2026年黑龙江省绥化市中考数学试卷

**基本信息** 试卷以科技前沿（如快递智能分拣机械手）、文化传承（如《孙子算经》古文题）为情境，通过基础-中档-较难的梯度设计，考查代数、几何、统计核心知识，凸显数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|有理数、图形性质、统计量|结合古文算题（第9题）考查应用意识| |填空题|10/30|因式分解、圆、反比例函数|以正六边形面积（第16题）体现几何直观| |解答题|6/54|二次函数、圆切线、动态几何|25题（机械手问题）融合方程与函数，28题（矩形动点）考查推理能力|

2026年黑龙江省绥化市中考数学试卷 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑。 1．（3分）·【易】下列有理数中，没有倒数的是（　　） A．﹣2027 B．1 C．0 D．﹣1 2．（3分）·【较易】下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 3．（3分）·【易】若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x为任意实数 B．x≠1 C．x≠0 D．x＞1 4．（3分）·【易】下列计算中，结果正确的是（　　） A．|﹣3|＝﹣3 B．a2+2a2＝3a4 C． D． 5．（3分）·【较易】某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间（单位：小时），数据如表所示： A组 6 7 8 8 8 9 10 B组 4 7 9 9 9 11 14 下列说法正确的是（　　） A．两组数据的众数相等 B．A组数据的平均数大于B组数据的平均数 C．A组数据的方差小于B组数据的方差 D．A组数据的中位数大于B组数据的中位数 6．（3分）·【中档】已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．20 D．﹣20 7．（3分）·【较易】下列命题正确的是（　　） A．正五边形的外角和是540° B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 C．三角形两边的和大于第三边 D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形 8．（3分）·【较易】如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，则∠DBC的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．50° 9．（3分）·【易】《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有x人，可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）·【中档】如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝60m，则探测器到目标B的距离AB约为（其中1.732，计算结果精确到0.1）（　　） A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m 11．（3分）·【较易】如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰直角三角形，∠A＝90°，OB＝2，将△OAB绕点O顺时针旋转45°后，得到△OA′B′，点A，B的对应点分别是点A′，B′，以原点为位似中心，将△OA′B′放大为原来的3倍后，得到△OA″B″，顶点B′在第一象限对应点B″的坐标是（　　） A．（6，6） B．（6，2） C． D． 12．（3分）·【中档】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，5），与x轴交于A（m，0），B两点，其中2＜m＜3．则下列结论：①0；②b+4a＝0；③a﹣b+3c＞0；④； ⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内。 13．（3分）·【易】海水淡化，利国利民．2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨．把300万用科学记数法表示为　 　 ． 14．（3分）·【较易】分解因式：a3b﹣ab＝　 　 ． 15．（3分）·【较易】某几何体是由棱长为1cm的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是　 　 cm2． 16．（3分）·【较易】如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正六边形地基的面积是　 　 m2（计算结果保留根号）． 17．（3分）·【易】计算： 　 　 ． 18．（3分）·【较易】如图，在⊙O中，，∠ABC＝70°，则∠BOC＝　 　 ． 19．（3分）·【中档】如图，反比例函数y与边长为10的等边三角形OAB相交于C，D两点，边OB与x轴重合，BD：OC＝1：3，则k的值是　 　 ． 20．（3分）·【中档】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P，D分别在边AB，BC上运动，连接PC，PD．则PC+PD的最小值是　 　 ． 21．（3分）·【较易】按一定规律排列的数据依次为2，7，14，23，34，47，…．若按此规律继续排列下去，则第n个数可以表示为　 　 （结果用含n的代数式表示）． 22．（3分）·【中档】已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，点E，F的对应点分别是点C，D，连接CF．当CF∥AB时，则CF的长为　 　 ． 三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内。 23．（7分）·【较难】尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点P． 【初步探索】 （1）如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN经过点P，点M，点N分别在射线OA，射线OB上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） 【拓展探究】 （2）如图2，若∠AOB＝58°，连接OP，OP＝3．以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA，射线OB于C，D两点，则劣弧的长度为　 　 ．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的代数式表示的结果） 24．（7分）·【较易】为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题： 类别 参与创新实践活动的时间x（单位：小时） A 0≤x＜0.5 B 0.5≤x＜1 C 1≤x＜1.5 D 1.5≤x＜2 E x≥2 （1）本次随机调查的学生共有　 　 人，补全条形统计图． （2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生人数． （3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 25．（10分）·【中档】我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等． （1）求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元？ （2）快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？ （3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． ①乙机械手的工作速度为　 　 件/分钟，a＝　 　 ． ②直接写出BC所在直线的函数表达式：　 　 ． ③当乙机械手工作　 　 分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同． 26．（9分）·【较难】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，连接BD，过点C作BD的垂线，垂足为E，交直径AB于点F，交过点B的直线于点M，连接AC并延长，交MB于点N，且CN＝CM． （1）求证：BM是⊙O的切线． （2）若，OF＝4，求线段CE的长． 27．（10分）·【较难】综合与探究 已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点O为坐标原点，作直线BC． （1）求该抛物线的解析式． （2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，交BC于点M，点Q的横坐标为．若△MCN的面积记作S1，△PMQ的面积记作S2，当S＝S1+S2有最大值时，求点P的坐标．（自行完成作图并解答） （3）把抛物线y＝ax2+bx+4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y′过点C，点E是新抛物线y′对称轴与x轴的交点，点F是新抛物线y′对称轴上的动点，连接FC，FO．若FO平分∠CFE，请直接写出符合条件的点F坐标．（自行完成作图并作答） 28．（11分）·【较难】综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究． 在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的动点． 【观察感知】（1）如图1，当点E，F运动到AE＝BF时，连接AF，BE．求证：△ABE≌△BAF． 【探索发现】（2）如图2，连接AC，点M是AC上的一点，CM：AM＝1：2，连接AF，BE，AF与BE相交于点G，连接GM．当BE平分∠ABC，AF平分∠BAC时，且AB+AC＝2BC，试求出GM与FC的数量关系，并说明你的理由． 【问题拓展】（3）如图3，当AB＝2，BC＝8时，作直线EF，若直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点D作DH⊥EF于点H，连接AH．当矩形的边AD与直线EF的夹角成60°时，请你直接写出∠DAH的正切值．（自行完成作图并作答） 2026年黑龙江省绥化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B D C A C D B A A B 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑。 1．【答案】C 【解析】解：A、﹣2027的倒数是，故不符合题意； B、1的倒数是1，故不符合题意； C、0没有倒数，故符合题意； D、﹣1的倒数是﹣1，故不符合题意． 故选：C． 2．【答案】D 【解析】解：A是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意， B是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意， C是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 3．【答案】B 【解析】解：由题可知， x﹣1≠0， 解得x≠1． 故选：B． 4．【答案】D 【解析】解：A、|﹣3|＝3，故该项不正确，不符合题意； B、a2+2a2＝3a2，故该项不正确，不符合题意； C、2，故该项不正确，不符合题意； D、2﹣1，故该项正确，符合题意； 故选：D． 5．【答案】C 【解析】解：整理得A组数据为6、7、8、8、8、9、10；B组数据为4，7，9，9，9，11，14， 故A组的众数为8，B组的众数为9，故选项A说法错误，不符合题意； 8，x9，即A组数据的平均数小于B组数据的平均数，故选项B说法错误，不符合题意； [（6﹣8）2+（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]， [（4﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2+（11﹣9）2+（14﹣9）2]，即A组数据的方差小于B组数据的方差，故选项C说法正确，符合题意； A组的中位数为8，B组的中位数为9，，故选项D说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．【答案】A 【解析】解：由题知， 因为x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根， 则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣9， 所以x1+x2﹣2x1x2＝﹣2﹣2×（﹣9）＝﹣2+18＝16． 故选：A． 7．【答案】C 【解析】解：A、正五边形的外角和是360°，故A不符合题意； B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故B不符合题意； C、此命题是真命题，故C符合题意； D、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 8．【答案】D 【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠C+∠ADC＝180°． ∵∠C＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣30°＝150°． ∵∠ADB：∠BDC＝1：2， ∴∠BDC∠ADC， ∴∠DBC＝180°﹣30°﹣100°＝50°． 故选：D． 9．【答案】B 【解析】解：根据题意得：2． 故选：B． 10．【答案】A 【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝α＝30°，AC＝60m， ∴AB＝2AC＝120207.8（m）， ∴探测器到目标B的距离AB约为207.8m， 故选：A． 11．【答案】A 【解析】解：设OA＝AB＝x， 由勾股定理得：x2+x2＝（2）2， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴OA＝AB＝2， 由旋转的性质可知：∠OA′B′＝∠OAB＝90°，OA′＝OA＝2，A′B′＝AB＝2， ∴点B′的坐标是（2，2）， 以原点为位似中心，将△OA′B′放大为原来的3倍后，得到△OA″B″，点B′在第一象限对应点B″的坐标是（2×3，2×3），即（6，6）， 故选：A． 12．【答案】B 【解析】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，5），与y轴交于正半轴， ∴a＜0，， ∴b＝4a＜0， ∴，故①错误； ∵b＝4a， ∴b﹣4a＝0，故②错误； ∵a＜0，c＞0， ∴c﹣a＞0， ∴a﹣b+3c＝a﹣4a+3c＝3（c﹣a）＞0，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，5）， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝5，即4a﹣2×4a+c＝5， ∴c＝4a+5， 由图象可得当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0， ∴4a+8a+4a+5＞0， ∴， 由图象可得当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0， ∴9a+12a+4a+5＜0， ∴， ∴，故④正确； ∵方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0可化为ax2+bx+c＝﹣k2x﹣k2， ∴该方程的解为抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2的交点的横坐标， ∵直线y＝﹣k2x﹣k2＝﹣k2（x+1）， ∴该直线过定点（﹣1，0），且过第二、三、四象限， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2必有交点， ∴方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 故选：B． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内。 13．【答案】3×106． 【解析】解：300万＝3000000＝3×106． 故答案为：3×106． 14．【答案】ab（a+1）（a﹣1） 【解析】解：原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）． 故答案为：ab（a+1）（a﹣1）． 15．【答案】14． 【解析】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何体有3个小正方体，且依次相邻， ∴这个几何体的表面积是1×14＝14． 故答案为：14． 16．【答案】24． 【解析】解：如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB于点M， ∵正六边形ABCDEF的中心为O， ∴∠AOB60°，OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∵OM⊥AB， ∴∠AOM∠AOB＝30°，OA＝AB＝4m，AM＝BM＝2m， ∴OM2（m）， ∴S正六边形ABCDEF＝6S△AOB ＝64×2 ＝24（m2）． 故答案为：24． 17．【答案】． 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 18．【答案】80°． 【解析】解：∵， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°， ∴∠BOC＝2∠A＝80°． 故答案为：80°． 19．【答案】． 【解析】解：过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵三角形ABO是等边三角形， ∴∠ABO＝∠AOB＝60°． ∵BD：OC＝1：3， ∴令BD＝a，OC＝3a． 在Rt△COM中， sin∠AOB，cos∠AOB， ∴CM，OM， 则点C坐标可表示为（）， 同理可得，点D坐标可表示为（）． ∵点C和点D都在反比例函数y的图象上， ∴， 解得a＝0或a＝2， ∵a≠0， ∴a＝2， ∴点C坐标为（）， 则k 故答案为：． 20．【答案】3． 【解析】解：延长CA至点M，使∠ABM＝∠CBA，连接MB， 过点C作CN⊥MB，交AB于点P，过点P作PD⊥BC于点D， ∵∠ABM＝∠CBA， ∴PD＝PN， 这时PC+PD有最小值，即CN的长度， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， ∴， ∵∠ABM＝∠ABC＝30°， ∴∠CBM＝∠ABC+∠ABM＝60°， ∴，， ∵， 即， ∴CN＝3， ∴PC+PD的最小值是3， 故答案为：3． 21．【答案】n2+2n﹣1． 【解析】解：设第n个数对应序号为n，n为正整数， 将已知数据按序号整理： 当n＝1时，2＝（1+1）2﹣2， 当n＝2时，7＝（2+1）2﹣2， 当n＝3时，14＝（3+1）2﹣2， 当n＝4时，23＝（4+1）2﹣2， 当n＝5时，34＝（5+1）2﹣2， 当n＝6时，47＝（6+1）2﹣2， ......， 因此可得第n个数的表达式为（n+1）2﹣2，即为n2+2n﹣1， 故答案为：n2+2n﹣1． 22．【答案】或． 【解析】解：作BG⊥CF于点G，如图所示， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AC的中点， ∴，∠ABC＝45°， ∴， 由旋转的性质可知：△DCB≌△FEB， ∴， ∵CF∥AB， ∴∠ABC＝∠BCG＝45° ∴， ∴， ∴； 当点F运动到点F'时，此时CF'∥AB， 同理可得，，， ∴； 综上所述，CF的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内。 23．【答案】（1）如图，△OMN即为所求； （2）． 【解析】解：（1）如图，△OMN即为所求； 理由：由作图知：OC＝OD，∠ECF＝∠GFH， ∴∠OCD＝∠ODC，CD∥MN， ∴∠OCD＝∠OMN，∠ODC＝∠ONM， ∴∠OMN＝∠ONM， ∴OM＝ON， ∴△OMN即为所求； （2）由作图知：OC＝OD＝OP＝3， ∴劣弧的长度为， 故答案为：． 24．【答案】（1）40， 补全统计图如下： ； （2）120人； （3）． 【解析】解：（1）本次调查的学生共有10÷25%＝40（人），C类的学生有40﹣5﹣10﹣12﹣3＝10（人）， 补全统计图如下： ． 故答案为：40；（2）320120（人），答：估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生有120人；（3）画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，选取的两名同学恰好是一男一女的有4种情况． ∴选取的两名同学恰好是一男一女的概率为． 25．【答案】（1）A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元； （2）购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元； （3）①：20；60； ②y＝15x﹣450； ③22.5． 【解析】解：（1）设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为（n﹣2）万元， 由题意得 ； 解得：n＝6； 经检验：n＝6是原分式方程的解， B型机械手的单价：n﹣2＝6﹣2＝4（万元）， 答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元； （2）设购买A型机械手m台，则购买B型机械手（30﹣m）台，所需费用为w万元， ， 解得：20≤m＜30， 由题意得：w＝6m+4（30﹣m）＝2m+120， ∵2＞0 ∴w随m的增大而增大，且m取正整数， ∴当m＝20时，w最小＝2m+120＝2×20+120＝160（万元）， 此时B型机械手：30﹣m＝30﹣20＝10（台）， 答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元； （3）①乙机械手的工作速度为20件/分钟， 甲机械手的工作速度为15件/分钟， （2250﹣450）÷15＝120（分钟）， 故a＝180﹣120＝60， 故答案案为：20；60； ②设BC所在直线的函数表达式为yBC＝kx+b， 将点（60，450），（180，2250）代入yBC＝kx+b， 得， 解得， ∴BC所在直线的函数表达式为yBC＝15x﹣450， 故答案为：y＝15x﹣450； ③设乙机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系为y＝ax+c， 将点（30，0），（180，3000）代入y＝ax+c， 即， 解得， ∴乙机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系为y＝20x﹣600， 结合函数图象可知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同时为450件， 令y＝450代入y＝20x﹣600， 即450＝20x﹣600， 解得x＝52.5 ∴当乙机械手工作52.5﹣30＝22.5分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同， 故答案为：22.5． 26．【答案】（1）连接BC ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠BCN＝90°， 在△BNC中，∠CNB+∠NBC＝90°， ∵CM⊥BD， ∴∠CED＝∠BEM＝90°， 在△BME中，∠EMB+∠MBE＝90°， ∵CN＝CM， ∴∠CNB＝∠EMB， ∴∠NBC＝∠MBE； ∵CD⊥AB， ∴CP＝DP， ∴BC＝BD， ∴△BCD是等腰三角形， ∴∠CBP＝∠DBP； ∵∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE＝180°， ∴2∠NBC+2∠CBP＝180°， ∴∠NBC+∠CBP＝90°， ∴∠ABN＝90°， ∵OB为⊙O的半径， ∴BM是⊙O的切线； （2）． 【解析】（1）证明：连接BC ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠BCN＝90°， 在△BNC中，∠CNB+∠NBC＝90°， ∵CM⊥BD， ∴∠CED＝∠BEM＝90°， 在△BME中，∠EMB+∠MBE＝90°， ∵CN＝CM， ∴∠CNB＝∠EMB， ∴∠NBC＝∠MBE； ∵CD⊥AB， ∴CP＝DP， ∴BC＝BD， ∴△BCD是等腰三角形， ∴∠CBP＝∠DBP； ∵∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE＝180°， ∴2∠NBC+2∠CBP＝180°， ∴∠NBC+∠CBP＝90°， ∴∠ABN＝90°， ∵OB为⊙O的半径， ∴BM是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴PC＝PD，∠APC＝∠FPC＝90， ∵， ∴，； 由（1）可知，∠ACP＝∠DCE， ∵PC＝PC， ∴△ACP≌△FCP（ASA）； ∴PA＝PF， 设⊙O的半径为r， ∵OF＝4， ∴FA＝OA+OF＝r+4， ∴， ； ∵∠A＝∠CDB，∠ACP＝∠DBP， ∴△ACP∽△DBP， ∴， ∴， 解得，r2＝﹣8， ∴； ∴， 在Rt△ACP中，； ∵∠ACP＝∠DCE，∠A＝∠CDB， ∴△ACP∽△DCE， ∴， ∴， 解得． 27．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4； （2）P（2，6）； （3）或． 【解析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（4，0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+3x+4； （2）当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， 设直线BC的解析式为y＝k1x+b1， 则， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， ∴M（m，﹣m+4）， ∴MN＝﹣m+4，PM＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m， ∴S＝S1+S2 ， ∵， 当m＝2时，面积有最大值． 此时，﹣m2+3m+4＝6． 即P点坐标为（2，6）； （3）∵原抛物线沿射线BC方向平移后经过点C， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点． 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度， 则， 新抛物线y'的对称轴是，点， 设点， 过点F作FG⊥y轴，垂足为G， ∴， ∵FO平分∠CFE， ∴∠EFO＝∠CFO， ∵EF∥y轴， ∴∠EFO＝∠COF， ∴∠CFO＝∠COF， ∴CO＝FC＝4， 在△FGC中，， ∴如图1，， 如图2，， ∴、． 28．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠ABF＝90°， 在△ABE和△BAF中， ， ∴△ABE≌△BAF（SAS）； （2）解：，理由如下： 如图2，连接CG，过点G作GK⊥BC于点K， ∵BE平分∠ABC、AF平分∠BAC，且AF与BE相交于点G， ∴点G是△ABC的内心 ∴点G到△ABC三边的距离相等， 设GK＝r，根据△ABC的面积得，， ∴r（AB+AC+BC）＝BC•AB， ∵AB+AC＝2BC， ∴r×3BC＝BC•AB， ∴AB＝3r， ∴， ∵∠FKG＝∠FBA＝90°，∠AFB＝∠GFK， ∴△FGK∽△FAB， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠GAM＝∠FAC， ∴△GAM∽△FAC， ∴， 即GM与FC的数量关系为； （3）∠DAH的正切值为或． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠ABF＝90°， 在△ABE和△BAF中， ， ∴△ABE≌△BAF（SAS）； （2）解：，理由如下： 如图2，连接CG，过点G作GK⊥BC于点K， ∵BE平分∠ABC、AF平分∠BAC，且AF与BE相交于点G， ∴点G是△ABC的内心， ∴点G到△ABC三边的距离相等， 设GK＝r，根据△ABC的面积得，， ∴r（AB+AC+BC）＝BC•AB， ∵AB+AC＝2BC， ∴r×3BC＝BC•AB， ∴AB＝3r， ∴； ∵∠FKG＝∠FBA＝90°，∠AFB＝∠GFK， ∴△FGK∽△FAB， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠GAM＝∠FAC， ∴△GAM∽△FAC， ∴， 即GM与FC的数量关系为； （3）解：∠DAH的正切值为或， 理由如下：∵矩形的边AD与直线EF的夹角成60°， ∴分以下两种情况讨论， ①当∠HED＝60°时，如图3， 过点H作HN⊥AD于N， ∴∠HNE＝90°， ∴∠EHN＝30°， 设EN＝x，则， ∴EH＝2x， ∵DH⊥EF， ∴∠DHE＝90°， ∴∠HDE＝30°， ∴ED＝4x， ∵直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分， ∴BF＝ED＝4x， 过点F作FP⊥AD于点P， ∴∠APF＝90°， ∴四边形ABFP是矩形， ∴BF＝AP＝4x， ∵， ∴PF＝2， 在Rt△EFP中，∠EPF＝90°， ∴∠PEF＝60°，∠PFE＝30°， ∴PE＝2， ∴AD＝AP+PE+ED＝4x+2+4x＝8x+2， ∵BC＝8， ∴AD＝8， ∴8x+2＝8， ∴， ∴HNx， AN＝AP+PE+EN＝4x+2+x， ∴tan∠DAH， ②当∠HED＝60°时，如图4， 由①知，AD＝AP﹣MP+ED＝4x﹣2+4x＝8x﹣2， ∵BC＝8， ∴AD＝8， ∴8x﹣2＝8， ∴， ∴HQx， AQ＝AP﹣PE+EQ＝4x﹣2+x， ∴tan∠DAH 综上所述，∠DAH的正切值为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $