专题03相反数.绝对值与有理数大小比较(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年人教版六升七数学暑假预习讲义

专题03相反数.绝对值与有理数大小比较暑假预习讲义 1.理解相反数的定义，会求任意有理数的相反数，掌握多重符号化简规则；能借助数轴理解互为相反数的两个点关于原点对称。 2.掌握绝对值的概念与几何意义（数轴上点到原点的距离），会求正数、0、负数的绝对值，熟记绝对值的非负性。 3.熟练掌握两类有理数大小比较方法：数轴比较法、绝对值比较法（两个负数比大小），能规范比较多个有理数的大小。 4.理清相反数、绝对值、数轴三者之间的关联，能结合数形结合思想解决简单求值、比较题型。 5.区分易混概念：相反数是符号相反、绝对值相等；绝对值只表示距离，恒不为负；掌握多重符号化简、含字母绝对值基础判断。 6.能综合运用相反数、绝对值知识完成化简、求值、排序习题，为有理数加减运算打好基础。 分层预习要求 基础：会求一个数的相反数、绝对值；会用数轴比较有理数大小；记住负数绝对值为它的相反数。 提高：熟练化简多重符号；利用绝对值比较两个负数的大小；能完成多个有理数从小到大排序。 拓展：利用绝对值非负性简单求值；结合数轴、相反数、绝对值综合分析数字特征。 预习必备 知识梳理 1.相反数的定义 2.求任意相反数通用方法 3.多重符号化简法则 4.相反数核心等价性质 5.绝对值双重定义 6.绝对值五大核心性质 7.去绝对值步骤 8.有理数大小比较 常考题型 精讲精练 1.相反数的定义 2.化简多重符号 3.相反数的应用 4.绝对值的几何意义 5.求一个数的绝对值 6.绝对值非负性 7.绝对值的其他应用 8.有理数的大小比较 9.有理数大小比较的实际应用 强化题型 解答题5题 知识点01:相反数两层定义 1.代数定义 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。 关键词：仅符号不同，数字部分完全相同；单独一个数不能叫相反数，必须成对出现。 例：5 和 - 5 互为相反数；与-互为相反数。 2.几何定义（数轴视角） 在数轴上，分别位于原点左右两侧，且到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数。 特征：两点关于原点对称；0 对应原点，没有另一侧对称点。 特殊规定 0 的相反数是 0（唯一相反数等于自身的数）。 知识点02:求任意数相反数通用方法 数字前加负号：数a的相反数记作-a。 正数：7的相反数-7 负数：-2.6的相反数-(-2.6)=2.6 字母：x相反数-x；m-n相反数-(m-n) 带括号、分数、小数整体求相反数，必须给整个式子加括号再添负号。 知识点03:多重符号化简法则（核心考点） 原理：负号表示取相反数，连续多个负号依次抵消 口诀：奇负偶正 1.数式子中负号总个数； 2.负号个数为奇数，最终结果为负； 3.负号个数为偶数，最终结果为正； 4.正号可直接全部去掉，不改变符号。 示例： -[-(+9)]：2 个负号→偶数→9 -[-(-4)]：3 个负号→奇数→-4 知识点04:相反数核心等价性质 1.若a、b互为相反数⇔ a+b=0； 2.互为相反数的两个数绝对值相等：|a|=|-a|； 3.若a0，互为相反数两数商为-1：=-1； 4.数轴上互为相反数两点到原点距离相等。 知识点05:绝对值双重定义 1.几何定义（本质） 数轴上表示数a的点与原点之间的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|。 关键点：距离不存在负数，因此绝对值结果一定0（非负性）。 2.代数化简定义（分段法则，去绝对值核心） 知识点06:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点07:基础去绝对值步骤 1.判断绝对值内数字 / 式子的正负； 2.正数、0 直接去掉绝对值； 3.负数去掉绝对值，整体添负号。 知识点08:有理数的大小比较 方法一：数轴比较法（通用万能法，数形结合） 规则：数轴上右边的数永远大于左边的数。 基础大小分层：正数>0，负数<0，正数>负数。 使用步骤： ① 把所有数在数轴标出； ② 从左向右依次抄写，即为从小到大排序。 方法二：绝对值比较法（仅用于两个负数比较） 适用场景：无需画图，纯数字比较两个负数 完整步骤： 1.分别求出两个负数的绝对值； 2.比较两个绝对值的大小； 3.绝对值更大的那个负数，本身数值更小。 示例：比较-6和-2.5 |-6|=6，|-2.5|=2.5，6>2.5，所以-6<-2.5 多类有理数混合排序完整流程 给出一组包含正数、0、负分数、负小数的数字排序： 拆分三类：全部正数、0、全部负数； 负数内部：用绝对值法从小到大排； 正数内部：直接正常比大小； 整体顺序：负数<0<正数。 知识点09:易错点汇总 1.对-a的正负判断出错，主观认为带负号就一定是负数。实际上a为正数时-a为负，a为负数时-a为正，a=0时-a=0，不能仅凭符号下结论。 2.相反数概念表述不规范，单独说某个数是相反数，相反数是成对概念，必须描述 “两个数互为相反数”；同时容易遗忘 0 的相反数是 0，误以为 0 没有相反数。 3.多重符号化简时数错负号个数，混淆 “奇负偶正” 规则，化简过程中多余处理正号，正号可直接全部舍去，只需统计负号总数判断结果符号。 4.误解绝对值的意义，写出|-9|=-9这类错误，绝对值代表距离，结果永远是非负数，负数去绝对值要替换为它的相反数。 5.已知绝对值求原数容易漏解，如|x|=4只写出x=4，正数对应的绝对值都有一正一负两个解，只有|x|=0仅有唯一解 0。 6.忽略绝对值非负性，认为存在|a|=-5这类式子，距离不可能为负数，形如绝对值等于负数的等式均无解。 7.直接化简含字母的绝对值，不分类讨论，比如直接认定|x-1|=x-1，需要分内部式子大于 0、等于 0、小于 0 三种情况分别化简。 8.比较两个负数大小时逻辑颠倒，误认为绝对值大的负数数值更大，实际规律是两个负数，绝对值越大，原数越小；比较负小数、负分数时容易只看数字大小直接判断，忽略先求绝对值的步骤。 9.有理数排序时分类混乱，分不清负数、0、正数的整体大小关系，排序遗漏数字、重复书写，没有先分开处理负数和正数再整合。 10.混淆 0 的相关性质，错记|0|>0，0 到原点距离为 0，绝对值等于 0，同时 0 是唯一相反数等于自身的数。 题型.1.相反数的定义 【典例】的相反数是______． 【答案】0.4/ 【详解】解：的相反数是． 【跟踪专练1】下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】化简各选项中的数后，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可． 【详解】解：选项A中，，两个数相等，不满足相反数定义，A不符合要求； 选项B中，和绝对值不相等，不满足相反数定义，B不符合要求； 选项C中，，和只有符号不同，满足相反数的定义，C符合要求； 选项D中，和符号相同，不满足相反数定义，D不符合要求． 【跟踪专练2】数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 【答案】或 【分析】根据已知条件：点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数，就可求出点 A 的坐标，再根据点A、C的距离为10，分两种情况讨论：点C在点A的左边时；点C在点A的右边时，分别求出点C表示的数． 【详解】解：∵点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数， ∴点A表示的数为：， 当点C在点A 的左边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； 当点C在点A的右边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； ∴点C表示的数为：或． 【跟踪专练3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 题型2.化简多重符号 【典例】化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 【答案】B 【详解】解：A、∵，，两数相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； B、∵，，3和只有符号不同，符合相反数定义，∴两数互为相反数，该选项符合题意； C、∵，与相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； D、∵，与5相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意． 【跟踪专练2】化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则，解题的关键是掌握去括号法则进行解题． 由去括号法则进行运算，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，通过计算每个选项中的两个数值，根据相反数的定义判断是否互为相反数即可求解． 【详解】相反数的定义是两数只有符号不同，和为0， A、，，3与互为相反数，符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，不是相反数，不符合题意； D、，，不是相反数，不符合题意； 故选：A． 题型3.相反数的应用 【典例】若和互为相反数，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：依题意， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练1】若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练3】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【详解】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 题型4.绝对值的几何意义 【典例】若，则_________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】解：因为， 所以或， 即． 【跟踪专练1】若，则______________． 【答案】 【分析】先根据已知等式结合绝对值的性质求出的取值范围，再根据的范围化简所求绝对值即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ， ∴. 【跟踪专练2】材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可． 【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知都不为0，用数轴上的点表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，根据题意和绝对值的意义，得到，且到原点的距离大于到原点的距离，进行判断即可． 【详解】解：∵都不为0， ∴，且到原点的距离大于到原点的距离， ∴符合题意的只有选项C； 故选：C． 题型5.求一个数的绝对值 【典例】绝对值不大于1的整数有____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，明确绝对值不大于1即为绝对值小于或等于1，找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：设这个整数为，根据题意可得： ， 去绝对值得， 又因为是整数，因此满足条件的整数为． 【跟踪专练1】若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【详解】解：∵ ， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； ∴，即x为非正数． 【跟踪专练2】已知整数，，，…满足下列条件，，，，，…，依次类推，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探索，求一个数的绝对值． 先求出，，，…得出一般规律，和（i为偶数）相等，且都等于，然后得出答案即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ， ， ， … 由此可见，和（i为偶数）相等，且都等于， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 题型6.绝对值非负性 【典例】如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 【跟踪专练2】一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，设的相反数为，的绝对值为，则，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设的相反数为，的绝对值为， ∴， ∵， ∴，即， 当时，，等式成立， ∴可以是任何非正有理数，例如0， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性这一性质．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴A、B、C选项不符题意，D选项符合题意， 故选：D． 题型7.绝对值的其他应用 【典例】若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的几何意义（一个数的绝对值是它在数轴上对应点到原点的距离）是解题的关键． 本题可根据绝对值的定义，分析出绝对值为3的数有两个，进而得到的取值． 【详解】解：∵绝对值的定义是：一个数的绝对值表示这个数在数轴上所对应点到原点的距离， ∴到原点距离为3的点有两个，分别是3和， ∵， ∴或， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较四个足球上方的数的绝对值的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴最接近标准的是选项C足球． 【跟踪专练2】某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 【跟踪专练3】有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 题型8.有理数的大小比较 【典例】比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 【跟踪专练1】下列各数：3，，，，0.23，，，其中最小的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较法则，先区分正负数，再比较负数的绝对值即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∴最小的有理数是． 【跟踪专练2】已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的大小比较，核心知识点为：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，通过计算各选项中两个数的绝对值，再根据规则判断即可． 【详解】解：A.∵，，且， ∴，故选项A正确，不符合题意； B.∵，，， ∴，故选项B正确，不符合题意； C.∵，，，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D.∵，，， ∴，与选项中矛盾，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 题型9.有理数大小比较的实际应用 【典例】三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________． 液体名称 液态氧 液态酒精 液态氨 沸点/℃ 78 【答案】液态氧 【分析】本题考查正数和负数，根据有理数的大小比较方法，比较三种液体的沸点温度． 【详解】解：由表可知，液态氧的沸点为，液态酒精的沸点为，液态氨的沸点为． 由于， 因此液态氧的沸点最低． 故答案为：液态氧． 【跟踪专练1】下列选项记录了我国四个城市某年一月份的平均气温，其中气温最高的是（   ） A．北京℃ B．上海 C．天津°℃ D．重庆 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数比较大小的实际应用，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴重庆的气温最高，为8℃． 故选D． 【跟踪专练2】小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 【跟踪专练3】几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（   ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 【答案】D 【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握比较有理数大小原则“正数大于零，零大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小”是解题的关键． 把四种液体的凝固温度进行比较，即可解答． 【详解】解：∵ ，，， 又∵ ∴， ∴凝固温度最低的是乙醚， 故选：D． 解答题 1．画数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 0，，，，，4.5及它们的相反数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相反数的定义及在数轴上表示数的方法． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0，可写出已知六个数的相反数；再根据一对相反数在数轴上的位置特点，分别在原点的左右两边，并且与原点的距离相等，可把各数与其相反数在数轴上依次表示出来． 【详解】解：0的相反数是0， 的相反数是2.5， 的相反数是3， 的相反数是， 的相反数是． 4.5的相反数是． 在数轴上可表示为： 2．化简下列各数： (1)=_______； (2)=_______； (3)=_______； (4)=_______． 【答案】(1)； (2)11； (3)； (4)5.8． 【分析】本题考查相反数的定义，解题的关键是根据“负负得正，正负得负”的符号法则化简数． （1）根据相反数的定义，“+”可省略，“”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数； （2）根据相反数的定义，“+”可省略，“”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数； （3）根据相反数的定义，“+”可省略，“”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数； （4）根据相反数的定义，“+”可省略，“”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数． 【详解】（1）解：，所以； （2）解：表示的相反数，所以； （3）解：先看最内层括号，，再加上外层的正号， 所以； （4）解：先看内层括号，，再取其相反数， 所以． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 4．（1）将下面一组数填入相应集合的圈内： ，，，，，，0，8，，． （2）这组数中，最大的整数是 ，最小的分数是 ． 【答案】（1）见解析；（2）8， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数比较大小，熟知有理数的相关知识是解题的关键． （1）负数是小于0的数，再结合整数的定义求解即可； （2）正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此比较出几个整数的大小和几个分数的大小即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）∵，且， ∴， ∴这组数中，最大的整数是8； ∵， ∴ ∴这组数中，最小的分数是． 5．在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小璐的视力最差，理由见解析 (2)名学生中有人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法． （1）根据，即可得出答案； （2）先求出各个数据的绝对值，然后与进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：小璐的视力最差．理由如下， ∵， ∴最小， ∴小璐的视力最差． （2）解：∵，，， ，，， ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03相反数.绝对值与有理数大小比较暑假预习讲义 1.理解相反数的定义，会求任意有理数的相反数，掌握多重符号化简规则；能借助数轴理解互为相反数的两个点关于原点对称。 2.掌握绝对值的概念与几何意义（数轴上点到原点的距离），会求正数、0、负数的绝对值，熟记绝对值的非负性。 3.熟练掌握两类有理数大小比较方法：数轴比较法、绝对值比较法（两个负数比大小），能规范比较多个有理数的大小。 4.理清相反数、绝对值、数轴三者之间的关联，能结合数形结合思想解决简单求值、比较题型。 5.区分易混概念：相反数是符号相反、绝对值相等；绝对值只表示距离，恒不为负；掌握多重符号化简、含字母绝对值基础判断。 6.能综合运用相反数、绝对值知识完成化简、求值、排序习题，为有理数加减运算打好基础。 分层预习要求 基础：会求一个数的相反数、绝对值；会用数轴比较有理数大小；记住负数绝对值为它的相反数。 提高：熟练化简多重符号；利用绝对值比较两个负数的大小；能完成多个有理数从小到大排序。 拓展：利用绝对值非负性简单求值；结合数轴、相反数、绝对值综合分析数字特征。 预习必备 知识梳理 1.相反数的定义 2.求任意相反数通用方法 3.多重符号化简法则 4.相反数核心等价性质 5.绝对值双重定义 6.绝对值五大核心性质 7.去绝对值步骤 8.有理数大小比较 常考题型 精讲精练 1.相反数的定义 2.化简多重符号 3.相反数的应用 4.绝对值的几何意义 5.求一个数的绝对值 6.绝对值非负性 7.绝对值的其他应用 8.有理数的大小比较 9.有理数大小比较的实际应用 强化题型 解答题5题 知识点01:相反数两层定义 1.代数定义 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。 关键词：仅符号不同，数字部分完全相同；单独一个数不能叫相反数，必须成对出现。 例：5 和 - 5 互为相反数；与-互为相反数。 2.几何定义（数轴视角） 在数轴上，分别位于原点左右两侧，且到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数。 特征：两点关于原点对称；0 对应原点，没有另一侧对称点。 特殊规定 0 的相反数是 0（唯一相反数等于自身的数）。 知识点02:求任意数相反数通用方法 数字前加负号：数a的相反数记作-a。 正数：7的相反数-7 负数：-2.6的相反数-(-2.6)=2.6 字母：x相反数-x；m-n相反数-(m-n) 带括号、分数、小数整体求相反数，必须给整个式子加括号再添负号。 知识点03:多重符号化简法则（核心考点） 原理：负号表示取相反数，连续多个负号依次抵消 口诀：奇负偶正 1.数式子中负号总个数； 2.负号个数为奇数，最终结果为负； 3.负号个数为偶数，最终结果为正； 4.正号可直接全部去掉，不改变符号。 示例： -[-(+9)]：2 个负号→偶数→9 -[-(-4)]：3 个负号→奇数→-4 知识点04:相反数核心等价性质 1.若a、b互为相反数⇔ a+b=0； 2.互为相反数的两个数绝对值相等：|a|=|-a|； 3.若a0，互为相反数两数商为-1：=-1； 4.数轴上互为相反数两点到原点距离相等。 知识点05:绝对值双重定义 1.几何定义（本质） 数轴上表示数a的点与原点之间的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|。 关键点：距离不存在负数，因此绝对值结果一定0（非负性）。 2.代数化简定义（分段法则，去绝对值核心） 知识点06:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点07:基础去绝对值步骤 1.判断绝对值内数字 / 式子的正负； 2.正数、0 直接去掉绝对值； 3.负数去掉绝对值，整体添负号。 知识点08:有理数的大小比较 方法一：数轴比较法（通用万能法，数形结合） 规则：数轴上右边的数永远大于左边的数。 基础大小分层：正数>0，负数<0，正数>负数。 使用步骤： ① 把所有数在数轴标出； ② 从左向右依次抄写，即为从小到大排序。 方法二：绝对值比较法（仅用于两个负数比较） 适用场景：无需画图，纯数字比较两个负数 完整步骤： 1.分别求出两个负数的绝对值； 2.比较两个绝对值的大小； 3.绝对值更大的那个负数，本身数值更小。 示例：比较-6和-2.5 |-6|=6，|-2.5|=2.5，6>2.5，所以-6<-2.5 多类有理数混合排序完整流程 给出一组包含正数、0、负分数、负小数的数字排序： 拆分三类：全部正数、0、全部负数； 负数内部：用绝对值法从小到大排； 正数内部：直接正常比大小； 整体顺序：负数<0<正数。 知识点09:易错点汇总 1.对-a的正负判断出错，主观认为带负号就一定是负数。实际上a为正数时-a为负，a为负数时-a为正，a=0时-a=0，不能仅凭符号下结论。 2.相反数概念表述不规范，单独说某个数是相反数，相反数是成对概念，必须描述 “两个数互为相反数”；同时容易遗忘 0 的相反数是 0，误以为 0 没有相反数。 3.多重符号化简时数错负号个数，混淆 “奇负偶正” 规则，化简过程中多余处理正号，正号可直接全部舍去，只需统计负号总数判断结果符号。 4.误解绝对值的意义，写出|-9|=-9这类错误，绝对值代表距离，结果永远是非负数，负数去绝对值要替换为它的相反数。 5.已知绝对值求原数容易漏解，如|x|=4只写出x=4，正数对应的绝对值都有一正一负两个解，只有|x|=0仅有唯一解 0。 6.忽略绝对值非负性，认为存在|a|=-5这类式子，距离不可能为负数，形如绝对值等于负数的等式均无解。 7.直接化简含字母的绝对值，不分类讨论，比如直接认定|x-1|=x-1，需要分内部式子大于 0、等于 0、小于 0 三种情况分别化简。 8.比较两个负数大小时逻辑颠倒，误认为绝对值大的负数数值更大，实际规律是两个负数，绝对值越大，原数越小；比较负小数、负分数时容易只看数字大小直接判断，忽略先求绝对值的步骤。 9.有理数排序时分类混乱，分不清负数、0、正数的整体大小关系，排序遗漏数字、重复书写，没有先分开处理负数和正数再整合。 10.混淆 0 的相关性质，错记|0|>0，0 到原点距离为 0，绝对值等于 0，同时 0 是唯一相反数等于自身的数。 题型.1.相反数的定义 【典例】的相反数是______． 【跟踪专练1】下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练2】数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 【跟踪专练3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 题型2.化简多重符号 【典例】化简符号：___________． 【跟踪专练1】下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 【跟踪专练2】化简：______． 【跟踪专练3】下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型3.相反数的应用 【典例】若和互为相反数，那么_______． 【跟踪专练1】若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练2】用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【跟踪专练3】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4.绝对值的几何意义 【典例】若，则_________． 【跟踪专练1】若，则______________． 【跟踪专练2】材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【跟踪专练3】已知都不为0，用数轴上的点表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型5.求一个数的绝对值 【典例】绝对值不大于1的整数有____________． 【跟踪专练1】若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【跟踪专练2】已知整数，，，…满足下列条件，，，，，…，依次类推，则的值为_________． 【跟踪专练3】如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 题型6.绝对值非负性 【典例】如果，那么______． 【跟踪专练1】已知a为有理数，则的最小值为__________． 【跟踪专练2】一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 【跟踪专练3】式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 题型7.绝对值的其他应用 【典例】若，则______． 【跟踪专练1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【跟踪专练3】有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型8.有理数的大小比较 【典例】比较大小：________．(填“”“”或“”) 【跟踪专练1】下列各数：3，，，，0.23，，，其中最小的有理数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【跟踪专练3】下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型9.有理数大小比较的实际应用 【典例】三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________． 液体名称 液态氧 液态酒精 液态氨 沸点/℃ 78 【跟踪专练1】下列选项记录了我国四个城市某年一月份的平均气温，其中气温最高的是（   ） A．北京℃ B．上海 C．天津°℃ D．重庆 【跟踪专练2】小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 【跟踪专练3】几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（   ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 解答题 1．画数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 0，，，，，4.5及它们的相反数． 2．化简下列各数： (1)=_______； (2)=_______； (3)=_______； (4)=_______． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 4．（1）将下面一组数填入相应集合的圈内： ，，，，，，0，8，，． （2）这组数中，最大的整数是 ，最小的分数是 ． 5．在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $