专题二十五 圆-【冲刺2026】2025年中考数学真题汇编

专题二十五 圆 一．选择题（共15小题） 1．（2025•重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 2．（2025•自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　） A．140° B．150° C．160° D．170° 3．（2025•新疆）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．（2025•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 5．（2025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 6．（2025•云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 7．（2025•西藏）如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．π 8．（2025•武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，2．若AB＝6，CD，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D．5 9．（2025•镇江）如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝35°，AB＝9，则的长等于（　　） A．5π B．4π C． D． 10．（2025•海南）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AB＝1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则的长为（　　） A． B． C． D． 11．（2025•常州）如图，⊙O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则的长是（　　） A． B． C．π D．2π 12．（2025•青海）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．50° C．40° D．25° 13．（2025•山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 14．（2025•福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 15．（2025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 二．填空题（共14小题） 16．（2025•哈尔滨）一个扇形的弧长是πcm，半径是3cm，则此扇形的圆心角是　 　 .度． 17．（2025•盐城）已知圆锥的侧面积为15π，母线长为5，则圆锥的底面半径是　 　 ． 18．（2025•陕西）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2＝100°，则∠B的度数为　 　 ． 19．（2025•长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为 　 　 ． 20．（2025•大庆）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半径顺时针作弧FG交DC的延长线于点G，得到扇形FCG，依此类推进行操作，其中，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 　 　 ．（结果保留π） 21．（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　 　 cm． 22．（2025•西宁）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　 　 ． 23．（2025•南通）在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，为半径作⊙A．直线y＝kx﹣3k+2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为 　 　 ． 24．（2025•海南）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°，AB＝4，BC＝7． （1）△AEB面积的最大值为　 　 ； （2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD＝120°，则线段MN长度的最小值为　 　 ． 25．（2025•宁夏）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC＝ 　 　 °． 26．（2025•广州）已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是 　 　 ；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与⊙O交于点D．设PA＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为 　 　 ． 27．（2025•长春）扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的大小是 　 　 °． 28．（2025•安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　 　 °． 29．（2025•重庆）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　 　 ，EH的长度为 　 　 ． 三．解答题（共20小题） 30．（2025•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G． （1）求证：FD＝FG； （2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 31．（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 32．（2025•西藏）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝60°，过点C的切线交BA的延长线于点D．求证：CD＝CB． 33．（2025•宿迁）如图，点A在⊙O上，点B在⊙O外，线段OB与⊙O交于点C，过点C作⊙O的切线交直线AB于点D，且AD＝CD． （1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠B＝30°，CD＝4，求图中阴影部分的面积． 34．（2025•大庆）如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE＝∠MAE． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）证明：OE2＝OB•OC； （3）若射线BM与⊙O相切于点A，DC＝3，BD：OC＝10：9，求tan∠AED的值． 35．（2025•兰州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE． （1）求证：∠ADB＝∠AEC； （2）若AB＝4，cos∠AEC，求OD的长． 36．（2025•青海）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠B＝30°． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）已知BC＝2，求的长（结果保留π）． 37．（2025•贵州）如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E．连接CD，BD． （1）点O与AB的位置关系是 　 　 ，线段CD与线段BD的数量关系是 　 　 ； （2）过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F．根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为3，DE＝4，求CD的长． 38．（2025•辽宁）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 39．（2025•长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC． （1）求证：CD与该半圆相切； （2）当半径r时，令AD＝a，BC＝b，m，n，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 40．（2025•广东）如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D．求证：AD平分∠BAC． 41．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点　 　 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　 　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　 　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 42．（2025•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB．垂足为O，OC＝2，P是BA延长线上一点，连接CP，交⊙O于点D，连接AD，∠OCP＝60°．过点P作⊙O的切线，切点为E．交CO的延长线于点F． （1）求的长； （2）求∠DAB的度数； （3）求cos∠OFP的值． 43．（2025•天津）已知AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，求∠CED的大小； （Ⅱ）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长． 44．（2025•浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE． （1）求证：OD⊥OE． （2）若AB＝BC，OB，求四边形ODCE的面积． 45．（2025•湖南）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC． （1）求∠ACO的度数； （2）求证：AC＝BC． 46．（2025•新疆）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CF⊥AB于点F，∠FCE＝2∠A，BD∥CE交CF于点G，交AC于点D． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若tan∠BCE，BE＝1，求DG的长． 47．（2025•江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD． （1）当BC经过圆心O时（如图1），求∠D的度数； （2）当AD与⊙O相切时（如图2），若⊙O的半径为6，求的长． 48．（2025•甘肃）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD∠AOB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长． 49．（2025•云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF． （1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数； （2）求证：直线CF是⊙O的切线； （3）探究，发现与证明： 已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 1．【答案】B 【解析】∵∠AOB和∠C都对，∴∠C∠AOB100°＝50°． 2．【答案】B 【解析】如图， 正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为90°， ∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∵α＝∠1，β＝∠2，∴α+β＝150°，故选：B． 3．【答案】C 【解析】连接BD， ∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∴∠ADC＝∠BDC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BDC＝60°，故选：C． 4．【答案】B 【解析】如图，设圆心为O，连接OE， ∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC， 设⊙O的半径为r，∴OE＝OD＝r， ∴AO＝AD+OD＝5+r，AB＝AD+BD＝5+2r， 在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AO2＝AE2+OE2， ∴（5+r）2＝102+r2，∴r＝7.5， ∴AO＝5+r＝12.5，AB＝5+2r＝20， ∵sin∠A， ∴， ∴BC＝12． 5．【答案】C 【解析】∵∠AOB＝40°，∴∠ACB∠AOB＝20°， ∵∠OCA＝30°，∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°． 6．【答案】B 【解析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，则2πr，解得r＝10， 即圆锥的底面圆的半径为10cm． 7．【答案】C 【解析】连接OC， ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∵直径AB＝6，∴r＝3， ∴，故选：C． 8．【答案】A 【解析】如图，过点O作OE⊥AB，垂足为F，交⊙O于点E，连接OA，AE，则，AF＝BFAB＝3，∵2，∴，∴AE＝CD， 在Rt△AEF中，AE，AF＝3，∴EF2，设半径为R， 在Rt△AOF中，OA＝R，OF＝R﹣2，AF＝3，由勾股定理得， OA2＝OF2+AF2，即R2＝（R﹣2）2+32，解得R．故选：A． 9．【答案】C 【解析】连接AC，如图所示： 由条件可知∠CBD＝∠ADB＝35°， 根据作图可知：AB＝AC＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝35°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝70°， 由条件可知∠DAC＝∠ACB＝70°， ∴的长为． 10．【答案】C 【解析】如图，连接OD，∵BC与半圆O相切于点B， ∴∠ABC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°， 由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°，∴的长为：，故选：C． 11．【答案】C 【解析】∵直径AB、CD互相垂直，∴∠BOC＝90°，∴BC弧的长为， 故选：C． 12．【答案】B 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠CAB+∠B＝90°， ∵∠CAB＝40°，∴∠B＝50°，∠ADC＝∠B＝50°，故选：B． 13．【答案】B 【解析】连接OC， ∵，AB为⊙O的直径，∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝90°， ∴∠D∠AOC＝45°，故选：B． 14．【答案】C 【解析】如图，连接OA、OB，∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°， ∵AB∥PC，∴∠OAB＝∠AOP＝60°，∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°， ∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCP＝60°，故选：C． 15．【答案】C 【解析】由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°， ∵，∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°．故选：C． 二．填空题 16．【答案】70． 【解析】设扇形的圆心角的度数是n°，则，解得：n＝70，故答案为：70． 17．【答案】3． 【解析】设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积2πR×5＝15π， ∴R＝3，故答案为：3． 18．【答案】80°． 【解析】∵四边形ABCD为⊙O内接四边形，∴∠B+∠D＝180°， 由圆周角定理得：∠B∠AOC，∵∠1+∠2＝100°， ∴∠AOC+∠D＝360°﹣100°＝260°，∴2∠B+180°﹣∠B＝260°， ∴∠B＝80°，故答案为：80°． 19．【答案】6． 【解析】∵OC⊥AB于点C，∴AB＝2AC＝2×3＝6，∴OA＝AB＝6，故答案为：6． 20．【答案】π． 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴第一次操作（扇形DAE）， 以点A为圆心，以AD为半径，∵AD＝1，圆心角n＝90°，∴S1π， 第二次操作（扇形EBF），以点B为圆心，以BE为半径，∵BE＝2，圆心角n＝90°， ∴S2π，第三次操作（扇形FCG），点C为圆心，以CF为半径， ∵CF＝3，圆心角n＝90°，∴S3，第四次操作（扇形GDH）， 点D为圆心，以DG为半径，∵DG＝4，圆心角n＝90°，∴S44π， ∴S1+S2+S3+S4π+ππ+4ππ． 故答案为：π． 21．【答案】5． 【解析】∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，∴点P到圆心O的距离为5cm， 故答案为：5． 22．【答案】48． 【解析】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG， ∴AD+BC＝AB+CD＝24，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48， 故答案为：48． 23．【答案】6 【解析】对于y＝kx﹣3k+2，当x＝3时，y＝2， ∴直线y＝kx﹣3k+2过定点P（3，2）， ∵点A（3，0），∴AP2， 又∵⊙A的半径为，AP，∴点P在⊙A内部， 根据垂径定理得：当直线y＝kx﹣3k+2与AP垂直时，BC为最小，如图所示： 则BP＝CP，∴BC＝2BP，在Rt△ABP中，AB，AP＝2， 由勾股定理得：BP3， ∴BC＝2BP＝6，即BC的最小值为6． 24．【答案】（1）4；（2）． 【解析】（1）∵点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°， ∴点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆， 设AB的中点为O，当OE⊥AB时，△AEB面积取得最大值，如图， 则OA＝OBAB＝2， ∴△AEB面积的最大值4． （2）连接DE，如图， ∵CD、CE的中点为M、N，∴MNDE，∴DE取得最小值时，MN长度最小． 由（1）知：点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，设AB的中点为O，连接OD，交半圆于点E，如图， 则此时DE最小，OE＝OA＝OB＝2． 过点O作OF⊥AD，交DA的延长线于点F， ∵∠BAD＝120°，∴∠OAF＝60°， ∴OF＝OA•sin60°，AF＝OA•cos60°＝1，∴DF＝AD+AF＝8， ∴OD，∴DE＝OD﹣OE2， ∴线段MN长度的最小值DE． 25．【答案】117． 【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴，， ∵∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣2（∠ABC+∠ACB） ＝117° 26．【答案】d＞6，y． 【解析】∵过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，∴点P在⊙O外，∴d＞6； ∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∴OP平分∠APB，∴∠APO＝∠BPO， ∵OC∥PA，∴∠POC＝∠APO，∴∠POC＝∠CPO，∴PC＝OC， ∵PA＝x，CD＝y，∴PC＝OC＝y+6，∴BC＝PB﹣PC＝x﹣（y+6）＝x﹣y﹣6， 连接OB，∴半径OB⊥PB，∴∠OBC＝90°，∴OC2＝BC2+OB2， ∴（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，∴y． 故答案为：d＞6，y． 27．【答案】240 【解析】∵扇形的面积是它所在圆的面积的，∴这个扇形的圆心角的大小是：360°240°，故答案为：240． 28．【答案】20． 【解析】连接OB，∵PB与⊙O相切于点B，∴PB⊥OB， ∴∠OBP＝90°，∵∠P＝50°，∴∠POB＝90°﹣∠P＝40°， ∴∠PAB∠POB＝20°，故答案为：20． 29．【答案】3，． 【解析】∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5， ∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10， ∴， ∵四边形ACDE是菱形， ∵CD＝AC＝13， ∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3， ∴， 如图，连接BC，BH， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°， ∴，即，解得：， ∴，即，解得：， ∵四边形ACDE是菱形，∴CD∥AE，∴∠DAE＝∠CDA， 如图，过H作HM⊥AE于M， ∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故答案为：3，． 三．解答题 30．【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF， ∴AB∥GF，∴∠BAC＝∠G＝45°， ∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形，∴FD＝FG； （2）解：∵DF⊥AB， ∴， ∵∠BAC＝45°，∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形， ∴EA＝ED＝6． 由（1）得FD＝FG＝10，∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4， 如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA， ∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴（x+4）2＝62+x2， 解得，，∴，∴⊙O的半径为． 31．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°． ∴∠DAB+∠AOC＝180°，∴OC∥AD． （2）解：连接BD，交OC于点E， ∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°， ∵OC∥AD，∴，∵OA＝OB，∴EB＝DE， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，∴， 设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1， 在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1， 在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2， 即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2， 解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去），故AB＝2r＝6． 32．【答案】连接OC，则OC＝OA，∵∠CAB＝60°， ∴△AOC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠B∠COD＝30°， ∵CD与⊙O相切于点C，交BA的延长线于点D，∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠COD＝30°，∴∠B＝∠D，∴CD＝CB． 【解答】证明：连接OC，则OC＝OA，∵∠CAB＝60°， ∴△AOC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠B∠COD＝30°， ∵CD与⊙O相切于点C，交BA的延长线于点D，∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠COD＝30°，∴∠B＝∠D，∴CD＝CB． 33．【答案】（1）直线AB与⊙O相切， 如图，连接OA，OD， ∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°， 在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠OAD＝∠OCD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O半径，∴直线AB与⊙O相切； （2）． 【解析】（1）直线AB与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OA，OD， ∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°， 在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠OAD＝∠OCD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O半径，∴直线AB与⊙O相切； （2）由（1）得△OAD≌△OCD，∠OAD＝∠OCD＝90°， ∴∠AOD＝∠COD，S△OAD＝S△OCD，∵∠B＝30°， ∴∠AOC＝60°，∴∠AOD＝∠COD＝30°，∴OD＝2CD＝8， ∴， ∴， ∴S阴影＝S△OAD+S△OCD﹣S扇形AOC ． 34．【答案】（1）证明：∵DE为△ADE外接圆⊙O的直径， ∴∠DAE＝90°，∴∠EAM+∠BAD＝∠EAC+∠DAC＝90°， ∵∠CAE＝∠MAE，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC； （2）证明：连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠OAD＝∠OAC+∠DAC， ∴∠B＝∠OAC，∵∠AOB＝∠COA，∴△AOC∽△BOA， ∴，∴OA2＝OB•OC，∵OE＝OA，∴OE2＝OB•OC； （3）． 【解答】（1）证明：∵DE为△ADE外接圆⊙O的直径， ∴∠DAE＝90°，∴∠EAM+∠BAD＝∠EAC+∠DAC＝90°， ∵∠CAE＝∠MAE，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC； （2）证明：连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，OAD＝∠OAC+∠DAC， ∴∠B＝∠OAC，∵∠AOB＝∠COA，∴△AOC∽△BOA， ∴，∴OA2＝OB•OC，∵OE＝OA，∴OE2＝OB•OC； （3）解：∵射线BM与⊙O相切于点A， ∴∠OAB＝90°，由（2）知，△AOC∽△BOA， ∴∠ACO＝∠OAB＝90°， ∵BD：OC＝10：9，∴设BD＝10x，OC＝9x， ∴OD＝OA＝9x+3，OB＝19x+3，∵OA2＝OB•OC， ∴（9x+3）2＝（19x+3）×9x，∴x， ∴AO，OC，∴AC6， ∵∠ACD＝∠DAB＝90°， ∴∠ADC+∠DAC＝∠ADC+∠E＝90°， ∴∠DAC＝∠AED，∴tan∠AED＝tan∠DAC． 35．【答案】（1）见解答； （2）2． 【解答】（1）证明：∵BD为⊙O的切线， ∴AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∵∠ADB+∠BAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ADB＝∠AEC； （2）解：∵∠ADB＝∠AEC，∴cos∠ADB＝cos∠AEC， 在Rt△ABD中，∵cos∠ADB， ∴设BDx，AD＝3x，∴AB2x， 即2x＝4，解得x＝2，∴BD＝2， 在Rt△OBD中，∵OB＝2，BD＝2， ∴OD2． 36．【答案】（1）证明见解答； （2）的长是． 【解答】（1）证明：连接OD，∵∠A＝∠B＝30°， ∴∠BOD＝2∠A＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠B﹣∠BOD＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且BD⊥OD，∴直线BD是⊙O的切线． （2）解：∠ODB＝90°，∠B＝30°，OD＝OC， ∴OB＝2OD＝2OC，∵BC＝OB﹣OC＝2OC﹣OC＝OC，且BC＝2， ∴OC＝2，∵∠COD＝60°，∴，∴的长是． 37．【答案】（1）O在线段AB上，CD＝BD；（2）补图见解析，△DEF为等腰三角形；（3）． 【解析】（1）∵∠ACB是直角，∴AB为直径， ∵O为圆心，∴O在线段AB上，∵D为的中点， ∴，∴CD＝BD，故答案为：O在线段AB上，CD＝BD； （2）补图如下，△DEF为等腰三角形，理由如下： 连接OD，∵DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E， ∴∠ODE＝90°，∴∠ADO+∠EDF＝90°， ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DAO+∠EDF＝90°， ∵AE⊥EF，∴∠F+∠DAO＝90°，∴∠F＝∠EDF，∴ED＝EF， ∴△EDF是等腰三角形； （3）如图，过D作DH⊥AB于H， ∵⊙O的半径为3，DE＝4，∠ODE＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∴，∴，∴． 38．【答案】见试题解答内容 【解析】（1）连接OD， 在△OAC和△OBC中，， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED， 设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y， 在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360° ∴x+x+y+y+90°＝360°， ∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°； （2）连接OD， ∵∠AOC＝90°，D为AC中点， ∴， ∴OD＝OA＝AD＝3， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， ∴的长为：． 39．【答案】（1）证明见解析；（2）m＝n，理由见解析；（3）y． 【解答】（1）证明：如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E， ∵AD与BC均为该半圆的切线， ∴AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD∥BC， ∴∠M＝∠OCB， ∵O为AB的中点， ∴OA＝OB， 在△OAM与△OBC 中， ， ∴△OAM≌△OBC（AAS）， ∴AM＝BC， ∵CD＝AD+BC， ∴CD＝AD+AM＝DM， ∴∠M＝∠OCE， ∴∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD， 又∵OE⊥CD，OB⊥CB， ∴OE＝OB， ∴CD与该半圆相切； （2）解：m＝n．理由如下： 如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M， 在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2， ∵CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4r2， ∴r2＝AD•BC＝ab＝2，代入可得； （3）解：∵CD，AD，BC均为该半圆的切线，∴DA＝DE，CB＝CE， ∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC， ∴△DAG∽△BCG，∴， ∴，∵∠ACD＝∠GCE， ∴△ACD∽△GCE，∴∠ADC＝∠GEC． ∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC， ∴，∴， ∴，同理可得，∴FG＝EG＝x， 由（2）可知r2＝AD•BC＝DE•EC＝1， ∴， 又在Rt△ABE 中， ∵， ∴AE•BE＝4x，∴， ∴． 40．【答案】见解答． 【解答】证明：连接OD，如图， ∵以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∵∠ABC＝90°，∴OD∥AB，∴∠ODA＝∠BAD， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠BAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC． 41．【答案】（1）①A3，60；②； （2）或t＞5或． 【解析】（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN； 当A在⊙O内部时，过A的直线MN使得⊙O的关联角度为180°； 当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大； 如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°， ∵A3（2，0），⊙O的半径为1， ∴OM＝1，OA3＝2，且MA3是⊙O的切线， ∴， ∴∠MA3O＝30°， ∴∠MA3N＝60°，即与⊙O的关联角度为60°， 故答案为：A3，60； ②根据定义可得B为⊙O外一点， ∵BD＜1，⊙O的半径为1， ∴BO≥2， 当OB＝2时，如图，取点G（1，0），则∠OGB＝90°， ∴，∴m的最小值为，故答案为：； （2）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近，∵90°≤α≤180°， ∴当∠MAN＝90°时，由∠TMA＝∠TNA＝90°，如图， ∴四边形TMAN是矩形，∵TM＝TA，∴四边形TMAN是正方形，∴， 当∠MAN≥90°时，，∵点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝|t|， ∴EF上距离T最近的点在的圆环内， ①EF和的圆相切，如图， ∴， 解得：； ②EF和半径为t的圆相切时，如图， ∴t＝3 （不包含临界值），∴； ③当E在半径为t的圆，如图， ∴t2＝（t﹣1）2+32，解得：t＝5 （不包含临界值）， ∴t＞5时，E，F都在⊙T内部，此时α＝180°； ④当F在半径为的圆，如图， 设⊙T的半径为r，则t＝﹣r，∴，解得：， ∴时，此时90°≤α≤180°； 综上所述，或t＞5或． 42．【答案】（1）π； （2）75°； （3）． 【解析】（1）连接OD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°， ∵OC＝2，∴的长π； （2）∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝30°， ∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO（180°﹣30°）＝75°； （3）连接OE，∵PE切圆与E，∴半径OE⊥PE， ∵∠POE+∠OPE＝∠OFP+∠OPE，∴∠POE＝∠OFP， ∵tanC＝tan60°，∴PO＝2，∵OE＝OC＝2， ∴cos∠POE． ∴cos∠OFP＝cos∠POE． 43．【答案】（I）∠CED的度数为20°； （Ⅱ）ED的长是3，EG的长是3． 【解析】（I）如图①，连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB， ∵OA＝OB，∠AOB＝80°，∴∠COB＝∠COA∠AOB＝40°， ∴∠CED∠COB＝20°，∴∠CED的度数为20°． （Ⅱ）如图②，连接OC，∵DG是⊙O的直径，⊙O的半径为3， ∴∠DEG＝90°，DG＝6，∵EC∥OA，∴∠EFG＝∠AOB＝80°， 由（I）得∠CED＝20°，∴∠EDG＝∠EFG﹣∠CED＝60°， ∴∠G＝90°﹣∠EDG＝30°，∴EDDG＝3， ∴EG3， ∴ED的长是3，EG的长是3． 44．【答案】（1）证明见解析； （2）3． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 由作图可知：OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC， ∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E， ∴OE⊥AC，∴OD⊥OE； （2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°，在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB， 则OA2，AE1， ∴AB＝2，∴EC＝AC﹣AE＝21＝1， 则四边形ODCE的面积为：（1）3． 45．【答案】（1）30°； （2）证明见解析． 【解答】（1）解：∵BC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CB，∴∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°； （2）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠A＝∠B，∴AC＝BC． 46．【答案】（1）见解析； （2）DG． 【解答】（1）证明：连接OC，∵CF⊥AB于点F，∴∠CFO＝90°． ∵OC＝OA，∴∠COF＝2∠A，∵∠FCE＝2∠A， ∴∠COF＝∠FCE． ∵∠COF+∠OCF＝90°， ∴∠FCE+∠OCF＝90°， 即∠OCE＝90°，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线． （2）解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°． 作DH⊥AB于点H，连接BC，如图所示， ∵∠ACB＝∠OCE，∴∠ACO＝∠BCE， ∴∠A＝∠ACO＝∠BCE，∵BD∥CE， ∴∠BCE＝∠DBC，∴tan∠BCE＝tanA＝tan∠DBC， 设CD＝a，BC＝2a，AC＝4a，AD＝3a， 由勾股定理可得AB． ∵BD∥CE， ∴，即，解得a， 故AB＝3，AD，BC． 又∵CF， 故BF，∵tanA， ∴cosA，AH＝AD×cosA， 故BH＝AB﹣AH＝3， ∵BFBH，CF∥DH， ∴DGDB， 又∵DB＝DC••， 故DG． 47．【答案】（1）∠D的度数是55°； （2）的长为． 【解析】（1）∵BC经过圆心O， ∴BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ACB＝35°，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝90°﹣∠ACB＝55°， ∴∠D的度数是55°． （2）连接OA、OC， ∵AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为6， ∴AD⊥OA，OA＝OC＝6， ∴∠OAD＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB＝35°， ∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD﹣∠CAD＝55°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝70°， ∴， ∴的长为． 48．【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵OA＝OC＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB， ∵∠BAO＝∠BCO， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝∠COB， ∴， 连接CE， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠OCE+∠OCB＝90°， ∵OE＝OC， ∴∠E＝∠OCE， ∵∠EAOB，∠BCD∠AOB， ∴∠BCD＝∠ECO， ∴∠DCO＝∠DCB+∠BCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC， ∴四边形ABCO是菱形， ∴BC＝OC＝OB，AC⊥OB，OFOBOE， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠E∠BOC＝30°， ∵EF＝3， ∴OF＝1，OE＝2， ∴OC＝2， ∵∠DOC＝60°， ∴CD＝OC•tan60°＝22． 49．【答案】（1）∠BCE＝60°；（2）证明见解析；（3）存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；理由见解析． 【解析】（1）∵CE＝CB，且∠CBE＝60°， ∴△CBE是等边三角形， ∴∠BCE＝60°； （2）证明：延长CO交⊙O于点M，连接EM，如图， ∵CM是⊙O的直径，∴∠CEM＝90°，∴∠AEC+∠AEM＝90°， ∵∠AEM＝∠ACM，∠AEC＝∠ACF，∴∠ACF+∠ACM＝90°， ∴∠MCF＝90°，∴OC⊥CF，∵OC是⊙O的半径， ∴直线CF是⊙O的切线； （3）解：存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；理由如下： 如图，设AC与BE交于点N， ∵AC平分∠BAE，∴∠EAC＝∠BAC， ∵∠EAC＝∠EBC，∠BEC＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠EBC＝∠BAC＝∠BEC，∴CE＝CB， ∵∠BCN＝∠ACB，∠CBE＝∠BAC， ∴△BCN∽△ACB，∴， ∴BC2＝AC•CN①， ∵∠AEN＝∠BEA，∠EAC＝∠BAC， ∴△AEN∽△ACB，∴， ∴AE•AB＝AC•AN②， ①+②得：BC2+AE•AB＝AC•CN+AC•AN＝AC（CN+AN）＝AC2， ∵CE＝CB，∴AC2＝BC•CE+AB•AE，∴此时a＝1，b＝1． ∴存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立． 学科网（北京）股份有限公司 $