把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，0，，，27， 正整数集合：{ …   } 正分数集合：{ …} 非负数集合：{ …} 整数集合：{ …} 【答案】，27；，，；，，，0，，27；，，0，27， 【分析】此题考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：正整数集合：{，27…} 正分数集合：{，，…} 非负数集合：{，，，0，，27…} 整数集合：{，，0，27，…} 故答案为：，27；，，；，，，0，，27；，，0，27， 16．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：如图所示． 17．已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的相反数． 【答案】 【详解】解：因为的相反数是，的相反数是，的相反数是，所以，，，所以，所以的相反数是． 18．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数字思想解决问题的过程．请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即，，时，则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是不为的有理数，当时，则的值是______； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查绝对值性质化简，分类讨论思想的运用，理解条件，和，，从而判定的符号是解题的重点，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据条件，可得两个有理数中有一个是负数，结合绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”化简即可求解； （2）根据条件，可得三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，或三个都是负数，结合绝对值的性质化简即可求解； （3）根据条件，，可得三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，且不能同时为负数，结合绝对值的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：∵是不为的有理数，， ∴，即两个有理数中有一个是负数， 当时，； 当时，； 故答案为：； （2）解：∵是有理数，， ∴三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，或三个都是负数， 当时，； 同理，当或时，； 当时，； 综上所述，的值为或； （3）解：∵是有理数，，， ∴， 由（2）可知三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，且不能同时为负数， ∴当时，； 同理，当或时，； 综上所述，的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2有理数及其大小比较 学习目标导航 1.掌握有理数的分类（整数/分数，或正有理数/0/负有理数），理解数集的概念。 2.掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），理解数轴上的点与有理数的对应关系。 3.理解相反数的几何定义（到原点距离相等）和代数定义（只有符号不同）。 4.理解绝对值的几何意义（距离），掌握绝对值的代数求法（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）。 洞悉◆教材知识 知识点01 ：有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 知识点02 ：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点03 ：数轴 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3.应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 知识点04：相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点05： 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 知识点06： 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 核心题型◆归纳 题型1.有理数概念的理解 题型2. 0的意义 题型3.有理数的分类 题型4.带“非”字的有理数 题型5.数轴的三要素及其画法 题型6.用数轴上的点表示有理数 题型7. 数轴上两点之间的距离 题型8.数轴上整点覆盖问题 题型9. 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型10 . 数轴上的动点问题 题型11. 数轴上的规律探究问题 题型12 .求一个数的相反数 题型13 .判断是否互为相反数 题型14 .化简多重符号 题型15 .求一个数的绝对值 题型16. 绝对值的非负性 题型17. 绝对值的应用 题型18. 绝对值的几何意义 题型19 .有理数大小的比较 题型解析◆精准备考 【题型1 有理数概念的理解】 例题：（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 1．下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【题型2 0的意义】 例题：下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【变式训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【题型3 有理数的分类】 例题：将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 【变式训练】 1．把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【题型4 带“非”字的有理数】 例题：把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，， 整数集合：{                  …} 负分数集合：{                  …} 非负有理数集合：{                  …} 【变式训练】 1．把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【题型5 数轴的三要素及其画法】 例题：下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 用数轴上的点表示有理数】 例题：画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． 0，，，，， 【变式训练】 1．在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 【题型7 数轴上两点之间的距离】 例题：点A，B在数轴上的位置如图所示，则A，B两点之间的距离为 ． 【变式训练】 1．如图，已知数轴上点表示的数是2024，且，则点表示的数是 ． 【题型8 数轴上整点覆盖问题】 例题：如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B．0 C． D．2.5 【变式训练】 1．小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型9 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 例题：若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【变式训练】 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，由图可知a，b，c，0的大小关系是 （用“>”连接）．    【题型10 数轴上的动点问题】 例题：如图，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； (2)将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 【变式训练】 1．数轴上点表示的数是，那么将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是 【题型11 数轴上的规律探究问题】 例题：如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【变式训练】 1．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【题型12 求一个数的相反数】 例题：的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【题型13 判断是否互为相反数】 例题：）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【变式训练】 1．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．5与 【题型14 化简多重符号】 例题：化简： ． 【变式训练】 1．化简 ． 【题型15 求一个数的绝对值】 例题：计算： ． 【变式训练】 1．计算： ． 【题型16 绝对值的非负性】 例题：若，则 ， ． 【变式训练】 1．已知，则，，的值分别是 ． 【题型17 绝对值的应用】 例题：检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【变式训练】 1．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【题型18 绝对值的几何意义】 例题：已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 【变式训练】 1．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【题型19 有理数大小的比较】 例题：用“”“”填空： ． 【变式训练】 1．比较大小： ．（填“”或“”或“=”） 1．不属于（   ） A．整数 B．有理数 C．分数 D．负数 2．下列图形表示数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 3．的相反数是（   ） A． B． C． D．2024 4．（   ） A．0 B．1 C． D．2023 5．，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 6．最大的负整数是________；最小的自然数是_______． 7．在数轴上，表示与4的点之间（包括这两个点）有________个点表示的数是整数，它们表示的数分别是________，其中负整数有________个． 8．如图，数轴上点P所表示的数的相反数可能为___________．（写出一个即可） 9．如果，那么__________；如果是负数，且，那么__________． 10．下列各数，，，，，，其中，最小的数是_________． 11．把下列各数分别填在相应的集合内：，73，，，，，0． 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 12．给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 13．如图，数轴上的一个单位长度表示2，请回答问题： (1)若点A与点D表示的数互为相反数，则点D表示的数是多少？ (2)若点B与点F表示的数互为相反数，则点D表示的数的相反数是多少？ 14．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 15．把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，0，，，27， 正整数集合：{ …   } 正分数集合：{ …} 非负数集合：{ …} 整数集合：{ …} 16．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 17．已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的相反数． 18．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数字思想解决问题的过程．请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即，，时，则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是不为的有理数，当时，则的值是______； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $