广西贺州市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 覆盖高一数学核心知识，通过集合运算、立体几何证明、概率统计应用等试题，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，注重知识综合与实际应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、空间线面关系、三角函数性质|单选巩固基础，多选考查批判性思维，如第9题结合方差与概率判断| |填空题|3题15分|函数奇偶性、古典概型、解三角形|第13题猜数字游戏体现数学语言描述现实，第14题角平分线与基本不等式结合| |解答题|5题77分|向量运算、立体几何证明、概率统计、解三角形、三棱柱综合|第17题频率分布直方图与分层抽样结合，第18题面积与内切圆综合考查推理，第19题空间距离与二面角体现空间观念|

2026年春季学期高一期末试卷 数学答案解析 一、单选题 1.【答案】B 【详解】由题设A={x1<x-1<1}={x0<x<2},B={xx>1},所以 AB={x1<x<2}=(1,2) 2.B 【分析】根据复数的除法运算求出复数z,根据复数模的计算公式，即得答案。 【详解】由1=1+1，得z=1中1-i,故=+(-=2，故选：B 3.【答案】A 【详解】已知a,6是单位向量，故a==1 对a+=2两边平方得a+=|a+2a-+P=4, 代入a=1,解得a.6=1 由数量积定义得ā.万=cos6=cos6=1(0为两向量夹角)， 得日=0，即a,b同向共线，存在入=1使b=2ā，充分性成立： 若存在元使方=2ā，由d=入=1， 得入=±1.当入=-1时，6=-a,此时a+可=0≠2，必要性不成立， 因此a+=2是“存在实数几，使得b=2a的充分不必要条件 4.【答案】D 【详解】对于A,由m/1a,nCa,,得直线m与n可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B,,B可能平行，也可能相交，B错误； 对于C,由线面平行的判定定理可知C错误； 对于D,过直线m作平面Y,且y∩o=a, 因为m//c,所以m//a, 过直线m作平面6，且6⌒B=b, 同理可得m//b, 所以a/1b, 因为bcB,a4B(若acB,则a与n重合) 所以a/1B, 因为aco,且o∩B=n, 所以a/n,m/n,故D正确. 第1页共7页 5.【答案】C 【详解】设圆台的下底面半径为r,则该圆台的表面积为S=元×1+元×r2+元(1+r)×4=26元， 整理可得r2+4r-21=0,因为r>0,解得r=3 故该圆台的高为h=√42-（r-1)}=√4-22=23 6.【答案】D 【详解】因为∈ 已知m(a+)背0，所以a+f爱 cosa=cos (a+B)-B=cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB 253,16√6 33339 7.【答案】C 【详解】因为BD=BA+AC,AE=AC+CB, 所以DE=DB+BA+AE=-BA-元AC+BA+AC+AB-AC, 所以DE=AB+(1-2)AC, 因为△ABC为边长为2的等边三角形， 所以AB=4C=2,(4B,4C)=60°， 所以DE.AB=2AB+(1-22)AC·AB=1×4+(1-22)×2×2×cos60°=2， 所以2∈[O,],DE.4B为定值，C正确；A,B,D错误故选：C 8.【答案】B 【详解】因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x).又因为f(x+2)是偶函数，所以 f(x+2)=f(-x+2),即f(x)=f(4-x).所以f(4-x)=-f(-x).即f(4+x)=-f(x) 所以f(8+x)=-f(4+x)=f(x),所以f(x)的周期为8.所以f(8)=f(0)=0, f(7)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(7)+f(8)=-1. 二、多选题 9.【答案】ABD 【详解】上四分位数即75%分位数，因为7×75%=5.25，所以数据1,2,3,4,5,6,7的75%分 位数是6，A正确： 第2页共7页 设数据x,x2,,xn的均值为x，,记y=3x+1(i=1,2,3,…,n),则y=3x+1, 好∑(y--2(x-=9=9,故方差是9，B正确： 虽然P(A)+P(B)=1,但是P(AB)不能判断出是否为O,不能判断出是否对立，C错误： 因为事件A与B相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.3,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.3=0.15, P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.3-0.15=0.65,D正确 10.【答案】ABC 【详解】f(x)=2sinx(sinx+cosx)-1=2sinx+2 sinxcosx--1 =1-cos 2x+sin 2x-1=sin 2x-cos 2x=2sin 选项A:令2xm,解得x,当k=1x了 82 8△正确 选项B: +2km≤2r-元s元 3π +2m即-元+m≤x≤3元+km,令k=0, 2 4-2 8 2元 元3π 所以f(x)在区间 元2元 因为 上单调递增，B正确 9 9 选项C:y=5sim2x应右移智，C正确 选项D:令f()=0,得x=匹+ ,函数在区间(0，ml上恰有三个零点， 82 则三个零点只能为：元，5元，9九， 13 8’8’8,故。sm ，D错误。 8 8 11.【答案】BC 【详解】对于A中，直线AM,BN是异面直线，故A,M,N,B四点不共面，故A错误： 对于B中，在长方体ABCD-ABCD中，可得AD⊥平面CDDC, ADC平面ADM,所以平面ADM⊥平面CDD,C,故B正确： 对于C中，取CD的中点O,连接BO,ON,则BMBO, 所以直线BN与B,M所成的角为∠NBO.BO=VBC”+CO=2W2, BN=BC2+CN =212, NO=VCN2+CO2=2√2，所以三角形BON为等边三角形， 所以∠NBO=60°，故C正确： 对于D中，取DD的中点E,连接AE,则易得AEBN,因为AEO平面ADM=A, 显然BN与平面ADM不平行，故D错误.故选：BC 三、填空题 12.【答案】-1 【详解】，∫(x)是定义在R上的奇函数， ∴.f(0)=1og2(0+2)+m=0,则m=-1, 第3页共7页 ∴.f(-2)=-f(2)=-log2(2+2)+1=-1.故答案为：-1 13. 【答案】 【详解】共有36种选择方式，其中满足条件的共16种，故答案为。 14.【答案】4 【详解)由题意得：acsn元=。 axv3sin cxV3sin 32 62 6 可得：ac=a+c,由基本不等式，可得a+c=ac≤(a十S,解得a+c≥4. 当且仅当a=c=2时取等号，即当a=c=2时，a+c的最小值为4.故答案为：4. 四、解答题 15解：(1)若a/乃，则6×(-3)=(3-×k, .2分 即k2-3k-18=(k-6)(k十3)=0..4分 即k=一3或k=6;… 6分 (2)因为a1b,则a.b=6k-3(3-k)=0,则k=1, 9分 所以元-2b=(-11,-7),… 11分 得a-2=(-11)2+(-7)2=V17而. 13分 16.(1)证明：连接BD,设BD∩AC=0连接OE,则…2分 ,四边形ABCD是矩形 ∴.AC平分BD,即O为BD中点 3分. E是PD的中点 ∴.OE是△PBD的中位线 OBPB.. 5分 .OEc平面EAC,PB丈平面EAC. 6分 .PB//平面EAC… 7分 (②).PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD8分 .PA L CD9分 .在矩形ABCD中，CD1AD.10分 ,ADC平面PAD,PAC平面PAD .PA∩AD=A… 11分. .CD1平面PAD. .13分. 第4页共7页 .CDc平面PCD .14分 .平面PCD1平面PAD.15分 17.解：(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为0.02×5=0.1,1分 故年龄在[40,45]内的市民人数为200X0.1=20.2分. 由图可得：(0.01+0.02+0.04+0.07+Q×5=1,解得a=0.06;4分 (2)平均数为： 22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.256分. 前三组的频率和为0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7， 第四组的频率为0.04×5=0.2，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为35+01 5=37.58分 0.2 (3)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3：2,9分 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人.10分 记第3组的3名分别为A,A，A,第4组的2名分别为B,B2, 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为(A,A),（A4,A),（A,B),(（A,B),(A,A), (A,B),（A,B2),（A,B),（A3,B2),（B,B2）,共有10种12分 其中第4组的2名B,B2至少有一名被选中的有：(A,B),(A,B),(A,B),（A,B2), (A,B),（A,B),(B,B),共有7种， 所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为 10 15分. 18.解：(1)由a2+c2-b2=ac, 可得cosB= a2+c2-b21 2分 2ac 2 由于B∈(O,元)，故B=元 ,。.4分（没有写角的范围扣1分）》 acsn子-10w5 3 (2)由题可知 .6分 2(a+b+cxV5=10W5 ac=40 化简得 .7分 a+c=20-b’ 第5页共7页 庙余弦定理知6=a+c22acc0s,即b三(a+c3a0,8 所以b2=(20-b）-120,解得b=710分 (3)在△4BC中AB=12, BC 由正弦定理 AB 得 sinC sin 12sin (2 12 cos C+sin C BC= 12sin A 3 2 3 …12分 sinC sinC sinC 2 tanC 于是得SuBe-)4B-BC-sinB=36V5 1, 61 13分 2 2 2 tanC 因为△4C是锐角三角形.则0<C<子，且0< -C<，于是有工<C< 6 2’14分 则tanC> .15分 3 即0< <V3,则<1+V5 1 <2, tan C 222 tanC 16分 从而得18V3<SA4Bc<72V3, 所以△4BC面积的取值范围是18√3,72√3 17分 19.（1)证明：设AB1个AB=,连接CO,1分 因为四边形AAB,B为菱形，所以A,B⊥AB,AO=OB, 又因为△4，BC为等边三角形，所以A,B⊥CO 因为AB,∩CO=O,AB,COC平面AB,C,3分 所以ABL平面ABC4分 (2)解法1：设点C到平面A4BB的距离为d,5分 在△AOC中，AO=OC=√5，AC=2, 可得点O到AC的距离为 2 6分 由(1)知，A,B⊥平面AB,C, 所以164e=V4ko+-e-2亚(ac=2x31k×2x5-25 1 8分 32 3 第6页共7页 又四为54g5x25,所以d-2-2 3 9分 解法2：过C作CE⊥AB,垂足为E, 5分 由(1)知，A,B⊥平面ABC,A,BC平面AABB, 所以平面AB,C⊥平面AABB, .6分 因为平面AB,C∩平面AA4,BB=AB, 所以CE⊥平面AABB, 7分 则CE即为点C到平面AABB的距离， 在△AOC中，A0=OC=√5，AC=2, 可得点O到AC的距离为 2 …8分 所以号x2x反=×V5xCE, 则cE=3v6 9分 3 所以点C到平面44B,B的距离为y6 3 (3)由(2)知，CE=26 AC=2, 3 布Ra4C7中，mC北-怎6，则cs∠CE- ...10分 CA 3 3 在△AB,C中，由余弦定理得B,C=AC2+AB,2-2AC,AB,coS∠CAE=8, 解得B,C=2√2，… 11分 又BB=BC=2,则B,B+BC2=B,C2，,所以BC⊥BB1,12分 故四边形BCC,B为矩形，BC=2√2， 又△4，BC为等边三角形，故BA=BC=2,又AC1=2, 则A,B+AC=CB2,所以BA⊥AC, .13分 设BC1∩B,C=D,连接DO,DO∥AC1,14分 所以DO⊥AB, 又CO⊥A,B,所以∠COD即为二面角C-AB-C的平面角， .15分 因为D0-54C-l,CD=万，C0=V5,所以cD+D0-C0, 由勾股定理逆定理得CD⊥DO,… 16分 所以sm<C0D二-5.所以=面角C-48-G的正孩植为 17分 CO 3 3 第7页共7页 2025-2026学年度下学期高一年级期末考试试卷 数学 （时间：120分钟 赋分：150分） 注意事项： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共150分。 2．答卷前，考生务必将自己的班别、学号、姓名写在答题卡对应位置上。 3．所有答案均写到答题卡上，不写到答题卡指定的区域的答案无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的4个选项当中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A={x||x-1|<1}，B={x|x>1}，则A∩B=( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.(-1,2) 2．复数z满足i·z=1+i ，则|z|=( ) A.1 B. C.2 D. 3． 已知单位向量 ， ，则是“存在实数λ，使得 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．设m,n表示两条不重合的直线，α，β表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ A.若m//α,n⊂α，则m//n B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β，则α//β C.若m//n,n⊂α，则m//a D.若m∥α、m∥β、α∩β=n，则m//n 5．已知圆台的上底面半径为1，母线长为4，表面积为26π，则该圆台的高为 ( ) A. 3 B. C. D. 6．已知，若，则cosα= ( ) A. B. C. D. 高一数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7．如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若(λ∈[0,1]), (λ∈[0,1])，则关于·的说法正确的是 ( ) A.当且仅当时，·取到最大值 B.当且仅当λ=0或1时，·取到最小值 C. ∀λ∈[0,1]，·为定值 D. ∃λ∈[0,1]，使得 8．已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(7)+f(8)= ( ) A. -2 B. -1 C.0 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是 ( ) A．数据1,2,3,4,5,6,7的上四分位数是6 B.数据的方差是1，则的方差是9 C.若，则A和B是对立事件 D.若事件A与B相互独立，且P(A)=0.5, P(B)=0.3，则P(A∪B)=0.65 10．下列关于函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)-1的说法正确的是 ( ) A.直线 是函数y=f(x)图象的一条对称轴 B. f(x)在区间上单调递增 C. f(x)的图象可通过的图象上所有点向右移个单位长度得到 D.若函数y=f(x)在区间(0,m]上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 11．如图，在长方体中， , BC=2，M,N分别为棱的中点，则 ( ) A. A，M，N，B四点共面 B.平面ADM⊥平面CDD1C1 C.直线BN与所成的角为60° D. BN∥平面ADM 高一数学试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(5分）定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0, ，则f(-2)= 13.(5分）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a,b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 . 14.(5分）已知ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， ，<ABC的角平分线交AC于点D，且，则a+c的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明步骤或演算步骤． 15.(13分）已知k为实数，向量. （1）若 ，求k的值； （2）若 ，求的值. 16.(15分）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,E是PD的中点. （1）求证：PB∥平面EAC； （2）求证：平面PDC⊥平面PAD． 高一数学试卷 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 17.(15分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在［20,45］内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一一六组区间分别为［20.25),[25,30),[30.35),[35,40),[40,45),[40,45］). （1）求选取的市民年龄在［40,45］内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数： （3）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在［35,40）内的概率． 18.(17分）在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足 （1）求角B的大小； （2）若ΔABC的面积，内切圆的半径为，求b； （3）若ΔABC为锐角三角形，且c=12，求ΔABC面积的范围. 19.(17分）如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形. （1）求证：A1B⊥平面 （2）求点C到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 高一数学试卷 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $