专题10 圆综合（6大题型61题）（浙江专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题10圆综合汇编6大考点61题，精选浙江多地2026二模真题，覆盖角度、线段长、弧长等核心问题，综合题梯度设计适配中考复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|圆中角度（正十边形内角计算）、弧长（折扇弧长求解）|结合生活情境（360全景影像扇形计算）| |填空|约15题|切线定理（切线性质应用）、面积（阴影部分面积计算）|注重几何直观（折叠问题中的弧长计算）| |解答|约31题|压轴综合（内接四边形多问证明与计算）|多问递进设计（如第48题三问从证明到计算）|

专题10 圆综合（6大题型61题） 6大考点概览 考点01圆中的角度问题 考点02圆中的线段长问题 考点03圆中的弧长问题 考点04圆中的周长及面积问题 考点05圆中的切线定理 考点06圆的压轴题综合 1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知平面直角坐标系内的三点，，，其中，两点的坐标分别为，，点满足（为坐标原点），则的最小值是（     ）圆中的角度问题 考点1 A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在正十边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江宁波·二模）如图，正边形内接于，点，是正边形的两个相邻顶点，点是异于，的一个顶点，若，则为（    ） A． B． C． D． ∵， ∴ ∴， 解得． 4．（2026·浙江嘉兴·二模）秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江台州·二模）如图，切于点，交于点，交于点，连接，设，则的度数为（） A． B． C． D． 6．（2026·浙江温州·二模）如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 7．（2026·浙江宁波·二模）如图，点是的边上一点，以为半径的与相切于点，与相交于点．若，则的度数为_______． 8．（2026·浙江温州·二模）如图，是半圆O的直径，，是圆上一点，连接．若，则的长为_______（结果保留）． 9．（2026·浙江温州·二模）如图，为的外接圆，已知，则的度数为______． 10．（2026·浙江温州·二模）如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． 11．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，当时，求的取值范围． 12．（2026·浙江台州·二模）如图，四边形是的内接四边形，，的延长线交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，，． ①求的长； ②求的半径． 13．（2026·浙江·二模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点E，于点F，分别过点A，B作于点G，于点H． (1)已知，求弧的度数． (2)求证：． (3)已知，，求的长． 14．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在矩形中，，．点E为的中点，点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G，连接，则点F从点A运动到点B的过程中，的最大值与最小值之和为（     ）圆中的线段长问题 考点2 A． B． C． D． 15．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（（2026·浙江杭州·二模）如图，内接于，，，点是劣弧的中点，过点作交的延长线于点，若是锐角三角形，则线段的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·浙江宁波·二模）如图，矩形内接于，点E是上一点，连接、分别交于点F、G．若点F是的中点，，，则的长为________． 19．（2026·浙江·二模）如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点，边上的点与点关于对称，连接交于点．若，则的直径长为_____． 20．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知．    (1)若，求线段的长． (2)求证：． (3)设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 21．（2026·浙江温州·二模）直线切半圆于点，于点，交半圆于点． (1)求证：平分； (2)若，，求． 22．（2026·浙江温州·二模）如图，是的直径，是上一点，连接．以点为圆心，长为半径作弧，交于点（不与点重合）． (1)求证：． (2)以点为圆心，长为半径作弧，交于点．连接，，交于点．若，，求的长． 23．（2026·浙江·二模）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 24．（2026·浙江丽水·二模）如图是一把折扇，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，．已知，，则的长为（   ）圆中的弧长问题 考点3 A． B． C． D． 25．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，则的长是（     ） A． B． C． D． 26．（2026·浙江宁波·二模）如图，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 27．（2026·浙江舟山·二模）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（   ） A． B． C． D． 28．（2026·浙江金华·二模）如图，在中，，，以中点为圆心、长为半径作弧．点从点出发，沿弧及线段向终点运动．记的运动路程为，，关于的函数图象如图所示，图象过点，则下列说法错误的是（   ）． A．点在弧上运动时，的图象为一条线段 B．当时，点运动到点 C．的最小值为 D． 29．（2026·浙江湖州·二模）如图，已知折扇骨柄长为，折扇完全张开时的度数为，此时弧的长是（   ） A． B． C． D． 30．（2026·浙江温州·二模）如图，将矩形纸片（）折叠，折痕为，使落在边上，点为点的对应点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若，则的长为______． 31．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，，平分．交于点，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，连结．若，则的长为________． 32．（2026·浙江台州·二模）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接，交于点D，已知，，则的长为______． 33．（2026·浙江·二模）随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为___________米． 34．（2026·浙江宁波·二模）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图所示是斐波那契螺旋线的一部分，其中最小的正方形边长为1，则这一部分螺旋线的长度为_______． 35．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点为的内心，连接，以为圆心，长为半径作，交边于点，．若，则的长为______． 36．（2026·浙江舟山·二模）如图，在等腰三角形中，，以为圆心，为半径作，与相切于点，则阴影部分（与重合区域）的面积为（     ）．圆中的周长及面积问题 考点4 A． B． C． D． 37．（2026·浙江舟山·二模）圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，，，．则________． 38．（2026·浙江温州·二模）如图，四边形内接于，是直径，，，则扇形的面积为__________（结果保留）． 39．（2026·浙江台州·二模）如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心．若，则的大小是（     ）圆中的切线定理 考点5 A． B． C． D． 40．（2026·浙江湖州·二模）如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点于点,交半圆于点，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 41．（2026·浙江绍兴·二模）如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 42．（2026·浙江温州·二模）如图，⊙的直径平分弦于点，且是的中点，点在上，，过点作⊙的切线，交的延长线于点．连接，若，则的长为______． 43．（2026·浙江台州·二模）如图，点在等腰三角形边上，以点为圆心，为半径画半圆，与边相切，已知，，，则的半径为_______． 44．（2026·浙江温州·二模）如图，直线AB切于点A，弦，，则的半径为________． 45．（2026·浙江舟山·二模）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 46．（2026·浙江·二模）如图，为的直径，C，E为上的两点，若平分，于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 47．（2026·浙江·二模）如图，在中，，为的中点，以为直径作交 于点，过点作，垂足为．记的面积为，四边形的面积为． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的值． 48．（2026·浙江宁波·二模）如图1，四边形内接于，是的直径，连接交于点，．圆的压轴题综合 考点6 (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，过点作交于点，若，，求的长． 49．（2026·浙江宁波·二模）如图，已知四边形内接于，为的直径，，过点作分别交，，于点，，． (1)求证：①； ②； (2)当时，求的值． 50．（2026·浙江温州·二模）等腰中，，为边上一点，的外接圆与的角平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，． (1)求证：． (2)若，． ①求的长． ②求． 51．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，内接于圆，，连接并延长交边于点，交圆于点，连接、． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当平分时． ①求证：． ②若，求的长． 52．（2026·浙江台州·二模）如图，四边形内接于以对角线为直径的圆，，过点与平行的直线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 53．（2026·浙江温州·二模）如图1，内接于，作直径交边于点，平分，连接，． (1)若，求的度数． (2)如图2，作于点，交于点， ①求证：． ②若，且，求的最小值． 54．（2026·浙江金华·二模）如图1，为的直径，点在上，且弧弧，弦交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，和． (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，若点，重合，求与的面积比． (3)如图1，若，，求的值． 55．（2026·浙江·二模）如图，锐角内接于，平分，交于点D，交于点E，平分，连接并延长交于点G． (1)若，求，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，，，求的长． 56．（2026·浙江丽水·二模）如图，在中，，是上一点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接并延长，交边于点．以点为圆心，为半径的恰好也经过点，且与,分别相交于点，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 57．（2026·浙江温州·二模）如图1，是的直径，A，D为圆上在异侧的点，，连接交于点H，将关于直线对称得到． (1)求出的度数． (2)如图2，延长交于点F，连接，，交于点G． ①求证：． ②若，求的值． 58．（2026·浙江杭州·二模）如图，与相切于点，以为边作菱形，交于点C，D，E是对角线上一点，在，上取点F，G，使． (1)求证：是切线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的半径． 59．（2026·浙江杭州·二模）如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． (1)作圆心和的中点． (2)连接，交于点，若，，求的半径． 60．（2026·浙江杭州·二模）如图，在中，点在以为直径的半圆上，过点作半圆的切线交延长线于点，垂直于的延长线于点，交半圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，， 求半圆的半径； 若是上一点，连接，，求的最小值． 61．（2026·浙江湖州·二模）如图，在中，D是边上一点（不与点A，B重合），经过点A，C，D． (1)如图1，连接，若，， ①求的度数； ②若又满足，，求的长． (2)如图2，过点D作，交于点E，连接，若，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10圆综合(6大题型61题) ☆6大考点概览 考点01圆中的角度问题 考点02圆中的线段长问题 考点03圆中的弧长问题 考点04圆中的周长及面积问题 考点05圆中的切线定理 考点06圆的压轴题综合 考点1 圆中的角度问题 1.(2026浙江嘉兴·二模)已知平面直角坐标系内的三点A,B,C,其中A,B两点的坐标分别为 (-2,0),(a,6-a,点C满足LAC0=45°(0为坐标原点)，则BC的最小值是() A.32 B.2√2 D.25 【答案】B 【分析】先确定点B的轨迹为直线，再得到点C的轨迹为圆，确定m=1,m=-1,然后分两种情况分析： 当D(-l,I)时，得出圆半径r=DA=√+1下=√2，DH=AH=OH=1,过点D作GH⊥x轴，过点E作 GE∥x轴，交GH于点G,连接DE、DF,确定GE=OH=1,GH=OE=6,GD=6-1=5,FH=6+1=7, 结合图形得出SFDE=S#彩GEFH-S.GDE-S.FDH=18,过点D作DB⊥EF交圆于点C,此时DB取得最小值， 利用等面积法求解即可；然后利用同样的方法得出DB'>DB=3√2，即可求解 【详解】解：：点B坐标为a,6-a, 设B(x,y),则x=a,y=6-a, .x+y=6,即点B在直线1：y=6-x上， 当x=0时，y=6,当y=0时，x=6, E(0,6),F(6,0), .0E=0F=6, EF=62, A-2,0,0(0,0),∠AC0=45°， :点C在以A0为弦，圆心角为90°的圆上， .A0中点为(-1,0)，A0的垂直平分线为x=-1, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设圆心为D(-1,m), :∠AD0=2∠AC0=90°，DA=D0,A0=2, .DA2+D02=A02,即21+m2)=4, 解得m=1,m=-1, 当m=1时，D(-1,1), 圆半径r=DA=V1+1P=√2，DH=AH=OH=1, 过点D作GH⊥x轴，过点E作GE∥x轴，交GH于点G,连接DE、DF,如图所示： :.四边形GEOH为矩形， .GE =OH=1,GH=OE=6, GD=6-1=5,FH=6+1=7, S,FDE=S样形GEFH-S,GDE-S.FDH -0+2x6-5x1x5- ×1×7 2 2 60+1）x6-21x5-.1x718 2 2 过点D作DB⊥EF交圆于点C,任取一点C,连接DC'、BC', BC'+DC'≥BD, :当点C位于图中位置时，DB取得最小值， x62xD8=18. 解得：DB=3√2 :BC的最小值是：DB-r=3V2-√2=2√2； 同理：当m=-1时，D'(-1,-), 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 如图所示：DB'>DB=3V2, 不符题意，舍去， 综上可得：BC的最小值是：2√2 2.(2026浙江舟山二模)如图，在正十边形中，∠BAC的度数是() B A.10° B.18° C.22.5° D.36° 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，连接OC，求出正十边形的中心角，根据圆周角定理计 算即可 【详解】解：如图，设正十边形的中心为点O,连接0C, C 则∠B0C=360° 10 =36°， 由圆周角定理得，∠BAC= ∠BOC=18°， 2 故选：B 3.(2026浙江宁波二模)如图，正n边形内接于⊙O,点A,B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于 A,B的一个顶点，若∠ACB=18°，则n为() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.8 B.10 C.12 D.20 【答案】B 【分析】由圆周角定理可得∠AOB的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可 【详解】解：如图，连接OA,OB, A ∠ACB=18°， C ∠A0B=2∠ACB=2×18°=36° 360° =36°， n 解得n=10. 4.(2026浙江嘉兴·二模)秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条 直线上，点D,A,C,E所对的刻度分别为0°，60°，150°，180°，则∠ABD的度数为() (D) A A.15 B.20° C.25 D.30° 【答案】A 【分析】先依据量角器刻度得出AD、CE的度数，再利用圆周角定理求出∠AED与∠CAE的度数，最后 借助三角形外角性质，可求出∠ABD度数. 【详解】解：连接AE, (D) A 点D刻度为0°，点A刻度为60°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :4D的度数为60°， :AD所对圆周角∠AED=。×60°=30°， 2 “点C刻度为150°，点E刻度为180°， CE的度数为180°-150°=30°， C正所对圆周角∠C4E=×30=15, ∠AED是△ABE的外角， ·LAED=∠ABD+∠BAE, 又：∠BAE=∠CAE=15°， ∠ABD=∠AED-∠BAE=30°-15°=15°. 5.(2026浙江台州二模)如图，AB切⊙O于点B,OA交⊙O于点C,BD∥0A交⊙O于点D,连接 CD,设LOCD=x,则∠A的度数为() D A.x B.90°-2x C.8 D.45°-x 【答案】B 【分析】连接OB,根据切线的性质可得∠OBA=90°，利用平行线的性质得出∠CDB=∠OCD=x,再根 据圆周角定理求出∠AOB=2x,最后在RtAOAB中利用直角三角形两锐角互余即可求解. 【详解】解：如图，连接OB, AB切⊙O于点B, D 0B⊥AB,即∠0BA=90°， :BD∥OA, .∠CDB=LOCD=x, :∠AOB是弧BC所对的圆心角， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CDB是弧BC所对的圆周角， .∠AOB=2∠CDB=2x, 在Rta0AB中，∠A=90°-∠A0B=90°-2x. 6.(2026·浙江温州二模)如图，等腰ABC内接于⊙O,AB=AC,点D是AB的中点，连接AD,BD.若 D=6,8C=2 AC号，则o0的半径长为 0 ⊙ 【答案】35 【分析】连接OB,0C,0D，连接A0并延长交BC于点E,OD,AB交于点F,设BC=2x,AC=3x,设 ⊙O的半径长为r,分别在RtOBE中，RteOBF中，RtoAFD中，利用勾股定理进行求解即可 【详解】解：连接OB,OC,OD,连接AO并延长交BC于点E,OD,AB交于点F,则： 0A=0B=0C=0D, B :AB=AC,点D是AB的中点， ·AD=BD·A0垂直平分BC, .AD BD .OD垂直平分AB, BC、2 AC-3 3 :.设BC=2x,AC=3x,则BE=x,AB=3x,AF=BF=三x, :AE=√AB2-BE2=2V2x, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设⊙O的半径长为P,则0A=0B=0D=r,0E=2√2x-r, 在Rta0BE中，由勾股定理，得r2=x2+(22x-r, 解得x=0(舍去)或r=9巨 在RtA0BF中，OF=VOB2-BF2 ∴DF=OD-OF= 3V2 x, 在RtA AFD中，由勾股定理，得AD2=AF2+DF2, -到j 解得x=4 (负值舍去)： 92×4_32 .r= 832 7.(2026浙江宁波·二模)如图，点O是ABC的AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点C,与 AB相交于点D.若∠A=24°，则∠B的度数为 D B 【答案】42° 【分析】连接0C,根据圆周角定理求出∠B0C=2∠A=48°，由BC与⊙O相切于点C,得到∠BC0=90 利用三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：连接OC, :∠A=24°， .∠B0C=2∠A=48°， :BC与⊙O相切于点C, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BC0=90°， .∠B=180°-∠B0C-∠BC0=42°. 8.(2026浙江温州二模)如图，AB是半圆O的直径，AB=4,C是圆上一点，连接AC.若 LCAB=30°，则BC的长为 (结果保留π). B 【答案】子 3 【分析】连接OC,根据圆周角定理得出∠C0B=60°，再利用弧长公式求解即可. 【详解】解：如图，连接OC, :∠A与∠COB是BC所对的圆周角和圆心角，∠CAB=30°， .∠C0B=2∠CAB=60°， :AB是半圆O的直径，AB=4, 0C=0B=2, BC=60πx22 兀 180 3 9.(2026浙江温州·二模)如图，⊙O为ABC的外接圆，已知L0BC=20°，则∠CAB的度数为 【答案】70°70度 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠BOC,再根据圆周角定理求出∠CAB, 【详解】解：“OB=OC, :∠0BC=∠0CB=20°， ∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=180°-20°-20°=140°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BOC是BC所对的圆心角，∠CAB是BC所对的圆周角， ∠C4B=∠B0C=x140°=70°. 2 10.(2026浙江温州二模)如图，由圆盘和挂绳AB,AC组成挂饰，AB,AC分别与⊙O相切于点B, C.若∠A=64°，则BC的度数为· 【答案】 116° 【分析】连接OB、0C,根据切线的性质可得∠OBA=∠0CA=90°，结合LA=64°，即可求解 【详解】解：如图，连接OB、OC, :AB,AC分别切⊙O于点B,C, .∠0BA=∠0CA=90°， :∠A=64°， :∠B0C=360°-∠0BA-∠0CA-∠A=116°，即BC的度数为116°. 11.(2026浙江嘉兴·二模)如图，已知ABC内接于⊙O,AB=AC=10,BC=12,连结A0并延长交 BC于点H.点D是线段AH上异于端点的动点，过点D作NF∥BC分别交⊙O,边AB,边AC于点N, M,F,且点N在M左侧. M H 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：LAMN=LMFC; (2)求证：NM·NF=AM·MB; (3)设AM=x,当2≤x≤7时，求DN2-DM2的取值范围. 【答案】（①）证明见解析 (2)证明见解析 (3)16≤DN2-DM2≤25 【分析】(I)根据平行线的性质得到∠AMF=∠B,∠AFM=∠C,根据等边对等角得到∠B=∠C,则 ∠AMF=∠AFM,根据等角的补角相等即可得到结论： (2)连结AN,NC,MC,证明△AMN∽△CFN,则NM·NF=AM·FC,由MB=FC即可得到结论； (3)证明DM=DF,得到DN2-DM2=AMAB-AM）,又由AM=x,AB=I0,得到 DN2-DM2=x(10-x)=-(x-5)2+25,设DN2-DM2=y=-(x-5)2+25,根据二次函数的性质进行解 答即可. 【详解】(1)证明：：MF∥BC, :∠AMF=∠B,∠AFM=∠C. 又：AB=AC, .∠B=∠C, ∴∠AMF=∠AFM, .∠AMN=∠MFC; (2)证明：连结AN,NC,MC, H NF∥BC, :.∠CNF=∠NCB, :∠NAB=∠NCB, ∠NAM=∠CNF. 又由(1)知∠AMN=∠CFM, ∴△AMN∽△NFC, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AMNM Ne FC ,即NM·NF=AM·FC, .MB=FC, :NM·NF=AM·MB: (3)解：在⊙O中，AB=AC, :AB=AC, 而AH过点O, .BH=HC, :NF∥BC DM AD DF AD 六BH=AH'HCAH' 、DMDF BH HC' 又：BH=HC, :DM DF, ∴.DWN2-DM2=(DN-DM(DN+DM=(DN-DM(DN+DF）, NM.NF=AM.MB=AM(AB-AM). 又：AM=x,AB=10, .DN2-DM2=x(10-x)=-(x-5)2+25. 设DW2-DM2=y=-(x-5)2+25, 又：2≤x≤7， 当x=2时，ym=-(2-5)}+25=16· 当x=5时，ymx=-(5-5)+25=25, 即16≤y≤25， 当2≤x≤7时，16≤DN2-DM2≤25· 12.(2026浙江台州二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=CB,BO的延长线交⊙O于 点E,交AD的延长线于点F. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：DB平分∠ADC; (2)AD=1,DF=5,DB=DC. ①求BD的长； ②求⊙O的半径. 【答案】(1)见解析 @090=5:@5 【分析】(I)根据AB=BC,可得LADB=LBDC,即可解答； 2①连结DE,设LADB=LCDB=a,可得LDBC=LDCB=90°-g,从而得图 ∠EBC=∠BEDC=90-a,∠DBE=∠D8C-∠EBC-号，再由∠ADB=∠DBF+∠P,可得∠DBF=∠F, 即可解答；②连结CF,延长DE交FC于点G,证明△ABF≌aCBF(SAS,可得FC=FA,∠DFB=∠CFB ,证明∠DBF=∠BFC,可得DG⊥FC,再得到CG=FG=3,设DE=x,则EG=4-x,根据 aD8E“aGFE,求出x=弓即可求解。 5 【详解】(1)证明：AB=BC, :AB BC. ∠ADB=∠BDC, .BD平分∠ADC. (2)解：①如图1，连结DE, D (图1) 设∠ADB=∠CDB=a, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DB=DC, ∠DBC=LDCB=90°-Q :BE是⊙O直径， ∠BDE=90°， ∠EDC=90°-a. :∠EBC=∠EDC=90°-a, :∠DBE=LDBC-∠EBC= 2 :∠ADB=∠DBF+∠F, ∴∠DBF=∠F, :DB DF=5. ②如图2，连结CF,延长DE交FC于点G. 4 0 (图2) :BE为⊙O的直径， AB=BC, :AE=CE, ∴∠ABE=LCBE, 在△ABF和CBF中， AB=CB ∠ABF=∠CBF BF=BE ·△ABF≌△CBF(SAS, FC=FA,∠DFB=∠CFB, AF=AD+DF=6, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FC=6, ∠DFB=∠CFB,∠DFB=∠DBF, 所以∠DBF=∠BFC, :∠DEB=∠GEF, LEGF=∠BDE=90°， .DG⊥FC, .DB=DC,DB=DF, ∴DC=DF=5, ..CG=FG=3, DG=DC2-CG2=4, 设DE=x,则EG=4-x, :∠DEB=∠GEF,∠DBE=∠GFE, △DBE∽△GFE, BD DE FG GE x 5 4-x3' 解得x 2' :BE-BD+DE-55 2 BO三1BE三aN5 2 :半径为5 13.(2026浙江·二模)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆，交AC于点E,BC于点F, 分别过点A,B作AG⊥EF于点G,BH⊥EF于点H. E (1)已知∠C=65°，求弧AE的度数. (2)求证：∠BAC=-2LGAE. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)已知AG=3,GE=2,求BH的长. 【答案】(1)80°： (2)见解析： ®号 【分析】(1)利用等腰三角形和圆的性质，找到弧AE所对的圆心角或圆周角，从而求出弧的度数： (2)根据直径所对的圆周角是直角求出∠AEB=90°，∠AFB=90°，结合圆的性质，证出∠GAE=∠BAF, 再结合等腰三角形的性质即可得证； C3)先证出GEA△M8F,得到F=4G=了，再根据勾股定理即可求出 【详解】(1)解：连结AF, G E AB=AC，∠C=65°， ∴.∠C=∠ABC=65°， ∠CAB=50°， .BE=100°， AE=80°. (2)证明：连接AF、BE, E :AB为⊙O的直径， ∠AEB=90°，LAFB=90°， ·∠GEA+LBEH=90°， 又.∠G=90°， LGAE+∠GEA=90°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠GAE=∠BEH, :∠BEH=∠BAF, ∠GAE=∠BAF, 又：AB=AC,AF⊥BC, :∠CAF=∠BAF= ∠CAB, ∴∠BAC=2∠GAE. (3)解：过点O作OM⊥GH于点M,则ME=MF, H 3m 2m .OM AG I BH AO=OB, OB HM OA GM .MG=MH, .FH=GE=2, ∠2=∠3， △GEA△ABF, BF_GE=2 AFAG3 设BF=2m,AF=3m, :∠1=∠2， .BF EF, 在Rt△AGF中，AG2+GF2=AF2, 13 、.32+(2+2m)2=(3m)2,解得m1=-1,m2= 5 .Rt△BHF中， 24 BH 4= 5 5 【点晴】本题考查了等腰三角形的性质，圆的基本性质，相似和勾股定理，熟练掌握相关的知识是解决问 题的关键。 考点2 圆中的线段长问题 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(2026浙江绍兴·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6.点E为AD的中点，点F为AB边 上的动点，连接EF,作点A关于EF的对称点G,连接CG,则点F从点A运动到点B的过程中，CG的 最大值与最小值之和为() G B A.3+√73 B,7+√73 C.273 D.10+√73 【答案】B 【分析】先确定点G的运动轨迹，再由勾股定理求解即可. 【详解】解：：点F为AB边上的动点，连接EF,作点A关于EF的对称点G, 则由对称的性质可知，EG=EA=3, :点G的运动轨迹是以点E为圆心，EA=3为半径的一段弧，如图， D 1 A(G)F B 当点F与点A重合时，CG有最大值为CA, 则由勾股定理CA=√AB2+BC2=V82+62=10, .CG的最大值为10， 当点E,点G,点C三点共线时，CG有最小值， ：CE=VCD2+DE2=V82+32=V73, CG=CE-EG=√73-3， CG的最小值为√73-3， ·CG的最大值与最小值之和为10+√73-3=7+√73 15.(2026浙江嘉兴·二模)如图，在矩形ABCD中，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AD于点E,以 A为圆心，AB为半径画弧交AD于点F,若AB=1,AD=√2，则图中阴影部分的面积为() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F D B A.-2 B.1+π-2 c.2+1-π 2 2 D.2-1 2 【答案】B 【分析】连接BE,CE,根据解直角三角形求出AE,∠BCE,再利用 S阴影部分=S角形4P-SABE+(S篇形BCE-S,BCE)求解即可。 【详解】解：连接BE,CE, D :在矩形ABCD中，AB=1,AD=√2， .∠D=∠A=LBCD=90°，CD=AB=1,BC=AD=√2， 由作图可得CE=CB=√2， 在Rt△CDE中，cos∠DCE=CP-=2 CE2 2 ∠DCE=45°， .LBCE=LBCD-∠DCE=90°-45°=45°， ·S泉形8CE 45m.BC245m-(V21 360 360 4 :DE=CE.sin∠DCE=√2sin45°=1， ·AE=AD-DE=V2-1, ÷5m486=15--51, 2 Sawae -90nA901 360360=4元， 5.c=BC.AB=xx1 1 1 2 :S阴影部分=S扇形B1P-SABE+(S扁形BCE-S,BCE) 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 π2W2-1 22 1+π-2. 2 16.(2026浙江绍兴·二模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=√5，E是BC延长线上一点， AE交CD于点F,连接BF并延长交DE于点G,则线段BG长度的取值范围是() B A.V5<BG≤2B.5 <BG≤2 C.1<BG≤2 D. <BG<1 2 【答案】A 【分析】延长AD,BG交于点M,连接BD,过点D作DH⊥BC于点H,过点B作BN⊥CD于点N, DH、BN交于点O,证明BCFMDF,△ADFAECF,得出BC-CE,CE=CE,证明 DM DF'DF AD △BDM∽△ECD,得出∠EDC=∠M,证明∠CBF=∠EDC,说明B、C、G、D四点共圆，求出△BCD外 接圆的直径为2，即可得出答案. 【详解】解：延长AD,BG交于点M,连接BD,过点D作DH⊥BC于点H,过点B作BN⊥CD于点N, DH、BN交于点O,如图所示： B :四边形ABCD为菱形， .AD=CD=BC=AB=V3,AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=120°， LBCD=180°-∠ABC=60°， ∴.△BCD为等边三角形， :.BD=BC=CD,∠DBC=∠BCD=60°， :AD∥BC, .△BCF∽△MDF,△ADF∽△ECF, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC CF CF CE DM=DF’DF=AD BC CE DMAD AD=BC=CD, BD CE DM CD 即 BD DM CE DC :AD∥BC, ∠BDM=180°-∠DBC=120°， ∠ECD=180°-∠BCD=120°， ∴∠BDM=∠ECD, △BDMn△ECD, .∠EDC=LM, :AD∥BC, ∴∠CBF=∠M, ∠CBF=∠EDC, .B、C、G、D四点共圆， :△BCD为等边三角形，DH⊥BC,BN⊥CD, ∠HB0x60=30p,Bm-8c- 2 5 ..BO= BH 2 =1, cos30° 3 2 :·△BCD外接圆的直径为2， :B、C、G、D四点所在圆的直径为2， :BG的最大值为2， “E是BC延长线上一点， .∠BDE>LBDC, 即∠BDG>∠BDC, .BG BC, :BG3, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V5<BG≤2. 17.(2026浙江杭州二模)如图，ABC内接于⊙O,∠A=45°，BC=2,点D是劣弧BC的中点，过 点D作DE∥BC交AB的延长线于点E,若ABC是锐角三角形，则线段DE的取值范围是() A B D A.√2-1<DE<1 B.1<DE<2 C.√2<DE<√2+1 D.√2+1<DE<2V2 【答案】B 【分析】先连接辅助线OB,OC,OD,利用垂径定理得到OD⊥BC,求出BM,OM,DM的长度；再分 别计算∠ABC=90和∠ACB=90这两个临界状态下DE的值，结合△ABC为锐角三角形的条件，确定 DE的取值范围. 【详解】解：连接OB,OC,OD,OD交BC于点M, B D D是劣弧BC的中点，BC=2, :.OD L BC.BM=MC=IBC-1, ∠A=45, .∠B0C=2∠A=90°， 0B=0C, ·.△BOC为等腰直角三角形，OB=OC=√2， 在Rta0MB中，OM=VOB2-BM2=V(√2)2-12=1， OD=OB=2, DM =OD-OM=2-1, / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DEIBC,OD⊥BC, .∠BDM=∠BMO=∠BMD=90°， OD⊥DE, 当∠ABC=90°时，则∠MBE=90°， B M E D :∠BDM=∠BMD=90°， :.四边形BEDM为矩形 :DE =BM=1 当∠ACB=90°时，则AB为⊙O的直径， A M E 0 :DE BC ,∠OBM=∠OED,∠OMB=∠ODE, △OBM∽aOED, OM BM OD ED :OM=1,OD=√2，BM=1, 11 :5D' 解得ED=√2， :△ABC是锐角三角形， 1<DE<2 故选：B 【点晴】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及矩形的判定，熟练掌握垂径 定理和临界状态的分析是解题的关键， 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 18.(2026浙江宁波·二模)如图，矩形ABCD内接于⊙O,点E是AD上一点，连接EB、EC分别交 AD于点F、G.若点F是AG的中点，EB=8,DG=2,则EG的长为 E 6 B 【答案】655 5'5 【分析】连接AE,AC,BD,OE,首先证明AC,BD为⊙O直径，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的 -半可得EF=】AG=FG,进而证明aEFG,ABCE均为等腰三角形，可得AD=BC=EB=8, AG=AD-DG=6;证明aCDG∽△BCD,由相似三角形的性质可解得CD=4,进一步可得CG=25;证明 △CDG∽△AEG,由相似三角形的性质进一步求解即可. 【详解】解：如下图，连接AE,AC,BD,OE, 四边形ABCD为矩形， .∠BAD=LADC=∠BCD=90°，AD∥BC,AD=BC, ·AC,BD为⊙O直径， ∠AEC=90°， 点F是AG的中点， EF=4G=FG ∴LFEG=∠FGE=LBCE, .AD=BC=EB=8, .AG=AD-DG=8-2=6, .0B =0B,0E=0C,BC=BE, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△B0E≌△B0C(SSS, .∠OBE=LOBC, DE=DE, :ZDCE ZDBE ZCBD, 又：∠CDG=∠BCD=90°， ∴△CDG∽△BCD, 8CD'解得CD=4(负值舍去)， 、只=P9,即CD2 .CG=VDG2+CD2=V22+42=25, DEDE, ∠EAG=∠DCG, 又：∠AEG=∠CDG=90°， ∴.△CDG△AEG, CG DG ”AGEG ,即25-2，解得E6=65 6 EG 5 19.(2026浙江·二模)如图，矩形ABCD内接于⊙O,P是AD上一点，连接PB,PC分别交AD于点E,F, 边BC上的点G与点D关于PC对称，连接PG交AD于点H,若AB=2,EH;,则O0的直径长为， D D 【答案】√13 【分析】过点P作PM⊥AD于M,延长PM交BC于N,连接PD,BD,由轴对称的性质可得 PG=PD,∠PCB=∠PCD,CG=CD=2,则可证明PB=PG=PD,进而可证明PE=PH,得到 EW-H=0证明图边形AM是矩形，得到W=8-2:设8N:GY:,州8G=2, CN=CG+GN=2+x;可证明△PNC是等腰直角三角形，得到PN=CN=x+2,则PM=PN-MN=x; 证明△PEM∽△PBN,利用相似三角形的性质列出比例式求出x的值，再利用勾股定理求出BD的长即可 得到答案， 【详解】解：如图所示，过点P作PM⊥AD于M,延长PM交BC于N,连接PD,BD, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 NG 四边形ABCD是矩形， CD=AB=2,AD∥BC,∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°； 边BC上的点G与点D关于PC对称， .PG=PD,∠PCB=∠PCD,CG=CD=2, :PB=PD, .PB=PD, .PB=PG, .∠PBG=LPGB, :AD∥BC, .∠PEH=∠PBG,∠PHE=∠PGB, .∠PEH=∠PHE, :PE =PH, :EM =TEH 1 =10 PM⊥AD,AD∥BC, .PN⊥BC, :四边形ABNM是矩形，BN=GN=BG, 2 .MN AB=2; 设BN=GN=x,则BG=2x, ..CN=CG+GN=2+x; ∠BPD=∠BAD=90°，PB=PB, ∠PBD=∠PDB=45。,BD为⊙O的直径， ∠PCB=∠PDB=45°， .△PNC是等腰直角三角形， .PN =CN=x+2, :PM PN-MN =x 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AD∥BC, .△PEM∽△PBN, BN PN EM PM :÷-2 x 10 解得x= (已检验是原方程的解)或x=- 5 (舍去)， .BC=BG+CG=2x+2=3, .BD=VBC2+CD2=V32+22=V13, :⊙O的直径长为3， 故答案为：3. 【点晴】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，轴对称 的性质，等腰直角三角形的性质与判定，证明PB=PG=PD和△PNC是等腰直角三角形是解题的关键. 20.(2026浙江绍兴二模)如图，在正方形ABCD中，P为BC边上一点（不与点B,C重合），连接AP, 以AP为直径作圆，交对角线BD于点E,连接AE并延长交CD于点F,连接PF.已知AB=4. A O D E B (备用图) (I)若BP=3,求线段AE的长. (2)求证：∠APF=∠AEB. (3)设BP=x,记△ABE与ADE的面积差为y,试确定y与x的函数关系式. 5V2 【答案】（①）AE= 2 (2)证明：如图，延长FD至点Q,使得DQ=BP,连接AQ,EP, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q D B 正方形ABCD, AB=AD,∠ABP=∠ADF=90°， ∠ABP=∠ADQ=90°， .BP DO, :.△ABP≌△AD0SAS), .∠1=∠3，LAPB=LAQF,AP=AQ, ∠AEP=90°，∠APE=45°， .∠PAE=45°， .∠1+∠2=45°， ∠3+∠2=45°，即L0AF=45°， ∠PAF=∠OAF, AP=A0,AF =AF, ·△APF≌AAQF(SAS), :∠APF=∠AQF, .∠APB=∠APF, 又：∠APB=∠AEB, .∠APF=∠AEB; (3)y=2x 【分析】(1)连接EP,由圆周角定理得LABP=LAEP=90°，即得AP=V32+42=5,再根据等腰直角三 角形的性质和勾股定理解答即可求解； (2)延长FD至点Q,使得DQ=BP,连接AQ,EP,可证△ABP≌△ADQ(SAS),得到∠1=∠3， LAPB=LAQF,AP=AQ,再证明△APF≌△AQF(SAS),得到∠APF=∠AQF,进而由∠APB=∠AEB即 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可求证： (3)连接EP、EC,过点E分别作BC、CD的垂线，交BC、CD于点G、H,过点A作BD的垂线，交 F点可得4机B22由四动形EGCH是细形得H=GC,又由正方形的轴松 AE=CE,由(1)己知AE=EP,进而得到EP=EC,即得到PG=CG=EH,由根据等腰直角三角形 的性质和勾股定理得BE=√2BG,DE=√2EH,得到 BE-DE=√2(BG-EH)=√2(BG-PG)=√2BP=V√2x,最后根据y=SABE-SADE列出函数关系式即可. 【详解】(1)解：如图，连接EP, D B :AP为直径， .∠ABP=∠AEP=90°， BP=3,AB=4, AP=V32+42=5, :BD是正方形ABCD的对角线， .∠ABD=45°， ∠APE=∠ABD=45o 、.△AEP是等腰直角三角形， 54p- (2)略 (3)解：如图，连接EP、EC,过点E分别作BC、CD的垂线，交BC、CD于点G、H,过点A作BD的 垂线，交BD于点I, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E H B P G :AB=4,∠ABD=45°， I= AB=2V2, 2 EG⊥BC,EH⊥CD, .LEGC=LEHC=∠BCD=90°， ,四边形EGCH是矩形， .EH=GC, 由正方形的轴对称性可知AE=CE,由(1)已知AE=EP, ∴EP=EC, :EG⊥BC, .PG=CG=EH, :∠DBC=45°，EG⊥BC, ·BE=V√2BG, 同理可得，DE=√2EH, BE-DE=2BG-2EH=2(BG-EH)=2(BG-PG)=2BP=2x, y=Se-Se-号4BE-DE=×4xV万aP=x2xx=2x, 即y=2x. 21.(2026浙江温州二模)直线CD切半圆O于点C,AD⊥CD于点D,AD交半圆O于点E. A ○ (I)求证：AC平分∠DAB; (2)若CD=8,DE=4,求OA. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】()证明见解析 (2)04A=10 【分析】(1)由切线的性质可得0C⊥CD,结合AD⊥CD可得AD‖OC,则LDAC=∠AC0,由 OA=OC可得L0AC=LAC0,因此LDAC=L0AC,命题得证： (2)作EF⊥OC于点F,连接OE,先证明四边形DEFC是矩形，则EF=CD=8,CF=DE=4,设 OE=r,则OF=r-4,在RtAOEF中，利用勾股定理构造方程，解得r即可得出答案。 【详解】(1)证明：：直线CD切半圆O于点C, ∴OC⊥CD, :AD⊥CD, .ADOC, ∠DAC=LAC0, 0A=0C, ∴.∠OAC=∠AC0, LDAC=∠0AC, AC平分∠DAB: (2)解：如图，作EF⊥OC于点F,连接OE, :OC⊥CD,AD⊥CD,EF⊥OC, :四边形DEFC是矩形， .EF=CD=8,CF=DE=4, 设0E=r,则0F=OC-0F=0E-OF=r-4, 在Rta0EF中，EF2+OF2=OE2, 82+(r-4)2=r2, 解得r=10, 0A=10. 22.(2026浙江温州二模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC.以点A为圆心，AC长 为半径作弧，交⊙O于点D(不与点C重合). 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 夕 (I)求证：BC=BD. (2)以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点E.连接CE,ED,ED交AC于点F.若EF=3, FD=7,求EC的长. 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】(1)连接AD、BC、BD,由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=∠ADB=90°，进而证明 RtAACBS≌RtAADB(HL),得到BC=BD,再利用等弦对等弧即可证明； (2)过点B作BN⊥ED于点N,则LBND=∠BNF=90°，根据题意可得EC=BC,得到EC=BC=BD, 再证明△CEF≌△BDN(AAS),得到DN=EF=3,FN=FD-DN=4,再证明四边形BCFN是矩形，得出 BC=FN=4,即可得出答案. 【详解】(1)证明：如图，连接AD、BC、BD, ○ :AB是⊙O的直径， ∠ACB=∠ADB=90°， 由作图可得，AC=AD, AB=AB, :.Rt△ACB≌Rt△ADB(HL), .BC BD, :BC=BD; (2)解：如图，过点B作BN⊥ED于点N, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 则BND=∠BNF=90°， 由作图可得，EC=BC, .EC=BC, 由(1)得，BC=BD, ∴EC=BC=BD, :EB=CD,EC=DB, ∠EDB=∠CED, AEAE LACE=∠ADE, .LACE+∠CED=LADE+LEDB=∠ADB=90°， .∠CFE=∠CFN=90°， ∴LCFE=LBND, ,aCEF≌aBDN(AAS, .DN EF =3, ∴.FN=FD-DN=7-3=4, :∠CFN=∠BNF=∠ACB=90°， .四边形BCFN是矩形， ∴BC=FN=4, :EC BC=4. 23.(2026浙江·二模)如图，在矩形ABCD中AD=8,以BC为直径作半圆O,切线AE的延长线交CD于 点F,E为切点，对角线BD恰好过E点. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：F为CD中点； (2)求AB的长 【答案】(1)见解析 (2)AB=4V2 【分析】(I)先证AB、CD为⊙O的切线，再根据切线长定理得出AB=AE,从而得出∠ABE=∠AEB, 然后根据平行线的性质与对顶角性质证得∠EDF=∠DEF,得出FE=FD,最后由切线长定理得出 FE=FC,即可得出结论； (2)设FD=FC=FE=x,则AE=AB=CD=2x,AF=3x,再在Rt△ADF中，由勾股定理得出 82+x2=(3x)2,解得：x=2√2，即可求解 【详解】(1)证明：矩形ABCD, ∠ABC=∠BCD=90°， :BC为半圆O的直径， :AB、CD为⊙O的切线， 又AE为⊙O切线， :AB=AE, ∠ABE=∠AEB, 在矩形ABCD中，AB∥CD, ∠ABE=∠EDF, :LABE=∠EDF=∠AEB=LDEF, .FE=FD, :FE、FC为⊙O切线， :FE=FC, :FD=FC, F为CD中点 (2)解：AB、AE为⊙O切线 .AB=AE, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设FD=FC=FE=x 则AE=AB=CD=2x, :AF =3x, :矩形ABCD, ∠ADC=90°， 在Rt△ADF中 AD2+DF2=AF2, 即82+x2=(3x)2, 又x>0, x=2V2, AB=4√2 【点晴】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌 握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键. 考点3 圆中的弧长问题 24.(2026浙江丽水·二模)如图是一把折扇，扇面ABDC是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形， AC=20C.已知0A=27cm,∠A0B=120°，则CD的长为() A.4πcm B.6πcm C.8πcm D.9πcm 【答案】B 【分析】首先求出0C的长，再确定弧CD的圆心角与∠A0B相等，为120，代入弧长公式1=”计算即 180 可 【详解】解：0A=0C+AC,AC=20C,0A=27cm, 0A=0C+20C=30C=27cm, 解得0C=9cm. :CD的圆心角和∠A0B相等，为120°. 代入弧长公式，得：。 120×π×9 =6πcm. 180 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.(2026浙江温州·二模)如图，在ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB,AC交于点D,E,若 BC=8,∠A=70°则DE的长是() B 4 8 C.4 16 A. B. D. 【答案】B 【分析】连接OD,OE,根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，利用等腰三角形的性质表示出 ∠BOD和∠COE,进而求出圆心角∠DOE的度数，最后利用弧长公式求解即可. 【详解】解：如图，连接OD,OE, BC=8, :圆的半径r=0B=0C=0D=0E=4, :A=70°，∠A+∠B+∠C=180°， .∠B+∠C=110°， :0B=0D,0C=0E, .∠ODB=∠B,∠OEC=∠C, .∠B0D=180°-2LB,∠COE=180°-2∠C, ∴.∠B0D+∠C0E=360°-2（∠B+∠C)=360°-2×110°=140°， :∠BOD+∠DOE+∠COE=180°， ∠D0E=180°-140°=40°， 40°×π×48 DE的长为： 180°g. 26.（2026浙江宁波·二模)如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交 BC边于点E,连接AE.若AB=3,∠C=110°，则BE的长为() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.π B. 6 c 【答案】D 【分析】首先确定LABC=70°，由作图可知AB=AE,进而可得LAEB=∠ABC=70°，再根据三角形内 角和定理可得∠BAE=40°，然后根据弧长公式求解即可. 【详解】解：：四边形ABCD为平行四边形，AB=3,∠C=110°， AB∥CD, ∴∠ABC=180°-∠C=70°， 由作图可知，AB=AE=3, ∠AEB=∠ABC=70°， ∠BAE=180°-∠AEB-∠ABC=40°， ·BE的长=40° 2 ×2π×3=2π. 360° 31 27.(2026浙江舟山·二模)如图(1)是博物馆屋顶的图片，屋顶由图(2)中的瓦片构成，瓦片横截面如 图(3)所示，AB是以点O为圆心，30cm为半径的弧，弦AB的长为30cm,则AB的长是() (1) (2) (3) A.300πcm B.l5πcm C.l0πcm D.5πcm 【答案】C 【分析】根据题意可得△OAB是等边三角形，进而根据弧长公式即可求解. 【详解】：0A=OB=AB=30cm △OAB是等边三角形， ·∠A0B=60° 60×30π .AB的长度为： =10xcm. 180 28.(2026浙江金华.二模)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,以AC中点O为圆心、OA长 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为半径作弧AB.点D从点A出发，沿弧AB及线段BC向终点C运动.记D的运动路程为X,OD=y,y 关于x的函数图象如图2所示，图象过点P(,4),则下列说法错误的是(). 图1 图2 A.点D在弧AB上运动时，y的图象为一条线段 B.当x=2π时，点D运动到点B C.0D的最小值为22 D.a=2π+3vV2 【答案】D 【分析】连接OB,先根据题意和图1确定Rt△ABC为等腰直角三角形、△OBC为等腰直角三角形，再根 据图2进行分类，①当点D在AB上，②当点D在线段BC上，结合等腰直角三角形的性质和弧长的性质、 及函数图像的性质判断即可 【详解】连接OB, 图1 :在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC, .Rt△ABC为等腰直角三角形， ∠ACB=45°， :点O为AC中点， ∴0A=0C=0B,∠A0B=∠B0C=90°， :.△OBC为等腰直角三角形， :D的运动路程为x,OD=y, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：点D从点A出发，沿弧AB及线段BC向终点C运动， ①当点D在AB上， .0D=0A=0B, :y为定值，y的图象为一条线段，结合图像，OD=4,故A选项正确，不符合条件， ∠AOD元·OD 1B= 180° .0°≤∠A0D≤90°， .0≤lB≤2π； :,当x=2π时，点D运动到点B,故B选项正确，不符合条件， ②当点D在线段BC上， 如图，过点O作OE⊥BC交BC于点E 当OD⊥BC,即OD有最小值，D、E重合， E(D) 图1 图2 :0D⊥BC,∠ACB=45°，0C=0B=4, ∴.最小值0D=sin45°.OC=2√2，故C选项正确，不符合条件， :∠B0C=90°，∠ACB=45°，0C=0B=4, m45.4V5, .BC=- 4 :从图1中，可看出0D先减小，再增大，由图2可得，点M与点P为对称点， 点M即在图1中点D在点B时的坐标，即OD=OB=4, :点P表示图1中点D在点C时的坐标， .a=AB+BC=2π+4V2,故D选项不正确，符合条件. 29.(2026浙江湖州·二模)如图，已知折扇骨柄长OA为30cm,折扇完全张开时∠A0B的度数为120°， 此时弧AB的长是() 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.10πcm B.20πcm C.150πcm D.300πcm 【答案】B 【分析】根据弧长公式计算即可. 【详解】解：由题意可得，弧AB的长为120π×30 180 20πcm, 30.(2026浙江温州·二模)如图，将矩形纸片ABCD(AD<AB)折叠，折痕为AE,使AD落在AB边上， 点D为点D的对应点，以点A为圆心，AB为半径画弧，交AE于点F.若AB=6,则BF的长为· D A D'B 【路】江 【分析】本题主要考查图形的翻折变换、矩形的性质以及弧长公式，掌握变换的性质是解决问题的关键.先 得出∠BAF=∠DAD=x90°=45°，再得出BF的半径r=AB=6,最后根据弧长公式1="C即可得出 2 180 答案 【详解】解：：将矩形纸片ABCD(AD<AB)折叠，折痕为AE, ·AE平分∠DAB, ∠BAF=1∠DAD=1x900=450, 2 又BF的半径r=AB=6, o06经 31.(2026浙江温州二模)如图，在口ABCD中，AB=2,∠D=60°，CE平分∠BCD.交AD于点E,以 点B为圆心，BC长为半径作圆弧交DE于点F,连结BF.若AE=DF,则CF的长为 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 【指】 3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质， 熟练掌握各知识点是解题的关键，通过平行四边形性质得到△ECD为等边三角形，再根据AE=DF,即可 得AB=AF,从而求解∠FBC=30°，再根据弧长公式求解即可. 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD=2, :∠D=60°，CE平分∠BCD, :∠BCD=120°，∠ECD=∠BCD=60°， 2 :△ECD是等边三角形， :ED=CD=2, :AE=DF, .AE EF DF EF, :AF ED=2, :∠A=120°，AB=AF=2, :∠ABF=30°， :∠FBC=60°-30°=30°， 如图：过点A,作AM⊥BF, A EF D M :BM=MF(等腰三角形的三线合一) .BM=4B-cos30=2x 2 :BF =2BM=23, 由弧长公式即可得CF的长为30π25=V5元 180 3 故答案为： -π 32.(2026浙江台州二模)如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切，A为切点，连接BC,交⊙O于点 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D,已知LABC=50°，AC=6,则AD的长为 B 【答案】3π 4 【分析】连接00，由圆周角定理得∠D04=80°，又⊙0半径为3，由弧长公式可得aD的长为。 【详解】解：连接OD, :AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切，∠ABC=50°， LBCA=40°，即∠DCA=40°， ∠D0A=80°， AC=6, B 0C=3, :AD的长为80xπ×34 180 33.(2026浙江·二模)随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个 新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为40°的扇形， 则该可视区域形成的扇形弧长为 米 2 【答案】二π 【分析】扇形弧长公式为1=C(其中1为弧长，n为圆心角度数，r为扇形半径)，将，=3，n=40代入 180 公式即可求解 【详解】解：根据扇形的弧长公式1=” 180 该可视区域形成的扇形弧长=40×π×3_2 =二π（米） 1803 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 34.(2026浙江宁波·二模)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契 数1,1,2,3,5..作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些 圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如图所示是斐波那契螺旋线的一部分，其中最小的正方形边长 为1，则这一部分螺旋线的长度为 【答案】6m 【分析】根据题意得出由内往外扇形的半径，再求出每个扇形的弧长，最后相加求和即可。 【详解】解：由题意可知，由内往外第一个扇形的半径为1，第二个扇形的半径为1，第三个扇形的半径 为2，第四个扇形的半径为3，第五个扇形的半径为5，这五个扇形的圆心角都为90°， 根据弧长计算公式可得：第一个扇形的弧长为 90π×1π 1802 第二个扇形的弧长为： 90π×1π 1802 90元×2 第三个扇形的弧长为： =, 180 第四个扇形的弧长为： 90π×33π 1802, 第五个扇形的弧长为： 90π×5_5π 1802 这一部分螺旋线的长度为：+？+元+红+汇三6 22 35.(2026浙江宁波·二模)如图，在ABC中，LABC=60°，∠ACB=40°，点I为ABC的内心，连接 AI,以I为圆心，AI长为半径作⊙I,交BC边于点D,E.若AI=2,则DE的长为 BD E 【倍案灯 【分析】作M⊥AB于点M,作IN⊥BC于点N,连接IF,ID,IE,设AB与圆交于点F,由点I为ABC的 内心，可求出∠BA=)∠BAC=40°，M=1N,证明△AF≌△IDE(SSS)得∠1DE=∠BA1=40°，求出 2 ∠DIE=100°，然后根据弧长公式求解即可. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：如图，作M⊥AB于点M,作IN⊥BC于点N,连接IF,ID,IE,设AB与圆交于点F,则 A M FM D N =EN BD ∠ABC=60°，∠ACB=40°， ∠BAC=180°-60°-40°=80°， :点I为ABC的内心， ∠BA1=<B4C=40,M=1N,且∠AM1=∠DNM=908,A1=D1, :.Rt△AMI≌Rt△ONI HL), :AM DN, :AF =DE, A1=2, ∴DI=EI=FI=AI=2, :△IAF≌△IDE(SSS), .∠IDE=∠BA1=40°， ID IE ∠IDE=LIED=40°， .∠D1E=180°-40°-40°=100°， ÷DE的长为：100r×2-10x 180 9 考点4 圆中的周长及面积问题 36.(2026浙江舟山二模)如图，在等腰三角形0AB中，0A=AB=2,以0为圆心，0A为半径作⊙O, AB与⊙O相切于点A,则阴影部分（△0AB与⊙O重合区域）的面积为(). / 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 A B.2 C.刀 D.2π 【答案】B 【分析】根据切线的性质得出∠OAB=90°，结合等腰三角形性质得出∠AOB=45°，最后利用扇形面积 公式计算即可 【详解】解：：AB与⊙O相切于点A, 0A⊥AB,即∠0AB=90°， :OA=AB :△OAB为等腰直角三角形， :∠A0B=45°， 阴影部分为扇形，半径r=0A=2,圆心角n=45, ·.S阴影= n元245-元221 =一元 3603602 37.(2026浙江舟山·二模)圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动4cm,水平位置的直 径向下移动5cm,把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为S,S,S,,S4.则 (S2+S)-S,+S4)= ① ② ③ ④ 【答案】80 【分析】利用中心对称的性质将圆分成9个部分，再利用各部分之间面积的和差关系将所求的面积转化为 规则图形的面积即可。 【详解】解：作圆竖直位置的直径向右移动4cm,水平位置的直径向上移动5cm, 如图所示： A B H D 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由对称性可知：S4=Sc=SE=S。、Sg=Sp、SD=Sa, 则S2+S)-S,+S) =Sk+S8+Sc+Sp+SG-S4-SH-SE-SE =Sk =(5+5)×(4+4 =80cm2, 38.(2026浙江温州二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD是直径，∠C=110°，0A=6,则扇形 BOD的面积为 (结果保留刀). D B 【答案】14π 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 ∠AOB的度数，再利用邻补角的定义求出∠BOD的度数，最后代入扇形面积公式计算即可， 【详解】解：：四边形ABCD内接于⊙O, ∠A+∠C=180°， :∠C=110°， ∠A=180°-110°=70°， 0A=0B, L0BA=∠A=70°， ∠A0B=180°-∠A-∠0BA=180°-70°-70°=40°， :AD是直径， ∴∠B0D=180°-∠A0B=180°-40°=140°， 0A=6, 扇形B0D的面积S=140π·6_14036r 360 360 =14r· 考点5 圆中的切线定理 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 39.(2026浙江台州·二模)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心0.若 ∠B=a,则∠C的大小是() B A.2a B.90°-2a C.90°-3 D.45°-C 2 【答案】B 【分析】连接OA,推导出∠BA0=∠B=Q,得到∠A0C=∠BA0+∠B=2a,继而求出∠0AC=90°，则 C=90°-∠A0C=90°-2a,即可解答. 【详解】解：连接OA,如图 0A=0B, .∠BAO=∠B=a, :∠AOC=LBA0+∠B=2a, :AC是⊙O的切线，A为切点， .∠0AC=90°， ∠C=90°-∠A0C=90°-2a. 40.(2026浙江湖州二模)如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点 D,AE⊥CE于点E,交半圆于点F,已知AE=6,CE=8,则OD的长为() B 15 A.4 B.4 c D.2 4 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是连接OD，利用 切线性质得OD⊥CD再证△AEF∽aODC或利用平行线分线段比例求OD.由AE⊥CE,OD⊥CD,得 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AEROD则AE=CE 结合勾股定理求出AC=10,设OD=r表示CD、OC在RIAODC中用勾股定理建立 OD CD 方程求解 【详解】解：：CD切半圆于点D, OD⊥CD, .AE⊥CE, :OD AE 在Rt△AEC中AE=6,CE=8, AC=√AE2+CE2=V62+82=10, 设0D=r,则OA=OB=I,OC=AC-OA=10-r, :AE∥OD, △COD∽△CAE AE AC OD OC' 610 r10-r 4 41.(2026浙江绍兴二模)如图，AB是⊙O的直径，直线CD切⊙O于点C,连结AC,若∠ACD=40°， 则∠BAC的度数为 0 【答案】50°/50度 【分析】连接CO,根据切线的定理，得到∠DC0=90°，根据∠BAC=90°-∠ACD,即可求解. 【详解】解：连接CO, :直线CD切⊙O于点C, OC⊥CD, .LDC0=90°， :∠ACD=40°， .∠BAC=90°-∠ACD=90°-40°=50°. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 42.(2026浙江温州·二模)如图，⊙O的直径AB平分弦CD于点E,且E是OB的中点，点F在DE上， EF=BE,过点A作⊙O的切线，交FO的延长线于点G.连接AF,若AF=0,则AG的长为· 【答案】2 【分析】这道题先利用垂径定理和已知条件设圆的半径为2r,表示出相关线段长度，再通过勾股定理建立 关于r的方程，求出半径；接着利用切线的性质得到△GAO为直角三角形，再通过证明△GA0∽△FE0,利 用相似三角形的对应边成比例求出AG的长即可. 【详解】解：设圆的半径为2r, :AB是⊙O的直径，AB平分弦CD于点E,E是OB的中点， AB⊥CD,0E=EB=r, EF BE =r, EF =r, 在RtaAEF中，AE=OA+OE=3r,EF=r,AF=√10，由勾股定理得： AE2+EF2=AF2, (3r2+r2=(io, 解得r=1r>0), ∴.OA=2r=2,OE=1,EF=1，, 在RtAOEF中，由勾股定理得： OF=OE2+EF2=+1=2 :AG是⊙O的切线， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AG⊥0A,即∠GA0=90°， 又：∠AOG=∠EOF,∠GAO=∠FEO=90°， △GA0∽△FE0, AG OA AG 2 EF OE'11' AG=2. 43.(2026浙江台州二模)如图，点O在等腰三角形ABC边BC上，以点O为圆心，0C为半径画半圆， 写边AB相切，已知AB=AC,BC0,cos∠ACB,则⊙0的半径为 【答案】 【分析】设⊙O的半径为r,⊙O与边AB的切点为D,连接OD,根据切线的性质，得OD⊥AB,再根据 等腰三角形的性质和余弦值，得8D-0-小，最后根据勾般定理，列方程，求解即可。 【详解】解：设⊙O的半径为r,⊙O与边AB的切点为D,连接OD, :BC=10,0D=OC=r, :0B=BC-0C=10-r, “⊙O与边AB相切， OD⊥AB, AB=AC, .∠B=∠ACB, Cos∠ACB=3 cosB=' 3 在R1△0D8中，c0sB=8D,即BD-3 OB 10-r5' 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD=210-小， 5 在Rt△0DB中，OD2+BD2=OB2, 则2+[0--10-，解得r-9 (负值已舍去)， 则⊙0的半径为 40 9 44.(2026浙江温州二模)如图，直线AB切⊙O于点A,弦CD∥AB,AC=CD=6,则⊙O的半径为 【答案】2√3 【分析】根据切线的性质连接OA,再根据平行线的性质延长AO交⊙O于点F,连接OC,利用勾股定理 解出AF的长，最后再次利用勾股定理求出答案， 【详解】解：如图所示，连接OA,延长A0交⊙O于点F,连接OC, 的 :直线AB切⊙O于点A, ∠FAB=90°， 又：弦CD∥AB, ∠AFC=∠AFD=90°， ECF=DF=号ACy .AC=CD=6, :.CF=DF-LAC-3 2 在Rt△ACF中，AF=√AC2-CF2=3V5, 在Rt△0CF中，CF2+OF2=OC2, :0C=0A,0F=AF-0A=AF-0C=3V5-0C, CF2+(AF-0C)2=0C2,即32+33-0C=0C2, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得0C=2√5， :.圆的半径为25 45.(2026浙江舟山二模)如图，ABC中，∠B=90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、 点M的⊙O分别交AB,AC于点E,点F. ○ B (1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)求证：CM2=CF.CA; (3)若CF=2,sinC= 5,求AE的长 3 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 ©号 【分析】(1)连接OM,由角平分线的性质及等腰三角形的性质得OM∥AB,再由∠B=90°即可得 OM⊥BC,从而得BC与⊙O的位置关系是相切： (2)连接FM,证明aCFM∽△CMA即可； E正，在Rta0MC中，由simC,设OM=0P=3a,则0C=5a,从而C 得a的值，则可得AF,再由正弦函数关系即可求得AE的值. 【详解】(1)解：BC与⊙O的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接OM, :AM是∠BAC的平分线， ∠BAM=∠OAM, 0A=0M, .∠0MA=∠OAM, .∠OMA=∠BAM, .OM∥AB, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B=90°， .∠0MC=∠B=90°， 即OM⊥BC, :OM为圆的半径， :BC与⊙O的位置关系是相切 A E B M (2)证明：如图，连接FM, :AF是圆的直径， ∠AMF=90°=∠B, :AM是∠BAC的平分线， ∠BAM=∠OAM, .∠AMB=90°-∠BAM=90°-∠0AM=∠AFM, ∠AMC=180°-∠AMB=180°-∠AFM=∠MFC, .△CFM∽aCMA, CF CM CM CA 即CM2=CF.CA A B M (3)解：如图，连接OM,EF, 由(1)知∠0MC=90°， 在RtOMC中，sinC=OM_3 0c=5 设0M=0F=3a,则0C=5a, .CF=0C-0F=2a=2, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得a=1, 0F=3,AF=20F=6, :AF为圆的直径， ∠AEF=90°， ∠B=∠AEF=90°， .EF∥BC, ·∠AFE=LC, sin∠AFE=AE_3 AE=5AF=8 5 M 46.(2026浙江·二模)如图，AB为⊙O的直径，C,E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB,CD⊥AE于 点D B (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若A0=6,CD=35,求DE的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】(1)通过连接半径，利用角平分线性质和等腰三角形性质证明平行，进而证垂直得切线： (2)通过构造辅助线，利用矩形的性质和勾股定理即可求得线段长. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 0A=0C, :∠0AC=∠0CA, :AC平分∠EAB, ∠0AC=LDAC, .∠DAC=∠OCA, :AD∥OC, :CD⊥AD, .0C⊥CD, 又：0C是半径， CD是⊙O的切线. (2)解：如图，过O作OF⊥AE于点F, B .AF=EF, ∠0FD=∠FDC=∠0CD=90°， :四边形OCDF为矩形， OF=CD=33,DF=0C=0A=6, Af=0-0F=V62-35=3, :EF =AF=3, DE=DF-EF=6-3=3. 47.(2026浙江·二模)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O交BC 于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F.记△BEF的面积为S,四边形CDFE的面积为S. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求证：直线EF与⊙O相切； (2)若sinB=3, ,S,=mS,求m的值。 【答案】(1)证明见解析 17 (2)m= 8 【分析】(1)要证直线与圆相切，连接圆心与切点，证明该半径与直线垂直即可；结合直角三角形斜边中 线性质、等腰三角形性质推导平行关系，进而证垂直： (2)由直径得∠CED=90°，即DE⊥BC,推出E为BC中点；结合sinB=?设边长，分别求出S、S, 进而得m。 【详解】(1)证明：连接OE, :在RtAABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点， :CD=BD(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)， ∠B=∠DCB, :0E=0C, .∠OEC=∠DCB, ∠OEC=∠B, ∴.OE I AB, :EF⊥AB, EF⊥OE, 又：OE是⊙O的半径， ·直线EF与⊙O相切. D (2)解：：CD为⊙O的直径， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CED=90°，即DE⊥BC, :CD=BD, E为BC的中点， :sinB=亏设AC=3,AB=5k, 由勾股定理得：BC=VAB2-AC2=4k, :D为AB中点，∠ACB=90°， :.CD=BD-14B-5k.BE-I8C-2k. 2 在RtABDE中，DE=VBD2-BE2 5 12 -2- ∠B=∠B,∠EFB=∠DEB=90°， ∴.△BEF∽△BDE, 2 BE 2 2k 16 S.BDE BD 5 25 3 SmE-2BE:DE=2×2×k= 3 2, 2 .S -163k2=k2,S.CDE=S.BDE 2 25 2 =+m2月 51k2, 2 25 25 S,=mS, 51k2 25 17 ∴.m= S2= S,24k28 25 考点6 圆的压轴题综合 48.(2026浙江宁波二模)如图1，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，连接BD交AC于点E, ∠ABD=2∠BDC. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D 图1 图2 (I)求证：AB=BD; (2)求证：BE2=0EAE; (3)如图2，过点A作AF⊥BD交BD于点F,若DF=5,EF=7,求BE的长. 【答案】(1)证明：设∠BDC=a,则LABD=2a, :AC是⊙O的直径， ∠ADC=90°， ∠ADB=90°-a, ∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=90°-a, ∠ADB=∠BAD, .AB=BD (2)证明：连接OB,如图所示： D E C:LB0C=2LBDC=2a,∠0AB=∠BDC=a, 且0A=0B, .,∠OAB=∠OBA=a, :∠OBE=∠ABD-LOBA=a, LOBE=∠BAE, :∠OEB=∠BEA, △OBE∽△BAE, BE OE AE BE 即BE2=OEAE; (3)8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】1)设BDC=a,则LABD=2a,求出∠ADB=90°-a, ∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=90°-Q,从而得出∠ADB=∠BAD,根据等角对等边，即可得出答案； (2)连接OB,证明△OBE∽△BAE,得出 8距耳可有出等米， (3)过点O作OG⊥BD,交BD于点G,连接OB,设BE=a,则AB=BD=12+a,根据 60BE0aBAE,得出E-O8OA,从而得出C-OE,根据平行线分线段成比例定理得出 EG OE BE AB AB FG OA FG OA 从而得出 EG BE FG AB 有出关于方6-j2=+小 解方程即可 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点O作OG⊥BD,交BD于点G,连接OB,如图所示： D GE C:.BD=2BG =2DG 设BE=a,则AB=BD=12+Q, .BG=DG=6+a 1 ∴EG=BG-BE=6-5a, 2 1 FG=DG-DF=1+a, 2 由(2)得，△OBE∽△BAE, .OE OB OA BE ABAB OE BE OA AB :AF⊥BD,OG⊥BD, ∴.OG∥AF, EG OE FGOA' EG BE FG AB 得EG·AB=BE·FG 6-02*a=a1+0 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 化简得，a2+a-72=0 解得a1=8,a2=-9(舍去) 即BE=8. 49.(2026浙江宁波·二模)如图，己知四边形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O的直径，AC=BC,过点C作 CG⊥BD分别交BD,AB,⊙O于点E,F,G. B G (1)求证：①LGCB=∠CBA; ②BE=AD+DE; 2当8F=2GF时，求的值. SBEF 【答案】(1)①见解析；②见解析 9 25 【分析】(1)①由题意得BC=GB,则有AC=GB,然后问题可求证； ②在线段BD上取一点H,使得BH=AD,连接CH,AC,由题意得△CAD≌△CBH(SAS),则有 CD=CH,然后问题可求证； (2)连接BG,由(1)得，CF=BF,设GF=a,则BF=CF=2a,CG=3a,然后可得 BE=BF:-EF:_15a,进而可得△CDB∽△BGE,然后根据相似三角形的性质可进行求解. 4 【详解】(1)证明：①：GC⊥BD, :BC GB. .AC=BC, AC=GB, ∠GCB=∠CBA. ②如图5，在线段BD上取一点H,使得BH=AD,连接CH，AC, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G AC=BC, AC=BC. CD=CD :∠DAC=LDBC. ACAD≌ACBH(SAS, :CD=CH, :GC⊥BD, .ED=EH. :BE=BH +EH AD+DE (2)解：如图，连接BG, C E B G 由(1)得，CF=BF,设GF=a,则BF=CF=2a, .CG =3a, 直径BD⊥CG, ∴.CE=GE= CG- 2 0, :.EF=GE-GF=74 1 在R1AEFB中，BE=BF2-EF=5a, 4 :∠DCE=∠GBE,∠CDE=∠BGE, .△CDE∽△BGE, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.CDE=CE2 3 S.BEG BE2 15 4 1 S-EF-201 S.BEG EG 3 3 -a 3 S.BEG 9 5 SBEF S.BEG 3 50.(2026浙江温州二模)等腰ABC中，AB=AC,P为边AC上一点，△PBC的外接圆与∠ACB的 角平分线交于点D,过点P作BP的垂线交BD的延长线于点E,连结AB,tanACB=I (1)求证：BD=DE. (2)若PE∥CD,BC=10. ①求AP的长. @ 【答案】（①）见详解 ②03：8号 【分析】(1)观察BD所在的图形，首先连接DP,由角平分线的条件易知BD=DP,然后利用Rt△BPE证 明DP=DE即可解决： (2)由PE∥CD可知CD为直径，进而可知PC=BC,然后在等腰三角形ABC中，根据tanLACB=2求 5 出AC,继而求出AP的长；观察图形可知，△AEP,△ABP底边是相同的，因此作BF⊥CA于F,EH⊥CA 的延长线于H,然后求一的值即可求解 BE 【详解】(1)证明：如图1，连接DP, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CD平分∠BCP, 图1 ∠BCD=∠DCP, :BD DP. ∠DPB=∠DBP. 又PE⊥BP, ∠BPE=90°， :∠DPB+∠DPE=∠DBP+∠DEP=90°， ∠DPE=∠DEP, DP DE, :BD DE (2)解：①如图2，过点A作AM⊥BC于M, PE∥CD,PE⊥BP, 图2 CD⊥BP. 由(1)已知BD=DP, :.CD垂直平分BP, :PC=BC=10, 在RteACM中，CM=方BC了 2x10=5,tan∠ACB=12 AM=12 CM=12, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=13, AP=AC-PC=13-10=3: ②由①易知△PCD≌△BCD, ·LCPD=∠CBD. 在圆内接四边形DBCP中，∠CPD+∠CBD=180°， ∠CPD=LCBD=90°. 如图3，连接DP,作BF⊥CA于F,EH⊥CA,交CA的延长线于H,则EH‖DP‖BF. G BD=DE, B 图3 PH DE PF BD =1,即PH=PF· 在RtaBCF中，BC=I0,an∠ACB=2 设CF=5x,则BF=12x,BC=13x, cos∠ACB= 13 5080 ∴.CF=BC·cos∠ACB=10× 0X13=:PH=PF=PC-CF=10-> 13-13 BF=120 13 有条件易知△EHP∽aPFB, EH PF HP BF 8080 六EH=PH.PF_1313_160 BF 120 39 13 160 EH_394 BF=1209 13 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 S.AEPA S.ABP 9 【点晴】本题综合考查了圆、相似、直角三角形等知识，能结合图形作出恰当的辅助线，建立相关知识间 的内在联系，找到解决问题的突破口是解题的关键 51.(2026浙江嘉兴·二模)己知，ABC内接于圆0，AB=AC,连接CO并延长交AB边于点D,交圆 O于点E,连接AE、BE. (图1) (图2) (备用图) (1)如图1，当CE⊥AB时，求∠AEC的度数， (2)如图2，当AB平分∠EAC时. ①求证：△ABC∽△CBD. ②若AC=√2，求AE的长， 【答案】(1)LAEC=60° (2)AE=2-V2 【分析】(1)由题意易得ABC是等边三角形，然后问题可求解： (2)①由题意易得LBAC=∠EAB=∠BCD,然后问题可求证： ②由题意易得∠DBC=LBDC=LADE,则有AE=AD,然后可得CE=√2BC,设BC=t,则有CE=√2t ,进面适过0中的相以可斜D-,则0=8-0=万-只，=A,是后根署约表定建立方程 进行求解即可. 【详解】(1)解：CE⊥AB, AC=BC, .AB=AC, .AB=AC BC, :.ABC是等边三角形， .∠AEC=LB=60°； (2)①证明：：AB平分∠EAC,∠BCD=∠EAB, ∠BAC=∠EAB=∠BCD, ∠DBC=∠CBA, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ABCn△CBD: ②：AB=AC=V2,△ABC∽△CBD, ·.△CBD是等腰三角形，即BC=CD, ∠DBC=∠BDC=∠ADE, .∠AED=∠DBC, ·∠AED=∠ADE, ·AE=AD, :CE是⊙O的直径， ·.∠EAC=LEBC=90°， :AB平分LEAC, .∠BAC=∠EAB=45°=LBCD, ,△EBC是等腰直角三角形， CE =2BC, 设BC=1,则有CE=√2t, :△ABC∽△CBD, BC BD ,即BC2=BD·AB, BA BC t2=√2BD, :BD=2, 4D=4B-BD=-=AE. 2 32 在Rt△AEC中，由勾股定理得： 整理得：t-812+8=0, 解得：t2=4-2V2,t,2=4+2V2, 0<t<V2, t2=4-22, :AE=2-5×4-2)=2-5, 52.(2026浙江台州二模)如图，四边形ABCD内接于以对角线BD为直径的圆，AC=BC,过点C与 AD平行的直线交BD于点E,交AB于点F, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：BE=DE. (2)若AB=6,BC=5,求△ACD的面积. 【答案】()证明见详解 时 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理，相似的判定和性质，能够熟练掌握这些性质是解题的关键 (1)根据圆周角定理可推得CF上AB,再根据等腰三角形三线合一，得BF=BA,由CF∥AD得 △ABDn△FBE,即可得证； 7 过点D作DG⊥AC交AC于点G,根据勾股定理可推得EF=8，CD=4,BE 8 二，根据等弧对等 角推得△BEF∽△CDG,则DG=头即可求解. 20 【详解】(1)证明：：BD为直径的圆， .∠BAD=∠BCD=90°， :CF∥AD, ∠BFC=∠BAD=90°，△ABDm△FBE, 即CF⊥AB, BFBE BA BD AC=BC, 则FBE1 BABD 2' 即BE=DE; (2)解：过点D作DG⊥AC交AC于点G, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1)可知，∠BFC=90°，BF=AB,BE=DE, :BD为直径， ·E为圆心， AB=6, BF=3, BC=5, .FC=4,AC=BC=5, 设半径为r,则EF=4-r,BE=r, 在R1△BEF中，2=32+(4-，解得=2 8 ·BD=25 7 ，EF=8 :∠BCD=90°， CD=BD:-BC:=15 AD=AD, .∠DCG=LEBF, ∠BFE=∠CGD=90°， ∴△BEF∽△CDG, DG CD 6 EFBE5 o-别 则SAcD三5ACDG7x5x2121 1 20-8 53.(2026浙江温州·二模)如图1，ABC内接于⊙O,作直径AD交边BC于点G,OB平分∠ABC,连 接CD,BD. E G B C 图1 图2 (I)若∠DAC=50°，求∠BAD的度数. 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 (2)如图2，作CE⊥AB于点E,交A0于点F, ①求证：∠DCF=∠DFC. ②若0F=0G+1,且FG≥2，求DG的最小值. 【答案】(1)20° (2)①见解析②1 【分析】(1)由AD为直径得ABD90,求出∠ABC=40°，由BO平分∠ABC得LAB0=∠0BC=20°， 根据0B=OA可得结论： (2)①设LAB0=a,则LEBC=2a,证明∠DFC=∠DCF=90-a即可；②证明△B0Gn△CDG,得 82-88,设0G=,0G=y:则0F=+1DC=DF=y+2x+1B0=D0=+,代入比制底得 BO OG y十2+1)，整理得，广=2+x,求得x≥)根据二次函数的性质得。=1从而得出y的最小值为1， x+y x 即DG的最小值为1. 【详解】(1)解：AD为直径， .ABD 90, :∠DBC=∠DAC=50°， .∠ABC=90°-∠DBC=40°， :BO平分∠ABC, LAB0=∠0BC=20°， 0B=0A, ∠BAD=∠AB0=20°. (2)解：①证明：设∠ABO=a,则∠EBC=2a, 0B=0A, .∠BA0=∠AB0=a, CE⊥AB, .∠AFE=90-a=∠DFC,LBCE=90-2a, ∠BCD=∠BAD=a., .∠DCF=LBCD+∠BCE=a+90-2a=90-a, .∠DFC=∠DCF ②由①得，DF=CD, ∠BAD=∠ABO=∠OBC,∠BAD=∠BCD, ·∠OBC=∠BCD, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OB∥CD, △B0 GACDG, BO OG DC DG OG=x,DG=y,OF=x+1,DC=DF=y+2x+1,BO=DO=x+y, x+y y+2x+1 y 12_1 整理得y2=2+=2x+481 :FG=2x+122, 1 :x22' ymin =1, 又y>0, :y的最小值为1，即DG的最小值为1. 54.(2026浙江金华二模)如图1，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且弧AC=弧BC，弦CD交AB于 点E,AE的垂直平分线交⊙O于点F,G,交AB于点H,连接AF,AG,EF和EG, F(D D E GC 图1 图2 (1)求证：四边形AGEF为菱形. (2)如图2，若点D,F重合，求aBED与BEC的面积比. (3)如图1，若AH=7,FH=3√7，求BD的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) JNED2 S.BEC 2 (③)BD=8V2 5 【分析】(1)根据垂直平分线的性质得到FA=FE,GA=GE,从而得出结论： 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)连接CG,连接BG交CD于点M,根据圆周角定理得到∠ABC=∠BDC=∠ADC=45°，由三角形内 角和定理求出∠DHE=∠EMG=90°，进而得到△EGM和CGM是等腰直角三角形，设EM=CM=Q,则 CE=2a,根据勾股定理求出GE长，利用。=CE求解即可： (3)连接OF、OC,过点B作BN⊥CD于点N,设⊙O的半径为r,则OH=r-7、OF=r,在 R1△0FH中，根摆勾股定理列出方程求出r的值，证明：C0En。8N8,则g品85。据此求出8N长。 根据等腰直角三角形的性质得到DN=BN,再利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)证明：：FG是AE的垂直平分线， .FA=FE,GA=GE, AB经过圆心O,且AB⊥FG, :AF=AG, :EF=EG=GA=FA, :四边形AGEF为菱形： (2)解：连接CG,连接BG交CD于点M,如图2， F(D) :AB是⊙O的直径， 图2 ∠ADB=90°， AC=BC, :∠ABC=LBDC=∠ADC=45°， 由(1)知，四边形AGEF为菱形， ·∠ADG=LEDG=22.5°、AD=AG=EF=GE, ∠ABD=LABG=22.5°， :∠ABG=∠GDC, ZAED ZBEC ∠DHE=∠BME=90°， ∠GEC=2∠GDC=45°， LEGM=∠GEC=45°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EM =GM, :∠CGB=∠CDB=45°， ∠GCM=∠CGB=45°， :CM =GM, :EM =CM, 设EM=CM=a,则CE=2a, 在Rt△GEM中，由勾股定理得：GE=√EM'+GM2=Va2+a2=√2a, :.EF =2a, S.NED.EF 2a2 S.uEe CE 2a 2 (3)解：连接OF、OC,过点B作BN⊥CD于点N,设⊙O的半径为r,则OH=r-7、OF=r, D H O E GC 图1 由(1)知，四边形AGEF为菱形， FG⊥AE、AH=EH, 在Rt△0FH中，由勾股定理得：OH2+FH2=OF2, 即-7+3=2， 解得r=8, 0H=1、OE=6、BE=2, :BN⊥CD, ·∠BNE=90°， :AC=BC,AB是⊙O的直径， ∠C0E=90°， LCOE=∠BNE, :∠OEC=∠NEB, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△COEn△BNE, CO CE BN BE 在Rt△C0E中，由勾股定理得：CE=VOC2+OE2=V82+62=10, 8-10 BN 2' 六w景 在Rt△COB中，OB=OC, ∠ABC=∠BC0=45°， 在Rt△BDN中，∠BDC=∠ABC=45°， .DN BN =8 .BD=DN2+BN 82 5 【点晴】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键， 55.(2026浙江·二模)如图，锐角ABC内接于⊙O,AF平分∠BAC,交BC于点D,交⊙O于点E, BE平分LCBF,连接BO并延长交AD于点G. (I)若LBAC=70°，求LEBC,OBC的度数. (2)求证：BF是⊙O的切线. (3)若BG平分∠ABC,AG=6,GD=4,求BG的长. 【答案】(1)35°：20° (2)证明：设∠BAC=2a,则∠B0C=4a. :.∠EBC=LEAC=a, .∠0BC=90°-2a, :BE平分∠CBF, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :ZFBE =ZEBC=a, ∠FBC=2a. .L0BF=90°-2a+2a=90°， OB⊥BF, ,BF是⊙O的切线. (3)BG=6√6 【分析】(1)连接OC,根据角平分线定义，以及圆周角定理推出∠EAC,∠BOC，,进而即可求出∠EBC ZOBC (2)设LBAC=2a,则∠B0C=4a,类比(1)推出LEBC,L0BC,结合角平分线定义进而推出 ∠FBC=2a,再根据∠OBF=∠OBC+∠FBC分析证明即可； (3)利用角平分线定义推出∠BGE=∠EBG,结合切线性质，以及等角的余角相等推出∠EBF=∠F,以 及EB=EF=EG,设DE=t,则EB=EF=EG=t+4,证明△BED∽△AEB,利用相似三角形性质求出 t值，再证明△EBF∽△BFA,结合相似三角形性质分析求解，即可解题. 【详解】(1)解：连接0C, :∠BAC=70°，AF平分∠BAC, .LEBC=∠EAC=35°，∠B0C=2LBAC=140°， ·∠0BC=20°. (2)略 (3)解：：AE平分∠BAC,BG平分∠ABC, :ZBAE ZCAE,ZABG=ZCBG :LBGE=LBAE+LABG,∠EBG=∠CBG+LEBC, 又∠EBC=∠CAE=LBAE, .∠BGE=∠EBG, 又：BF是⊙O的切线，∠GBF=90°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠EBF=∠F, :EB=EF=EG :AG=6,GD=4,设DE=1,则EB=EF=EG=1+4, :∠EBC=∠EAC=LBAE,∠BED=∠AEB，, △BED∽△AEB. BE DE AE BE BE2=AE.DE=t(t+10)=(t+4)2, 解得1=8， DE=8,EB=EF=12,AE=18, :LF=∠FBE=∠EBC=∠EAC=∠EAB, △EBF∽△BFA, .EB BF BFFA .BF2=EB·FA=12×30=360, BG2=GF2-BF2=242-360=216, 即BG=6V6. 56.(2026浙江丽水·二模)如图，在ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，以点A为圆心，OA为半径 作弧，交AC于点M,再分别以点O,M为圆心，大于)OM长为半径作弧，两弧相交于点N,连接AN 并延长，交边BC于点D.以点O为圆心，OA为半径的⊙O恰好也经过点D,且与AB,AC分别相交于点 E,F. B (1)求证：BC是⊙O的切线， (2)若AF=8,CD=4,求阴影部分的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)16-4π 【分析】(1)先证L0DB=∠C=90°，结合OD是⊙O的半径，即可得证： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)连接0D,过点0作0G1AC,AG=GF,又0G=AG,0A=VAG2+0G2，L0AG=LB0D=45 ，S扇形DOE 45元×42，最后通过S号=5.00-5无0，即可求解。 360 【详解】(1)解：如图，连接0D. 由题意可知AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD ,0A=0D, .∠BAD=∠ODA, ∠ODA=∠CAD, OD∥AC, .∠0DB=∠C=90°， .OD⊥BC. 又OD是⊙O的半径， .BC是⊙O的切线. (2)如图.连接0D,过点0作0G⊥AC,垂足为G. :0D⊥BC,0G⊥AC, .∠0DC=∠0GC=∠C=90°， ∴四边形ODCG是矩形， .0G=DC=4, OG⊥AC,AF=8, 4G=oF-4r-×8=4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在R1△A0G中，OA=VAG+OG=V42+42=4V2, .⊙O的半径为42， :四边形0ODCG是矩形， 0DICG,又0G=AG=4, .∠0AG=∠B0D=45°， S扇形DOE 45π×(4v2)月 =4π'BD=OD=4V2, 360 S阴影=S0BD-S形DOE 2×4W2x42-4r=16-4玩. 57.(2026浙江温州二模)如图1，BC是⊙O的直径，A,D为圆上在BC异侧的点，AB=AC,连接 AD交BC于点H,将△ACD关于直线AC对称得到△ACE. B H G C 图1 图2 (1)求出∠E的度数： (2)如图2，延长EC交CD于点F,连接AF,BF,AF交BC于点G. ①求证：CD=BF, ②若BC=7GH,求 CF 的值. CD 【答案】(1)45° 3 (2)①见解析；② 4 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角和等边对等角可得LABC=∠ACB=45°，然后结合同弧所对的 圆周角相等和轴对称的性质即可解答： (2)①根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补，利用AAS可证明△AEC≌△AFB，,进一步可 得结论； ②由①可得CD=BF,从而推出∠CAF=LDAB,进而利用AAS可证明△ACG≌△ABH,得到CG=BH, 第合8C=7GH,可卷C-子，8C-过点G作GK上BF于点K易符BGKABCF, G-K子设GK=FK=3m,表示出CF和CD,进一步求解即可， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：BC是⊙O的直径， ∠CAB=90° :AB=AC, ·∠ABC=LACB=45°， ∠ADC=∠ABC=45°， :△AEC由△ADC关于直线AC对称得到， :LE=LADC=45°. (2)①证明：：∠ACB=∠AFB=45°， LE=∠AFB. :四边形ABFC内接于圆， ∠ACF+∠ABF=I80°=∠ACF+∠ACE, ·∠ACE=LABF, :AB=AC, :∴△AEC≌△AFB(AAS), :CE BF. EC=CD, :CD BF. ②解：：CD=BF, CD=BF ∠CAD=∠FAB, :∠CAD-∠DAF=∠FAB-∠DAF,即∠CAF=∠DAB, AB=AC,∠ABC=LACB=45°， △ACG≌△ABH(AAS), :CG=BH, BC=7GH, 设GH=a,则BC=7a,CG=BH=BC-GH)=3a, BG BH+GH 4a 4 BG 4a 4 CG CG 3a3’BC=7a=7' 过点G作GK⊥BF于点K, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B G D :BC为直径， .LCFB=90°， :GK CF △BGKn△BCF, BGBK4 CG FK3' GK-BG4 CF BC7' :∠GFB=45°，GK⊥BF, ·∠GFB=∠FGK=45°， 设GK=FK=3m, .BK 4m ∴BF=CD=7m, GKBG 4 CFBC-7 .CF= m, 4 21 CF=4m3. CD 7m 4 58.(2026浙江杭州·二模)如图，AB与⊙O相切于点B,以AB为边作菱形ABCD,交⊙O于点C,D,E 是对角线BD上一点，在AB,AD上取点F,G,使∠FEG=60°. R (1)求证：AD是⊙O切线； (2)求证：△ABD是等边三角形； (3)若BF=3,DG=9,求⊙O的半径. 【答案】（①）见详解 (2)见详解 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 (3)13V5 【分析】(1)连接OB,OD,OA,根据切线的性质得出口OB⊥AB口，根据菱形的性质得出口 AB=AD口，证明△ABO≌△AD0(SSS),得出∠ODA=∠OBA=90°，即OD⊥AD口，结合OD是⊙O的半径， 即可证明AD是⊙O的切线； (2)在菱形ABCD中，AB=AD=BC=CD,∠ABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB,∠BAD=∠BCD,证明 LABD=LBCD,根据AB=AD得出∠ABD=∠ADB,结合LABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB与三角形内 角和定理得出∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°口，即LABD=60°，证出口△ABD口是等边三角形； (3)如图，作FM⊥BD于点M,作EN⊥AD于点N,作OH⊥BD于点H,连接OB,OD,设 BE=m,DE=n,由(2)知△ABD是等边三角形，证明△BFE∽△DEG,得出BE·DE=27,进而得到 mn=27,根据三角函数得到BM=3,FM=BF=3V5,进而得到EM的值，同理得到GN的值，根据 2 2 mLP=tanZDGE告塑仪进而得到22243m子B3,根据a27求甜aR 2 2 3 39 进而求出m=,即可求出BD-之，证明△BCD是等边三角形，根据圆周角定理及垂径定理得到 上B0H三60°，BH三BD=，根据三角函数计算即可 【详解】(1)证明：连接OB,OD,OA, :AB与⊙O相切于B,OB是⊙O的半径， OB⊥AB, 四边形ABCD是菱形， .AB=AD, AB=AD,OB=OD,AO=AO, .△ABO≌aAD0SSS), ∴.∠0DA=∠0BA=90°， .OD⊥ADO, :0D是⊙O的半径， 故AD是⊙O的切线； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：在菱形ABCD中，AB=AD=BC=CD,∠ABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB,∠BAD=∠BCD 0B=0D, ∴∠OBD=∠ODB, 设∠OBD=∠0DB=x, 则∠B0D=180°-2x, 1 ·,∠BCD= 2 ∠BOD=90°-x, :AB与⊙O相切于B,OB是⊙O的半径， .OB⊥AB, ∠ABD=90°-x, LABD=∠BCD, AB=AD, ∠ABD=∠ADB, ·∠ABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB, .∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°， 即∠ABD=60°， 在△ABD中，AB=AD且∠ABD=60°， 故△ABD是等边三角形； (3)解：如图，作FM⊥BD于点M,作EN⊥AD于点N,作OH⊥BD于点H,连接OB,OD,设 BE =m,DE=n. B G 由(2)知△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=∠BAD=60°，AB=BD, :∠FEG=60°， ∠BEF+∠GED=180°-60°=120°， 在△BFE中，∠BFE+∠BEF=180°-60°=120°， ∠BFE=LGED, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：∠FBE=∠GDE=60°， .△BFE∽△DEG, 8E-胎 ZBEF ZDGE. 3_m n9' .mn=27. :∠ABD=60°， BM=c0s60°xBF=3 ,FM=sin60°×BF= 3V3 :M=号 ∠ADB=60°， DNcos60ENin0x 2 0w9- tan∠BEF=tan∠DGE, FM EN EM GN 3w23n 32 2 m9 3v3n ÷275-3N2n-5mn 3 2 解得n=18, :m=2 1839 :.BD=3 :△ABD是等边三角形， 39 .AB=AD=BD= 2 四边形ABCD是菱形， BC=AB=CD=39 ,∠CBD=∠ABD=60°， :.△BCD是等边三角形， .∠BCD=60°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠B0D=120°， :OH⊥BD, ∠B0H=60°，BH=BD=39 1 4 'sin∠BOH= BH =sin60°= √5 OB 2 39 4-=5， OB 2 0B=13 经检验，OB-13V5是原分式方程的解， 2 ⊙0的半径是135 2 59.(2026浙江杭州·二模)如图，AB是圆的一条弦（不是直径）.仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作 图，并保留作图痕迹，不写作法 (1)作圆心O和AB的中点M. (2)连接OM,交AB于点N,若AB=4,ON=3,求⊙O的半径. 【答案】(1)图见解析 (2)3 【分析】(1)在圆弧上再取一点C,连接AC,作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心O,AB的垂直平 分线与AB的交点即为点M; (2)连接OA,由垂径定理的逆定理可得OM1AB,AN=BN=AB=2,使用勾股定理计算出OA的值 即可 【详解】(1)解：如图，点O和点M即为所求， B (2)解：如图，连接OA, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -0 由(1)可知，点M是AB的中点， OM⊥AB, .AN=BN=。AB=2, 2 在R1a0AN中，0A=VAN2+0N2=V22+32=V13: 60.(2026浙江杭州二模)如图，在ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线 交AB延长线于点D,AE垂直于DC的延长线于点E,交半圆O于点F,连接CF. F B D (I)求证：LBAC=LECF; (2)若AE=3,DE=4, ①求半圆O的半径： ②若P是AC上一点，连接PO,PB,求P0+PB的最小值. 【答案】()证明见解析 ②①半圆0的半径为5：②P0+PB的最小值是3V6的 8 【分析】(1)由AB是直径可得∠ACB=90°，由圆内接四边形的性质可得∠ABC=∠CFE,根据等角的余 角相等即可证明∠BAC=∠ECF; (2)①连接0C,由切线的性质可得∠0CD=90=∠E,进而得到00Ca4DE,则9C-4g=2, 0DAD5,结合 AD=5和OA=OC,计算出半径OC的值即可； ②作点O关于直线AC的对称点O,作O'H⊥AB于点H,由OA=OC和OC∥AE可得 LOAC=∠ACO=∠EAC,则点O在AE上，因此PO+PB=PO'+PB≥O'B,当O、P、B三点共线时， P0:P9取到得最小值0D.使用三角函数计第出h-0H-子则B的=4B-- ,最后用勾 股定理计算出O'B. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：：AB为半圆O的直径， .∠ACB=90°， .∠BAC+∠ABC=90°， :四边形ABCF内接于半圆O, ∠ABC+∠AFC=180°， ∠CFE+∠AFC=180°， ·∠ABC=∠CFE, AE⊥DE, .∠E=90°， .∴.∠CFE+∠ECF=90°， :∠BAC=∠ECF; (2)解：①如图，连接0C, B D 在Rt△ADE中，AE=3,DE=4, ·AD=VAE+DE2=V32+42=5, :CD是半圆O的切线， .0C⊥CD, ∴.∠0CD=90°=∠E, :∠D=∠D, ∴.AODC∽△ADE, OC OD ,即oc-OD AE AD 35 0D=50c, AD=0A+0D=5, .0C+20C=5, 3 15 15 0C=8,即半圆0的半径为 ②如图，作点O关于直线AC的对称点O,作O'H⊥AB于点H, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H O D .∠0CD=∠E=90°， .OC∥AE, ·LEAC=LACO, 0A=0C, .∠OAC=∠ACO=∠EAC,即AC是∠BAE的平分线， ·点O在AE上， 由对称的性质可得，P0=P0', P0+PB=P0'+PB≥O'B, .当O、P、B三点共线时，P0+PB取得最小值O'B, 在Rt△ADE中，AE=3,DE=4,AD=5, AD5'sin∠EAD=DE-4 ·cos∠EAD=AE、3 AD5' ÷在Rt△AH0'中，AH=40cos∠0AH=3A0=240=9 5 0H=40sm<0aH-40-40 2 BH-AB-AH=21 , :.由勾股定理可得，OB=VBH2+O'H 21 v 8 P0+PB的最小值是36 8 61.(2026浙江湖州·二模)如图，在ABC中，D是边AB上一点（不与点A,B重合），⊙O经过点A,C ，D. B 图1 图2 (1)如图1，连接0C,0D,CD,若∠D0C=150°，CD=CA, ①求LADO的度数； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若又满足tanB=1,OD=2,求AB的长. (2)如图2，过点D作DEBC,交⊙O于点E,连接OE,若LACB=2LAE0,求证：DE=AC. 【答案】(1)①LAD0=60°；②AB=3+√3 (2)见解析 【分析】(1)①根据等边对等角得到∠0DC=15°，根据圆周角定理，等边对等角得到∠ADC=∠A=75°， 再根据角的和差计算即可； ②延长CO交AB于点M,由角的和差可得CM⊥AB,根据特殊角的三角函数值的计算得到 DM=AM=L,OM=√5，CM=2+√5，结合题意得到BM=CM,由此即可求解： (2)如图，连接CE,AO,设∠AEO=a,由圆周角定理，三角形内角和定理等知识得到四边形BCED是 平行四边形，结合题意即可求解 【详解】(1)解：①：∠D0C=150°，0D=0C, ∠0DC=15°， :∠D0C=150°， ∠A=75°， .CD=CA, .∠ADC=∠A=75°， ∴LAD0=LADC-∠0DC=60°. ②如图，延长CO交AB于点M B ∠0CD+∠ADC=15°+75°=90°， ∴∠CMD=90°，即CW⊥AB, CD=CA, :AM =DM, ∠AD0=60°， AM=DM=0D·cos60°=1,0M=0Dsin60°=V5, .CM=0C+0M=2+V3, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan B=CM =1, BM :BM CM=2+3, ·AB=BM+AM=3+V5 (2)证明：如图，连接CE,A0, D 设LAE0=a, ∠ACB=2∠AE0, .∠ACB=2a, AO=0E, .∠A0E=180°-2a, ADE=号40E=90-a, DE∥BC, LB=∠ADE=90°-a, ∠ACB=2a, ∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°-a, .LB=∠BAC, .AC =BC, ∠DEC=∠BAC=90°-a, ·LDEC=∠ADE, CE∥BA, :四边形BCED是平行四边形， :BC=DE, ∴.AC=DE.