2026年黑龙江省绥化市中考数学试题

二〇二六年绥化市初中学业水平考试 数学试题 座位号 （考号的最后两位数字） 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑 1．下列有理数中，没有倒数的是 A． B． C． D． 2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 3．若分式有意义，则满足的条件是 A．为任意实数 B． C． D． 4．下列计算中，结果正确的是 A． B． C． D． 5．某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班，两组学生一周使用电子产品的时间（单位：小时），数据如下表所示： 组 6 7 8 8 8 9 10 组 4 7 9 9 9 11 14 下列说法正确的是 A．两组数据的众数相等 B．组数据的平均数大于组数据的平均数 C．组数据的方差小于组数据的方差 D．组数据的中位数大于组数据的中位数 6．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 A． B． C． D． 7．下列命题正确的是 A．正五边形的外角和是 B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 C．三角形两边的和大于第三边 D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形 8．如图，，，，则的度数是 A． B． C． D． 9．《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有人，可列方程为 A． B． C． D． 10．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（其中，计算结果精确到0.1） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是 A． B． C． D． 12．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ① ② ③ ④ ⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内 13．海水淡化，利国利民．2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨．把300万用科学记数法表示为_________． 14．分解因式：_________． 15．某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 16．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 17．计算：_________． 18．如图，在中，，，则_________． 19．如图，反比例函数与边长为10的等边三角形相交于，两点，边与轴重合，，则的值是_________． 20．如图，在直角三角形中，，，，点，分别在边，上运动，连接，．则的最小值是_________． 21．按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 22．已知是腰长为4的等腰直角三角形，，是的中点，连接，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别是点，，连接．当时，则的长为_________． 三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内 23．（7分）尺规作图：如图，在的内部有一点． 【初步探索】 （1）如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） 【拓展探究】 （2）如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 24．（7分）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题： 类别 参与创新实践活动的时间（单位：小时） （1）本次随机调查的学生共有_________人，补全条形统计图． （2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生人数． （3）已知类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 25．（10分）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进，两种型号的快递智能分拣机械手（以下型快递智能分拣机械手简称型机械手，型快递智能分拣机械手简称型机械手），已知型机械手的单价比型机械手的单价高2万元，用120万元购进型机械手的数量和用80万元购进型机械手的数量相等． （1）求，两种型号机械手的单价分别是多少万元？ （2）快递公司计划购买，两种型号的机械手共30台，且型的数量不少于型数量的2倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？ （3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量（件）与甲机械手工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． ①乙机械手的工作速度为_________件/分钟，_________． ②直接写出所在直线的函数表达式：_________． ③当乙机械手工作_________分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同． 26．（9分）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，交直径于点，交过点的直线于点，连接并延长，交于点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，求线段的长． 27．（10分）综合与探究 已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． （1）求该抛物线的解析式． （2）在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） （3）把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 28．（11分）综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究． 在矩形中，点，分别是边，上的动点． 【观察感知】 （1）如图1，当点，运动到时，连接，．求证：． 【探索发现】 （2）如图2，连接，点是上的一点，，连接，，与相交于点，连接．当平分，平分时，且，试求出与的数量关系，并说明你的理由． 【问题拓展】 （3）如图3，当，时，作直线，若直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作于点，连接．当矩形的边与直线的夹角成时，请你直接写出的正切值．（自行完成作图并作答） 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $二O二六年绥化市初中学业水平考试 数学试题参考答案及评分说明 一、 单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 2 6 10 C D B D C C B A B 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13.3×10 14.ab(a+1(a-1)15.1416.243 17. x-2y x+2 18.80° 19.-95 20.3 21.n2+2n-122.23+22或23-2W2(也可写成23±2W2) (说明：第18题写成80度也给分，第21题写成(1+1)2-2也给分，第22题填写一个正确答案给2分) 22.图形解析：分四种情形、共两种答案 情形一 情形二 情形三 情形四 三、解答题（本题共6个小题，共54分）评分说明：解答题如果有其它正确解法，均参照所 给出的标准给分. 23.(本题7分) (1)作法一：如图所示 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB分别交于点C、点D,连接CD (1 分) ②作射线CP (1分) ③以点C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线CP、线段CD分别交于点E、点F,以点P为圆心， CE为半径画弧，弧与射线CP交于点G,以点G为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点H (1 分) ④作直线PH,与射线OA、射线OB分别交于点M、点N,△OMN即为所求 (1分) 作法二：如图所示 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB分别交于点C、点D,分别以点C、D 为圆心，大于2CD的长为半径画弧，两弧交于点E:作射线OE (1分) ②以点P为圆心，适当长为半径画弧，交射线OE于F、G两点 (1分) ③分别以点F'G为圆心，大于2FG的长为半径画，两弧交于点H (1分) ④作直线PH,与射线OA、射线OB分别交于点M、点N,△OMN即为所求 (1分) 作法三：如图所示 ①过点P向射线OA作垂线 (1分) ②过点P向射线OB作垂线 (1分) ③过点P作两垂线夹角的平分线 (1分) ④作直线PK,与射线OA、射线OB分别交于点M、点N,△OMN即为所求 (1分) 29 (2)30元 (3分) 解析：如图，1=rR 58π×329 180180 30 24.(本题7分)(1)40 (1分) 补全条形统计图 (1分) 人数A 14 12 12 10 10△ 102 3八 2 6 C DE类别 12+3 (2)解： ×320=120(人) 40 (1分) 答：该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生人数为120人. (1分) (3)解：设2名女生分别记作女1、女2,1名男生记作男. 根据题意树状图法如下图： 开始 女2 男 ∧ 女2男 女，男 女女2 列表法如下图 女1 女2 男 女1 (女1，女2) (女1，男) 女2 （女2，女1) (女2，男) 男 (男，女1) (男，女2) (2分) 由树状图法或列表法可以看出共有6种结果出现的可能性相等，所抽取的两名学生恰好是一男一女的情况 有共4种。 :P（所抽取的两名学生恰好是一男一女)= 42 63 (1分) (选择任何一种方法，答题正确即可得分) 25.(本题10分) 解：(1)设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为(n-2)万元， 由题意得 12080 n n-2 (1分) 解得n=6 经检验：n=6是原分式方程的解. (1分) B型机械手的单价：n-2=6-2=4(万元) 答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元. (1分) (2)设购买A型机械手m台，则购买B型机械手(30-m)台，所需费用为w万元. m.2(30-m） 30-m>0 解得20，m<30 (1分) 由题意得：w=6m+4(30-m)=2m+120 2>0 `.w随m的增大而增大，且m取正整数 :当m=20时，W最小值=2m+120=2×20+120=160(万元). 此时B型机械手：30-m=30-20=10(台) (1分) 答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元. (1分) (3)①20 60 (2分) ②y=15x-450 (1分) 解析：设BC所在直线的函数表达式为yc=c+b 将点(60,450)，(180,2250)代入yc=x+b 60k+b=450 得1180k+b=2250 [k=15 解得 1b=-450 ∴.BC所在直线的函数表达式为yc=15x-450」 45 ③22.5（也可写成2） (1分) 26.(本题9分) (1)方法一： 证明：连接BC :AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠BCN=90° 在△BNC中，∠CNB+∠NBC=90 CM⊥BD,垂足为E ∴.∠CED=∠BEM=90° 在△BME中，∠EMB+∠MBE=90° .CN=CM ∴.∠CNB=∠EMB ∴.∠NBC=∠MBE (1分) CD⊥AB,垂足为P .CP=DP ∴.BC=BD :.△BCD是等腰三角形 ∴.∠CBP=∠DBP (1分) .∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE=180° ∴.2∠NBC+2∠CBP=180° ∴.∠NBC+∠CBP=90° ∴.∠ABN=90° :OB为⊙O的半径 BM是⊙O的切线 (1分) M 方法二： 证明：由题可知，CD⊥AB,CM⊥BD ∴.∠APC=∠DEC=90° .∠A=∠CDB ∴在△APC和△DEC中，∠ACP=∠DCE 即∠ACM=2∠ACP (1分) .CN =CM ∴.∠CNM=∠CMW .'∠ACM=∠CNM+∠CMN ∴.∠ACM=2∠CNM ∴.∠ACP=∠CNM (1分) ∴.CDIIMN ∴.∠APC=∠ABN=90° OB为⊙O的半径 .BM是⊙O的切线 (1分) 方法三： 证明：CN=CM ∴.∠CNM=∠CMW ∴.∠ACM=2∠CNM=2∠CMN=∠ACD+∠DCE .CD⊥AB,CM⊥BD 在Rt△CFP和Rt△BFE中， .∠CFP=∠BFE .∠PCF=∠FBE :在⊙O中，AD所对圆周角∠ABD=∠ACD .∠DCM=∠ABD=∠ACD (1分) .'∠ACM=∠ACD+∠DCM=2∠ACD=2∠DCM=2∠CNM=2∠CMN ∴.CDI/MW (1分) .CD⊥AB .AB⊥MN,∠ABN=90° :AB为⊙O的直径 .BM是⊙O的切线 (1分) (2)方法一： 解：AB是⊙O的直径，CD⊥AB,垂足为P ∴.PC=PD,∠APC=∠FPC=90° PD=2W万 PC=2W万，DC=47 (1分) 由(1)可知，∠ACP=∠DCE .PC=PC ∴.△ACP≌△FCP(ASA) 1分) ..PA=PF 设⊙0的半径为r .OF=4 ∴.FA=OA+OF=r+4 PA=PF=IEA=1+4 2 2 PB=AB-PA=2r-r+4_3r-4 2 2 (1分) .∠A=∠CDB,∠ACP=∠DBP ∴.△ACP∽△DBP :CP、4p BP DP r+4 2Vi 2 ·3r-427 2 16 解得片= 3’5=-8（舍去) 16 = 3 (1分) “PA=+414 23 在 (1分) .∠ACP=∠DCE,∠A=∠CDB ∴.△ACP∽△DCE AC CP CD CE 87 3-2V万 47 CE 解得CE=3√万 (1分) 方法二： 解：连接OD,设OD=OA=r ,AB是⊙O的直径，CD⊥AB,垂足为P, ·∠APC=∠FPC,PD=PC=2N7, (1分) :∠ACD=∠DCM(记证)，CP=CP .△ACP≌△FCP(ASA) ∴.AP=FP (1分) .OF=4 .AF=OA+OF=r+4=2AP=2PF AP=FP=r+4 2 :P0=FP-OF=I+44=-4 2 2 (1分) 在Rt△POD中，OP2+PD2=OD2 +(2W72=r2 3r2+8r-128=0 16 解得= 3’5=-8（舍去) M 0 16 PF=43+4 14 (1分) 2 2 3 在Rt△CPF中，PF2+PC2=CF2 +(27)2=CF2 CP-&V分 3 (1分) 在Rt△PCF和Rt△CDE中 'cos∠DCF=CPCE CF CD 27 CE 8√74万 3 解得CE=3√万 (1分) 方法三： 解：AB是⊙O的直径，CD⊥AB,垂足为P ∴.PC=PD,∠APC=∠FPC=90° PD=27 .PC=2W7,DC=4V万 (1分) 由(I)可知，∠ACP=∠DCE .PC=PC ∴.△ACP≌△FCP(ASA) ∴.PA=PF (1分) 连接OD,设OP=x 则PA=PF=OP+OF=x+4 ∴.AF=2(x+4)=2x+8 ..A0=OD=2x+4 (1分) ∴在Rt△OPD中，PO+PD2=OD x2+(2V7)2=(2x+4)2 B M 2 解得x=3,x=-6（舍去) 44 Pr=2. 3 (1分) 在Rt△CPF中，PF2+PC2=CF2 +(2V7)2=CF2 CF=8 3 (1分) 在Rt△PCF和Rt△CDE中 .∠DCE=∠DCE,∠CPF=∠CED=90° .△CPF∽△CED CE CP CD CF CE 47 即2√78√7 3 解得CE-3v (1分) 27.(本题10分) (1)解：把点A(-l,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4 0=a-b+4 得10=16a+4b+4 (1分) a=-1 解得b=3 (1分) .y=-x2+3x+4 (1分) (2)(图形变化有两种情形，但列式计算不受影响，只要列式计算正确即可得分) 第：由运到知Pm-m+3加+小Qa-子i+6m》Nm00<m< 设直线BC的解析式为y=kx+b :抛物线与y轴交于点C, .C(0,4) 把点B(4,0),C(0,4)代入y=kx+b中 [0=4k+b 得14=b k=-1 解得1b=4 情形一图 .直线BC的解析式为y=-x+4 (1分) .M(m,-m+4) MN=-m+4,PM=(-m2+3m+4）-(←m+4)=-m2+4m .S=S1+S2 =号wv+5Pu(k,-o） =(m+4到m+m+m)月 5 =-2m2+5m 4 (1分) .5 <0 4 y个 情形二图 当m=2时，面积有最大值. 此时，-m2+3m+4=6. 即P点坐标为(2,6)」 (1分) 4)4 58+V39 58-√39 22 每写对一个坐标得2分 (4分) 解析：：原抛物线沿射线BC方向平移后经过点C ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点. 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度， 心数，m对将指足=多点0 5 设点F2” 过点F作FG⊥y轴，垂足为G 图1 .FG= :FO平分∠CFE ∴.∠EFO=∠CFO :EFy轴 ∴.∠EFO=∠COF .∠CFO=∠COF ∴.CO=FC=4 在△FGC中， oc=c-o-F-周 2 :如图1，EF=0G=C0+CG=4+ .8+V39 (或 2 2 如图2EF=0G=C0-CG=4-3(成8-39， 2 2 E-0 图2 +)4四 8 28.（本题11分) (1)证明：四边形ABCD是矩形 ∴.∠BAE=∠ABF=90 (1分) 在△ABE和△BAF中 AE=BF ∠BAE=∠ABF=90° (1分) AB=BA ∴.△ABE≌△BAF(SAS) (1分) 证明格式也可写成 证明：，四边形ABCD是矩形 ∴.∠BAE=∠ABF=90° (1分) AE=BF,AB=BA (1分) .△ABE≌△BAF(SAS) (1分) (2)方法一： 解：连接CG,过点G作GH⊥BC于点H 'BE平分∠ABC、AF平分∠BAC,且AF与BE相交于点G .点G是△ABC的内心 ∴点G到△ABC三边的距离相等 (1分) 设GH=r C+.AB 1 r(AB+AC+BC)=BC·AB M AB+AC=2BC .r·3BC=BC·AB ∴.AB=3 ∴.GH:AB=1:3 (1分) .∠FHG=∠FBA=90°，∠AFB=∠GFH ∴.△FGH∽△FAB ∴.GF:AF=1:3 (1分) ∴.AG:AF=2:3 .CM:AM=1:2 .AM:AC=2:3 .∠GAM=∠FAC ∴.△GAM∽△FAC :6、2 S-号（电可写度3GM=2Gr(电时号政GM-号Cr) (1分) 方法二： 解：连接CG,过点G作GH⊥BC于点H :BE平分∠ABC、AF平分∠BAC,且AF与BE相交于点G 点G是△ABC的内心 ∴点G到△ABC三边的距离相等 (1分) 设GH=r B+AC+CB r(AB+AC+BC)=BC·AB AB+AC=2BC ∴.r·3BC=BCAB .AB=3 .GH:AB=1:3 (1分) 过点M作MP⊥BC,垂足为P ∴.∠MPC=90° ,四边形ABCD是矩形 E G H F ∴.∠ABC=90° ∴.MPI∥AB .∴△CMP∽△CAB CM PM AC AB .CM:AM=1:2 .PM=1 AM 2 “AB3'AC=3 GH 1 又 AB 3 ∴.PM=GH 又GH⊥BC,MP⊥BC ∴.GHI/MP ∴.四边形MGHP是矩形 (1分) ∴.GMI/BC .∴△AGM∽△AFC GM 2 C3（也可写成3GM=2CE)(也可写成GM=20 (1分) 55 ②mDaH=35安 23 5或7 也可直接写23 55《每填写一个正确答案得2分) (4分) 理由如下：：矩形的边AD与直线EF的夹角成60° ∴·分以下两种情况讨论 情况一：当∠HED=60°时，如图1 图1 过点H作HN⊥AD,垂足为N ∴.∠HNE=90° ∴.∠EHN=30° 设EW=x :EH=2x,HN =3x :DH⊥EF,垂足为H .∠DHE=90° ∴.∠HDE=30° .ED=4x, :直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分 ∴.BF=ED=4x 过点F作FM⊥AD,交AD于点M ∴.∠AMF=90° '.四边形ABFM是矩形 .BF=AM=4x AB=23 .MF=2√5 在Rt△EFM中，∠EMF=90° ∴.∠MEF=60°，∠MFE=30 ∴.ME=2 .AD=AM+ME+ED=4x+2+4x=8x+2 .BC=8 .AD=8 8x+2=8 3 解得X=4 :.HN=V5x=35 AN=AM+ME+EN=4x+2+x= 23 4 .tan∠DAH= N-35 AN 23 情况二：当∠HED=60°时，如图2 E N M 图2 由情况一可得 .AD=AM-ME+ED=4x-2+4x=8x-2 .BC=8 .AD=8 8x-2=8 5 解得X二4 HN=3x=53 17 AN=AM-ME+EN=4x-2+x= 4 :tan∠DAH=HN=5V5 AN 17 综上所述，an∠DAH=33或17 5或 成55.直接写出23 5即可给分. 也可以参照下列辅助线图形提示解出∠DAH的正切值. 第一种情形图形提示： 第二种情形图形提示： M E/ ENM D G F (以上答案仅供参考，若有其他正确解题方法，请参照评分标准，酌情合理给分)