2026年中考数学复习——《圆》专项训练

**基本信息** 以题载法系统覆盖圆的核心考点，通过分层题型构建"性质理解-定理应用-综合建模"的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-10/填空20-25|多图变式考查圆周角定理、垂径定理|从圆心角与圆周角关系切入，构建角转化模型| |切线与计算|选择11-19/填空26-34|结合动态图形考切线性质、弧长公式|以切线判定为核心，关联勾股定理与三角函数| |综合证明|解答35-46/36、42题|实际情境中的切线证明与线段计算|通过辅助线（如连半径、作垂线）实现性质综合应用|

中考复习——《圆》专项训练 一．选择题（共19小题） 1．如图，AB为⊙O的直径，以点A为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点C，D，则∠CBD的大小为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC＝20°，则∠A的度数为（　　） A．20° B．40° C．70° D．140° 3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠A＝62°，连接OB，则∠OBC的度数是（　　） A．31° B．28° C．29° D．32° 4．如图，BD是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的弦．若∠DOC＝100°，，则∠B的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 5．如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠ABC＝60°，AC＝6，则劣弧CD的长为（　　） A． B．2π C． D． 6．如图，⊙O的半径为2，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．3π C． D． 7．如图，正五边形ABCDE的边长为10，点B、E在⊙A上，则的长是（　　） A．5π B．6π C．12π D．14π 8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠COD＝90°，，BD＝2，则AB的长是（　　） A．6 B． C． D． 9．如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE．若AB＝3，∠C＝110°，则的长为（　　） A．π B． C． D． 10．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，当∠BAC＝60°时，线段DE的长是（　　） A． B． C．2 D．4 11．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O．若∠B＝α，则∠C的大小是（　　） A．2α B．90°﹣2α C．90°﹣3α D． 12．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接AO，CO，若∠AOC＝140°，则∠ABC的度数为（　　） A．70° B．110° C．120° D．140° 13．四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠B：∠C＝1：2：5，则∠D＝（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝100°，AB＝AC，则∠BAC的度数是（　　） A．80° B．30° C．20° D．10° 15．如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若∠P＝60°，的长为10π，则⊙O的半径为（　　） A．10 B．15 C．20 D．30 16．如图，已知A，B，D三点在⊙O上，∠BOD＝100°，则∠BAD＝（　　） A．50° B．200° C．120° D．25° 17．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD、AD，若∠ACD＝35°，则∠ABD＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接AD，OC．若∠A＝28°，则tan56°＝（　　） A． B． C． D． 19．如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝65°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 二．填空题（共15小题） 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接AC，若∠ADC＝112°，则∠ACB的度数为　 　 ． 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知⊙O的半径为2，，若∠ADC＝110°，则劣弧的长是　 　 ． 22．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的弦，且，连接BE．若∠ABC＝65°，则∠E的度数为　 　 ． 23．一个扇形的半径为6，圆心角为45°，此扇形的弧长为　 　 ．（结果保留π） 24．如图，⊙O的切线PA与直径CB的延长线交于点A，点P为切点，连接PC．若∠A＝20°，则∠C的度数为　 　 °． 25．如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且点A为劣弧的中点，连接AD、BD．若∠ACB＝40°，则∠ABD的度数为　 　 °． 26．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠OAB＝50°，则∠ACB的度数是　 　 ． 27．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝42°，则∠ADC的度数是　 　 ． 28．如图，AB为⊙O直径，C、D是圆上两点，AD＝CD，∠BAC＝40°，则∠DAC＝　 　 ． 29．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，BC，OD，∠ABC＝3∠D＝60°．若AC＝，则的长为　 　 ． 30．如图，AB是圆O的直径，点C是圆上的一点，AD⊥AB，且AC＝AD，连接CD交圆O于点E，连接AE，若∠D＝25°，则∠AEC＝　 　 ． 31．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠D＝54°，则∠A的度数为　 　 °． 32．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，则∠EDF的度数为　 　 °． 33．如图，⊙O的半径为9，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝80°，则优弧ADC的长为 　 　 ． 34．如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切，A为切点，连结BC，交⊙O于点D，已知∠ABC＝50°，AC＝6，则的长为　 　 ． 三．解答题（共12小题） 35．独轮车（图1）最早出现于西汉晚年，大致结构由车把、车盘、车腿、车耳、车轮、车轴及车耳立柱等核心部件构成．因行驶时“叽咯叽咯”响个不停，俗称“鸡公车”，早年曾为农村主要的交通运输工具．如图2为抽象出的独轮车模型，AB为车轮⊙O的直径，C为车轮⊙O与地面PC的切点，过点A向地面PQ作垂线，垂足为D． （1）求证：∠DAC＝∠PAC； （2）若，CP＝12，求车轮⊙O的半径和CD的长． 36．如图，△ABC内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E，过点D的切线与CB延长线交于点F． （1）求证：DF∥AB； （2）若⊙O的半径为2，∠F＝60°，求弦CD的长． 37．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥DA交DA延长线于点E，连接BD，BC＝BD＝12，AB＝5． （1）判断BE与⊙O的关系，并说明理由； （2）求BE的长． 38．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F，连接CD，BC． （1）求证：EF是⊙O的切线． （2）若AC＝2CE＝2，求⊙O的半径． 39．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接DB，AC，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点F，且∠ABD＝2∠BDC． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为，tan∠BDC＝，求线段OE的长． 40．如图，△ABC中，，D是BC延长线上一点，BC＝CD．连接AD，交△ABC的外接圆⊙O于点E． （1）当E是的中点时，求证：BE是⊙O的直径． （2）当E是AD的中点时，⊙O的直径为 　 　 cm． 41．如图，A是⊙O中的中点，以A、B、C三点作平行四边形ABCD，延长DC交⊙O于点E，连接BE． （1）证明：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为13，，求平行四边形ABCD的周长． 42．如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连接DE，连接BE、AD并交于点F． （1）写出一个与∠ADB相等的角 　 　 ； （2）求证：DE＝DC； （3）若CE＝6，BD＝5，求AF的长． 43．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，延长AB到点D，∠CBD的平分线交⊙O于点E，过点E作AD的垂线，垂足为F，连接CE． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若EF＝3，CE＝5，求⊙O的半径． 44．已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD∥OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD． （1）求证：CE＝CD； （2）如果＝3，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形． 45．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，弦BD⊥AC于点E，连接BO并延长与⊙O相交于点G． （1）求证：∠ABD＝∠GBC； （2）连接AD，若OB＝6，，求AD的长． 46．如图，AB，AC与⊙O分别相切于点B，C，连接CO并延长，交AB的延长线于点D，点E是OC的中点，点F在AE的延长线上，DE＝DF． （1）求证：∠EDF＝2∠CAE； （2）若∠BAC＝60°，OC＝2，求EF的长． 中考复习——《圆》专项训练 参考答案与试题解析 一．选择题（共19小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B B D C B D D A B 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 B C C B A A B B 一．选择题（共19小题） 1．如图，AB为⊙O的直径，以点A为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点C，D，则∠CBD的大小为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】连接AD、OD，则OD＝OA，因为以点A为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点C，D，所以AD＝OA，可证明△AOD是等边三角形，则∠AOD＝60°，所以∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，由圆周角定理得∠BCD＝∠BOD＝60°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AD、OD，则OD＝OA， ∵AB为⊙O的直径，以点A为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点C，D， ∴AD＝OA， ∴OD＝AD＝OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°， ∴∠BCD＝∠BOD＝60°， 故选：B． 【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，正确地画出图形及相应的辅助线是解题的关键． 2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC＝20°，则∠A的度数为（　　） A．20° B．40° C．70° D．140° 【答案】C 【分析】由OB＝OC，得∠OCB＝∠OBC＝20°，求得∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝140°，由圆周角定理得∠A＝∠BOC＝70°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点A，B，C在⊙O上， ∴∠A＝∠BOC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝20°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝180°﹣20°﹣20°＝140°， ∴∠A＝×140°＝70°， 故选：C． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，推导出∠A＝∠BOC并且正确地求出∠BOC的度数是解题的关键． 3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠A＝62°，连接OB，则∠OBC的度数是（　　） A．31° B．28° C．29° D．32° 【答案】B 【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OC， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝2×62°＝124°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝×（180°﹣124°）＝28°， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 4．如图，BD是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的弦．若∠DOC＝100°，，则∠B的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【答案】B 【分析】连接AD，根据题意得到∠BOC＝180°﹣∠DOC＝80°，利用圆周角定理求出，得到∠ADB＝∠BDC＝40°，由直径所对圆周角是直角得到∠A＝90°，利用直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接AD， ∵∠DOC＝100°， ∴∠BOC＝180°﹣∠DOC＝80°， ∴， ∵， ∴∠ADB＝∠BDC＝40°， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠A＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠ADB＝90°﹣40°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 5．如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠ABC＝60°，AC＝6，则劣弧CD的长为（　　） A． B．2π C． D． 【答案】D 【分析】连接CD，CO，先根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ADC＝60°，再根据“直径所对的圆周角是直角”得∠ACD＝90°，然后根据特殊角的三角函数值求出，接下来说明△COD是等边三角形，最后根据弧长公式得出答案． 【解答】解：如图所示，连接CD，CO， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°． ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴， 即， 解得． ∵CO＝DO， ∴△COD是等边三角形， ∴， ∴的弧长． 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，与圆有关的计算，正确作出辅助线是解题的关键． 6．如图，⊙O的半径为2，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．3π C． D． 【答案】C 【分析】连接OB，交AC于点D，证明四边形OABC为菱形，则OB⊥AC，OD＝BD，AD＝CD，AO＝OB＝AB可得△AOB为等边三角形和S△AOD＝S△BDC，则∠AOB＝60°，进而根据扇形面积公式求解即可． 【解答】解：如图，连接OB，交AC于点D，则：OA＝OB＝2， ∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC， ∴四边形OABC为菱形， ∴OB⊥AC，OD＝BD，AD＝CD，AO＝OB＝AB， ∴S△AOD＝S△BDC，△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°（等边三角形的性质）， ∴，即阴影部分的面积为， 故选：C． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，平行四边形的性质，圆周角定理，关键是相关知识的熟练掌握． 7．如图，正五边形ABCDE的边长为10，点B、E在⊙A上，则的长是（　　） A．5π B．6π C．12π D．14π 【答案】B 【分析】根据正五边形ABCDE的定义和多边形内角和性质可得∠EAB＝108°，再根据弧长公式即可解答． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，正五边形ABCDE的边长为10， ∴，AE＝AB＝10， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质和弧长公式是解题的关键． 8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠COD＝90°，，BD＝2，则AB的长是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】作OE⊥AB交⊙O于点E，连接并延长EC，作AF⊥EC交EC的延长线于点F，连接AE，由∠COD＝∠EOB＝90°，推导出∠EOC＝∠BOD，则EC＝BD＝2，由OA＝OC＝OE，得∠OAC＝∠OCA，∠OEC＝∠OCE，由∠OAC+∠OEC＝∠ACE，而∠AOE＝90°，由2∠ACE+90°＝360°，求得∠ACE＝135°，则∠FAC＝∠FCA＝45°，所以AF＝CF，由AC＝CF＝2，求得AF＝CF＝2，则EF＝4，所以AE＝＝2，由AE＝OA＝2，求得OA＝，则AB＝2OA＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作OE⊥AB交⊙O于点E，连接并延长EC，作AF⊥EC交EC的延长线于点F，连接AE， ∵∠COD＝∠EOB＝90°， ∴∠EOC＝∠BOD＝90°﹣∠DOE， ∴EC＝BD＝2， ∵OA＝OC＝OE， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OEC＝∠OCE， ∴∠OAC+∠OEC＝∠OCA+∠OCE＝∠ACE， ∵∠OAC+∠OEC+∠ACE+∠AOE＝360°，且∠AOE＝90°， ∴2∠ACE+90°＝360°， ∴∠ACE＝135°， ∴∠FCA＝180°﹣∠ACE＝45°， ∵∠F＝90°， ∴∠FAC＝∠FCA＝45°， ∴AF＝CF， ∵AC＝＝CF＝2， ∴AF＝CF＝2， ∴EF＝EC+CF＝4， ∴AE＝＝＝2， ∵AE＝＝OA＝2， ∴OA＝， ∴AB＝2OA＝2， 故选：D． 【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、等腰三角形的性质、四边形的内角和等于360°、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE．若AB＝3，∠C＝110°，则的长为（　　） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定∠ABC＝70°，由作图可知AB＝AE，进而可得∠AEB＝∠ABC＝70°，再根据三角形内角和定理可得∠BAE＝40°，然后根据弧长公式求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝3，∠C＝110°， ∴AB∥CD， ∴∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°（两直线平行，同旁内角互补）， 由作图可知，AB＝AE＝3， ∴∠AEB＝∠ABC＝70°， ∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠ABC＝40°， ∴的长＝， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，圆周角定理，弧长的计算，关键是相关知识的熟练掌握． 10．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，当∠BAC＝60°时，线段DE的长是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】连接OB，OC，作OF⊥BC，圆周角定理得到∠BOC＝120°，进而求出∠OCB＝30°，垂径定理求出BC的长，推出DE为△ABC的中位线，即可得出结果． 【解答】解：连接OB，OC，作OF⊥BC，则OC＝OB，BC＝2CF， ∵⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°， ∴OB＝OC＝2，∠BOC＝120°， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴， ∴， ∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E， ∴AD＝CD，AE＝BE， ∴DE为△ABC的中位线， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形中位线定理． 11．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O．若∠B＝α，则∠C的大小是（　　） A．2α B．90°﹣2α C．90°﹣3α D． 【答案】B 【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质得到OA⊥AC，再根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接OA， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠B＝2α， ∵AC是⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠C＝90°﹣2α， 故选：B． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 12．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接AO，CO，若∠AOC＝140°，则∠ABC的度数为（　　） A．70° B．110° C．120° D．140° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得，根据圆内接四边形对角互补可得∠ADC+∠ABC＝180°，由此可解． 【解答】解：∵∠AOC与∠ADC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC＝140°， ∴， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝110°． 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 13．四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠B：∠C＝1：2：5，则∠D＝（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°； ∵∠A：∠B：∠C＝1：2：5， ∴， ∴∠C＝2∠A＝60°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝120°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝100°，AB＝AC，则∠BAC的度数是（　　） A．80° B．30° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠D＝100°， ∴∠B＝80°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 15．如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若∠P＝60°，的长为10π，则⊙O的半径为（　　） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB， 设⊙O的半径为r， ∵PA，PB分别切⊙O于点为A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∵∠P＝60°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， 由题意得：＝10π， 解得：r＝15， 则⊙O的半径为15， 故选：B． 【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，熟记切线的性质、熟练运用弧长公式是解题的关键． 16．如图，已知A，B，D三点在⊙O上，∠BOD＝100°，则∠BAD＝（　　） A．50° B．200° C．120° D．25° 【答案】A 【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可． 【解答】解：∵A，B，D三点在⊙O上，∠BOD＝100°， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 17．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD、AD，若∠ACD＝35°，则∠ABD＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】A 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，由∠ACD的度数即可求出∠ABD的度数． 【解答】解：∵∠ACD与∠ABD都是所对的圆周角， ∴∠ABD＝∠ACD， ∵∠ACD＝35°， ∴∠ABD＝35°（等量代换）， 则∠ABD的度数为35°， 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理，关键是相关定理的熟练掌握． 18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接AD，OC．若∠A＝28°，则tan56°＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OD，根据圆周角定理可得∠BOD＝2∠A＝56°，由垂径定理可得CE＝DE，再根据，即可求解． 【解答】解：如图，连接OD， ∵∠A＝28°， ∴∠BOD＝2∠A＝56°， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE＝DE， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，解直角三角形，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 19．如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝65°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出∠AOB的度数，根据切线的性质得出OB⊥PB，OA⊥PA，然后根据四边形的内角和为360°求解即可． 【解答】解：PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，连接OB、OA， ∵∠ACB＝65°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝130°， 由切线的性质可得：OB⊥PB，OA⊥PA， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴∠P＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键． 二．填空题（共15小题） 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接AC，若∠ADC＝112°，则∠ACB的度数为　56°　 ． 【答案】56°． 【分析】四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC＝112°，求得∠B＝180°﹣∠ADC＝68°，由，根据圆周角定理得∠ACB＝∠BAC，由三角形内角和定理得2∠ACB+68°＝180°，求得∠ACB＝56°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∵∠ADC＝112°， ∴∠B＝180°﹣∠ADC＝68°， ∵， ∴∠ACB＝∠BAC， ∵∠ACB+∠BAC+∠B＝180°， ∴2∠ACB+68°＝180°， ∴∠ACB＝56°， 故答案为：56° 【点评】此题重点考查圆内接四边形的对角互补、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，正确理解和应用圆周角定理及其推论是解题的关键． 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知⊙O的半径为2，，若∠ADC＝110°，则劣弧的长是　　 ． 【答案】． 【分析】连接OA，OB，OC，利用SSS证明△ABO≌△BCO，结合圆内接四边形的性质，根据全等三角形的性质求得∠BCO＝∠CBO＝35°，再利用弧长公式解答即可． 【解答】解：连接OA，OB，OC， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO， ∵，＝， ∴AB＝BC， 在△ABO和△CBO中， ， ∴△ABO≌△CBO（SSS）， ∴∠ABO＝∠CBO＝∠ABC， ∵∠ADC＝110°，∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝70°， ∴∠ABO＝∠CBO＝35°， ∴∠BCO＝35°， ∴∠BOC＝180°﹣35°﹣35°＝110°， ∴的长为＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 22．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的弦，且，连接BE．若∠ABC＝65°，则∠E的度数为　50°　 ． 【答案】50°． 【分析】连接OC、OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOC＝∠BOC＝50°，再根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OC、OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝50°， ∵＝， ∴∠DOC＝∠BOC＝50°， ∴∠DOB＝100°， 由圆周角定理得：∠E＝∠DOB＝×100°＝50°， 故答案为：50°． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理是解题的关键． 23．一个扇形的半径为6，圆心角为45°，此扇形的弧长为　π　 ．（结果保留π） 【答案】π． 【分析】利用弧长公式直接计算即可． 【解答】解：此扇形的弧长为＝π． 故答案为：π． 【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 24．如图，⊙O的切线PA与直径CB的延长线交于点A，点P为切点，连接PC．若∠A＝20°，则∠C的度数为　35　 °． 【答案】35． 【分析】连接OP，根据切线的性质得到OP⊥AP，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：如图，连接OP， ∵PA是⊙O的切线， ∴OP⊥AP， ∵∠A＝20°， ∴∠AOP＝90°﹣20°＝70°， 由圆周角定理得：∠C＝∠AOP＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 25．如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且点A为劣弧的中点，连接AD、BD．若∠ACB＝40°，则∠ABD的度数为　40　 °． 【答案】40． 【分析】根据圆周角定理求出∠ADB，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AB＝AD，再根据等腰三角形的性质解答． 【解答】解：由圆周角定理得：∠ADB＝∠ACB＝40°， ∵点A为劣弧的中点， ∴＝， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． 26．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠OAB＝50°，则∠ACB的度数是　40°　 ． 【答案】40°． 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，再根据圆周角定理求出∠ACB． 【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝50°， ∴∠OBA＝∠OAB＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣2×50°＝80°， 由圆周角定理得：∠ACB＝∠AOB＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 27．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝42°，则∠ADC的度数是　48°　 ． 【答案】48°． 【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠CAB＝42°，则∠B＝90°﹣∠CAB＝48°，由圆周角定理得∠ADC＝∠B＝48°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝42°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝48°， ∴∠ADC＝∠B＝48°， 故答案为：48°． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确理解和应用圆周角定理及其推论是解题的关键． 28．如图，AB为⊙O直径，C、D是圆上两点，AD＝CD，∠BAC＝40°，则∠DAC＝　25°　 ． 【答案】25°． 【分析】连接OC，OD，由∠BAC＝40°，可得弧BC所对的圆心角为80o，∠AOC＝100°，由AD＝CD可知D为弧AC的中点，所以弧CD所对的圆周角为50o，则∠DAC＝25°． 【解答】解：如图，连接OC，OD， ∵∠BAC＝40°， ∴∠BOC＝80°， ∴∠AOC＝100°， 又∵AD＝CD， ∴D为弧AC的中点， ∴∠DOC＝∠AOC＝×100°＝50°， ∴∠DAC＝∠DOC＝×50°＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键． 29．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，BC，OD，∠ABC＝3∠D＝60°．若AC＝，则的长为　　 ． 【答案】． 【分析】连接OC，易得△OBC为等边三角形，求出∠BCD的度数，圆周角定理求出∠BOD，利用三角函数求出直径的长，进而得到半径的长，再利用弧长公式进行求解即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵OB＝OC＝OD，∠ABC＝3∠D＝60°， ∴△OBC为等边三角形，∠D＝∠OCD＝20°， ∴∠OBC＝∠OCB＝60°， ∴∠BCD＝∠OCB﹣∠OCD＝40°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵， ∴， ∴OB＝OD＝2， ∴， 则的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，关键是相关公式的熟练掌握． 30．如图，AB是圆O的直径，点C是圆上的一点，AD⊥AB，且AC＝AD，连接CD交圆O于点E，连接AE，若∠D＝25°，则∠AEC＝　50°　 ． 【答案】50°． 【分析】连接OE，由等边对等角结合圆周角定理求出∠AOE＝50°，再根据等腰三角形和三角形内角和定理求出∠OAE＝65°，由题意可得AD切圆O于点A，进而求出∠DAE＝25°，最后利用三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：连接OE，如下图， ∵AC＝AD， ∴∠C＝∠D＝25°（等边对等角）， ∴∠AOE＝2×25°＝50°， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA（等边对等角）， ∴． ∵AD切圆O于点A， ∴∠OAD＝90°， ∴∠DAE＝25°， ∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝25°+25°＝50°， 则∠AEC的度数为50°， 故答案为：50°． 【点评】本题考查了圆周角定理，关键是相关定理的熟练掌握． 31．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠D＝54°，则∠A的度数为　18　 °． 【答案】18． 【分析】连接OC，由切线的性质得CD⊥OC，则∠OCD＝90°，而∠D＝54°，所以∠COD＝90°﹣∠D＝36°，由圆周角定理得∠A＝∠COD＝18°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝54°， ∴∠COD＝90°﹣∠D＝36°， ∴∠A＝∠COD＝18°， 故答案为：18． 【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 32．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，则∠EDF的度数为　70　 °． 【答案】70． 【分析】连接OE、OF，因为⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，所以AC⊥OE与点E，AB⊥OF于点F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，而∠A＝40°，根据四边形的内角和等于360°，得∠EOF+90°+40°+90°＝360°，求得∠EOF＝140°，由圆周角定理得∠EDF＝∠EOF＝70°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OE、OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴AC⊥OE与点E，AB⊥OF于点F， ∴∠OEA＝∠OFA＝90°， ∵∠EOF+∠OEA+∠A+∠OFA＝360°，且∠A＝40°， ∴∠EOF+90°+40°+90°＝360°， ∴∠EOF＝140°， ∴∠EDF＝∠EOF＝70°， 故答案为：70． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、四边形的内角和等于360°、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 33．如图，⊙O的半径为9，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝80°，则优弧ADC的长为 　10π　 ． 【答案】10π． 【分析】连接OA，OC．根据圆周角定理求出圆心角∠AOC，利用弧长公式求解． 【解答】解：连接OA，OC． ∴∠D＝∠AOC， ∵∠D＝80°， ∴∠AOC＝160°， ∴的长＝＝10π， 故答案为：10π． 【点评】本题考查弧长公式圆周角定理等知识，解题的关键是求出圆心角，记住弧长公式l＝． 34．如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切，A为切点，连结BC，交⊙O于点D，已知∠ABC＝50°，AC＝6，则的长为　　 ． 【答案】． 【分析】连接OD，由AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，推导出∠BAC＝90°，因为∠ABC＝50°，所以∠C＝90°﹣∠ABC＝40°，由圆周角定理得∠AOD＝2∠C＝80°，由AC＝6，得OA＝AC＝3，即可根据弧长公式求得的长为，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OD， ∵AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A， ∴AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠C＝90°﹣∠ABC＝40°， ∴∠AOD＝2∠C＝80°， ∵AC＝6， ∴OA＝AC＝3， ∴＝＝， ∴的长为， 故答案为：． 【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三．解答题（共12小题） 35．独轮车（图1）最早出现于西汉晚年，大致结构由车把、车盘、车腿、车耳、车轮、车轴及车耳立柱等核心部件构成．因行驶时“叽咯叽咯”响个不停，俗称“鸡公车”，早年曾为农村主要的交通运输工具．如图2为抽象出的独轮车模型，AB为车轮⊙O的直径，C为车轮⊙O与地面PC的切点，过点A向地面PQ作垂线，垂足为D． （1）求证：∠DAC＝∠PAC； （2）若，CP＝12，求车轮⊙O的半径和CD的长． 【答案】（1）连接OC，AC， 由切线的性质可得：OC⊥PQ， ∵AD⊥PQ， ∴AD∥OC， ∴∠CAD＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠PAC； （2）⊙O的半径为5；． 【分析】（1）连接OC，AC，根据切线的性质可得OC⊥PQ，从而得到AD∥OC，再由等腰三角形的性质，可得∠OAC＝∠ACO，即可求证； （2）根据锐角三角函数可得，从而得到OC＝5，再由勾股定理可得OP＝13，再由平行线分线段成比例可得，即可求解． 【解答】（1）证明：连接OC，AC， 由切线的性质可得：OC⊥PQ， ∵AD⊥PQ， ∴AD∥OC， ∴∠CAD＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠PAC； （2）解：若，CP＝12， ∵AD⊥PQ， ∴， ∵OC⊥PQ， ∴，即， ∴OC＝5，即车轮⊙O的半径为5， ∴OA＝5， ∴， ∵AD∥OC， ∴，即， 解得：． 【点评】本题考查切线的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 36．如图，△ABC内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E，过点D的切线与CB延长线交于点F． （1）求证：DF∥AB； （2）若⊙O的半径为2，∠F＝60°，求弦CD的长． 【答案】（1）∵DF与⊙O相切， ∴OD⊥DE， ∴∠ODF＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠AOD＝2∠ACD＝90°＝∠ODE， ∴DE∥AB； （2）． 【分析】（1）由切线的性质可得∠ODF＝90°，由直径所对的圆周角是直角结合角平分线的定义得到，则由圆周角定理可得∠AOD＝2∠ACD＝90°＝∠ODF，据此可证明结论； （2）连接AD，作AG⊥DC，垂足为点G．由平行线的性质和同弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝∠ABC＝60°．由勾股定理可得．求出∠DAG＝30°，则，．证明∠CAG＝∠ACG＝45°，得到．则． 【解答】（1）证明：如图，连接OD． ∵DF与⊙O相切， ∴OD⊥DE， ∴∠ODF＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠AOD＝2∠ACD＝90°＝∠ODE， ∴DE∥AB； （2）解：如图，连接AD，作AG⊥DC，垂足为点G． ∵DF∥AB， ∴∠ABC＝∠F＝60°． ∴∠ADC＝∠ABC＝60°． 在Rt△AOD中，． 在Rt△ADG中，∠AGD＝90°，∠ADG＝60°， ∴∠DAG＝30°， ∴，． 在Rt△AGC中，∠AGC＝90°，∠ACG＝45°， ∴∠CAG＝∠ACG＝45°， ∴． ∴． 【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 37．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥DA交DA延长线于点E，连接BD，BC＝BD＝12，AB＝5． （1）判断BE与⊙O的关系，并说明理由； （2）求BE的长． 【答案】（1）BE与⊙O相切，如图，连接BO并延长交CD于点H，连接OC，OD， ∵OC＝OD，OB＝OB，BD＝BC， ∴△BOD≅△BOC（SSS）， ∴∠DBO＝∠CBO， ∵BC＝BD， ∴BH⊥CD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵BE⊥DA， ∴∠BED＝90°， ∴∠BED＝∠ADC＝∠BHD＝90°， ∴四边形BEDH是矩形， ∴∠OBE＝90°， ∴OB⊥BE， ∵OB是半径， ∴BE与⊙O相切； （2）． 【分析】（1）连接BO并延长交CD于点H，连接OC，OD，根据全等三角形的判定得出△BOD≅△BOC，确定∠DBO＝∠CBO，根据圆内接四边形及等腰三角形的性质得出四边形BEDH是矩形，结合切线的判定即可证明； （2）连接OA，根据勾股定理得出AC＝13，再由相似三角形的判定和性质得出△EBA∽△BCA，，即可求解． 【解答】解：（1）BE与⊙O相切， 证明：如图，连接BO并延长交CD于点H，连接OC，OD， ∵OB＝OB，BD＝BC，OC＝OD， ∴△BOD≅△BOC（SSS）， ∴∠DBO＝∠CBO， ∵BC＝BD， ∴BH⊥CD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵BE⊥DA， ∴∠BED＝90°， ∴∠BED＝∠ADC＝∠BHD＝90°， ∴四边形BEDH是矩形， ∴∠OBE＝90°， ∴OB⊥BE， ∵OB是半径， ∴BE与⊙O相切； （2）如图，连接OA， ∵∠ABC＝90°， ∴AC是直径． 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∠ABC＝90°， ∵BC＝12，AB＝5， ∴AC＝13， ∵∠ABC＝∠EBH＝90°， ∴∠ABC﹣∠ABO＝∠EBH﹣∠ABO， ∴∠OBC＝∠EBA， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBA＝∠OCB， ∵∠ABC＝∠E＝90°， ∴△BCA∽△EBA， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查与圆有关的计算，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 38．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F，连接CD，BC． （1）求证：EF是⊙O的切线． （2）若AC＝2CE＝2，求⊙O的半径． 【答案】（1）如图，连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵DE⊥AC， ∴∠AEF＝90°． ∵∠ACB＝∠AEF， ∴BC∥EF． ∵点D是弧BC的中点， ∴OD⊥BC． ∴OD⊥EF． ∵OD为半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）2． 【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，进而证明BC∥EF，根据垂径定理得到OD⊥BC，可知OD⊥EF，即可证明EF是⊙O的切线； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，可知AB＝2BF，即OA＝OB＝BF＝OD，进而得到OF＝2OD，根据三角函数求出∠F＝30°，根据30度角的性质能求出AF＝6，即可求出⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图，连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵DE⊥AC， ∴∠AEF＝90°． ∵∠AEF＝∠ACB， ∴BC∥EF． ∵点D是弧BC的中点， ∴OD⊥BC． ∴OD⊥EF． ∵OD为半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵BC∥EF， ∴． ∵AC＝2CE＝2， ∴AB＝2BF，AE＝3． ∴OA＝OB＝BF＝OD． ∴2OD＝OF． ∵OD⊥EF， ∴∠ODF＝90°． ∴． ∴∠F＝30°． ∴AF＝2AE＝2×3＝6． ∴若AC＝2CE＝2，则OA＝2，即⊙O的半径为2． 【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 39．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接DB，AC，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点F，且∠ABD＝2∠BDC． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为，tan∠BDC＝，求线段OE的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）线段OE的长是． 【分析】（1）连接OC，由∠BOC＝2∠BDC，∠ABD＝2∠BDC，得∠BOC＝∠ABD，则OC∥DB，所以∠OCF＝180°﹣∠F＝90°，即可证明CF是⊙O的切线； （2）由AB是⊙O的直径，OC＝OB＝，得∠ACB＝90°，AB＝2，由＝tanA＝tan∠BDC＝，得AC＝2BC，则AB＝BC＝2，求得BC＝2，由＝tan∠FCB＝tan∠BDC＝＝，得CF＝2BF，则BC＝BF＝2，求得BF＝，则DF＝，BD＝，再证明△OCE∽△BDE，得＝＝，求得OE＝． 【解答】（1）证明：连接OC，则∠BOC＝2∠BDC， ∵∠ABD＝2∠BDC， ∴∠BOC＝∠ABD， ∴OC∥DB， ∵CF⊥DB， ∴∠F＝90°， ∴∠OCF＝180°﹣∠F＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC， ∴CF是⊙O的切线． （2）解：∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为， ∴∠ACB＝90°，OC＝OB＝，AB＝2， ∵∠A＝∠BDC， ∴＝tanA＝tan∠BDC＝， ∴AC＝2BC， ∴AB＝＝＝BC＝2， ∴BC＝2， ∴∠FCB+∠OCB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，且∠OCB＝∠ABC， ∴∠FCB＝∠A＝∠BDC， ∴＝tan∠FCB＝tan∠BDC＝＝， ∴CF＝2BF， ∴BC＝＝＝BF＝2， ∴BF＝， ∴DF＝2CF＝4BF＝4×＝， ∴BD＝DF﹣BF＝﹣＝， ∵OC∥DB， ∴△OCE∽△BDE， ∴＝＝＝， ∴OE＝OB＝×＝， ∴线段OE的长是． 【点评】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 40．如图，△ABC中，，D是BC延长线上一点，BC＝CD．连接AD，交△ABC的外接圆⊙O于点E． （1）当E是的中点时，求证：BE是⊙O的直径． （2）当E是AD的中点时，⊙O的直径为 　　 cm． 【答案】（1）当E是的中点时，如图1所示： ∴， ∴∠EBA＝∠EBC， 设∠EBA＝∠EBC＝α， ∴∠ABC＝∠EBA＝∠EBC＝2α， 在△△ABC中，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝2α， 由圆周角定理得：∠CAE＝∠CBE＝α， ∵∠ACB是△EBD的外角， ∴∠ACB＝∠CBE+∠D， ∴2α＝α+∠D， ∴∠D＝α， ∴∠D＝∠CBE＝α， ∴BE＝DE， ∴△EBD是等腰三角形， ∵BC＝CD， ∴CE⊥BD， ∴∠BCE＝90°， ∴BE是⊙O的直径； （2）． 【分析】（1）当E是弧AC的中点时，可设∠EBA＝∠EBC＝α，则∠ACB＝∠ABC＝2α，∠CAE＝∠CBE＝α，由三角形外角性质得∠D＝α，则∠D＝∠CBE＝α，由此得△EBD是等腰三角形，再根据等腰三角形性质得CE⊥BD，据此可得出结论； （2）当E是AD的中点时，连接AO，并延长交BC于点F，过点O作OH⊥AB于点H，根据等腰三角形性质得AF⊥BC，BF＝CF，∠ACB＝∠ABC，进而得BF＝CF＝BC，再根据垂径定理得AH＝BH＝cm，证明CE是△ABD的中位线得CE∥AB，CE＝AB＝cm，再证明CD＝ED，进而证明△DCE和△ABC相似，由相似三角形性质求出BC＝6cm得BF＝CF＝3cm，由勾股定理求出AF＝cm，然后再证明△AHO和△AFB相似，由由相似三角形性质得AO＝cm，据此可得⊙O的直径． 【解答】（1）证明：当E是的中点时，如图1所示： ∴， ∴∠EBA＝∠EBC， 设∠EBA＝∠EBC＝α， ∴∠ABC＝∠EBA＝∠EBC＝2α， 在△△ABC中，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝2α， 由圆周角定理得：∠CAE＝∠CBE＝α， ∵∠ACB是△EBD的外角， ∴∠ACB＝∠CBE+∠D， ∴2α＝α+∠D， ∴∠D＝α， ∴∠D＝∠CBE＝α， ∴BE＝DE， ∴△EBD是等腰三角形， ∵BC＝CD， ∴CE⊥BD， ∴∠BCE＝90°， ∴BE是⊙O的直径； （2）解：当E是AD的中点时，连接AO，并延长交BC于点F，过点O作OH⊥AB于点H，如图2所示： ∴∠AHO＝90°， 在△ABC中，AB＝AC＝cm， ∴AF⊥BC，BF＝CF，∠ACB＝∠ABC， ∴BF＝CF＝BC，∠AFB＝90°， 根据垂径定理得：AH＝BH＝AB＝cm， ∵BC＝CD，点E是AD的中点， ∴CE是△ABD的中位线， ∴CE∥AB，CE＝AB＝cm， ∴∠ECD＝∠ABC， ∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠CED＝∠ABC， ∴∠ECD＝∠CED＝∠ABC＝∠ACB， ∴CD＝ED， 在△DCE和△ABC中， ∠ECD＝∠ABC，∠CED＝∠ACB， ∴△DCE∽△ABC， ∴＝， ∵BC＝CD， ∴＝ ∴BC＝6（cm）， ∴BF＝CF＝BC＝3（cm）， 在△AFB中，∠AFB＝90°， 由勾股定理得：AF＝＝＝（cm）， 在△AHO和△AFB中， ∠AHO＝∠AFB＝90°，∠OAH＝∠BAF， ∴△AHO∽△AFB， ∴＝， ∴＝， ∴AO＝（cm）， ∴⊙O的直径为：2AO＝cm． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解圆周角定理，垂径定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 41．如图，A是⊙O中的中点，以A、B、C三点作平行四边形ABCD，延长DC交⊙O于点E，连接BE． （1）证明：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为13，，求平行四边形ABCD的周长． 【答案】（1）连接OA，交BC于点F， ∵A是⊙O中的中点， ∴， ∴OA⊥BC， ∴∠OFC＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠OFC＝∠OAD＝90°， ∵OA为半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）． 【分析】（1）连接OA，交BC于点F，根据垂径定理可得∠OFC＝90°，再利用平行四边形的性质证明即可； （2）连接OB，根据等弧对等弦可得，再利用勾股定理求出OF＝5，进而求解即可． 【解答】（1）证明：连接OA，交BC于点F， ∵A是⊙O中的中点， ∴， ∴OA⊥BC， ∴∠OFC＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠OFC＝∠OAD＝90°， ∵OA为半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：连接OB， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CE，BC＝AD， ∴∠ABC＝∠BCE， ∴， ∵， ∴， ∴， 设OF＝x， ∵OA＝OB＝13， ∴AF＝13﹣x， ∵∠OFB＝90°＝∠ABF， ∴OB2﹣OF2＝AB2﹣AF2，即， 解得x＝5，即OF＝5， ∴， ∵OA⊥BC， ∴BC＝2BF＝24， ∴若⊙O的半径为13，，则平行四边形ABCD的周长＝． 【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 42．如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连接DE，连接BE、AD并交于点F． （1）写出一个与∠ADB相等的角 　∠AEB（答案不唯一）　 ； （2）求证：DE＝DC； （3）若CE＝6，BD＝5，求AF的长． 【答案】（1）∠AEB（答案不唯一）； （2）证明：∵∠ABD+∠AED＝180°，∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠ABD＝∠DEC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴DE＝DC； （3）． 【分析】（1）根据圆周角定理求解； （2）根据圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠AED＝180°，则利用同角的补角相等得到∠ABD＝∠DEC，再利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，所以∠DEC＝∠C，从而得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到CD＝BD＝5，再证明△CDE∽△CAB，利用相似比求出CA＝，所以AE＝，接着利用勾股定理计算出AD＝，然后证明△AEF∽△ADC，从而利用相似比求出AF． 【解答】（1）解：∵AB为直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°； 故答案为：∠AEB（答案不唯一）； （2）证明：∵∠ABD+∠AED＝180°，∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠ABD＝∠DEC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴DE＝DC； （3）解：∵AB＝AC，∠ADB＝90°， ∴CD＝BD＝5， ∵∠CED＝∠CBA，∠ECD＝∠BCA， ∴△CDE∽△CAB， ∴CE：CB＝CD：CA， 即6：10＝5：CA， 解得CA＝， ∴AE＝CA﹣CE＝﹣6＝， 在Rt△ACD中，∵CD＝5，CA＝， ∴AD＝＝， ∵∠AEF＝∠ADC＝90°，∠EAF＝∠DAC， ∴△AEF∽△ADC， ∴AF：AC＝AE：AD， 即AF：＝：， 解得AF＝． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 43．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，延长AB到点D，∠CBD的平分线交⊙O于点E，过点E作AD的垂线，垂足为F，连接CE． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若EF＝3，CE＝5，求⊙O的半径． 【答案】（1）连接OE，如图所示： ∵∠CBD的平分线交⊙O于点E，OB＝OE， ∴∠EBF＝∠EBO，∠BEO＝∠EBO， ∴∠BEO＝∠EBF， ∴OE∥AD， ∵EF⊥AD， ∴OE⊥EF， 又∵OE为圆的半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）． 【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义和等边对等角可得∠BEO＝∠EBF，即可判定OE∥AD，结合EF⊥AD，即可求出结论． （2）过点E作BC的垂线，垂足为M，根据角平分线的性质定理可得FE＝ME＝3，结合直径所对的圆周角为直角和勾股定理即可得BM2+9＝（BM+4）2﹣25，求解得，进而可得半径． 【解答】（1）证明：连接OE，如图所示： ∵∠CBD的平分线交⊙O于点E，OB＝OE， ∴∠EBF＝∠EBO，∠BEO＝∠EBO， ∴∠BEO＝∠EBF， ∴OE∥AD， ∵EF⊥AD， ∴OE⊥EF， 又∵OE为圆的半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：过点E作BC的垂线，垂足为M，即∠BME＝90°， ∵∠BME＝∠BEF＝90°，EF＝3，BE为∠FBC的角平分线， ∴FE＝ME＝3， ∴， ∵CE＝5， ∴， ∴BC＝BM+MC＝BM+4， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°， ∴， ∴BM2+9＝（BM+4）2﹣25． 解得：， ∴， ∴若EF＝3，CE＝5，则⊙O的半径为． 【点评】本题考查与圆有关的计算，切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 44．已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD∥OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD． （1）求证：CE＝CD； （2）如果＝3，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）证明见解析过程． 【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD； （2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论． 【解答】证明：（1）如图，连接AC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AD∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， 在△DAC和△EAC中， ， ∴△DAC≌△EAC（SAS）， ∴CE＝CD； （2）如图2，连接CA， ∵＝3， ∴∠AOD＝3∠COD， ∵AD∥OC， ∴∠ADO＝∠DOC， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°， ∴5∠ADO＝180°， ∴∠ADO＝36°， ∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝72°， ∴∠ADC＝108°， ∵△DAC≌△EAC， ∴∠ADC＝∠AEC＝108°， ∴∠AOD＝∠AEC， ∴OD∥CE， 又∵OC∥AD， ∴四边形OCFD是平行四边形， 又∵OD＝OC， ∴平行四边形OCFD是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 45．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，弦BD⊥AC于点E，连接BO并延长与⊙O相交于点G． （1）求证：∠ABD＝∠GBC； （2）连接AD，若OB＝6，，求AD的长． 【答案】（1）连接CG， ∵△ABC是⊙O的内接三角形，弦BD⊥AC于点E， ∴∠BAC＝∠BGC，∠AEB＝90°， ∵连接BO并延长与⊙O相交于点G， ∴BG是⊙O的直径， ∴∠GCB＝90°， ∵∠ABD+∠BAC＝90°，∠GBC+∠BGC＝90°，且∠BAC＝∠BGC， ∴∠ABD＝∠GBC． （2）AD的长是4． 【分析】（1）连接CG，由△ABC是⊙O的内接三角形，弦BD⊥AC于点E，得∠BAC＝∠BGC，∠AEB＝90°，因为BG是⊙O的直径，所以∠GCB＝90°，即可由∠ABD+∠BAC＝90°，∠GBC+∠BGC＝90°，证明∠ABD＝∠GBC． （2）连接AD，设AB＝3m，由OB＝6，得BG＝2OB＝12，由＝cos∠GBC＝cos∠ABE＝＝，求得BC＝BG＝8，BE＝AB＝2m，由勾股定理得AE＝＝m，再证明△AED∽△BEC，则＝＝，求得AD＝BC＝4． 【解答】（1）证明：连接CG， ∵△ABC是⊙O的内接三角形，弦BD⊥AC于点E， ∴∠BAC＝∠BGC，∠AEB＝90°， ∵连接BO并延长与⊙O相交于点G， ∴BG是⊙O的直径， ∴∠GCB＝90°， ∵∠ABD+∠BAC＝90°，∠GBC+∠BGC＝90°，且∠BAC＝∠BGC， ∴∠ABD＝∠GBC． （2）解：连接AD，设AB＝3m， ∵OB＝6， ∴BG＝2OB＝12， ∵∠GCB＝∠AEB＝90°，∠GBC＝∠ABE， ∴＝cos∠GBC＝cos∠ABE＝＝， ∴BC＝BG＝×12＝8，BE＝AB＝×3m＝2m， ∴AE＝＝＝m， ∵∠DAE＝∠CBE，∠AED＝∠BEC， ∴△AED∽△BEC， ∴＝＝＝， ∴AD＝BC＝×8＝4， ∴AD的长是4． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 46．如图，AB，AC与⊙O分别相切于点B，C，连接CO并延长，交AB的延长线于点D，点E是OC的中点，点F在AE的延长线上，DE＝DF． （1）求证：∠EDF＝2∠CAE； （2）若∠BAC＝60°，OC＝2，求EF的长． 【答案】（1）过点D作DH⊥EF于H， ∵DE＝DF，DH⊥EF， ∴∠EDF＝2∠EDH， ∵AC是⊙O的切线， ∴DC⊥AC， ∴∠ACE＝∠DHE， ∵∠AEC＝∠DEH， ∴∠CAE＝∠EDH， ∴∠EDF＝2∠CAE； （2）． 【分析】（1）过点D作DH⊥EF于H，根据等腰三角形的性质得到∠EDF＝2∠EDH，根据切线的性质得到DC⊥AC，再根据三角形内角和定理证明； （2）连接OA，根据切线长定理得到∠OAC＝30°，解直角三角形求出AC，证明△ACE∽△DHE，根据相似三角形的性质求出EH，进而求出EF． 【解答】（1）证明：如图，过点D作DH⊥EF于H， ∵DE＝DF，DH⊥EF， ∴∠EDF＝2∠EDH， ∵AC是⊙O的切线， ∴DC⊥AC， ∴∠ACE＝∠DHE， ∵∠AEC＝∠DEH， ∴∠CAE＝∠EDH， ∴∠EDF＝2∠CAE； （2）解：如图，连接OA， ∵AB，AC与⊙O分别相切于点B，C，∠BAC＝60°， ∴∠OAC＝30°， ∴OA＝2OC＝4， 由勾股定理得：AC＝＝＝2， 在Rt△ACD中，∠BAC＝60°， ∴∠ADC＝30°， ∴AD＝2AC＝4， ∴CD＝＝＝6， ∵点E是OC的中点，OC＝2， ∴OE＝EC＝1， ∴DE＝5，AE＝＝， ∵∠AEC＝∠DEH，∠ACE＝∠DHE， ∴△ACE∽△DHE， ∴＝，即＝， ∴EH＝， ∴EF＝． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/30 9:55:13；用户：18938334525；邮箱：18938334525；学号：595790 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $