1.2 菱形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕菱形的性质与判定，通过三级分层设计，实现从单一性质应用到性质与判定综合的进阶，培养几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|菱形性质（角度、线段、面积）|选择填空为主，直接应用性质解决基本问题| |技能应用|菱形判定（添条件、证明）|解答题为主，强化判定定理的灵活运用| |综合拓展|性质与判定综合应用|结合作图、对称等情境，提升几何直观与推理能力|

1.2 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出，，，确定，得出，再由菱形的性质求解即可． 【详解】：解：∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴． 2．如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，等积法得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵菱形中，于点E，于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记与相交于点，利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：记与相交于点， 四边形是菱形，，， ，， ， 菱形的面积， ， 解得． 5．如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为，，，则的长为________． 【答案】 【分析】直接利用菱形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案． 【详解】解：菱形的对角线、相交于点，且，， ，，， ， 在 中，由等面积法得： , ∴ ． 6．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行四边形的对边平行和角平分线的定义可证明，则，据此可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出菱形的面积即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴ 题型三 利用菱形的性质求面积 7．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，从而可得，再由菱形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 8．如图，，分别是菱形的两边，的中点，已知，，则菱形的面积等于_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质及中位线的性质得出，，利用勾股定理求出，利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别是菱形的两边，的中点， ∴，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 9．如图，在中，，点D、E分别在边上，且，，点F在边上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2)18 【分析】（1）先利用等边对等角、平行线的性质证明四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）如图：过点F作交于G，则，由菱形的性质以及等边对等角可得、；利用30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：过点F作交于G，则， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 题型四 利用菱形的性质证明 10．在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，理解其性质是解题的关键． 根据菱形的性质解题即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，， ∴选项、、不合题意； 不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等） ∴选项符合题意． 故选：D． 11．如图，在菱形中，，分别是边，上的点，连接，．若，，则四边形的面积是___________． 【答案】 【分析】如图，过点分别作于点，作于点，连接，证明得，证明得，证明得，继而得到，然后根据锐角三角函数的定义得，，求出，，，可得结论． 【详解】解：如图，过点分别作于点，作于点，连接， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ， ∵在菱形中，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等积变换等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．如图，已知四边形是菱形，延长使得，连接，． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． (2) 【分析】（1）由四边形是菱形，可得，再由，可得，则，，即可证明结论； （2）由（1）可知，，利用条件可求得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，边长为4，， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴． 题型五 添一个条件使四边形是菱形 13．如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”，所以在平行四边形中，是必然成立的性质，不能据此判断它是菱形．选项A错误． 对于B，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知当时，平行四边形是矩形，而不是菱形．选项B错误． 对于C，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，当，可得，根据“等边对等角”，可得，根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形是菱形．选项C正确． 对于D，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，所以是平行四边形本身具有的性质，不能据此判断它是菱形．选项D错误． 14．如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理，添加一组邻边相等或对角线互相垂直都可使平行四边形成为菱形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 其他符合要求的条件还有、等，本题答案不唯一． 15．如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明． 【答案】(1)证明：∵是中点， ∴， ∵， ∴，， ∴． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，理由如下： ∵ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 题型六 证明四边形是菱形 16．已知四边形的对角线与交于点，．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A． 由和，不能判定四边形是平行四边形，所以由，不能判定四边形是菱形，符合题意； B． 由和可知四边形是平行四边形，再由可判定四边形是菱形，故不符合题意； C． 由和可知四边形是平行四边形，由可知，即可判定四边形是菱形，故不符合题意； D． 由和可知四边形是平行四边形，再由可判定四边形是菱形，故不符合题意； 故选：A． 17．在中，平分交于点D，点E，F分别在边，上，且，那么四边形的形状是______． 【答案】菱形 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平分，平行线的性质证明即可得证； 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵平分交于点D， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 18．如图，在中，点在边上，连结交于点，连结，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点，根据三线合一可得，进而证明四边形是菱形． 【详解】证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是菱形． 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 19．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 20．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 21．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点，过点作，垂足为，与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形，根据对称得到，进而得到四边形为菱形，根据菱形的性质结合三角函数，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，和关于直线对称， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选C． 23．如图，在平行四边形中，，．若按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，以及锐角三角函数计算，能根据题意进行分析计算是解题关键． 连接，判断四边形是菱形，在直角三角形中求解即可． 【详解】解：连接，如下图： 由题意得：， ∴四边形是菱形， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 在中，， ， ， 故答案为：8． 24．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形，理由如下： ∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 25．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的性质得到，则由勾股定理可得，进而可得，求出，再证明四边形是菱形，得到，据此根据列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：D． 26．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，以A为圆心，为半径的弧交于点F，连接．若，，则四边形面积是____________．    【答案】96 【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质和作图可知，，进而证明四边形是菱形，根据勾股定理求得的长，即可求得的长． 【详解】解：如图，连接，设交于点，   平分 四边形是平行四边形 ， 又 四边形是平行四边形 四边形是菱形 ， 在中，， 四边形面积． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了作角平分线，等角对等边，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明是菱形是解题的关键． 27．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质证，而，所以，则，即可证明结论； （2）先证明是平行四边形，则，由菱形的性质得，则，推导出，，所以，求得，最后根据三角形的面积公式计算即可。 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵，点E在的延长线上， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为36． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为___________． 3．如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（     ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为，，，则的长为________． 6．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型三 利用菱形的性质求面积 7．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，，分别是菱形的两边，的中点，已知，，则菱形的面积等于_______． 9．如图，在中，，点D、E分别在边上，且，，点F在边上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求四边形的面积． 题型四 利用菱形的性质证明 10．在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，在菱形中，，分别是边，上的点，连接，．若，，则四边形的面积是___________． 12．如图，已知四边形是菱形，延长使得，连接，． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的面积． 题型五 添一个条件使四边形是菱形 13．如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 15．如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明． 题型六 证明四边形是菱形 16．已知四边形的对角线与交于点，．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 17．在中，平分交于点D，点E，F分别在边，上，且，那么四边形的形状是______． 18．如图，在中，点在边上，连结交于点，连结，．求证：四边形是菱形． 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 19．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 20．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 21．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点，过点作，垂足为，与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在平行四边形中，，．若按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．则的长为______． 24．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 25．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 26．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，以A为圆心，为半径的弧交于点F，连接．若，，则四边形面积是____________．    27．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $