精品解析：广东东莞市东华高级中学2025-2026学年第二学期期末教学质量检查高二数学试题

2025-2026学年第二学期期末教学质量检查 高二数学 命题人：王丽娟 审题人：查嫽 本试卷共19题，满分150分.用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】三个人任选一部电影观看，共分三步， 第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有， 故选：D. 3. 某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】将代入经验回归方程计算即可得. 【详解】，， 则，解得. 4. 若随机变量，随机变量且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 因为，所以，则，则 5. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系推出数列为等差数列，结合等差数列通项公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，即. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 7. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 8. 函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D 二、多选题 9. 下列的叙述正确的有（   ） A. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B. 关于一元线性回归，若决定系数的越大，模型拟合效果越差 C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D. 关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元线性回归的相关系数和决定系数的定义即可判断AB，根据独立性检验中随机变量的值的意义即可判断CD. 【详解】对于A，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故A正确； 对于B，关于一元线性回归，若决定系数的越大，模型拟合效果越好，故B错误. 对于C，关于独立性检验，随机变量的值越大，可判断“两个分类变量有关系”的把握性越大，故C正确； 对于D，因的观测值满足，则零假设成立，即在犯错概率不超过的情形下，可认为“两个分类变量无关”，故D正确. 故选：ACD 10. 已知，则（    ） A. 二项式系数和为256 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，由二项式系数公式可求解；对于选项B，分别令和求解；对于选项C，由二项式展开式的通项公式求解；对于选项D，先对等式两边求导，再令. 【详解】对于A，二项式系数和为，A选项正确； 对于B，由， 令，得， 令，得， 所以，B选项错误； 对于C，二项展开式的通项为， 当时，，C选项错误； 对于D，由， 两边求导，得， 令，得，所以D选项正确. 11. 已知函数的图象与轴交于三点，是函数图象上的一点，记直线斜率分别为．下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围为 B. 当是曲线的对称中心时， C. 当时， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，得方程有两个不同的根，由即可判断A；根据可知函数关于对称即可判断B；由代入不等式即可判断C；根据可得三点的横坐标的表达式以及，从而得到斜率的表达式即可判断D. 【详解】对于A，由于已知函数的图象与轴交于三点， 因此方程有三个不同的实数根，由于，所以是的一个根， 则方程有两个不同的根且根不为， 得，解得，且，解得， 因此实数的取值范围为，故A正确； 对于B，由于，有，因此关于中心对称， 当是曲线的对称中心时，则，因此，故B错误； 对于C，当时，函数， 由于是函数图象上的一点，所以，则， 所以，故C正确； 对于D，已知函数的图象与轴交于三点，设三点的横坐标分别为， 由于，不妨设，则是方程的两个不同实数根， 根据韦达定理有， 由于是函数图象上的一点，， 则直线的斜率，同理，， 由于方程有三个不同的实数根，则，故， 所以，同理，， 因此， 代入数据得， 对函数求导得，则，故D正确. 三、填空题 12. 某市共人参加一次物理测试，满分分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为_______． （若，则，） 【答案】1359 【解析】 【分析】先由正态分布参数读出，结合给定原则概率，利用正态曲线对称性算出区间的概率，再乘以总人数得到对应人数． 【详解】因为，即，， 所以，， 所以， 所以抽测成绩在的学生人数大约为人． 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 故答案为：. 14. 设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】将整理为，然后构造函数，根据的单调性得到，即，再构造函数，求导分析单调性得到，即可得到的范围. 【详解】由得， 即， 令，则． 因为， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，即， 所以k的最小值为． 四、解答题 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导，求出切线的斜率，由直线的点斜式方程即可求出切线方程； （2）利用导数求函数在上的单调性，结合区间端点处的函数值，即可求出函数的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 因此可知在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 因为，因此，最小值为；最大值为. 16. 已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记比较与的大小. 【答案】（1），； （2）； （3），当时，. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2）利用分组求和法进行求解； （3）作差法得到，从而得到，当时，. 【小问1详解】 因为， 依题意， 故，由得， 解得或2， 因为，所以，， 故， 其中，故公比， 所以； 【小问2详解】 ， 故 ； 【小问3详解】 所以 当时，，当时，， 所以，当时，. 17. 设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． （1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； （2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】（1），，； （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）令，则，求出，，计算， 由回归直线过点，求出，从而得到关于的回归方程. （2）求出的取值，求出的取值的概率， 列出的分布列，根据分布列求出随机变量的期望值. 【小问1详解】 令，则， 因为，所以， 因为，所以， ，， 通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，所以， 则 关于的回归方程， 又， 故关于的回归方程； 【小问2详解】 （2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天， 所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3， ；； ；. 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的期望值. 18. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为： 0 1 2 3 概率 其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（如果一个家庭只有一个孩子且是男孩，则该家庭男孩多.） （1）若，求的值以及； （2）为了调控未来人口结构，需要调控的值，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等）. ①若希望增大，如何调控的值？ ②是否存在的值使得？若存在求出的值或范围，若不存在请说明理由. 【答案】（1） （2）①增大的值，详见解析；②存在的值使得，的取值范围是. 【解析】 【分析】(1)由分布列的性质可得与的关系，将代入，可求得的值.由全概率公式可求. (2)①由分布列的性质可得与的关系，用表示，构造关于的函数，分析其单调性，可得结果;②设存在的值使得，可解得的取值范围. 【小问1详解】 由题可知：.因为，所以，所以. 分析可得： 事件的概率； 事件表示一个家庭有一个孩子，且是男孩.所以； 事件表示一个家庭有两个孩子，且均是男孩.所以； 事件表示一个家庭有三个孩子，其中有两个是男孩、一个是女孩或三个均是男孩.所以 . 所以. 【小问2详解】 ①由题可知：，所以. 令，则. 令，则. 当时，，所以函数单调递增，所以，即，所以函数单调递减. 因此，当增大时，减小.因为，所以增大，即增大. 故若希望增大，可增大的值. ②由①得：，所以. 设存在的值使得，则， 因为，所以，即. 整理得：，即. 因为，所以，所以. 所以存在的值使得，的取值范围是. 19. 用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. （1）证明：若，则为函数； （2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. （3）若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）是函数，证明见解析 （3）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出、根据函数定义可得答案； （2）根据可证明是函数； （3）法1，（i）转化为有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点，利用导数判断出的单调性结合图象可得答案；（ii）由题意，由（2）知，得且两式相乘得证.法2（i）利用导数判断出的单调性求出最小值可得答案；（ii）不妨设，即证，根据在上单调递减只需证，构造，再利用导数判断出的单调性求出最值可得答案. 【小问1详解】 由可得， 因，而， 即成立， 故为函数； 【小问2详解】 是函数.证明如下： 因.要证明，即证. 不妨设，只需证， 令，则需证. 考虑函数， ， 则函数为上的增函数， 当时，，即 ∴函数是函数； 【小问3详解】 法1， （i）有两个不同的零点等价于 方程有两个不同的解. 又.令，则. 因为函数是上的增函数， 所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点. ，当时，；当时，. 则在上单调递减，在上单调递增.故. 当时，时，. 故若直线与函数的图象有两个不同交点， 则. 又因为，是上的增函数， 故得，故实数的取值范围为. （ii）由题意，则. 由（2）知， 故且两式相乘得： ，故得证. 法2 （i）函数的定义域为. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为. 当时，，当时，. 因为函数有两个零点，故只需，解得. 故的取值范围是. （ii）不妨设，要证，即证. 因为在上单调递减，所以只需证. 又因为，所以只需证， 即证，令， 对求导，得 令，， 对求导得， 所以在上单调递增. ，故. 故在上单调递增，. 即，所以，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末教学质量检查 高二数学 命题人：王丽娟 审题人：查嫽 本试卷共19题，满分150分.用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 3. 某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 若随机变量，随机变量且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列的叙述正确的有（   ） A. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B. 关于一元线性回归，若决定系数的越大，模型拟合效果越差 C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D. 关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 10. 已知，则（    ） A. 二项式系数和为256 B. C. D. 11. 已知函数的图象与轴交于三点，是函数图象上的一点，记直线斜率分别为．下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围为 B. 当是曲线的对称中心时， C. 当时， D. 三、填空题 12. 某市共人参加一次物理测试，满分分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为_______． （若，则，） 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 14. 设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______． 四、解答题 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求在区间上的最值． 16. 已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记比较与的大小. 17. 设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． （1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； （2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 18. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为： 0 1 2 3 概率 其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（如果一个家庭只有一个孩子且是男孩，则该家庭男孩多.） （1）若，求的值以及； （2）为了调控未来人口结构，需要调控的值，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等）. ①若希望增大，如何调控的值？ ②是否存在的值使得？若存在求出的值或范围，若不存在请说明理由. 19. 用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. （1）证明：若，则为函数； （2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. （3）若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $