专题集训（6）圆-2026年中考数学专题集训

**基本信息** 以题载法构建圆的知识网络，通过基础辨析、综合计算与实践探究，系统培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质辨析|选择6题/填空4题|垂径定理应用、圆心角与圆周角转化、切线判定辅助线构造|从圆的概念出发，通过半径、直径构建与弦、角的关系，形成性质应用链| |综合计算应用|解答题11-14题|勾股定理与圆结合计算、扇形面积分段求解、阴影面积割补法|以半径计算为基础，拓展到弧长、表面积及动态场景（羊吃草问题）的量化分析| |动态与实践探究|填空10题/解答14题|规律探究（曲线半径递推）、分类讨论（点与圆位置关系）|结合旋转体、正多边形内接圆，体现空间观念与模型意识，强化知识迁移|

专题集训（六） 圆 【满分100分，时间45分钟】 题 号 一 二 三 总 分 得 分 一、选择题（本大题共6个小题，共30分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请把答案填写在题后括号里） 1．如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．如图，，，是上的点，，垂足为，且为的中点，若，则的长为（ ） A．14 B．12 C．10 D．7 3．如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．在同一平面内，已知的半径为2，圆心到直线的距离为3，为上的一个动点，则点到直线的最大距离是（ ） A．2 B．5 C．6 D．8 6．如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧相交于点；作射线．下列说法正确 的是（ ） A．射线一定过点 B．点是三条中线的交点 C．若是直角三角形，则 D．点不是三条边的垂直平分线的交点 二、填空题（本大题共4个小题，共20分．请把答案填写在题中横线上） 7．已知不是上得点，若点到上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则 的半径是　　 ． 8．如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为　　 ．（结果保留） 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点，则的度数为　　 ． 10．如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对 的弧组成的．其中，所在圆的圆心为，半径为；所在圆的圆心为，半径为；所在圆的圆心为，半径为；所在圆的圆心为，半径为；…．按照此规律，的长是　　 ．（结果保留） 三、解答题（本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11．（10分）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，． （1）求的半径长；（5分） （2）连接，作于点，求的长．（5分） 12．（12分）如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地． （1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留）（5分） （2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留）（7分） 13．（14分）如图，，，，是上的四个点，，是弦延长线上一点，连接，满足． （1）如图1，求证：是的切线；（7分） （2）如图2，若点是优弧的中点，的半径为3，求的值．（7分） 图1 图2 14．（14分）如图，是的直径，是的切线，为切点，连接．垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，． （1）求证：；（4分） （2）当平分时，求证：；（5分） （3）在（2）的条件下，若，求阴影部分的面积．（5分） 专题集训（六） 圆 1.C 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.6.5 cm或2.5 cm 8. 9.12° 10. 【解析】根据题意可知，所在圆的半径，所在圆的半径，所在圆的半径，所在圆的半径，所在圆的半径，所在圆的半径，所在圆的半径，所在圆的半径，…，以此类推，所在圆的半径为，∴所在圆的半径为，的长． 11.解：（1）如图，连接．设的半径长为，则． ，， ，． 在中，，，， ，解得， 即的半径长为5． （2）在中，，， ． ， ，． 在中，， 即的长为． 12.解：（1）假设羊绷着绳子跑，则羊能到达的区域就是最大区域的边界． 当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的最大区域为图1中圆的面积， 故这只羊能吃到草的区域的最大面积（平方米）． 图1 图2 （2）如图2，当绳长为6米时，羊活动的最大区域的面积由三部分组成，分别为扇形，扇形，扇形． 由题意知，，，， ，， 故这只羊现在能吃到草的区域的最大面积为（平方米）． 13.（1）证明：如图1，连接，连接并延长交于点，连接． ，， ，， ． ，， ． 是的直径，， ． ，， ，即． 又是的半径，是的切线． 图1 图2 （2）解：如图2，连接． 点是优弧的中点， ， ． 由（1）知，， ， ． 四边形是圆内接四边形， ， ， 是的直径，． 由（1）知，是的切线，， ． 又∵，， ，， 的值为36． 14.（1）证明：如图，连接． 是的切线，为切点， ，即． ，， ． ，， ． ， ． （2）证明：如图，连接． 垂直平分，． ，， 是等边三角形， ， ． 平分， ， ， ． （3）解：由（2）知，， ． ，即的半径为2， ． ，， 是等边三角形， ． 垂直平分， ，． 在中，， ， ． 即阴影部分的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $